5.2.1等差数列（4知识点8题型强化训练）

5.2.1等差数列课程标准学习目标（1）通过生活中的实例，理解等差数列的概念；（2）掌握等差数列通项公式的意义；（3）掌握等差数列的判定方法（4）理解并掌握等差中项的概念及其应用；（5）理解并掌握等差数列的项与序号之间的规律及其应用；（6）能在具体问题情境中，发现数列的等差关系，并解决相应问题。（1）通过对等差数列概念、通项公式的学习，达成数学抽象、逻辑推理和数学运算的核心素养；（2）通过等差数列中项、性质的学习培养逻辑推理、数学运算的素养；（3）通过等差数列解决实际问题，达成数学建模的核心素养。知识点01等差数列的概念1、文字语言：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母表示．2、递推公式：（为常数，）3、等差数列定义的理解（1）“从第2项起”是指第1项前面没有项，无法与后续条件中“与前一项的差”相吻合．（2）“每一项与它的前一项的差”这一运算要求是指“相邻且后项减去前项”，强调了：①作差的顺序；②这两项必须相邻．（3）定义中的“同一常数”是指全部的后项减去前一项都等于同一个常数，否则这个数列不能称为等差数列．【即学即练1】（2022·高二课时练习）下列数列中，不成等差数列的是（）．A．2，5，8，11B．1.1，1.01，1.001，1.0001C．a，a，a，aD．，，，【答案】B【解析】对于A，因为第2项起，后一项与前一项的差是同一个常数3，所以此数列是等差数列，所以A不合题意，对于B，因为，，即，所以此数列不是等差数，所以B符合题意，对于C，因为第2项起，后一项与前一项的差是同一个常数0，所以此数列是等差数列，所以C不合题意，对于D，数列，，，可表示为，，，，因为第2项起，后一项与前一项的差是同一个常数1，所以此数列是等差数列，所以D不合题意，故选：B知识点02等差数列的通项公式与等差中项1、等差数列的通项公式及推广已知等差数列的首项为a1，公差为d，则通项公式为：该式可推广为2、等差数列通项公式的推导过程如果等差数列的首项是，公差是，根据等差数列的定义得到：，，，…所以，，，……由此归纳出等差数列的通项公式为．3、等差中项：如果三个数a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项，且.在一个等差数列中，中间的每一项都是它的前一项与后一项的等差中项。【即学即练2】（2023·河北唐山·高二开滦第一中学校考期末）若不全相等的非零实数成等差数列且公差为，那么（）A．可能是等差数列B．一定不是等差数列C．一定是等差数列，且公差为D．一定是等差数列，且公差为【答案】B【解析】若是等差数列，则，因为成等差数列，则，则，整理得，与非零实数不全相等矛盾，所以一定不是等差数列.故选：B.知识点03等差数列与函数的关系1、等差数列与一次函数的异同点：等差数列一次函数不同点解析式公差、斜率公差斜率定义域图像位于同一直线上的一系列孤立的点一条直线相同点等差数列的通项公式与一次函数的解析式都是关于自变量的一次式2、等差数列的单调性等差数列中，若公差，则数列为递增数列；若公差，则数列为递减数列；若公差，则数列为常数列，不增也不减。【即学即练3】（2022·宁夏银川·高二校考期中）已知等差数列的公差为，则“”是“数列为单调递增数列”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】若，则，即，此时，数列为单调递增数列，即“”“数列为单调递增数列”；若等差数列为单调递增数列，则，即“”“数列为单调递增数列”.因此，“”是“数列为单调递增数列”的充分必要条件.故选：C.知识点04等差数列的性质1、角标和对称性（1）若是公差为d的等差数列，正整数m，n，p，q满足m＋n＝p＋q，则.特别地，当m＋n＝2k（m，n，k∈N*）时，.（2）对有穷等差数列，与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的和，即2、子数列的性质：从等差数列中，每隔一定的距离抽取一项，组成的数列仍为等差数列。3、由等差数列衍生的新数列若，分别是公差为，的等差数列，则有数列结论公差为的等差数列（c为任一常数）公差为的等差数列（c为任一常数）公差为的等差数列（k为常数，k∈N*）公差为的等差数列(p，q是常数)【即学即练4】（2023·高二课时练习）已知数列是等差数列，下面的数列中必为等差数列的个数是（）①②③④A．1B．2C．3D．4【答案】C【解析】设的公差为，对于①，，是等差数列，故①正确；对于②，，是等差数列，故②正确；对于③，，是等差数列，故③正确；对于④，若，则不是等差数列，故④错误；故选：C．【题型一：数列数列的通项与基本量】例1．（2023·江苏淮安·高二统考期末）在等差数列中，若，，则的公差为（）A．B．C．1D．2【答案】A【解析】设等差数列的公差为，因为，所以，即，所以.故选：A.变式11．（2024·北京顺义·高二统考期末）已知等差数列的首项为，且，则.【答案】24【解析】因为是等差数列，，，设公差为d，可得，解得，所以.变式12．（2024·安徽芜湖·高二统考期末）已知数列是公差相等的等差数列，且，若为正整数，设，则数列的通项公式为．【答案】【解析】设数列的公差为，由，可得，解得，，，所以.变式13．（2024·云南玉溪·高二统考期末）已知数列满足.（1）求；（2）求数列的通项公式．【答案】（1），；（2）【解析】（1）由可得，（2）由已知可得则，则数列的奇数项是以1为首项，3为公差的等差数列，数列的偶数项是以2为首项，3为公差的等差数列，即，当n为奇数时，则当n为偶数时，则，故【方法技巧与总结】等差数列通项公式的求法与应用技巧（1）等差数列的通项公式可由首项与公差确定，所以要求等差数列的通项公式，只需求出首项与公差即可；（2）等差数列的通项公式中共含有四个参数，即，，，，如果知道了其中的任意三个数，那么就可以由通项公式求出第四个数，这一求未知量的过程，我们通常称之为“知三求一”；（3）通项公格可变形为。【题型二：等差数列的判断与证明】例2．（2024·天津·高二天津第一百中学校联考期末）在数列中，，且，则.【答案】【解析】由得，所以为等差数列，且公差为1，首项为3，故，进而.变式21．（2023·重庆·高二育才中学校联考阶段练习）已知是等差数列，若，．（1）求的通项公式；（2）证明是等差数列．【答案】（1），；（2）证明见解析【解析】（1）设等差数列的公差为d，，，所以，（2）证明：因为所以是公差为的等差数列.变式22．（2023·湖北·高二校考期中）已知满足，且.（1）求；（2）证明数列是等差数列，并求的通项公式.【答案】（1）；（2）证明详见解析，【解析】（1）依题意，，，所以，，所以.（2）依题意，，，所以，所以是首项为，公差为的等差数列，所以.变式23．（2023·广东汕头·高二潮阳实验学校校考阶段练习）已知数列{an}满足，，令.（1）证明：数列是等差数列；（2）求数列的通项公式．【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】（1）∵，∴，又，∴是首项为，公差为的等差数列．（2）由（1）知，，∴.【方法技巧与总结】判断或证明一个数列是等差数列的方法1、定义法：（常数）是等差数列；2、中项法：是等差数列；3、通项公式法：（，为常数）是等差数列。【题型三：等差中项及其应用】例3．（2022·黑龙江哈尔滨·高二校考期末）已知，，则、的等差中项为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】、的等差中项为.故选：B.变式31．（2023·福建三明·高二校考阶段练习）在等差数列中，，则（）A．5B．6C．8D．9【答案】A【解析】由是等差数列，则是和的等差中项，所以，则，.故选：A变式32．（2023·陕西咸阳·高二咸阳市实验中学校考阶段练习）在等差数列中，若，则（）A．16B．17C．18D．19【答案】C【解析】由题意，得，所以，故C正确，故选：C.变式33．（2023·全国·高二专题练习）在等差数列中，，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为数列为等差数列，因为，得，所以，所以，故A项正确，故选:A.【方法技巧与总结】三个数称等差数列的条件是（或），可用来解决等差数列的判定或有关等差中项的计算问题。如若证为等差数列，可证（）【题型四：利用等差数列的性质计算】例4．（2024·内蒙古赤峰·高二统考期末）在等差数列中，已知，，则等于（）A．42B．43C．44D．45【答案】A【解析】由，可得，所以，故，故选：A变式41．（2024·全国·高二期末）已知数列满足，则等于（）A．6B．7C．8D．9【答案】B【解析】∵，∴是等差数列．由等差数列的性质可得，，∴，，∴．故选：B变式42．（2024·内蒙古赤峰·高二统考期末）已知为递增等差数列，，，则的公差（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为，所以，又，所以或，又为递增等差数列，所以，则.故选：C变式43．（2023·高二课时练习）在等差数列中，，则.【答案】20【解析】在等差数列中，，所以，所以.【方法技巧与总结】1、在等差数列{an}中，当m≠n时，d＝eq\f(am－an,m－n)为公差公式，利用这个公式很容易求出公差，还可变形为am＝an＋(m－n)d.2、等差数列{an}中，每隔相同的项抽出来的项按照原来的顺序排列，构成的新数列仍然是等差数列．3、等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q，则an＋am＝ap＋aq(n，m，p，q∈N*)，特别地，若m＋n＝2p，则an＋am＝2ap.【题型五：等差数列的单调性及最值】例5．（2023·上海·高二洋泾中学校考阶段练习）设，则当数列{an}的前n项和取得最小值时，n的值为（）A．4B．5C．4或5D．5或6【答案】A【解析】由，即，解得，因为,故.故选：A.变式51．（2022·陕西渭南·高二瑞泉中学校考阶段练习）（多选）在等差数列中，记，则数列（）A．有最大项，有最小项B．有最大项，无最小项C．无最大项，有最小项D．无最大项，无最小项【答案】C【解析】依题意可得公差，，所以当时，，当时，，因为，，，，，，又当时，，且，即，所以当时，数列单调递增，所以数列无最大项，数列有最小项，故选：C变式52．（2023·高二课时练习）（多选）已知等差数列的公差，则下列四个命题中真命题为（）A．数列是递增数列B．数列是递增数列C．数列是递增数列D．数列是递增数列【答案】AD【解析】对于A，等差数列的公差，则数列是递增数列，正确；对于B，不妨取，则不是递增数列，B错误；对于C，不妨取，则不是递增数列，C错误；对于D，由于等差数列的公差，随n的增大而增大，随n的增大而增大，故也随n的增大而增大，即数列是递增数列，D正确，故选：AD变式53．（2023·高二课时练习）已知，是等差数列的图象上的两点．（1）求数列的通项公式；（2）画出数列的图象；（3）判断数列的单调性．【答案】（1）；（2）答案见解析；（3）为递减数列．【解析】（1）设等差数列的首项为，公差为d．因为，是等差数列的图象上的两点，所以，，即，解得．因此，．（2）等差数列的图象是均匀分布在直线上的一系列离散的点，如下图所示：（3）因为公差，所以等差数列为递减数列．【方法技巧与总结】利用等差数列与函数的关系，将等差数列转化为一次函数的形式可知：等差数列中，若公差，则数列为递增数列；若公差，则数列为递减数列；若公差，则数列为常数列，不增也不减。【题型六：设元法巧解等差数列】例6．（2022·江苏连云港·高二期末）已知四个数依次成等差数列，且四个数的平方和为94，首尾两数之积比中间两数之积少18，则此等差数列的和是（）A．14B．13C．或14D．或13【答案】C【解析】设这四个数分别为，由题意得，即，解得或或或，当时，等差数列为1，2，5，8；当时，等差数列为8，5，2，1；等差数列的和是14；当时，等差数列为8，5，2，1；当时，等差数列为1，2，5，8，等差数列的和是．故选：C．变式61．（2023·江苏·高二专题练习）已知五个数成等差数列，这五个数之和为100，其中较大的三个数之和的是较小的两个数之和，则这五个数中最大的数为（）A．B．20C．D．【答案】C【解析】设这五个数分别为，，由题意可得，解得，且，解得，则最大的数为.故选：C变式62．（2023·高二课时练习）三个数成等差数列，这三个数的和为6，三个数之积为－24，求这三个数.【答案】三个数为－2，2，6或6，2，－2.【解析】设这三个数分别为a－d，a，a＋d.由题意可得解得或∴所求三个数为－2，2，6或6，2，－2.变式63．（2023·江苏·高二专题练习）已知成等差数列的四个数，四个数之和为26，第二个数与第三个数之积为40，求这个等差数列．【答案】或【解析】设这四个数依次为(公差为)．因为四个数之和为26，第二个数与第三个数之积为40，所以，解得：或，∴这个数列为或【方法技巧与总结】设元法巧解等差数列中常见的设元技巧1、某两个数是等差数列中的连续两个数且知其和，可设这两个数为：，，公差为；2、三个数成等差数列且知其和，常设此三数为：，，，公差为；3、四个数成等差数列且知其和，常设成，，，，公差为。【题型七：由等差数列构造新数列】例7．（2024·四川眉山·高二仁寿一中校考期末）数列和数列的公共项从小到大构成一个新数列，数列满足：，则数列的最大项等于.【答案】【解析】数列和数列的公共项从小到大构成一个新数列为：，该数列为首项为1，公差为的等差数列，所以，所以因为所以当时，，即，又，所以数列的最大项为第二项，其值为.变式71．（2023·湖南益阳·高二统考期末）已知等差数列中，，，若在数列每相邻两项之间插入三个数，使得新数列也是一个等差数列，则新数列的第项为．【答案】【解析】设等差数列的公差为，则，在数列每相邻两项之间插入三个数，则新的等差数列的公差为，故新数列的首项为，故通项公式为，故.变式72．（2022·高二课时练习）已知为等差数列，且以，，若在每相邻两项之间插入三个数，使它和原数列的数构成一个新的等差数列，求：（1）原数列的第12项是新数列的第几项？（2）新数列的第29项是原数列的第几项？【答案】（1）第45项；（2）第8项．【解析】（1）设新数列为，则，，根据，有，即，所以，所以．又因为，所以．即原数列的第n项为新数列的第项．当时，，故原数列的第12项为新数列的第45项．（2）由（1），令，得，即新数列的第29项是原数列的第8项．变式73．（2023·全国·高二课时练习）已知等差数列中，，.（1）证明:数列是公差为的等差数列；（2）若在数列每相邻两项之间插入三个数，使得新数列也是一个等差数列，求新数列的第41项.【答案】（1）证明见解析；（2）31.【解析】（1）证明：设数列的公差为，∵，，∴，得，∴，设，则，∴，即数列是公差为的等差数列.（2）由（1）得，设新数列为，其公差为，则，，∴，得，∴.【方法技巧与总结】（1）从等差数列中，每隔一定的距离抽取一项，组成的数列仍为等差数列。（2）在数列中插入几个数构成新的等差数列，根据等差数列的定义确定新数列的项数以及公差。【题型八：等差数列的实际应用】例8．（2023·全国·高二随堂练习）夏季高山上气温从山脚起每升高100m降低0.6℃，已知山顶的气温是15.8℃，山脚的气温是26℃．那么，此山相对于山脚的高度是（）．A．1500mB．1600mC．1700mD．1800m【答案】C【解析】山顶与山脚的温度差为，因为每升高100m，气温降低，所以山顶相对于山脚的高度为（m）.故选：C.变式81．（2023·广东佛山·高三佛山一中开学考试）哈雷彗星大约每76年环绕太阳一周，因英国天文学家哈雷首先测定其轨道数据并成功预言回归时间而得名.已知哈雷是1682年观测到这颗彗星，则人们最有可能观测到这颗彗星的时间为（）A．2041年～2042年B．2061年～2062年C．2081年～2082年D．2101年～2102年【答案】B【解析】由题意，可将哈雷彗星的回归时间构造成一个首项是1682，公差为76的等差数列，则等差数列的通项公式为，，，可预测哈雷彗星在本世纪回归的年份为2062年．故选：B．变式82．（2024·北京顺义·高二统考期末）《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次有小寒、大寒、立春、雨水惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气.立竿测影，得其最短日影长依次成等差数列，若冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺，春分日影长为7.5尺，则这十二个节气中后六个（春分至芒种）日影长之和为（）A．8.5尺B．30尺C．66尺D．96尺【答案】B【解析】设这个等差数列为，公差为，首项为冬至日最短日影长，根据题意有即，解得所以.故选:B变式83．（2023·福建龙岩·高二校联考期中）潮涌杭州，亚运来了！2023年9月23日，第19届亚运会在杭州盛大开幕，这是杭州历史上的一件大事，也是中国继北京奥运会、广州亚运会后再次举办的大型国际体育赛事.某网站全程转播了该次赛事，为庆祝本次赛事，该网站举办了一场针对本网站会员的奖品派发活动，派发规则如下：①对于会员编号能被3整除余1且被5整除余1的可以获得精品吉祥物一套；②对于不符合①中条件的可以获得普通吉祥物一套.已知该网站的会员共有2023人（编号为1号到2023号，中间没有空缺），则获得精品吉祥物的人数为.【答案】135【解析】将能被3整除余1且被5整除余1的正整数按从小到大排列，所得的数列记为，由已知得是3的倍数，也是5的倍数，所以为15的倍数，所以是首项为0，公差为15的等差数列，所以，令，可得，又，解得且，故获得精品吉祥物的人数为135.【方法技巧与总结】等差数列的实际应用1、解决实际应用问题，首先要认真领会题意，根据题目条件，寻找有用的信息．若一组数按次序“定量”增加或减少时，则这组数成等差数列。2、合理地构建等差数列模型是解决这类问题的关键，在解题过程中，一定要分清首项、项数等关键的问题一、单选题1．（2024·广东河源·高二统考期末）若等差数列中，，则（）A．12B．14C．D．【答案】A【解析】设等差数列的公差为，则，解得；因此可得数列的通项公式为，所以.故选：A2．（2023·湖北武汉·高二武汉市东湖中学校考期中）在等差数列中，若，是方程的两根，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】，是方程的两根，，是等差数列，.故选：D.3．（2024·广东·高二校联考期末）在等差数列中，若，则（）A．4B．6C．8D．3【答案】B【解析】由等差数列的性质可得，故，解得.故选：B4．（2022·高二课时练习）已知点，是等差数列图象上的两点，则数列为（）A．递增数列B．递减数列C．常数列D．无法确定【答案】B【解析】等差数列的图象所在直线的斜率，则直线呈下降趋势，故数列单调递减.故选：B.5．（2023·高二课时练习）在数列、、、、的每相邻两项中插入个数，使它们与原数构成一个新数列，则新数列的第项（）A．不是原数列的项B．是原数列的第项C．是原数列的第项D．是原数列的第项【答案】C【解析】设数列为，则，，，，设，则，，，，由题意可知，数列是首项为，公差为的等差数列，故，令，解得，因此，新数列的第项为原数列的第项，故选：C.6．（2023·广西钦州·高二校考阶段练习）在和两数之间插入个数，使它们与，组成等差数列，则该数列的公差为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】在和两数之间插入个数，使它们与组成等差数列，则这个数列共有项，设该数列的公差为d，则.故选：B.7．（2023·山东泰安·高二泰安第二中学校考阶段练习）首项为的等差数列，从第项起开始为正数，则公差的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】设等差数列首项为，公差为，由从第项起开始为正数，所以，即，解得，故D正确.故选：D.8．（2023·云南昆明·高二云南师大附中校考期末）已知数列中，且，则为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由得：，又，数列是以1为首项，为公差的等差数列，，，，，故选：A．二、多选题9．（2022·福建漳州·高二华安县第一中学校考阶段练习）设等差数列中，，公差，依次取出项的序号被4除余3的项组成新数列，则（）A．B．C．D．【答案】BCD【解析】因为，，所以，数列中序号被4除余3的项是第3项，第7项，第11项，，所以故A错误，BC正确；设数列中的第项是数列中的第项，则，所以当时，，故，所以D正确，故选：BCD10．（2023·甘肃白银·高二靖远县第一中学校联考期中）若正项数列是等差数列，且，则（）A．当时，B．的取值范围是C．当为整数时，的最大值为29D．公差的取值范围是【答案】ABC【解析】当,时，公差，，故A正确；因为是正项等差数列，所以，即，且，所以公差的取值范围是，故D错误；因为，所以的取值范围是，故B正确；，当为整数时，的最大值为29，故C正确；故选：ABC.11．（2024·全国·高二专题练习）若数列是等差数列，公差，则下列对数列的判断正确的是（）A．若，则数列是递减数列B．若，则数列是递增数列C．若，则数列是公差为d的等差数列D．若，则数列是公差为的等差数列【答案】AD【解析】由且，A：由，即数列是递减数列，对；B：由，若时，如，不单调，错；C：由，则数列是公差为的等差数列，错；D：由，则数列是公差为的等差数列，对.故选：AD12．（2023·山东烟台·高二校考期末）《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等.问各得几何.”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列，问五人各得多少钱？”.关于这个问题，下列说法正确的是（）A．戊得钱是甲得钱的一半B．乙得钱比丁得钱多钱C．甲、丙得钱的和是乙得钱的3倍D．丁、戊得钱的和比甲得钱多钱【答案】AD【解析】依题意，设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为，，，，，且，即，又，∴，，即，，，，∴甲得钱，乙得钱，丙得钱，丁得钱，戊得钱，则有如下结论：戊得钱是甲得钱的一半，故A正确；乙得钱比丁得钱多钱，故B错误；甲、丙得钱的和是乙得钱的倍，故C错误；丁、戊得钱的和比甲得钱多钱，故D正确．故选：AD.三、填空题13．（2023·广东佛山·高三校考阶段练习）“中国剩余定理”又称“孙子定理”，可见于中国南北朝时期的数学著作《孙子算经》卷下第十六题的“物不知数”问题，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二．问物几何？现有一个相关的问题：将到这个自然数中被除余且被除余的数按照从小到大的顺序排成一列，构成一个数列，则该数列的项数为．【答案】【解析】由题知，满足上述条件的数列为，该数列为首项是，公差为的等差数列，则，解得，故该数列的项数为.14．（2023·江苏淮安·高二统考期末）已知正项数列是等差数列，若，，则的值为.【答案】【解析】设等差数列的公差为，，由，，，，，解得，.15．（2024·重庆·高二统考期末）已知数列，则通过该数列图象上所有点的直线的斜率为．【答案】3【解析】由，得数列是以为首项，3为公差的等差数列，由等差数列公差的几何意义知，通过该数列图象上所有点的直线的斜率.16．（2024·四川宜宾·高二统考期末）已知数列、是等差数列，其中且，那么．【答案】【解析】