新版高中数学北师大版必修2习题第一章立体几何初步1.7.2

7.2柱、锥、台的体积1.一长方体过同一顶点的三个面的面积分别为2,6和9,则该长方体的体积为()A.7 B.8 C.36 D.63解析:设该长方体过同一个顶点的三条棱长分别为a,b,c,由题意有ab则体积V=abc=abbcca=63,故选D.答案:D2.把半径为R的半圆形纸片卷成一个圆锥,则所得圆锥的体积是()A.324πR3 B.38πR3 C.524πR3 D.5解析:设圆锥的底面半径为r,母线长为l,则l=R,2πr=12·2πR,∴r=R2.∴圆锥的高h=3∴圆锥的体积V=13·πr2·h=324πR答案:A3.如图所示为直三棱柱ABCA'B'C',它的高为3,底面为边长是1的正三角形,则三棱锥B'ABC的体积为()A.14B.12C.36解析:∵BB'⊥平面ABC,∴VB'ABC=13S△ABC·BB'=13×34答案:D4.一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为()A.2π+23 B.4π+23 C.2π+233 D.4π解析:先根据三视图得到几何体的形状,再根据柱体、锥体的体积公式计算即可.该几何体是组合体,下面是底面直径为2、高为2的圆柱,上面是底面边长为2,侧棱长为2的正四棱锥,该正四棱锥的高为3,所以该几何体的体积为2π+13×(2)2×3=2π+2答案:C5.若圆柱的侧面展开图是长为12,宽为8的矩形,则这个圆柱的体积为()A.288π B.192π C.288π或解析:分两种情况,①当12为底面周长时,有2πr=12,即r=6π,则V=π6π2×8②当8为底面周长时,有2πr=8,即r=4π则V=π4π2×12=答案:C6.棱长为a的正方体,连接相邻面的中心,以这些线段为棱的八面体的体积为()A.a33 B.a34 C.解析:此八面体可分成上、下两个全等的正四棱锥,底边长为22a,高为a2,所以V=2×答案:C7.在棱长为1的正方体中,分别用过共顶点的三条棱中点的平面去截该正方体,则截去8个三棱锥后,剩下的几何体的体积是.

解析:V正方体8V三棱锥=18×13答案:58.已知一个四棱锥的底面是平行四边形,该四棱锥的三视图如图所示(单位:m),则该四棱锥的体积为m3.

解析:由三视图知四棱锥高为3,底面平行四边形的底为2,高为1,因此该四棱锥的体积为V=13×(2×1)×3=2.故答案为2.答案:29.如图所示,在多面体ABCDEF中,已知平面ABCD是边长为4的正方形,且EF∥AB,EF=2,EF与平面AC的距离为3,则该多面体的体积是.

解析:方法一:如图①,连接EB,EC.图①四棱锥EABCD的体积为VEABCD=13×42×3=16∵AB=2EF,EF∥AB,∴S△EAB=2S△BEF.∴VFEBC=VCEFB=12VCABE=12VEABC=12×12∴V=VEABCD+VFEBC=16+4=20.方法二:如图②,设G,H分别为AB,DC的中点,则EG∥FB,EH∥FC,GH∥BC,得棱柱EGHFBC.图②由题意,得VEAGHD=13S四边形AGHD×3=13×4×4×12×3VEGHFBC=3VBEGH=3VEBGH=3×12VEGBCH=32VEAGHD=32×8∴V=VEAGHD+VEGHFBC=8+12=20.答案:2010.三棱锥的顶点为P,已知三条侧棱PA,PB,PC两两互相垂直.若PA=2,PB=3,PC=4,求三棱锥PABC的体积.解如图所示,在长方体中,PA,PB,PC两两互相垂直,显然AP⊥平面BPC.∴AP是三棱锥APBC的高.∵S△BPC=12·BP·=12×3×4=∴V三棱锥PABC=V三棱锥APBC=13S△BPC·=13×6×2=411.一个圆台的母线长为12cm,上、下底面的面积分别为4πcm2和25πcm2.(1)求此圆台的体积;(2)求截得此圆台的圆锥的母线长.解(1)如图所示,圆台的轴截面是等腰梯形ABCD,由上、下底面的面积分别为4πcm2,25πcm2得,上底面半径O1A=2cm,下底面半径OB=5cm,又腰长为12cm,∴圆台的高h=AM=122-(5-∴圆台的体积V圆台=13(S上+S上·S=13(4π+4π·25π+25=3915π(cm3).(2)延长圆台的母线交于点S,则S为截得此圆台的圆锥的顶点,圆锥的轴截面如上图.设截得此圆台的圆锥的母线长为lcm,则由△SAO1∽△SBO,得l-解得l=20,即截得此圆台的圆锥的母线长为20cm.★12.有一块扇形铁皮OAB,∠AOB=60°,OA=72cm,要剪下来一个扇环ABCD,作圆台形容器的侧面,并且余下的扇形OCD内剪下一块与其相切的圆形使它恰好作为圆台形容器的下底面(大底面).试求:(1)AD应取多长?(2)容器的容积.解(1)如图所示,设圆台上、下底面半径分别为r,R,AD=x,则OD=72x.由题意得2∴