2024年高考第一次模拟考试数学试题（北京卷01）（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE12024年高考第一次模拟考试（北京卷01）数学第Ⅰ卷（选择题）一、单项选择题1．已知全集，集合，则（

）A． B． C． D．〖答案〗D〖解析〗由题可知，易知，所以.故选：D2．在复平面内，复数对应的点的坐标是，则（

）A． B．C． D．〖答案〗C〖解析〗由题意可得故，进而，故选：C3．已知向量，满足，，，则（）A． B． C． D．〖答案〗D〖解析〗，，，.，因此，.故选：D.4．下列函数中，既是偶函数，又在区间上单调递增的是（

）A． B． C． D．〖答案〗D〖解析〗对于A，因为，所以为奇函数，故A不符合，对于B，根据二次函数的性质可得在上单调递减，故B不符合，对于C，的定义域为，不关于原点对称，为非奇非偶函数，故C不符合，对于D，因为函数的定义域为，且，故为偶函数，在上，，函数在区间上单调递增，所以D符合，故选：D.5．已知的展开式中，的系数为80，则（

）A． B． C． D．2〖答案〗B〖解析〗展开式的通项为，当，有，则展开式中的系数为，所以，解得.故选：B6．设，是两个不同的平面，是两条不同的直线，则下列结论中正确的是（

）A．若，，则 B．若，，，则C．若，，则 D．若，，，则〖答案〗B〖解析〗由题意，对于A中，若，，则或，所以不正确；对于C中，若，，则与可能平行，相交或在平面内，所以不正确；对于D中，若，，，则与平行、相交或异面，所以不正确；对于B中，若，，，，根据线面垂直的性质，可证得成立，故选：B.7．的内角A、B、C所对的边分别为，已知，，，则（

）A．4 B． C． D．〖答案〗B〖解析〗因为，由正弦定理得，又，由余弦定理，则故选：B.8．已知是等差数列，是其前项和.则“”是“对于任意且，”的（

）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件〖答案〗B〖解析〗由等差数列前n项和公式知：，∴要使对于任意且，，则，即是递增等差数列，∴“对于任意且，”必有“”，而，可得，但不能保证“对于任意且，”成立，∴“”是“对于任意且，”的必要而不充分条件.故选：B.9．在直角梯形中，已知，，，，，若为的中点，则的值为（

）A． B． C． D．〖答案〗D〖解析〗由题意可知，，，.，.，，.故选：D.10．如图，已知正方体的棱长为1，点M为棱的中点，点P在正方形的边界及其内部运动．给出以下四个结论：①存在点P满足；②存在点P满足；③满足的点P的轨迹长度为；④满足的点P的轨迹长度为．其中正确的结论的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4〖答案〗C〖解析〗如图所示，建立空间直角坐标系，则，，，，动点P设为①点M关于平面的对称点为，当动点P在点时，此时，当动点P在点时，此时，所以存在点P满足，所以①正确；②，，若，则，化简得：，解得：，即，满足题意，所以②正确；③，，若，则，即，取BC中点E，BB1中点F，则点P的轨迹为线段EF，长度为，所以③错误；④，，若，则，即，取BF中点H，BE中点K，则点P的轨迹为线段HK，长度为，所以④正确.故选：C.第II卷（非选择题）二、填空题11．已知函数，则.〖答案〗〖解析〗因为函数，所以，故〖答案〗为：.12．双曲线的渐近线为等边三角形的边，所在直线，直线过双曲线的焦点，且，则．〖答案〗〖解析〗由题意和双曲线的对称性可知，，又因为双曲线的渐近线方程为，从而，即，又由等边三角形性质可知，，又由可知，.故〖答案〗为：．13．已知函数，若对任意的实数，都存在唯一的实数，使，则实数的最大值是.〖答案〗〖解析〗由，，则，存在唯一的实数，使，即有且仅有一个解，作函数图像与直线，当两个图像只有一个交点时，由图可知，，故实数的最大值是.故〖答案〗为：.14．《九章算术》是中国古代张苍、耿寿昌所撰写的一部数学专著，被誉为人类科学史上应用数学的最早巅峰.全书分为九章，卷第六“均输”有一问题：“今有竹九节下三节容量四升，上四节容量三升问中间二节欲均容各多少?”其意思为：“今有竹节，下节容量升，上节容量升使中间两节也均匀变化，每节容量是多少?”这一问题中从下部算起第节容量是升.(结果保留分数)〖答案〗〖解析〗记从下部算起第节的容量为，由题意可知：数列为等差数列，设其公差为，则，解得：，，即从下部算起第节容量是升.故〖答案〗为：.15．设，函数，给出下列四个结论：①在区间上单调递减；②当时，存在最大值；③设，则；④设．若存在最小值，则a的取值范围是．其中所有正确结论的序号是．〖答案〗②③〖解析〗依题意，，当时，，易知其图像为一条端点取不到值的单调递增的射线；当时，，易知其图像是，圆心为，半径为的圆在轴上方的图像（即半圆）；当时，，易知其图像是一条端点取不到值的单调递减的曲线；对于①，取，则的图像如下，

显然，当，即时，在上单调递增，故①错误；对于②，当时，当时，；当时，显然取得最大值；当时，，综上：取得最大值，故②正确；对于③，结合图像，易知在，且接近于处，的距离最小，

当时，，当且接近于处，，此时，，故③正确；对于④，取，则的图像如下，

因为，结合图像可知，要使取得最小值，则点在上，点在，同时的最小值为点到的距离减去半圆的半径，此时，因为的斜率为，则，故直线的方程为，联立，解得，则，显然在上，满足取得最小值，即也满足存在最小值，故的取值范围不仅仅是，故④错误.故〖答案〗为：②③.三、解答题16．已知函数，．在下列关于函数与图像的三个条件中选择一个作为已知，使函数唯一确定，并求解下列问题．(1)求函数的〖解析〗式；(2)若对于，存在唯一的，使得，求的取值范围．条件①：两函数图像在内有且仅有两个交点；条件②：两函数图像的相邻两交点的水平距离为；条件③：两函数图像最高点间的最小水平距离为．注：如果选择多组条件分别解答，按第一个解答计分．解：(1)选条件①：由两函数图象在内有且仅有两个交点，无法确定的周期，所以求不出，所以函数不确定．选条件②：（法一）因为，所以，所以，即，假设两个相邻的交点分别为，且．所以由题意可知，故．（法二）因为，所以，所以，即，假设两个相邻的交点分别为，且．所以由题意可知，故．选条件③：由题意可知，两函数图像最高点应该满足如下关系：，所以两函数图像最高点间的距离为又因为两函数图像最高点间的最小距离为，所以．由可知(2)因为对于，存在唯一的，使得，所以函数图像的对称轴有且仅有一条落在区间上．因为，所以，因为图像的对称轴有且仅有一条落在区间上．所以，即．故的取值范围为．17．羡除是《九章算术》中记载的一种五面体．如图五面体ABCDEF，四边形ABCD与四边形ADEF均为等腰梯形，其中，，，，M为AD中点，平面BCEF与平面ADEF交于EF．再从条件①，条件②，条件③中选择一个作为已知，使得羡除ABCDEF能够确定，然后解答下列各题：(1)求证：平面CDE；(2)求二面角的余弦值．(3)在线段AE上是否存在点Q，使得MQ与平面ABE所成的角的正弦值为，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．条件①：平面平面ABCD；条件②：平面平面ABCD；条件③：．(1)证明：等腰梯形ABCD，M是AD中点，，又，故四边形BCDM为平行四边形，故，平面CDE，平面CDE，故平面CDE．(2)解：选①：连接，，作于，则，，，同理可得，，故，平面平面ABCD，平面平面，平面，故平面，平面，故，，故，此时，故，如图所示：以为轴建立空间直角坐标系，

，，，，，，设平面的法向量为，则，取得到；设平面的法向量为，则，取得到；，所以二面角的余弦值为．选②：取BC中点为N，EF中点为P，连接MP和MN平面平面ABCD，故平面平面，，平面ADEF，故平面ABCD，，如图所示：以为轴建立空间直角坐标系，

，，，，，，，，，设平面BAE的一个法向量，，，令，则，，则易知是平面AEF的一个法向量，，根据图像知二面角为钝角，所以二面角的余弦值为．选③：取MD中点，连接和，易知，，，，，，故，故二面角，故平面平面ABCD，取BC中点为N，EF中点为P，连接MP和MN平面平面ABCD，平面平面，，平面ADEF，故平面ABCD，故，如图所示：以为轴建立空间直角坐标系，

后续同②；(3)解：若选择①：设，，，，，解得，均不满足题意，故不存在点Q．若选②或者③：设，，，，，解得，均不满足题意，故不存在点Q．18．某校举办知识竞赛，已知学生甲是否做对每个题目相互独立，做对A，B，C三道题目的概率以及做对时获得相应的奖金如表所示．规则如下：按照A，B，C的顺序做题，只有做对当前题目才有资格做下一题．题目ABC做对的概率获得的奖金/元3264128[注：甲最终获得的奖金为答对的题目相对应的奖金总和．](1)求甲没有获得奖金的概率；(2)求甲最终获得的奖金X的分布列及期望；(3)如果改变做题的顺序，最终获得的奖金期望是否相同？如果不同，你认为哪个顺序最终获得的奖金期望最大？（不需要具体计算过程，只需给出判断）解：(1)甲没有获得奖金为事件M，则；(2)分别用A，B，C表示做对题目A，B，C的事件，则A，B，C相互独立．由题意，X的可能取值为0，32，96，224．；；；，所以甲最终获得的奖金X的分布列为X03296224P．（3）按照顺序：，，，所以甲获得的奖金的分布列为032160224按照顺序：，，，所以甲获得的奖金的分布列为06496224按照顺序：，，，所以甲获得的奖金的分布列为064192224按照顺序：，，，所以甲获得的奖金的分布列为0128160224按照顺序：，，，所以甲获得的奖金的分布列为0128192224综上，改变做题的顺序，获得奖金的均值互不相同，按照A，B，C的顺序获得奖金的期望最大．19.已知，，是椭圆：上的三个点，是坐标原点.(1)当点是椭圆的右顶点，且四边形为菱形时，求此菱形的面积；(2)过右焦点的直线（与轴不重合）与椭圆交于，两点，点，若，求实数的取值范围.解：(1)椭圆：的右顶点的坐标为，因为四边形为菱形，所以与相互垂直和平分，所以可设，代入椭圆方程得，即，所以菱形的面积为.(2)当直线垂直轴时，，此时，符合题意；当直线与轴不垂直时，设直线的方程为，由，得，由得.设，，则，，所以，所以线段中点的坐标为，由题意知，故直线的方程为，令，，即，当时，得，当且仅当，等号成立，同理，当时，得，当且仅当，等号成立，综上所述，实数的取值范围为.20．已知函数．(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)若在区间上恒成立，求的取值范围；(3)试比较与的大小，并说明理由．解：(1)当时，，，所以曲线在点处切线的斜率，又，所以曲线在点处切线的方程为即.(2)在区间上恒成立，即，对，即，对，令，只需，，，当时，有，则，在上单调递减，符合题意，当时，令，其对应方程的判别式，若即时，有，即，在上单调递减，符合题意，若即时，，对称轴，又，方程的大于1的根为，，，即，，，即，所以函数在上单调递增，，不合题意.综上，在区间上恒成立，实数的取值范围为.(3)由(2)知，当时，，在区间上恒成立，即，对，取代入上式得，化简得.21．已知为所有元有序数组所组成的集合.其中（）.对于中的任意元素，定义，的距离：若，为的子集，且有个元素，并且满足任意，都存在唯一的，使得，则称为“好集”.(1)若，，，，，，求，及的值；(2)当时，求证：存在“好集”，且“好集”中不同元素的距离为5；(3)求证：当时，“好集”不存在.(1)解：因为，，，则，，，，所以.(2)证明：对任意，定义，对任意，因为，则，可得，对于任意，可得有2个元素，若，则，满足“好集”的定义；若，则，满足“好集”的定义；综上所述：为“好集”，且，即当时，存在“好集”，且“好集”中不同元素的距离为5.(3)证明：显然，先证