2023-2024学年人教版初中数学九年级下册 28.2 解直角三角形及其应用同步分层提升题

亲爱的同学加油，给自己实现梦想的一个机会！第页2023-2024学年人教版初中数学九年级下册28.2解直角三角形及其应用同步分层提升题班级：姓名：亲爱的同学，在做题时，一定要认真审题，完成题目后，记得审查，养成好习惯！祝你轻松完成本次练习。一、单选题1．如图，有一斜坡AB，坡顶B离地面的高度BC为30m，斜坡AB的坡度i＝1：2.5，则此斜坡的水平距离AC为（）A．75m B．50m C．30m D．12m2．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=4．下列四个选项，正确的是（）A．tanB=34 B．sinB=43 C．sinB=453．如图，这是某拦河坝改造前后河床的横断面示意图，AD∥BC，坝高DC=8 m，将原坡度i=1：0.25的迎水坡面AB改为坡角为60°的斜坡EB，此时，河坝面宽减少的长度AE等于（）（结果精确到A．2.2m B．2.6m C．4．如图所示，是由小正方形构成的4×4网格，每个小正方形的顶点叫做格点，点O，A，P，C，D均在格点上，则∠AOB和∠COD的大小关系为（）A．∠AOB>∠COD B．∠AOB=∠CODC．∠AOB<∠COD D．无法确定5．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=5，点D是AC上一点，连接BD．若tanA=12，tan∠ABD=1A．25 B．3 C．2 D．56．如图，一块矩形薄木板ABCD斜靠在墙角MON处（OM⊥ON，点A，B，C，D，O，M，N在同一平面内），已知AB=m，AD=n，∠ADO=α，则点B到ON的距离等于（）A．m⋅cosα+n⋅cosC．m⋅cosα+n⋅sin7．赵爽弦图由四个全等的直角三角形所组成，形成一个大正方形，中间是一个小正方形（如图所示）．某次课后服务拓展学习上，小浔绘制了一幅赵爽弦图，她将EG延长交CD于点Ｉ．记小正方形EFGＨ的面积为Ｓ1，大正方形ABCD的面积为Ｓ2，若DＩ＝2，CＩ＝1，Ｓ2＝5Ｓ1，则GＩ的值是（）A．105 B．9202 C．5二、填空题8．小明沿着坡比为1：2的山坡向上走了10m，则他升高了cm。9．如图，某无人机兴趣小组在操场上开展活动，此时无人机在离地面203米的D处，无人机测得操控者A的俯角为30°，测得教学楼顶点C处的俯角为45°．又经过人工测量测得操控者A和教学楼BC之间的水平距离为80米，则教学楼BC的高度为米（注：点A，B，C，D都在同一平面内，参考数据310．在一张矩形纸片ABCD中AD=10，AB=43，M，N分别为AB，CD的中点，现将这张纸片按如图所示的方式折叠，使点B落在MN上的点F处，则EF的长为11．如图，PA是⊙O的切线，A为切点，PO交⊙O于点B，tanP=34，OB=6，则PB12．如图是某风车示意图，其相同的四个叶片均匀分布，水平地而上的点M在旋转中心O的正下方。某一时刻，太阳光线恰好垂直照射叶片OA、OB，此时各叶片影子在点M右侧成线段CD，测得MC=8.5m，CD=13m，垂直于地面的木棒EF与影子FG的比为2∶3，则点O，M之间的距离等于米．转动时，叶片外端离地面的最大高度等于米．13．如图，已知在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴的负半轴上，点B在y轴的负半轴上，tan∠ABO=3，以AB为边向上作正方形ABCD．若图象经过点C的反比例函数的解析式是y=1x，则图象经过点D的反比例函数的解析式是三、作图题14．请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹.已知：锐角∠O及其一边上的一点A.求作：在∠O的另一边上求作点B，使得tan∠OAB=四、解答题15．如图，在△ABC中，AC=12，∠C=45°，∠B=120°，求BC的长．16．某地下车库出口处安装了“两段式栏杆”，如图1，A是栏杆转动的支点，E是栏杆两段的联结点．当车辆经过时，栏杆AEF最多只能升起到如图2所示的位置，其示意图如图3所示（栏杆宽度忽略不计），其中AB⊥BC，EF∥BC，∠AEF=143°，AB=AE=1.2m，求此时杆EF到地面BC的距离．（参考数据∶sin37°≈0.6017．如图是一个小商场的纵截面图（矩形ABCD），AD是商场的顶部，BC是商场的地面，地面由边长为80cm的正方形瓷砖铺成，从B到C共有25块瓷砖，AB和CD是商场的两面墙壁，MN是顶部正中央的一个长方形的灯饰（AM=DN）.小张同学想通过学过的几何知识来测量该商场的高度（AB）和灯饰的长度（MN），于是去商场时带了一块镜子和一根激光笔，他先把激光笔挂在墙壁CD距地面两块砖高度（CG的长）的G处，镜子水平放在地面距离C两块砖的F处，发现激光笔的反射光照到了N处；再把激光笔挂在墙壁AB距地面两块砖高度（LB的长）的L处，镜子水平放在地面距离B三块砖的P处，发现激光笔的反射光恰好又照到了N处，请你帮忙计算AB的高度和MN的长度.五、综合题18．如图，在△ABC中，AB=10，BC=34，cos∠ABC=35（1）如图1，当AD∥EF，求BD的长；（2）若CE=y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；（3）如图2，点G在线段AE上，作∠AGD=∠F，若△DGE与△CDE相似，求BD的长．

答案解析部分1．答案：A解析：解：∵斜坡AB的坡度i＝1：2.5，∴BC：AC＝1：2.5，∵BC＝30m，∴AC＝30×2.5＝75m，故答案为：A．根据坡度比可得BC：AC＝1：2.5，再将数据代入求出AC的长即可。2．答案：C解析：解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=4，

∴BC=AB2−AC2=52−42=33．答案：B解析：解：过点A作AF⊥BC于点F，过E作EH⊥BC于点H，∵AF⊥BC，EH⊥BC，AD∥BC，∴AF=EH=DC=8m，∵坡度i=1：∴AF：解得：BF=2，∵tan60°=∴BH=833∴AE=FH=BH−BF=8故答案为：B

过点A作AF⊥BC于点F，过E作EH⊥BC于点H，根据tan60°=EHBH=84．答案：C解析：解：如图，连接AP，过点A作AN⊥OP于N，∴AP=12+S==3−1−=3又∵S△OPA=∴AN=3∴sin∵sin∵0.6<0.∴∠AOB<∠COD，故答案为：C．

利用正弦的定义可得sin∠AOB=ANOA=35=0.65．答案：D解析：解：过点D作DE⊥AB于E，

∵tanA=12，tan∠ABD=13，

∴DEAE=12，DEBE=13，

∴AE=2DE，BE=3DE，

∴AE+BE=2DE+3DE=5DE=AB，

∵在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=5，tanA=12，

∴BCAC=5AC=12，

∴AC=25，

∴根据题意先求出AE=2DE，BE=3DE，再利用勾股定理求出AB=5，最后计算求解即可。6．答案：C解析：解：如图所示，过点B作BH⊥ON于H，BQ⊥OM于Q，∴B到ON的距离是BH，∵OM⊥ON，矩形ABCD，即∠BAD=90°，∴∠BAQ+∠DAO=∠DAO+∠ADO=90°，∴∠ADO=∠BAQ=α，在Rt△ABQ中，AB=m，∴cosα=AQAB在Rt△ADO中，AD=n，∴sinα=AOAD∵BH⊥ON，OM⊥ON，BQ⊥OM，∴四边形BQOH是矩形，∴BH=QO=QA+AO=m·cos故答案为：C．

利用解直角三角形的方法逐项判断即可。7．答案：A解析：解：过点I作IM⊥HC于点M，

∵正方形EFGH，

∴∠HGE=∠IGM=45°，

∴IM=GM，

∵DＩ＝2，CＩ＝1，

∴CD=DI+CI=2+1=3

∵记小正方形EFGＨ的面积为Ｓ1，大正方形ABCD的面积为Ｓ2，Ｓ2＝5Ｓ1，

∴5Ｓ1=9

解之：S1=95

∴HG=355

∵赵爽弦图由四个全等的直角三角形所组成，

∴DH=CG，

设DH=CG=x，则HC=355+x，

在Rt△DHC中

DH2+CH2=DC2即x2+355+x2=32

解之：x=355（取正值），

∴CG=355

8．答案：200解析：解：如图，

∵小明沿着坡比为1：2的山坡向上走了10m，

∴AC=10m=1000cm，BCAB=12，

设BC=x，则AB=2x，

∴BC2+AB2=AC2

∴x2+4x2=10002

解之：x=2005，

∴他升高了2005cm.

故答案为：9．答案：14解析：解：过点D作DE⊥AB于点E，作CF⊥DE于点F，由题可得：DE=203，∠A=30°，∠DCF=45°在Rt△ADE中，∠AED=90°，∴tan30°=∴AE=3∵AB=80米，∴BE=80−60=20（米），∵∠FEB=∠CBE=∠CFE=90°，∵四边形BCFE是矩形，∴CF=BE=20米，在Rt△DCF中，∠DFC=90°，∴∠CDF=∠DCF=45°，∴CF=DF=20，∴BC=EF=DE−DF=203故答案为：14．

过点D作DE⊥AB于点E，作CF⊥DE于点F，先求出CF=BE=20，再结合∠CDF=∠DCF=45°，可得CF=DF=20，最后利用线段的和差求出BC=EF=DE−DF=20310．答案：4解析：解：如图，过点F作FH⊥BC于点H，得矩形BMFH．∵M为AB的中点，∴AM=23，∠AMF=90°∴∠AFM=30°，∴MF=AF⋅cos∵四边形BMFH是矩形，∴BH=MF=6．设EF=x，则EH=6−x，FH=23在Rt△EFH中，EF即x2解得x=4，∴EF=4．

过点F作FH⊥BC于点H，得矩形BMFH，设EF=x，则EH=6−x，FH=23，利用勾股定理可得x11．答案：4解析：解：∵PA是⊙O的切线，A为切点，∴OA⊥AP，∴∠OAP=90°在Rt△OAP中，∵tanP=OAAP∴6AP∴AP=8，∴OP=O∴PB=OP−OB=10−6=4；故答案为：4．

根据切线的性质可得∠OAP=90°，再结合tanP=OAAP=312．答案：10；10+解析：解：设AC与OM交于点H，过点C作CN⊥BD于N，

∵HC∥EG，

∴∠HCM＝∠EGF，

∵∠CMH＝∠EFG＝90°，

∴△HMC∽△EFG，

∴HMCM＝EFFG＝23，

∴HM8.5＝23

∴HM＝173，

∵BD∥EG，

∴∠BDC＝∠EGF，

∴tan∠BDC＝tan∠EGF，

∴CNDN＝EFFG＝23，

设CN＝2x，DN＝3x，则CD＝13x=13，

解之：x=13，

∴AB＝CN＝213，

∴OA＝OB＝1213．答案：y=−解析：解：如图，过点C作CE⊥y轴交于点E，过点D作DF⊥x轴交于点F，

∵tan∠ABO=3，

∴AO=3OB，

设OB=a，则AO=3a，

∵∠ABC=90°，

∴∠ABO+∠OAB=∠ABO+∠CBE，

∴∠OAB=∠CBE，

又∵AB=BC，∠AOB=∠BCE=90°，

∴Rt△AOB≌Rt△BCE（AAS），

∴CE=OB=a，BE=AO=3a，

∴OE=BE-BO=3a-a=2a，

∴点C（a，2a），

∵点C在反比例函数y=1x图象上，

∴2a2=1，解得a1=22，a2=-22（舍去），

∴CE=OB=22，BE=AO=322，

同理可证：Rt△AFD≌Rt△AOB（AAS），

∴DF=AO=322，AF=BO=22，

∴FO=2，

∴D（-2，322），

设经过D点的反比例函数解析式为y=dx（d≠0），

∴d=-2×322=-3，

∴y=-3x.

如图，过点C作CE⊥y轴交于点E，过点D作DF⊥x轴交于点F，由tan∠ABO=3得AO=3OB，设OB=a，则AO=3a，由“AAS”定理证出Rt△AOB≌Rt△BCE，从而得CE=OB=a，BE=AO=3a，进而得OE=2a，即点C（a，2a），由点C在反比例函数y=1x图象上，列出关于a的方程，解之得CE=OB=214．答案：解：如图，作OA的垂直平分线交∠O的另一边上于点B，B点即为所求∵垂直平分线∴OB=OA∴∠OAB=∠O∴tan∠OAB=解析：根据等角的同名三角函数值相等及等角对等边可知，作OA的垂直平分线，交∠O的另一边上于点B，B点即为所求.15．答案：解：过点A作AD⊥BC，交BC的延长线于点D，则∠ADC=90°，在Rt△ADC中，∠C=45°，∴AD=DC，根据勾股定理可得：AD即2AD解得AD=DC=62∵∠ABC=120°，∴∠ABD=60°，在Rt△ABD中，设BD=x，则AB=2x，根据勾股定理可得：AD即(6解得x=26即BD=26∴BC=DC−DB=62解析：过点A作AD⊥BC，交BC的延长线于点D，则∠ADC=90°，设BD=x，则AB=2x，根据勾股定理可得(62)2+16．答案：解：过点E作EG⊥BC于点G，AH⊥EG于点H．∵EF∥BC，则EF∥AH∥BC，∴∠GEF=∠BGE=90°，∵∠AEF=143°，∴∠EAH=180°−143°=37°．在Rt△EAH中，AE=1.2m，∴sin∠EAH=∴EHAE∴EH≈1.∵AB⊥BC，∴四边形ABGH为矩形．∵GH=AB=1.∴EG=EH+HG=1.答：此时杆EF到地面BC的距离为1.解析：过点E作EG⊥BC于点G，AH⊥EG于点H，根据sin∠EAH=sin37°=EHAE≈017．答案：解：过点P作PE⊥AD于点E，过点N作NO⊥BC于点O，如图，根据题意，设AB=PE=NO=a，CG=CF=2×80=160，∵LB为两块砖高度，BP为三块砖的长度，∴LBPB由反射的性质，AB∥EP∥NO，∴∠BLP=∠LPE=∠EPN=∠PNO，∵∠B=∠PON=90°，∴△BPL∽△OPN，∴NOOP∴OP=3同理可证△ONF∽△CGF，∴NOOF∴OF=NO=a，∵BC=BP+OP+OF+CF，BC=80×25=2000，∴BC=3×80+3解得a=640；∴AB的高度为640厘米；∵CO=OF+CF=640+160=800，又AM=DN=CO=800，∴MN=2000−2×800=400；∴MN的长度为400厘米；解析：过P作PE⊥AD于点E，过N作NO⊥BC于点O，设AB=PE=NO=a，CG=CF=2×80=160，由题意得LBPB=218．答案：（1）解：如图1，作AG⊥BC于G，∴BG=AB•∴AG=1∵EC=EF，（2）解：如图2，