2023年中考九年级数学提高练习-扇形面积的计算

2023年中考九年级数学高频考点拔高训练一扇形面积的计算

1.如图，在aABC中，BE是它的角平分线，ZC=90o,D在AB边上，以DB为直径的半圆O经

过点E,交BC于点F.

(1)求证：AC是。O的切线;

(2)已知SinA=④,。。的半径为4,求图中阴影部分的面积.

2.如图线段AB的端点在边长为1的小正方形网格的格点上，现将线段AB绕点A按逆时针方向旋

转90。得到线段AC.

(1)请你在所给的网格中画出线段AC及点B经过的路径；

(2)若将此网格放在一平面直角坐标系中，己知点A的坐标为(1,3),点B的坐标为(-2,-1),

则点C的坐标为；

(3)线段AB在旋转到线段AC的过程中，线段AB扫过的区域的面积为；

(4)若有一张与⑶中所说的区域形状相同的纸片，将它围成一个几何体的侧面，则该几何体底面

圆的半径长为.

3.如图，AB是。O的直径，C是AB延长线上一点，CD与。。相切于点E,ADLCD于点D.

OB

(1)求证：AE平分/DAC；

(2)若AB=4,ZABE=60o.

①求AD的长；

②求出图中阴影部分的面积.

4.有一个直径为Im的圆形铁皮，要从中剪出一个最大的圆心角为90。的扇形ABC,如图所示.

(1)求被剪掉阴影部分的面积：

(2)用所留的扇形铁皮围成一个圆锥，该圆锥的底面圆的半径是多少？

5.如图，在aABC中，ZC=90o,以点C为圆心,CA长为半径的圆交AB于点D.

(1)若ZB=28。，求的的度数;

(2)若D是AB的中点，AB=4,求阴影部分的面积;

(3)若∕C=2√I,求An∙AB的值.

6.如图，AB是圆O的直径，弦AC=2,NABC=30。.

(1)求证：驼=2#C

(2)求图中阴影部分的面积.

7.如图，在RtAABC中，ZC=90o,/BAC的平分线AD交BC边于点D.以AB上一点O为圆

心作。O,使。O经过点A和点D.

(1)判断直线BC与。O的位置关系，并说明理由.

(2)若AC=3,/B=30。，①求。O的半径；②设。O与AB边的另一个交点为E,求线段

BD,BE与劣弧DE所围成的阴影部分的面积.(结果保留根号和π)

8.如图，AB是。。的直径，弦AD平分NBAC,DE,AC交AC的延长线于点E.

(1)求证：DE是。O的切线；

(2)若AD=BC,OO半径为6,求NCAD与CD围成的阴影部分的面积.

9.如图，在RtAABC中，ZC=90o,NBAC的角平分线AD交BC边于D.以AB上某一点O为圆

心作。0,使。O经过点A和点D.

(I)判断直线BC与。。的位置关系，并说明理由；

(2)若AC=3,ZB=30°.

①求。O的半径；

②设。。与AB边的另一个交点为E,求线段BD、BE与劣弧DE所围成的阴影部分的图形面

积.(结果保留根号和π)

10.如图，已知AB是(DO的直径，C,D是。O上的点，OC〃BD,交AD于点E,连结BC.

D

R

(1)求证：AE=ED;

(2)若AB=8,ZCBD=30o,求图中阴影部分的面积.

11.如图，AB为半圆O的直径，AC是。O的一条弦，D为弧"的中点，作CEIAC,交ZB的延长

线于点F,连接DA

(1)求证：EF为半圆O的切线;

(2)若NBAC=60。，CE=1,求。O的半径.

若ZM=OF=6√5,求阴影区域的面积.(结果保留根号和兀)

12.如图，在平面直角坐标系XOy中，经过C(1,1)的抛物线y=aχ2+bx+c(a>0)顶点为M,与

X轴正半轴交于A,B两点.

(1)如图1,连接OC,将线段OC绕点O逆时针旋转使得C落在y轴的正半轴上，求线段OC

过的面积;

(2)如图2,延长线段OC至N,使得ON=√2OC,若NoNA=NoBN且tanNBAM=

孚，求抛物线的解析式;

(3)如图3,已知以直线X=I为对称轴的抛物线y=aχ2+bx+c交y轴于(0,5),交直线1：y

=kx+m(k>0)于C,D两点，若在X轴上有且仅有一点P,使NCPD=90。，求k的值.

13.如图，在RtaABC中，ZB=90o,/BAC的平分线AD交BC于点D,点E在Ae上，以AE

为直径的。O经过点D.

(1)求证：①BC是。。的切线；(2)CD2=CE∙CA;

(2)若点F是劣弧AD的中点，且CE=3,试求阴影部分的面积.

14.如图，在矩形ABCD中，点E在边CB延长线上，AGlAE,交BC延长线于点G,边AG,

DC交于点F,CF=BE,以AD为半径的。D交边BG于点P,Q,交AG于点M,延长DM交边

(2)若AD=6,ZE=70o,求扇形ADM的面积.

(3)延长DC交。D于点H,且CH=NG,记AB=x,四边形AECF的面积为S,求S关于X的

函数表达式.

15.如图，点A在。O上，点P是。。外一点，PA切。O于点A,连接OP交。O于点D,作

AB_LOP于点C,交。O于点B,连接PB.

(1)求证：PB是。O的切线;

(2)若PC=9,AB=6√3,

①求图中阴影部分的面积；

16.如图，在平面直角坐标系中，点4、B、C的坐标分别为(-1,3)、(-4,1)、(-2,1),

先将AABC沿一确定方向平移得到,点B的对应点B1的坐标是(1,2),再将

ΔA1B1C1绕原点。顺时针旋转90°得到ZM2B2C2，点4的对应点为点A2.

(1)画出AA1B1C1和ΔA2B2C2;

(2)求出在这两次变换过程中，点A经过点Al到达A2的路径总长;

(3)求线段BlCl旋转到B2C2所扫过的图形的面积.

答案解析部分

1.【答案】（1）解：连接OE.

.∙.ZOBE=ZOEB

•；BE是/ABC的角平分线

.*.ZOBE=ZEBC

ΛZOEB=ZEBC

Λ0EBC

∙/ZC=90o

ΛZAEO=ZC=90o

.∙.AC是。O的切线

(2)解:连接OF.

VOO的半径为4,.∙.AO=2OE=8,

ΛAEM√3，ZAOE=60o,ΛAB=12,

.".BC=ɪAB=6,AC=6√3,

.∙.CE=AC-AE=2√3.

VOB=OF,ZABC=60o,

Λ∆OBF是正三角形.

ΛZFOB=60o,CF=6-4=2,ΛZEOF=60o.

二S楠柩OECF=ɪ(2+4)×2√3=6√3.

2

S画形EOF=60兀X48π

3603

8

-

•∙S阴影超分=S悌形C)ECF^S阚形EOF=6√33Tr

2.【答案】(1)解：线段AB绕点A按逆时针方向旋转90。得到线段AC.线段AC及点B经过的路

径是一段弧，根据弧长公式计算路径；

(2)(5,0)

/a\25

(3)才兀

(4)⅞

4

3.【答案】(1)证明：连接OE。YCD是。O的切线,

ΛOEICD«

VAD±CD,，AD〃OE。，/DAE=/AEO。

VOA=OE,ΛZEAO=ZAEOO

NDAE=NEA00.∙.AE平分NDAC。

(2)解：①YAB是。0的直径，ΛZAEB=90ooVZABE=60o,ΛZEAO=30%

，/DAE=/EAO=30。。

：AB=6,，在RtAABE中，BE=^AB=3,AE=3√3

在Rt∆ADE中，∙.∙NDAE=30。,AE=3√3,：＞AD=ΛEcos30o=3√3×|。

②连接OE,.∙ZEAO=ZAEO=30o,.".∆AOE=180o-∆EAO-∆AEO=1800-30°-30°=

o

120o

'∙^OA=OB,∙∙SΔAOE=SΔBOE=^SΔABE。

:∙S阴影=S扇形AoE-SΔAOE=S扇形AOE-^SΔABE="需9-∣∙∣∙3∙3√3=3π-1√3

4.【答案】(1)解：如图，连接BC,

VZBAC=90o,

.∙.BC为。O的直径，即BC=Im,

又「AB=AC,

∙,√2√2

•∙A2Br=~2~DβCr=ɪ・

一C一万乂r√90τrx（劣］兀（平方米）

S阴影部分_S00_兀X（2）360-—8

（2）解：设底面圆的半径为r,则/.2兀.孝=2仃，

•√2

•∙r=-ʒ-TT・

O

圆锥的底面圆的半径长为噂米.

O

5.【答案】（1）解：连接CD,如图，

VZACB=90o,ZB=28o,

工ZBAC=90o-28o=62o,

VCA=CD,

JNCDA=NCAD=62。，

/.ZACD=180o-62o-62o=56o,

・•・&D的度数为56。；

（2）解:∙,∙D是AB的中点，ZACB=90o,

ΛCD=AD=BD=∣AB=2,

VCD=CA,

・・・ZkACD为等边三角形，

・•・ZACD=60o,

・•・阴影部分的面积=S^ACD-S∆ACD

=60X71X2273Q2

-360T2

_V3

(3)解：过点C作CH_LAD于H,

λB

ΛAH=DH=AAD,

VZACB=90o,CHlAB,

ΛZACB=ZAHC,

VZA=ZA,

Λ∆ACH^∆ABC,

ΛAC:AB=AH:AC,

ΛAC2=AH-AB,

即(2√3)2=∣AD∙AB,

ΛAD∙AB=24.

6.【答案】(1)证明：YAB是圆O的直径,

ΛZACB=90o,

VZABC=30o,

.β.ZCAB=60o

・・・弧AC的度数为：2×30o=60o

弧BC的度数为：2×60o=120o

:反=2品

(2)解：连结OC,过点O作ODlBC于点D,

在RtZkABC中，AC=2,ZABC=30o,，AB=2AC=4,BC=2√3

在Rt△BOD中，OD=ɪBO=I,.∙.SABOC=∣BCOD=√3

2

∙,∙S阴影部分=S扇形OBC-S△Boc=12002----/ɜ=也_ʌ/ɜ

360373

7.【答案】(1)解：相切.理由如下：如图,

■•八Λ

=ZCAD.

VOA=OD,ΛZODA=ZBAD,ΛZODA=ZCAD,，OD〃AC.又∕C=90°,ΛOD±BC,ΛBC

与。O相切

(2)解：①在Rt∆ACB和Rt∆ODB中，

VAC=3,ZB=30o,ΛAB=6,0B=20D.

又OA=OD=r,.∙.0B=2r,.∖2r+r=6,解得r=2,即Θθ的半径是2.

②由①得0D=2,贝IJOB=4,BD=2√3,

阴彩=SABDo-SsmCDE=B×2√3×2-喑=28-

8.【答案】（1）解：直线DE与。O相切，理由如下：连接OD,如图所示:

VAD平分NBAC,：・ZEAD=ZOAD,VOA=OD,

ΛZODA=ZOAD,ΛZODA=ZEAD,.∙.EA〃OD,・.・DE±EA,ΛDE±OD,又•1点

D在。O上，・•・直线DE与（DO相切

D

(2)解：连接CD,OC.VAD=BC,/.弧AD=弧BC,/.弧AC=

弧BD,：弧CD=弧BD,/.弧AC=弧CD=弧BD,ΛZCOD=ZBOD=60o,

VOC=OD,；.△COD是等边三角形，ΛZCDO=ZDOB≈60o,ΛCD√AB,

2

.∙.SAACD=SACOD,.∙.NCAD与弧CD围成的阴影部分的面积=扇形COD的面积==6π

9.【答案】（1）解：（1）直线BC与。O相切；

连结OD,如图所示，

VOA=OD,

ΛZOAD=ZODA,：NBAC的角平分线AD交BC边于D,ΛZCAD=ZOAD,

二/CAD=NODA,ΛOD/7AC,ΛZODB=ZC=90o,B∣JODlBC.又：直线BC过半径OD的外

端，

.∙.直线BC与。O相切.

(2)解：①设OA=OD=r,在RtABDO中，ZB=30o,ΛOB=2r,在RtZkACB中，ZB=30o,

.∖AB=2AC=6,3r=6,解得12.

②在RtΔACB中，ZB=30o,

,π,,-

*∙NBoD=60。.S扇形ODE=‘°No?ɔj>所求图形面积为SΛBODS扇形ODE=28-■!兀，

10.【答案】（1）证明：∙.∙AB是圆O的直径,

ΛZADB=90°,

VOC#BD,

二NAEO=NADB=90°,即OCLAD,

ΛAE=ED

（2）解：连接AC、OD

由（1）WOC±AD,

^AC='CD

ΛAC=CD

VZCBD=30o

，NCOD=60。

.∖ZAOC=ZCOD=60o

ΛZAOD=120o

VAB=8

.∙.0A=0D=4

.∙.BD=4

ΛOE=10C=2

・_120O×7Γ×42_16

••、扇形AoD~3605=Tπ

^AD=y∣AB2-BD2=√82-42=4√3

VOC±AD

•∙S∕A0D=2X4^∖∕r3×2=4√3

：*S阴影=号—4声-

IL【答案】（1）证明：连接OD,

TD为弧BC的中点,

：.Z.CAD=∆BADf

9COA=OD,

ΛZ-BAD=∆ADOf

：.∆CAD=∆ADO,

：.ACHOD

'：DELAC,

：.0DIDE,即OD∙LEF

∙.∙OD是圆O的半径

∙∙∙EF为半圆O的切线；

(2)解：连接CB,CD,BD

・・・48是圆O的直径

.∖∆ACB=90°

：.BCLAC

^DELAC

：.BCHEF

由(1)得NCAD=∆BAD

^∆BAC=60°,

：.Z.CAD=∆BAD=30°

Y弧BD=瓠BD

LBCD=30°

LCDE=30°

・・・在RtACDE中，DE=-⅛=√3

tan30o

∖φ∆CAD=30°

.∖AD=2√3

ZBAD=30°

・4Γ1AD

•∙AB=----=4λ

cos30o

.∙.圆。的半径是2.

(3)解:连接。C,

E.

AOBF

∖9DA=DF,

BAD=乙F,

/.∆BAD=Z.F—∆CAD,

：Z.BAD+Z.CAD+ZF=90o,

ΛzF=30o,∆BAC=60o,

VOC=OA,

・・・A40C为等边三角形，

：.∆AOC=60o,Z.COB=120°,

VODLEF,∆F=30°,

LDOF=60°,

在RtZloDF中，DF=6√3,

ΛOD=DF∙tan30o=6,

在RtZL4E0中，DA=6√3,zCΛD=30°,

：.DE=Zλ4∙sin30o=3√3,EA=DA-cos30o=9,

VzCOD=180o-∆AOCYDoF=60%

由C。=DO,

.∙"COD是等边三角形，

.∖∆OCD=60°,

：.∆DCO=∆AOC=60°,

：.CDHAB,

故SZIACD=SMOD，

(总

•ς_cS—ɪVQ9V23/Q3-6°-72_27

•∙S阴影=SAAED-S扇形COD=2××V360ΓX6=ɪ-—6ττ.

12.【答案】(1)线段OC过的面积=嘉χχ(鱼)2=；τ

7tI;

(2)ON=√2OC=2,设点A、B的坐标分别为：(m,0)、(n,0),

/ONA=NOBN,则a0NAs∕∖0BN,则OAOB=ON2=%即mn=4…①,

则抛物线的表达式为：y=a(x-m)(χ-n),

过点M作MHLAB交AB于点H,函数的对称轴为：x=ɪ(m+n),

则MH=IyMI=-a(ɪ-m)(毕-n)=,

zz4

m+n

AaHtt=XM-XA=一2一-m

IanNBAM==ɪa(n-m)=,

AH22

化简得：a(n-m)=√17…②，

将(1,1)代入y=a(x-m)(x-n)并化简得：a(5-m-n)=1…③，

联立①②③并解得：m=2ziIZ,n=/,a=2,

则抛物线的表达式为y=a(x-m)(x-n)=a(x2-mx-nx+mn)=2x2-9x+8；

+b1

=5ɑ"1

+c=

-解得ðT

=-⅛-2-

=5-5

CC

故抛物线的表达式为：y=x2-5x÷5;

设点D（m,n）,n=m2-5m+5,而点C（1,1),

yn

则k=2-5m+5-l=m_4,

m—1

若在X轴上有且仅有一点P,使NCPD=90。,则过CD中点的圆R与X轴相切，设切点为P,

则点H（竽，粤）,则HP=HC,

即（zn+1-1）2+（唠-1）2=（竽

化简得：3m2-18m+19=0,

解得：m=3+孚（不合题意的值已舍去）,

k=m-4=21-3.

13.【答案】（1）证明：①连接OD,

B

：AD是NBAC的平分线，，NDAB=NDAO,

VOD=OA,.∙.NDA0=N0DA,

则NDAB=NoDA,

ΛDO/7AB,而NB=90°,

二NODB=90°,

.∙.BC是。O的切线；

②连接DE,

：BC是。O的切线，ΛZCDE=ZDAC,

NC=NC,Λ∆CDE<^ACAD,

ΛCD2=CE∙CA;

(2)解：连接DE、OD、DF、OF,设圆的半径为R,

：点F是劣弧AD的中点，.∙.是OF是DA中垂线，

ΛDF=AF,ΛZFDA=ZFAD,

VDO√AB,ΛZODA=ZDAF,

.∙./ADO=/DAO=ZFDA=ZFAD,

AAF=DF=OA=OD,

Λ∆OFD、△OFA是等边三角形，则DF〃AC,

故S阴影=S成形DFO,

ΛZC=30o,

ΛOD=ɪOC=ɪ(OE+EC),而OE=OD,

JCE=OE=R=3,

6°××β2=3π

S阴影=S扇形DFO=π

360T

14.【答案】(1)证明：VAG±AE,

ΛZEAG=90o,

・・♦四边形ABCD是矩形，

,/ABC=NBCD=90。，

JNABE=NFCG=90。，

，ZBAG+ZG=ZBAG÷ZBAE=90o,

ΛZG=ZBAE,

VCF=BE,

・•・△ABEdGCF(AAS),

ΛCG=AB;

(2)解：VZDAB=ZEAG=90o,

ΛZDAF=ZBAE,

在RtAABE中，VZE=70o,

ΛZBAE=20°,

ΛZDAF=20o,

，AD=DM=6,

ΛZDAF=ZDMA=20o,

ZADM=140°,

2

・•.扇形ADM的面积=14°τrx6=14π;

360

(3)解：V∆ABE^∆GCF,

•∙SΔABE~zS∆GCF,AB—■CG—-X9

・∙S=SAABG,

VAD=DM,

ΛZDAM=ZDMA,

VAD//CE,

ΛZG=ZDAM,

VZNMG=ZAMD,

ΛZG=ZNMG,

ΛMN=NG,

设CH=NG=y,

VAB=CD=X,

ΛCN=x-y,DH=AD=BC=x+y,DN=DM+MN=DH÷NG=x+y+y=x÷2y,

VDC2+CN2=DN2,

.∙.χ2+(x-y)2=(x+2y)2,

.∙.yι=(-ι+273)χ,y2=1-孥