2024年高考第二次模拟考试数学试题（新高考Ⅰ卷01）（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE12024年高考第二次模拟考试（新高考Ⅰ卷01）数学第Ⅰ卷一、单项选择题1．设集合，，则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因为，所以，即，因为，解得，所以，所以，.故选：D.2．已知复数满足，则在复平面内对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限〖答案〗C〖解析〗由，得，则复平面内对应的点位于第三象限.故选：C.3．底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2，高为3的正四棱锥，所得棱台的体积为（）A.26 B.28 C.30 D.32〖答案〗B〖解析〗由于，而截去的正四棱锥的高为，所以原正四棱锥的高为，所以正四棱锥的体积为，截去的正四棱锥的体积为，所以棱台的体积为.故选：B.4．双曲线E：的一条渐近线与圆相交于若的面积为2，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗双曲线的一条渐近线：，与圆相交于两点，圆的圆心，半径为2，圆心到直线的距离为：，弦长|可得：，整理得：，即，解得双曲线的离心率为．故选：C．5．已知，，，，则（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因为，，所以，，又因为，所以，所以，①+②得，②-①得，上述两式相除即可得，则，故选：C.6．为了贯彻落实《中共中央国务院关于深入打好污染防治攻坚战的意见》，某造纸企业的污染治理科研小组积极探索改良工艺，使排放的污水中含有的污染物数量逐渐减少．已知改良工艺前所排放废水中含有的污染物数量为，首次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量为，第次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量满足函数模型，其中为改良工艺前所排放的废水中含有的污染物数量，为首次改良工艺后所排放的废水中含有的污染物数量，为改良工艺的次数，假设废水中含有的污染物数量不超过时符合废水排放标准，若该企业排放的废水符合排放标准，则改良工艺的次数最少要（）（参考数据：）A.15次 B.16次 C.17次 D.18次〖答案〗B〖解析〗由题意知，当时，，故，，故，由得，即，则，而，故，故若该企业排放的废水符合排放标准，则改良工艺的次数最少要16次，故选：B7．若，则的大小关系为（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗由，可得，所以，故，所以，令，则，当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，即，所以，当且仅当时取等号，如图，作出函数的图象，由图可知，可知.故选：A.8．在数列中，，且，当时，，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因为，，所以，且当时，，所以，所以，所以.因为，所以，所以，故.故选：A.二、多项选择题9．下列说法正确的是（）A.数据的第45百分位数是4B.若数据的标准差为，则数据的标准差为C.随机变量服从正态分布，若，则D.随机变量服从二项分布，若方差，则〖答案〗BCD〖解析〗对于A中，数据从小到大排列为，共有8个数据，因为，所以数据的第45分位数为第4个数据，即为2，所以A不正确；对于B中，数据的标准差为，由数据方差的性质，可得数据的标准差为，所以B正确；对于C中，随机变量服从正态分布，且，根据正态分布曲线的对称性，可得，所以C正确；对于D中，随机变量服从二项分布，且，可得，解得或，当时，可得；当时，可得，综上可得，，所以D正确.故选：BCD.10．设函数的定义域为R，为奇函数，，，则（）A B.C. D.〖答案〗ABD〖解析〗由为奇函数，即函数的图象关于对称，又，则的图象关于对称，所以，则，为周期函数且周期为，B对．所以，A对．而，C错．由上可知，，所以，则，D对．故选：ABD．11．古希腊哲学家芝诺提出了如下悖论：一个人以恒定的速度径直从A点走向B点，要先走完总路程的三分之一，再走完剩下路程的三分之一，如此下去，会产生无限个“剩下的路程”，因此他有无限个“剩下路程的三分之一”要走，这个人永远走不到终点，由于古代人们对无限认识的局限性，故芝诺得到了错误的结论.设，这个人走的第n段距离为，这个人走的前n段距离总和为，则下列结论正确的有（）A.，使得 B.，使得C.，使得 D.，使得〖答案〗BC〖解析〗由已知得，，不难得到，，，所以A错误.走n段距离后，由得，两式相减化简得，当时，也符合，所以B正确.由可知是公比为，首项为的等比数列，，所以C正确，D错误.故选：BC12．过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点（点在第一象限），为线段的中点.若，则下列说法正确的是（）A.抛物线的准线方程为B.过两点作抛物线的切线，两切线交于点，则点在以为直径的圆上C.若为坐标原点，则D.若过点且与直线垂直的直线交抛物线于，两点，则〖答案〗BD〖解析〗对于A：由已知设过点的直线方程为，，联立方程，消去得，可得，又因为，所以，则，解得,所以抛物线方程为，准线方程为，A错误；对于B：抛物线，即，，易得，所以，故直线垂直，所以点在以为直径的圆上，B正确；对于C：由A项知，抛物线，直线的方程为，，联立方程，消去得，可得，，，解得，所以，所以，所以，即，所以，C错误；对于D：由C选项知，，因为直线垂直于直线，所以则，D正确.故选：BD.第Ⅱ卷三、填空题13．已知的展开式中常数项为20，则实数m的值为______．〖答案〗1〖解析〗展开式的通项为，令解得，∴．∴．故〖答案〗为：1.14.矩形中，，，且分为的中点，则___．〖答案〗〖解析〗以为坐标原点，建立如下图所示的平面直角坐标系，，所以，.故〖答案〗为：.15.已知函数，如图是直线与曲线的两个交点，若，则____________，____________．〖答案〗〖解析〗设，由可得，由可知，或，，由图可知，当时，，即，；当时，，即，；综上：；因为同一图象对应的〖解析〗式是一样的，所以此时不妨设，则，因为，所以，即，．所以，所以或，又因为，所以，．故〖答案〗为：；.16．已知直四棱柱的所有棱长均为4，，以为球心，为半径的球面与侧面的交线长为__________．〖答案〗〖解析〗如图：取的中点,连接，结合题意：易得为等边三角形，因为为的中点，所以因为在直四棱柱中有面,且面，所以,又因,且面所以面，结合球的性质可知为该截面圆的圆心，因为直四棱柱的所有棱长均为4，，所以,,,,故以为球心，为半径的球面与侧面的交线为：以为圆心,为半径的圆所成的圆弧.所以.故〖答案〗为:.四、解答题17．记为数列的前项和，若，.（1）求；（2）若，求数列的前项和.解：（1）由题设，则，又，故是首项为3，公差为2的等差数列，所以，则.（2）由（1）得，所以18.已知是圆锥的底面直径，C是底面圆周上的一点，，平面和平面将圆锥截去部分后的几何体如图所示．（1）证明：平面；（2）求二面角的余弦值．（1）证明：为底面圆周上一点，，又，又为中点，，又底面，底面，，又底面，平面．（2）解：底面，底面，所以，又因为，所以以为原点，分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，因为，，，设平面的一个法向量，，而平面的一个法向量，设二面角平面角为，显然为锐角，．19．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，.（1）求角A；（2）作角A的平分线与交于点，且，求.解：（1）因，由正弦定理可得：，即.因，故，则有，即，因，故（2）因为为角平分线，所以，所以因，，，则，即，所以.又由余弦定理可得：把，分别代入化简得：，解得：或（舍去），所以.20．为考察药物对预防疾病以及药物对治疗疾病的效果，科研团队进行了大量动物对照试验.根据100个简单随机样本的数据，得到如下列联表：（单位：只）药物疾病未患病患病合计未服用301545服用451055合计7525100（1）依据的独立性检验，分析药物对预防疾病的有效性；（2）用频率估计概率，现从患病的动物中用随机抽样的方法每次选取1只，用药物进行治疗.已知药物的治愈率如下：对未服用过药物的动物治愈率为，对服用过药物的动物治愈率为.若共选取3次，每次选取的结果是相互独立的.记选取的3只动物中被治愈的动物个数为，求的分布列和数学期望.附：，0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.828解：（1）零假设为:药物对预防疾病无效果，根据列联表中的数据，经计算得到,根据小概率值的独立性检验，我们推断零假设成立，即认为药物对预防疾病没有效果.（2）设A表示药物的治愈率，表示对未服用过药物,表示服用过药物由题，，，且，，.药物的治愈率，则，所以，，，，X的分布列如下表所示X0123P．21．在平面直角坐标系xOy中，动点M到点的距离与到直线的距离之比为．（1）求动点M轨迹W的方程；（2）过点F的两条直线分别交W于A，B两点和C，D两点，线段AB，CD的中点分别为P，Q．设直线AB，CD的斜率分别为，，且，试判断直线PQ是否过定点．若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由．解：（1）设点M的坐标为，由题意可知，，化简整理得，W的方程为．（2）由题意知，设直线AB的方程为，与W的方程联立可得，，设，，由韦达定理得，，则，所以，点P的坐标为．同理可得，Q的坐标为．所以，直线PQ的斜率为，所以，直线PQ的方程为，即，又，则，所以直线PQ的方程即为，所以，直线PQ过定点．22．已知函数（），为的导函数，.（1）若，求在上的最大值；（2）设，，其中.若直线的斜率为，