高中奥数综合测试卷及答案

高中奥数综合测试卷及答案第一部分：选择题1.已知函数$f(x)=\log_{\frac{1}{2}}(x+a)$，其中$a>0$，且存在两个实数$x_1$和$x_2$，满足$f(x_1-f(x_2))=1,f(x_2-f(x_1))=2$，则$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=$？A.$2a$B.$3a$C.$4a$D.$5a$2.若$arcsin\frac{x}{2}+arccos\frac{x+1}{3}=\frac{5\pi}{6}$，则$x=$？A.$\frac{\sqrt{21}}{2}$B.$\frac{\sqrt{6}}{2}$C.$\frac{\sqrt{3}}{2}$D.$\frac{\sqrt{2}}{2}$3.已知函数$f(x)$在区间$[-1,1]$内的取值满足$-x\leqf(x)\leqx$，则$f(\frac{1}{10})$的取值范围是？A.$[0,\frac{1}{10}]$B.$[\frac{1}{10},\frac{2}{9}]$C.$[\frac{2}{9},\frac{1}{3}]$D.$[\frac{1}{3},1]$4.在平面直角坐标系$xOy$中，点$A(1,0),B(0,-1)$，$M$为$x$轴上一点，点$N$在直线$BM$上，且$\angle{NBA}=\frac{\pi}{3}$，则$\triangle{AMN}$的面积为？A.$\frac{1}{2}$B.$\frac{\sqrt{3}}{6}$C.$\frac{2\sqrt{3}}{9}$D.$\frac{1}{3}$5.已知一个集合$M=\{1,2,3,4,5,6\}$，将它的元素两两相组合，全组合为N，则在N中任取一组，得到$\{1,2\}$或$\{2,3\}$或$\{3,4\}$或$\{4,5\}$或$\{5,6\}$的概率为？A.$\frac{1}{6}$B.$\frac{1}{4}$C.$\frac{1}{3}$D.$\frac{1}{2}$第二部分：简答题1.已知立方体ABCDA'B'C'D'中，F，E分别是线段AC'，BD'的中点，求证：1）FE垂直于平面A'CD，2）FE垂直于平面CEA；2.小明和小红两个人玩纸牌游戏，开始时小明有18张牌，小红有16张牌，小明每次抽走小红恰好一张牌，并给小红1元钱，小红每次抽走小明恰好一张牌，并给小明2元钱，若两人可以不停地玩下去，求小明获胜的概率是多少？第三部分：计算题1.已知$a_1=2$，$a_{n+1}=a_n+3\times2^{n-1}$，求$a_{10}$的值。2.已知$a_n=\frac{n+1}{2^{n-1}}$，$S_n=\sum_{i=1}^{n}a_i$，求当$n\rightarrow+\infty$时，$S_n$有何极限值？答案：选择题：1.A2.D3.B4.C5.C简答题：1.（1）根据立体几何中“空间对称轴”概念可知，A'和C'的中点M、B'和D'的中点N在一条直线上，而这条直线垂直于平面A'CD.（2）根据立体几何中“直线垂直于平面的判定法”可知，证毕；2.小明的策略是在赢一把之前不停地游戏，即若小明在第$i$次抽取牌后依旧比小红多一张牌，则继续游戏（因为若小明此时停止游戏，那么此局游戏就以小红胜利而告终，小明不会收获任何收益），若小红在第$i$次抽取牌后牌数意外与小明持平或者超过小明，则此局游戏以小红胜利而告终，小明不会再收获任何收益。记当前两人手中牌的数量分别为$X_i,Y_i$，由于小明只停留在$X_i=Y_i+1$这一状态，因此对于$i\geq34$，都有$X_i=51,Y_i=50$，从而小明胜利的概率为$\frac