1.3带电粒子在匀强磁场中的运动（原卷版）

1.3带电粒子在匀强磁场中的运动基础导学要点一、带电粒子在匀强磁场中的匀速圆周运动1．洛伦兹力的作用效果洛伦兹力只改变带电粒子速度的方向，不改变带电粒子速度的大小，或者说洛伦兹力不对带电粒子做功，不改变粒子的能量。2．带电粒子的运动规律沿着与磁场垂直的方向射入磁场的带电粒子，在匀强磁场中做匀速圆周运动。洛伦兹力总与速度方向垂直，正好起到了向心力的作用。eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(公式：qvB＝m\f(v2,r),半径：r＝\f(mv,qB),周期：T＝\f(2πm,qB)))3．圆心、半径、运动时间的分析思路(1)圆心的确定：带电粒子垂直进入磁场后，一定做圆周运动，其速度方向一定沿圆周的切线方向，因此圆心的位置必是两速度方向垂线的交点，如图(a)所示，或某一速度方向的垂线与圆周上两点连线中垂线的交点，如图(b)所示．(2)运动半径大小的确定：一般先作入射点、出射点对应的半径，并作出相应的辅助三角形，然后利用三角函数求解出半径的大小．(3)运动时间的确定：首先利用周期公式T＝eq\f(2πm,qB)，求出运动周期T，然后求出粒子运动的圆弧所对应的圆心角α，其运动时间t＝eq\f(α,2π)T.(4)圆心角的确定：①带电粒子射出磁场的速度方向与射入磁场的速度方向间的夹角φ叫偏向角．偏向角等于圆心角即φ＝α，如图所示．②某段圆弧所对应的圆心角是这段圆弧弦切角的二倍，即α＝2θ.[特别提醒]带电粒子(不计重力)以一定的速度v进入磁感应强度为B的匀强磁场时的运动轨迹：(1)当v∥B时，带电粒子将做匀速直线运动．(2)当v⊥B时，带电粒子将做匀速圆周运动．(3)当带电粒子斜射入磁场时，带电粒子将沿螺旋线运动．4、带电粒子在三类有界磁场中的运动轨迹特点(1)直线边界：进出磁场具有对称性。(2)平行边界：存在临界条件。(3)圆形边界：沿径向射入必沿径向射出。要点突破突破一：带电粒子在匀强磁场中的匀速圆周运动1．轨迹圆心的两种确定方法（1）已知粒子运动轨迹上两点的速度方向时，作这两速度方向的垂线，交点即为圆心，如图所示。（2）已知粒子轨迹上的两点和其中一点的速度方向时，画出粒子轨迹上的两点连线(即过这两点的圆的弦)，作它的中垂线，并画出已知点的速度方向的垂线，则弦的中垂线与速度方向的垂线的交点即为圆心，如图所示。2．三种求半径的方法（1）根据半径公式r＝eq\f(mv,qB)求解。（2）根据勾股定理求解，如图所示，若已知出射点相对于入射点侧移了x，则满足r2＝d2＋(r－x)2。（3）根据三角函数求解，如图所示，若已知出射速度方向与入射方向的夹角为θ，磁场的宽度为d，则有关系式r＝eq\f(d,sinθ)。3．四种角度关系（1）如图所示，速度的偏向角(φ)等于圆心角(α)。（2）圆心角α等于AB弦与速度方向的夹角(弦切角θ)的2倍(φ＝α＝2θ＝ωt)。（3）相对的弦切角(θ)相等，与相邻的弦切角(θ′)互补，即θ＋θ′＝180°。（4）进出同一直线边界时速度方向与该直线边界的夹角相等。4．两种求时间的方法（1）利用圆心角求解，若求出这部分圆弧对应的圆心角，则t＝eq\f(θ,2π)T。（2）利用弧长s和速度v求解，t＝eq\f(s,v)。5.分析带电粒子在磁场中做圆周运动问题的要点（1）确定粒子的运动轨迹、半径、圆心角等是解决此类问题的关键。（2）掌握粒子在匀强磁场中做圆周运动的轨迹半径公式和周期公式是分析此类问题的依据。例一如右图所示，一束电子的电荷量为e，以速度v垂直射入磁感应强度为B、宽度为d的有界匀强磁场中，穿过磁场时的速度方向与原来电子入射方向的夹角是30°，则电子的质量是多少？电子穿过磁场的时间又是多少？突破二：现代科技中的应用装置原理图规律速度选择器若qv0B＝Eq，即v0＝eq\f(E,B)，粒子做匀速直线运动磁流体发电机等离子体射入，受洛伦兹力偏转，使两极板带正、负电，两极间电压为U时稳定，qeq\f(U,d)＝qv0B，U＝Bdv0电磁流量计eq\f(U,D)q＝qvB，所以v＝eq\f(U,DB)，所以Q＝vS＝eq\f(πDU,4B)霍尔元件当磁场方向与电流方向垂直时，导体在与磁场、电流方向都垂直的方向上出现电势差典例精析题型一带电粒子在磁场中运动的半径和周期例一已知氢核与氦核的质量之比m1∶m2＝1∶4，电荷量之比q1∶q2＝1∶2，当氢核与氦核以v1∶v2＝4∶1的速度垂直于磁场方向射入磁场后，分别做匀速圆周运动，则氢核与氦核运动半径之比r1∶r2＝________，周期之比T1∶T2＝________.若它们以相同的动能射入磁场，其圆周运动半径之比r1′∶r2′＝________，周期之比T1′∶T2′＝________.变式迁移1：质子(11H)和α粒子(24He)从静止开始经相同的电势差加速后垂直进入同一匀强磁场做匀速圆周运动，则这两个粒子的动能之比Ek1∶Ek2＝________，轨道半径之比r1∶r2＝________，周期之比T1∶T2＝________.题型二带电粒子在磁场中的匀速圆周运动例二如右图所示，在第一象限有一匀强电场，场强大小为E，方向与y轴平行；在x轴下方有一匀强磁场，磁场方向与纸面垂直．一质量为m、电荷量为－q(q＞0)的粒子以平行于x轴的速度从y轴上的P点处射入电场，在x轴上的Q点处进入磁场，并从坐标原点O离开磁场．粒子在磁场中的运动轨迹与y轴交于M点．已知OP＝l，OQ＝2eq\r(3)l.不计重力．求：(1)M点与坐标原点O间的距离；(2)粒子从P点运动到M点所用的时间．变式迁移2：如右图所示，在垂直纸面向里的匀强磁场边界上，有两个质量、电荷量均相等的正、负离子(不计重心)，从O点以相同的速度射入磁场中，射入方向均与边界成θ角，则正、负离子在磁场中运动的过程，下列判断错误的是()A．运动的轨道半径相同B．重新回到磁场边界时速度大小和方向都相同C．运动的时间相同D．重新回到磁场边界的位置与O点距离相等题型三带电粒子在有界磁场中运动的临界问题例三如右图所示，在真空区域内，有宽度为L的匀强磁场，磁感应强度为B，磁场方向垂直纸面向里，MN、PQ是磁场的边界，一质量为m，带电荷量为－q的粒子，先后两次沿着与MN夹角为θ(0°<θ<90°)的方向垂直于磁感线射入匀强磁场中．第一次粒子以速度v1射入磁场，粒子刚好没能从PQ边界射出磁场；第二次粒子以速度v2射入磁场，粒子刚好垂直PQ射出磁场．不计粒子重力，v1，v2均为未知量，求eq\f(v1,v2)值．变式迁移3：长为L的水平极板间，有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，板间距离也为L，极板不带电．现有质量为m，电荷量为q的带正电粒子(重力不计)，从左边极板间中点处垂直磁场以速度v水平入射，如下图所示．欲使粒子不打在极板上，可采用的方法是()A．使粒子速度v＜eq\f(BqL,4m)B．使粒子速度v＞eq\f(5BqL,4m)C．使粒子速度v＞eq\f(BqL,4m)D．使粒子速度eq\f(BqL,4m)＜v＜eq\f(5BqL,4m)强化训练一、选择题1．两相邻匀强磁场区域的磁感应强度大小不同、方向平行．一速度方向与磁感应强度方向垂直的带电粒子（不计重力），从较强磁场区域进入到较弱磁场区域后，粒子的A．轨道半径减小，角速度增大B．轨道半径减小，角速度减小C．轨道半径增大，角速度增大D．轨道半径增大，角速度减小2．两个质量相同、所带电荷量相等的带电粒子a、b，以不同的速率对准圆心O沿着AO方向射入圆形匀强磁场区域，其运动轨迹如图所示．不计粒子的重力，下列说法正确的是（）A．a粒子带正电，b粒子带负电B．a粒子在磁场中所受洛伦兹力较大C．b粒子动能较大D．b粒子在磁场中运动时间较长3．如图，MN为铝质薄平板，铝板上方和下方分别有垂直于图平面的匀强磁场（未画出）．一带电粒子从紧贴铝板上表面的P点垂直于铝板向上射出，从Q点穿过铝板后到达PQ的中点O，已知粒子穿越铝板时，其动能损失一半，速度方向和电荷量不变，不计重力．铝板上方和下方的磁感应强度大小之比为A．2B．C．1D．4..如右图所示，带负电的粒子以速度v从粒子源P处射出，若图中匀强磁场范围足够大(方向垂直纸面)，则带电粒子的可能轨迹是()A．a B．bC．c D．d5.如右图所示，ab是一弯管，其中心线是半径为R的一段圆弧，将它置于一给定的匀强磁场中，磁场方向垂直于圆弧所在平面，并且指向纸外．有一束粒子对准a端射入弯管，粒子有不同的质量、不同的速度，但都是一价正离子()A．只有速度v大小一定的粒子可以沿中心线通过弯管B．只有质量m大小一定的粒子可以沿中心线通过弯管C．只有质量m与速度v的乘积大小一定的粒子可以沿中心线通过弯管D．只有动能Ek大小一定的粒子可以沿中心线通过弯管6．【多选】如下图所示，正方形容器处于匀强磁场中，一束电子从孔a垂直于磁场沿ab方向射入容器中，一部分从c孔射出，一部分从d孔射出，容器处于真空中，则下列结论中正确的是()A．从两孔射出的电子速率之比vc∶vd＝2∶1B．从两孔射出的电子在容器中运动的时间之比tc∶td＝1∶2C．从两孔射出的电子在容器中运动的加速度大小之比ac∶ad＝eq\r(2)∶1D．从两孔射出的电子在容器中运动的角速度之比ωc∶ωd＝2∶17．如图所示，某带电粒子（重力不计）由M点以垂直于磁场以及磁场边界的速度v射入宽度为d的匀强磁场中，穿出磁场时速度方向与原来射入方向的夹角为θ=30°。磁场的磁感应强度大小为B．由此推断该带电粒子（）A．带正电 B．在磁场中的运动轨迹为抛物线C．电荷量与质量的比值为 D．穿越磁场的时间为8．如图，直角坐标xOy平面内，有一半径为R的圆形匀强磁场区域，磁感应强度的大小为B，方向垂直于纸面向里，边界与x、y轴分别相切于a、b两点。一质量为m，电荷量为q的带电粒子从b点沿平行于x轴正方向进入磁场区域，离开磁场后做直线运动，经过x轴时速度方向与x轴正方向的夹角为60°，下列判断正确的是()A．粒子带正电 B．粒子在磁场中运动的轨道半径为RC．粒子运动的速率为 D．粒子在磁场中运动的时间为9．【多选】如图所示，在垂直纸面向里的匀强磁场的边界上，有两个质量和电荷量均相同的正负离子(不计重力)，从点O以相同的速率先后射入磁场中，入射方向与边界成θ角，则正负离子在磁场中()A．运动时间相同B．运动轨道的半径相同C．重新回到边界时速度的大小和方向相同D．重新回到边界的位置与O点距离相等10．圆形区域内有垂直于纸面的匀强磁场，三个比荷相同的带电粒子a、b、c，以不同的速率沿着AO方向对准圆心O射入磁场，其运动轨迹如图所示。若带电粒子只受磁场力的作用，则下列说法正确的是（）A．磁场方向一定垂直于纸面向外B．粒子a、b、c一定都带正电C．粒子c所受的向心力一定最大D．粒子c在磁场中运动的时间一定最长11．如图为洛伦兹力演示仪的结构图，励磁线圈产生的匀强磁场方向垂直纸面向外，电子束由电子枪产生，其速度方向与磁场方向垂直。电子速度大小可通过电子枪的加速电压来控制，磁感应强度可通过励磁线圈的电流来调节。下列说法正确的是（）A．仅减小电子枪的加速电压，电子束径迹的半径变小B．仅增大电子枪的加速电压，电子做圆周运动的周期变大C．仅减小励磁线圈的电流，电子束径迹的半径变小D．仅增大励磁线圈的电流，电子做圆周运动的周期变大12.如右图所示，一个静止的质量为m、带电荷量为q的粒子(不计重力)，经电压U加速后垂直进入磁感应强度为B的匀强磁感中，粒子打至P点，设OP＝x，能够正确反应x与U之间的函数关系的是()13.如右图所示，a和b带电荷量相同，以相同动能从A点射入磁场，在匀强磁场中做圆周运动的半径ra＝2rb，则可知(重力不计)()A．两粒子都带正电，质量比ma/mb＝4B．两粒子都带负电，质量比ma/mb＝4C．两粒子都带正电，质量比ma/mb＝1/4D．两粒子都带负电，质量比ma/mb＝1/414．【多选】如右图所示，直角三角形ABC中存在一匀强磁场，比荷相同的两个粒子沿AB方向射入磁场，分别从AC边上的P、Q两点射出，则()A．从P射出的粒子速度大B．从Q射出的粒子速度大C．从P射出的粒子，在磁场中运动的时间长D．两粒子在磁场中运动的时间一样长一、解答题15．如图所示，一电荷量为q的带电粒子，以速度v垂直射入磁感应强度为B、宽度为d的有界匀强磁场中，射出磁场时的速度方向与原来粒子的入射方向的夹角θ=60°，求：（1）带电粒子在磁场中运动的轨道半径r；（2）带电粒子的电性和质量m；（3）带电粒子穿过磁场的时间t．16．如图所示，在平面直角坐标系xOy的第四象限有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小B=2.0T，在y轴上P点有一粒子源，沿纸面向磁场发射速率不同的粒子，均沿与y轴负方向间夹角=的方向，已知粒子质量均为m=5.0×10－8kg，电荷量q=1.0×10－8C，LOP=30cm，取π=3。（不计粒子间相互作用及粒子重力）(1)若某粒子垂直x轴飞出磁场，求该粒子在磁场中的运动时间；(2)若某粒子不能进入x轴上方，求该粒子速度大小满足的条件。17.如图所示，在坐标系xOy平面第I象限内有垂直于纸面向外的匀强磁场，一比荷为108C/kg的带电粒子从y轴上的P点以速度v=4104m/s沿着与