2024年高考第二次模拟考试数学试题（新九省高考专用02）（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE12024年高考第二次模拟考试（新九省高考专用02）数学一、选择题1.若集合，，则（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗由，得，解得或，所以或，因为，所以，对于A，因为，所以，所以A错误，对于B，因为或，，所以，所以B正确，对于C，因为，所以C错误，对于D，因为或，所以，因，所以，所以D错误，故选：B.2.已知，是关于x的方程的两个根.若，则（）A. B.1 C. D.2〖答案〗C〖解析〗法一：由，是关于x的方程的两个根，得，所以，所以.法二：由，是关于x的方程的两个根，得，所以，所以.故选：C.3.已知在等腰△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝，点D在线段BC上，且，则的值为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗设等腰△ABC在边上的高为，因为，所以，所以,所以，所以.故选:B.4.已知向量，，则是向量，夹角为钝角的（）A.充要条件 B.既不充分也不必要条件C.必要不充分条件 D.充分不必要条件〖答案〗C〖解析〗又因为向量，夹角为钝角所以满足所以且因为推不出且，所以充分性不成立又因为且能推出，所以必要性成立所以是向量，夹角为钝角的必要不充分条件故选：C5.一般地，声音大小用声强级（单位：dB）表示,其计算公式为：，其中I为声强，单位，若某种物体发出的声强为，其声强级约为（）（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由已知得().故选：A．6.“绿水青山，就是金山银山”，随着我国的生态环境越来越好，外出旅游的人越来越多.现有两位游客慕名来江苏旅游，他们分别从“太湖鼋头渚、苏州拙政园、镇江金山寺、常州恐龙园、南京夫子庙、扬州瘦西湖”这6个景点中随机选择1个景点游玩.记事件A为“两位游客中至少有一人选择太湖鼋头渚”，事件B为“两位游客选择的景点不同”，则（）A． B． C． D．〖答案〗D〖解析〗由题可得，,所以.故选D.7.已知函数，若函数在上恰有3个零点，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗令，则，解得或，即或，因函数在上恰有3个零点，所以，第一个不等式组解得，第二个不等式组解得所以所求取值范围为.故选：D.8.已知双曲线的左右焦点分别为、，过的直线与曲线的左右两支分别交于点，且，则曲线C的离心率为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗如图，设，因为,所以，由双曲线的定义得：，所以，，，，，所以，在中，，在中，因为，所以，即，所以故选：B二、选择题9.为庆祝江西籍航天员邓清明顺利从太空返航，邓清明家乡的某所中学举办了一场“我爱星辰大海”航天知识竞赛，满分100分，该校高一（1）班代表队6位参赛学生的成绩（单位：分）分别为：84，100，91，95，95，98，则关于这6位参赛学生的成绩.下列说法正确的是（）A．众数为95 B．中位数为93C．平均成绩超过93分 D．第分位数是91〖答案〗ACD〖解析〗将成绩按从小到大的顺序排序为：，对于A，95出现两次，其他数据只出现一次，所以众数为95，故A正确；对于B，中位数为第3,4个数据的平均数，为，故B错误；对于C，平均数为，故C正确；对于D，，所以第分位数是第二个数，为91，故D正确.故选：ACD.10.数列的通项为，它的前项和为，前项积为，则下列说法正确的是（）A.数列是递减数列 B.当或者时，有最大值C.当或者时，有最大值 D.和都没有最小值〖答案〗ABC〖解析〗因为数列的通项为，则，所以数列是以为首项，以为公差的等差数列，因为公差，所以数列是递减数列，故选项正确；因为，当时，；当时，，因为，所以当或者时，有最大值，故选项正确；由可知：，，，所以当或者时，有最大值，故选项正确；根据数列前30项为正数，从第31项开始为负数可知：无最小值，因为，当时，，但零乘任何数仍得零，所以有最小值，故选项错误，故选：.11.设为抛物线的焦点，点在上且在轴上方，点，，若，则（）A.抛物线的方程为B.点到轴的距离为8C.直线与抛物线相切D.三点在同一条直线上〖答案〗ACD〖解析〗抛物线的焦点，由，有，解得，所以抛物线的方程为，A选项正确；，点在抛物线上且在轴上方，到焦点距离为8，到准线距离也为8，所以点到轴的距离为6，B选项错误；点在抛物线上且在轴上方，到轴的距离为6，有点横坐标为6，代入抛物线方程，可得，则直线的方程为，由消去得，，所以直线与抛物线相切，C选项正确；由，，，得，则三点在同一条直线上，D选项正确.故选：ACD.三、填空题12.已知直线与圆交于两点，则__________；若P是圆C上的一点，则面积的最大值是__________．〖答案〗〖解析〗由题意可知圆的圆心坐标为，半径，则圆心到直线的距离，故；因为是圆上的一点，所以点到直线距离的最大值为，所以面积的最大值是．故〖答案〗为：；．13.《九章算术》是《算经十书》中最重要的一部，全书总结了战国、秦、汉时期的数学成就，内容十分丰富，在数学史上有其独到的成就．在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称之为“鳖臑”，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”．如图，几何体P－ABCD为一个阳马，其中平面ABCD，若，，，且PD＝AD＝2AB＝4，则几何体EFGABCD的外接球表面积为______．〖答案〗〖解析〗设，连接.依题意，四边形是矩形，所以，由于平面，平面，所以，由于平面，所以平面，由于平面，所以，由于，平面，所以面，由于平面，所以.同理可证得，由于，所以都是以为斜边的直角三角形，所以几何体外接球球心是，且半径，所以外接球的表面积为.故〖答案〗为：14.已知的三个内角所对的边分别为，且，则面积的最大值是________；若分别为的内切圆和外接圆半径，则的范围为_________________．〖答案〗.〖解析〗因在三角形中，则由三角形三边关系可得，又利用余弦定理有：，又，则.得，当且仅当，即时取等号.则面积的最大值是；对于第二空，因，则，又，则，因，则.令，其中，因，则在上单调递增，故，得.故〖答案〗为：；.四、解答题15．如图，三棱柱的侧棱长为，底面是边长为2的等边三角形，分别是的中点，．（1）求证：侧面是矩形；（2）若，求直线与平面所成角的余弦值．（1）证明：由题意是的中点，连接，由已知为等边三角形，所以．由已知,平面,所以平面又平面ADE，故，因为，所以，又侧面为平行四边形，所以侧面是矩形（2）解：取中点O，连接，由已知得，底面是边长为2的等边三角形，则，因为，E为的中点，所以，是等边三角形．故，由（1）知平面，平面,所以是，平面,所以⊥平面．以O为原点，过点O作的平行线作为x轴，以所在直线为y轴，z轴建立空间直角坐标系，如上图，故，所以，设平面的法向量为，则，故，取，则，设直线与平面所成角为，则，故，所以直线与平面所成角的余弦值为.16．已知，为椭圆：的左、右焦点.点为椭圆上一点，当取最大值时，.（1）求椭圆的方程；（2）点为直线上一点（且不在轴上），过点作椭圆的两条切线，，切点分别为，，点关于轴的对称点为，连接交轴于点.设，的面积分别为，，求的最大值.解：（1）依题意有当为椭圆短轴端点时最大，此时，则为正三角形，则且，又，，，故椭圆方程为.（2）设，，，若，则切线方程为，若，则在处的切线的斜率必定存在，设该切线的方程为，由可得，整理得，故，整理得到：，故，故切线方程为：，故：，综上，：，同理：因，都过点，则，则方程为，即过定点.故设方程为，，联立，，，又直线方程为：，令得，当且仅当即，时取等号故最大值为.17．现有一种射击训练，每次训练都是由高射炮向目标飞行物连续发射三发炮弹，每发炮弹击中目标飞行物与否相互独立．已知射击训练有A，B两种型号的炮弹，对于A型号炮弹，每发炮弹击中目标飞行物的概率均为p（），且击中一弹目标飞行物坠毁的概率为0.6，击中两弹目标飞行物必坠段；对子B型号炮弹，每发炮弹击中目标飞行物的概率均为q（），且击中一弹目标飞行物坠毁的概率为0.4，击中两弹目标飞行物坠毁的概率为0.8，击中三弹目标飞行物必坠毁．（1）在一次训练中，使用B型号炮弹，求q满足什么条件时，才能使得至少有一发炮弹命中目标飞行物的概率不低于；（2）若，试判断在一次训练中选用A型号炮弹还是B型号炮弹使得目标飞行物坠毁的概率更大？并说明理由．解：（1）因为每次训练都是由高射炮向目标飞行物连续发射三发炮弹，每发炮弹击中目标飞行物与否相互独立，所以在一次训练中，连发三发B型号炮弹，用表示命中目标飞行物的炮弹数，则（服从二项分布），则，即，则，即，则，又，故，所以当时，才能使得至少有一发炮弹命中目标飞行物的概率不低于.（2）在一次训练中，连发三发A型号炮弹，用表示命中目标飞行物的炮弹数，则（服从二项分布），记事件为“使用A型号炮弹使得目标飞行物坠毁”，事件为“使用B型号炮弹使得目标飞行物坠毁”，则，，因为，所以，则，令，则，令，即，则，得，又，所以恒成立，所以在上单调递增，又，则，故，即，所以使用B型号炮弹使得目标飞行物坠毁的概率更大.18．已知函数.（1）若，求实数的取值范围.（2）求证：.（1）解：因为，则，即，反之当时，，令，则，设，由于在单调递增，且，所以当时，，即，当时，即，所以在上单调递减，在上单调递增.所以，即，所以.（2）证明：由（1）可知：①下面证明当时，②等价于，设，当时，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减,所以，所以②式成立，由①､②可得：，当时取到“”，取有，，所以，不等式成立.19．约数，又称因数.它的定义如下：若整数除以整数除得的商正好是整数而没有余数，我们就称为的倍数，称为的约数.设正整数共有个正约数，即为.（1）当时，若正整数的个正约数构成等比数列，请写出一个的值；（2）当时，若构成等比数列，求正整数；（3）记，求证：.（1）解：当时正整数的4个正约数构成等比数