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文档简介
江苏省海门市2024年高三最后一卷数学试卷考生须知:1.全卷分选择题和非选择题两部分,全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂;非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.的内角的对边分别为,若,则内角()A. B. C. D.2.函数的大致图象为A. B.C. D.3.已知椭圆的左、右焦点分别为,,上顶点为点,延长交椭圆于点,若为等腰三角形,则椭圆的离心率A. B.C. D.4.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数(即质数)的和”,如,.在不超过20的素数中,随机选取两个不同的数,其和等于20的概率是()A. B. C. D.以上都不对5.若实数满足不等式组,则的最大值为()A. B. C.3 D.26.已知各项都为正的等差数列中,,若,,成等比数列,则()A. B. C. D.7.当输入的实数时,执行如图所示的程序框图,则输出的不小于103的概率是()A. B. C. D.8.如图,是圆的一条直径,为半圆弧的两个三等分点,则()A. B. C. D.9.某个小区住户共200户,为调查小区居民的7月份用水量,用分层抽样的方法抽取了50户进行调查,得到本月的用水量(单位:m3)的频率分布直方图如图所示,则小区内用水量超过15m3的住户的户数为()A.10 B.50 C.60 D.14010.的展开式中的系数为()A. B. C. D.11.函数的图象向右平移个单位得到函数的图象,并且函数在区间上单调递增,在区间上单调递减,则实数的值为()A. B. C.2 D.12.已知点是双曲线上一点,若点到双曲线的两条渐近线的距离之积为,则双曲线的离心率为()A. B. C. D.2二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.正方形的边长为2,圆内切于正方形,为圆的一条动直径,点为正方形边界上任一点,则的取值范围是______.14.下图是一个算法流程图,则输出的的值为__________.15.根据如图的算法,输出的结果是_________.16.已知复数对应的点位于第二象限,则实数的范围为______.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)设数列是公差不为零的等差数列,其前项和为,,若,,成等比数列.(1)求及;(2)设,设数列的前项和,证明:.18.(12分)已知在ΔABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且cosB(1)求b的值;(2)若cosB+3sin19.(12分)一张边长为的正方形薄铝板(图甲),点,分别在,上,且(单位:).现将该薄铝板沿裁开,再将沿折叠,沿折叠,使,重合,且重合于点,制作成一个无盖的三棱锥形容器(图乙),记该容器的容积为(单位:),(注:薄铝板的厚度忽略不计)(1)若裁开的三角形薄铝板恰好是该容器的盖,求,的值;(2)试确定的值,使得无盖三棱锥容器的容积最大.20.(12分)三棱柱中,平面平面,,点为棱的中点,点为线段上的动点.(1)求证:;(2)若直线与平面所成角为,求二面角的正切值.21.(12分)已知函数.(1)若关于的不等式的整数解有且仅有一个值,当时,求不等式的解集;(2)已知,若,使得成立,求实数的取值范围.22.(10分)已知正项数列的前项和.(1)若数列为等比数列,求数列的公比的值;(2)设正项数列的前项和为,若,且.①求数列的通项公式;②求证:.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】
由正弦定理化边为角,由三角函数恒等变换可得.【详解】∵,由正弦定理可得,∴,三角形中,∴,∴.故选:C.【点睛】本题考查正弦定理,考查两角和的正弦公式和诱导公式,掌握正弦定理的边角互化是解题关键.2、A【解析】
因为,所以函数是偶函数,排除B、D,又,排除C,故选A.3、B【解析】
设,则,,因为,所以.若,则,所以,所以,不符合题意,所以,则,所以,所以,,设,则,在中,易得,所以,解得(负值舍去),所以椭圆的离心率.故选B.4、A【解析】
首先确定不超过的素数的个数,根据古典概型概率求解方法计算可得结果.【详解】不超过的素数有,,,,,,,,共个,从这个素数中任选个,有种可能;其中选取的两个数,其和等于的有,,共种情况,故随机选出两个不同的数,其和等于的概率.故选:.【点睛】本题考查古典概型概率问题的求解,属于基础题.5、C【解析】
作出可行域,直线目标函数对应的直线,平移该直线可得最优解.【详解】作出可行域,如图由射线,线段,射线围成的阴影部分(含边界),作直线,平移直线,当过点时,取得最大值1.故选:C.【点睛】本题考查简单的线性规划问题,解题关键是作出可行域,本题要注意可行域不是一个封闭图形.6、A【解析】试题分析:设公差为或(舍),故选A.考点:等差数列及其性质.7、A【解析】
根据循环结构的运行,直至不满足条件退出循环体,求出的范围,利用几何概型概率公式,即可求出结论.【详解】程序框图共运行3次,输出的的范围是,所以输出的不小于103的概率为.故选:A.【点睛】本题考查循环结构输出结果、几何概型的概率,模拟程序运行是解题的关键,属于基础题.8、B【解析】
连接、,即可得到,,再根据平面向量的数量积及运算律计算可得;【详解】解:连接、,,是半圆弧的两个三等分点,,且,所以四边形为棱形,.故选:B【点睛】本题考查平面向量的数量积及其运算律的应用,属于基础题.9、C【解析】从频率分布直方图可知,用水量超过15m³的住户的频率为,即分层抽样的50户中有0.3×50=15户住户的用水量超过15立方米所以小区内用水量超过15立方米的住户户数为,故选C10、C【解析】由题意,根据二项式定理展开式的通项公式,得展开式的通项为,则展开式的通项为,由,得,所以所求的系数为.故选C.点睛:此题主要考查二项式定理的通项公式的应用,以及组合数、整数幂的运算等有关方面的知识与技能,属于中低档题,也是常考知识点.在二项式定理的应用中,注意区分二项式系数与系数,先求出通项公式,再根据所求问题,通过确定未知的次数,求出,将的值代入通项公式进行计算,从而问题可得解.11、C【解析】由函数的图象向右平移个单位得到,函数在区间上单调递增,在区间上单调递减,可得时,取得最大值,即,,,当时,解得,故选C.点睛:本题主要考查了三角函数图象的平移变换和性质的灵活运用,属于基础题;据平移变换“左加右减,上加下减”的规律求解出,根据函数在区间上单调递增,在区间上单调递减可得时,取得最大值,求解可得实数的值.12、A【解析】
设点的坐标为,代入椭圆方程可得,然后分别求出点到两条渐近线的距离,由距离之积为,并结合,可得到的齐次方程,进而可求出离心率的值.【详解】设点的坐标为,有,得.双曲线的两条渐近线方程为和,则点到双曲线的两条渐近线的距离之积为,所以,则,即,故,即,所以.故选:A.【点睛】本题考查双曲线的离心率,构造的齐次方程是解决本题的关键,属于中档题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】
根据向量关系表示,只需求出的取值范围即可得解.【详解】由题可得:,故答案为:【点睛】此题考查求平面向量数量积的取值范围,涉及基本运算,关键在于恰当地对向量进行转换,便于计算解题.14、3【解析】
分析程序中各变量、各语句的作用,根据流程图所示的顺序,即可得出结论.【详解】解:初始,第一次循环:;第二次循环:;第三次循环:;经判断,此时跳出循环,输出.故答案为:【点睛】本题考查了程序框图的应用问题,解题的关键是对算法语句的理解,属基础题.15、55【解析】
根据该For语句的功能,可得,可得结果【详解】根据该For语句的功能,可得则故答案为:55【点睛】本题考查For语句的功能,属基础题.16、【解析】
由复数对应的点,在第二象限,得,且,从而求出实数的范围.【详解】解:∵复数对应的点位于第二象限,∴,且,∴,故答案为:.【点睛】本题主要考查复数与复平面内对应点之间的关系,解不等式,且是解题的关键,属于基础题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1),;(2)证明见解析.【解析】
(1)根据题中条件求出等差数列的首项和公差,然后根据首项和公差即可求出数列的通项和前项和;(2)根据裂项求和求出,根据的表达式即可证明.【详解】(1)设的公差为,由题意有,且,所以,;(2)因为,所以,.【点睛】本题主要考查了等差数列基本量的求解,裂项求和法,属于基础题.18、(1)b=32【解析】试题分析:(1)本问考查解三角形中的的“边角互化”.由于求b的值,所以可以考虑到根据余弦定理将cosB,cosC分别用边表示,再根据正弦定理可以将sinAsinC转化为ac,于是可以求出b的值;(2)首先根据sinB+3cosB=2求出角B的值,根据第(1)问得到的b值,可以运用正弦定理求出ΔABC外接圆半径R,于是可以将a+c转化为2RsinA+2R试题解析:(1)由cosB应用余弦定理,可得a2化简得2b=3则b=(2)∵cos∴12cos∵B∈(0,π)∴B+π6=法一.∵2R=b则a+c==sin=3=3sin又∵0<A<2π3,法二因为b=32得34又因为ac≤(a+c2)2所以34=(a+c)∴a+c≤3又由三边关系定理可知综上a+c∈(考点:1.正、余弦定理;2.正弦型函数求值域;3.重要不等式的应用.19、(1),;(2)当值为时,无盖三棱锥容器的容积最大.【解析】
(1)由已知求得,求得三角形的面积,再由已知得到平面,代入三棱锥体积公式求的值;(2)由题意知,在等腰三角形中,,则,,写出三角形面积,求其平方导数的最值,则答案可求.【详解】解:(1)由题意,为等腰直角三角形,又,,恰好是该零件的盖,,则,由图甲知,,,则在图乙中,,,,又,平面,平面,;(2)由题意知,在等腰三角形中,,则,,.令,,,.可得:当时,,当,时,,当时,有最大值.由(1)知,平面,该三棱锥容积的最大值为,且.当时,取得最大值,无盖三棱锥容器的容积最大.答:当值为时,无盖三棱锥容器的容积最大.【点睛】本题考查棱锥体积的求法,考查空间想象能力与思维能力,训练了利用导数求最值,属于中档题.20、(1)见解析;(2)【解析】
(1)可证面,从而可得.(2)可证点为线段的三等分点,再过作于,过作,垂足为,则为二面角的平面角,利用解直角三角形的方法可求.也可以建立如图所示的空间直角坐标系,利用两个平面的法向量来计算二面角的平面角的余弦值,最后利用同角三角函数的基本关系式可求.【详解】证明:(1)因为为中点,所以.因为平面平面,平面平面,平面,所以平面,而平面,故,又因为,所以,则,又,故面,又面,所以.(2)由(1)可得:面在面内的射影为,则为直线与平面所成的角,即.因为,所以,所以,所以,即点为线段的三等分点.解法一:过作于,则平面,所以,过作,垂足为,则为二面角的平面角,因为,,,则在中,有,所以二面角的平面角的正切值为.解法二:以点为原点,建立如图所示的空间直角坐标系,则,设点,由得:,即,,,点,平面的一个法向量,又,,设平面的一个法向量为,则,令,则平面的一个法向量为.设二面角的平面角为,则,即,所以二面角的正切值为.【点睛】线线垂直的判定可由线面垂直得到,也可以由两条线所成的角为得到,而线面垂直又可以由面面垂直得到,解题中注意三种垂直关系的转化.空间中的角的计算,可以建立空间直角坐标系把角的计算归结为向量的夹角的计算,也可以构建空间角,把角的计算归结平面图形中的角的计算.21、(1)(2)【解析】
(1)求解不等式,结合整数解有且仅有一个值,可得,分类讨论,求解不等式,即得解;(2)转化,使得成立为,利用不等式性质,求解二次函数最小值,代入解不等式即可.【详解】(1)不等式,即,所以,由,解得.因为,所以,当时,,不等式等价于或或即或或,故,故不等式的解集为.(2)因为,由,可得,又由,使得成立,则,解得或.故实数的取值范围为.【点睛】本题考查了绝对值不等式的求解和恒成立问题,考查了学生转化划归,分类讨论,数学运算的能力,属于中档题.22、(1);(2)①;②详见解析.【解析】
(1)依题意可表示,,相减得,由等比数列通项公式转化为首项与公比,解得答案,并由其都是正项数列舍根;(2)①由题意可表示,,两式相减得,由其都是正项并整理可得递推关系,由等差数列的通项公式即可得答案;②由已知关系,表示并相减即可
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