中考数学知识点练习真题-矩形、菱形、正方形（解析版）

第十九讲矩形、菱形、正方形

命题点1矩形的相关证明与计算

1.（2020•怀化）在矩形ABc。中，AC、BD相交于点0,若44OB的面积为2,则矩形4BC。

的面积为（）

【答案】C

【解答】解：；四边形A8C。是矩形，对角线AC、8。相交于点0,

.∙.AC=8C,且OA=OB=OC=O。，

.*.SMDO-SΔneo—SACDO=SBo=2,

二矩形ABCD的面积为4SΔABO=8,

故选：C.

2.（2021•遂宁）如图，在矩形ABC力中，AB=5,AD=3,点E为BC上一点，把aCDE

沿。E翻折，点C恰好落在AB边上的F处，则CE的长是（）

323

【答案】D

【解答】解：设CE=X,则8E=3-χ.

由折叠性质可知，EF=CE=x,Of=CD=A8=5.

在Rt尸中，AD=3,DF=S.

ΛAF=4.

.".BF=AB-AF=I.

在RtZXBEF中，BE1+BF1EF1.

即(3-x)2+l2=x2.

解得χ=e.

3

故选：D.

3.（2021•黑龙江）如图，在平行四边形ABC。中，对角线4C、8。相交于点。，在不添加

任何辅助线的情况下，请你添加一个条件,使平行四边形ABC。是矩形.

［答案］NABC=90°（答案不唯一）

【解答】解：添加一个条件为：ZABC=Wo,理由如下：

；四边形A8C。是平行四边形，ZΛBC=90°,

•••平行四边形ABCD是矩形，

故答案为：ZΛBC=90°（答案不唯一）.

4.（2021•贵港）如图，在矩形ABC。中，BQ是对角线，AELBD,垂足为E,连接CE,

若tan∕AOB=L,贝IJtan/CEC的值是.

3

【解答】解：如图，过点C作CfLB。于点F,

在443E与aCOF中，

'NAEB=NCFD

<NABE=NCDF,

AB=CD

Λ∆ΛBE^∆CDF(A4S),

.'.AE=CF,BE=FD,

"：AELBD,tanZADB=M=X

AD2

设AB=4,则Ao=2”，

∙'∙BD=>

'：SMBD=-BD∙AE=1ΛB∙AD,

22

：.AE=CF=运,，

5

.∖BE=FD=J^a,

5

：.EF=BD-2BE=√5r/-~a,

55

.∖tanNoEC=51=2,

EF3

5.（2021•十堰）如图，。是矩形ABCQ的对角线AC的中点，M是A。的中点.若AB=5,

AD=12,则四边形ABOM的周长为.

【答案】20

【解答】解：：0是矩形ABCQ的对角线AC的中点，M是AO的中点，

.∙.OM=∙1CQ=L8=2.5,

22

：AB=5,AD=I2,

.".AC=+∣22=13,

：。是矩形ABCD的对角线AC的中点，

.∙.BO=LC=6.5,

2

.,,四边形ABOM的周长为A8+AM+80+OM=5+6+6.5+2.5=20,

故答案为：20.

6.（2021•嘉峪关）如图，在矩形ABC力中，E是BC边上一点，ZAED=90o,NEAD=

30o,F是AO边的中点，EF=4cm,则BE=cm.

BC

E

【答案】6

【解答】解：；NAEO=90°,尸是4。边的中点，EF=4cm,

•'•A。=2EF=Scm,

VZEAD=30o,

ΛAE=AD∙cos30o=8X—=4√3C7Π,

2

又；四边形ABCO是矩形，

.∖AD∕∕BC,/8=90°,

.".ZBEA=ZEAD=30o,

在RtAABE中，

8E=AE∙COSNBE4=4Λ/^XCOS30°=4-∖∕3×^-^-—6（cm）,

2

故答案为：6.

7.（2021•绍兴）图1是一种矩形时钟，图2是时钟示意图，时钟数字2的刻度在矩形ABCO

的对角线BO上，时钟中心在矩形ABC。对角线的交点。上.若AB=30c∙m,贝IJBC长

为—cm（结果保留根号）.

）

、

图1图2

【答案】30√3

【解答】解：过。点作OELCD,OFLAD,垂足分别为E,F,

由题意知NFQD=2/D0E,

A----------f-----_，D

E

-----------------'C

图2

VZFOD+ZDOE=90o,

.∙.NDOE=30°,ZFOD=60°,

在矩形ABCD中，ZC=90o,CD=A8=30cm,

.,.OE∕∕BC,

.∙.NDBC=NDOE=30°,

：.BC=«CD=30√3<∙m,

故答案为30√i

8.（2021∙内江）如图，矩形4BC。中，48=6,BC=8,对角线BO的垂直平分线E尸交AD

于点E、交BC于点F,则线段EF的长为.

【答案】l∑

2

【解答】解：；四边形/A8C。是矩形，

.,.ZA=90o,又AB=6,AD=BC=S,

5D=VAB2+AD2=10,

∙.∙E尸是8。的垂直平分线，

IOB=OD=S,NBOF=90°,又NC=90°,

.♦.△BOFSABCD,

.OF=BO

"CD^BC'

.PL=S

,-6^^8,

解得，。尸=叵，

4

：四边形ABCO是矩形，

.∖AD∕∕BC,NA=90°,

：.NEDO=NFB0,

：EF是BQ的垂直平分线,

.∖BO=DO,EFLBD,

在△力EO和aBFO中，

"ZEDO=ZFBO

<BO=DO，

ZEOD=ZFOB

.∙.∆DEO^ΔβFO(ASA),

：.OE=OF,

ΛEF≈2OF≈1∑.

2

故答案为：l∑.

2

9.（2021•枣庄）如图，ZBOD=A5°,B。=。。，点A在。B上，四边形ABC。是矩形，

连接AC,BD交于点E,连接OE交4。于点凡下列4个判断：ΦθElBD;@ZADB

=30°；③。尸=扬尸；④若点G是线段OF的中点，则AAEG为等腰直角三角形，其

中，判断正确的是.（填序号）

【答案】①③④

【解答】解：①；四边形A8C。是矩形，

：.EB=ED,

'：BO=DO,

.,.OELBD故①正确；

(g)VZBC>D=45°,BO=DO,

ΛZABD=A(180°-45°)=67.5°,

2

ΛZADB=90°-27.5°=22.5°,故②错误;

③；四边形A8CD是矩形，

NOAQ=/540=90°,

二NAB。+/Ao8=90°,

"：OB=OD,BE=DE,

：.OELBD,

：.NBoE+NOBE=90°,

NBOE=NBZM,

；/800=45°,ZOAD=90°,

ΛZADO=45°,

：.AO=AD,

Λ∆Λ0F^ΔAβD(.ASA),

J.OF=BD,

：.AF=ABf

连接8尸，如图1,

TBE=DE,OE-LBDf

IDF=BF,

ΛDF=√2ΛF,故③正确；

④根据题意作出图形，如图2,

图2

YG是。产的中点，NOA尸=90°,

.'.AG=OGf

：.ZAOG=ZOAG9

VZAOD=45o,OE平分NAo。，

JNAOG=NOAG=22.5",

ΛZMG=67.5o,ZADB=ZAOF=22.5o,

Y四边形48C。是矩形，

：・EA=ED,

JNE4O=NED4=22.5°,

ΛZEΛG=90o,

VZAGE=ZAOG+ZOAG=45o,

ΛZAEG=45o,

∙*∙AE=AGj

,△AEG为等腰直角三角形，故④正确；

判断正确的是①③④.

故答案为：①③④.

10.（2021•贵阳）如图，在矩形ABCQ中，点M在。C上，AM=AB,且BN_LAM,垂足为

N.

(1)求证：Z∖A8Ng∕∖MAQ;

(2)若AQ=2,AN=A,求四边形BCMN的面积.

【答案】⑴略⑵4√5-8.

【解答】(1)证明：在矩形ABCD中，NO=90°,DC//AB,

：.NBAN=NAMD,

'：BNLAM,

.∙.N8NA=90°,

在AABN和△%1£)中，

rZBAN=ZAMD

-NBNA=ND=90°，

AB=AM

：.XABN迫∕∖MAD(AΛ5);

(2)解：:LABN@LMAD,

：.BN=AD,

"：AD=2,

.∖BN=2,

又；AN=4,

在中，

Rt∆AB∕V^=√AN2+BN2=√^2=2√^,

∙,∙S由形ABCD=2X2yf^=S/\ABN=SAMAD=—^2×4—4,

2

巡

∙*∙S四边形BCMN=S也形48CT)-S^ABN-SzχM4Q=4-8.

U.（2021∙金华）已知：如图，矩形ABCQ的对角线AC,3。相交于点O,ZBOC=UOo,

AB=I.

（1）求矩形对角线的长；

（2）过。作OE_LA。于点£连结BE.记NA3E=α,求tana的值.

B

【答案】（1）4（2）tanα=旭=返

AB2

【解答】解：（1）；NBOC=I20°,

ΛZAOB=60",

•••四边形48CD是矩形，

：.NBAD=90°,AC=80,AO=OC,BO=DO,

：.AO=BO,

∙*∙∆AOB是等边三角形，

：.AB=AO=BO,

VAB=2,

,B0=2,

・・・80=280=4,

・,・矩形对角线的长为4；

22222

（2）由勾股定理得：ΛD=√BD-AB=√4-2=V3'

•：OA=OD,OELAD于点E,

ΛAZ∙=DE=JUθ=√3>

tanɑ=∙⅛5∙=2^,

AB2

命题点2菱形的相关证明与计算

12.（2021∙河南）关于菱形的性质，以下说法不正确的是（）

A.四条边相等B.对角线相等

C.对角线互相垂直D.是轴对称图形

【答案】B

【解答】解：A.菱形的四条边相等，正确，不符合题意，

B.菱形的对角线互相垂直且平分，对角线不一定相等，不正确，符合题意，

C.菱形的对角线互相垂直且平分，正确，不符合题意，

D.菱形是轴对称图形，正确，不符合题意，

故选：B.

13.（2021•烟台）如图，在直角坐标系中，菱形ABS的顶点4,B,C在坐标轴上，若点

8的坐标为（-1,O）,ZBCD=120°,则点。的坐标为（)

A____________D

BOCX

A.(2,2)B.(√3-2)C.(3，√3)D.(2,√3)

【答案】D

【解答】解：；菱形A8CZλZBCD=120°,

ΛZΛBC=60o,

VB(-1,0),

；.08=1,OA=M，A8=2,

,A(O,√3)>

.∙.BC=AO=2,

C,OC=BC-OB=I-1=1,

.∙.C(1,0),D(2,√3),

故选：D.

14.(2021•陕西)如图，在菱形ABC£>中，NABC=60°，连接AC,BD,则处的值为()

BD

A-2B∙gCwɜD.返

3

【答案】D

【解答】解：设AC与8。交于点。，

•；四边形48CO是菱形,

.∙.AO=CO,BO=DO,AC±BD,NABZ）=∙1∕A8C=30°，

2

：tanNABo=迫Xɪ,

BO3

.AC√3

•∙-----=-----,

BD3

故选：D.

15.（2021•绍兴）如图，菱形ABCD中，NB=60°,点P从点B出发，沿折线BC-CD

方向移动,移动到点D停止.在aABP形状的变化过程中，依次出现的特殊三角形是（

A.直角三角形一等边三角形一等腰三角形-直角三角形

B.直角三角形一等腰三角形一直角三角形一等边三角形

C.直角三角形一等边三角形一直角三角形-等腰三角形

D.等腰三角形一等边三角形一直角三角形一等腰三角形

【答案】C

【解答】解：∙.∙∕B=60°,故菱形由两个等边三角形组合而成，

当AP_L8C时，此时448P为直角三角形；

当点P到达点C处时，此时aABP为等边三角形；

当P为Co中点时，448P为直角三角形；

当点尸与点。重合时，此时AABP为等腰三角形，

故选：C.

16.（2021•安徽）如图，在菱形ABCn中，AB=2,ZA=120°,过菱形ABCC的对称中

心O分别作边AB,BC的垂线，交各边于点E,F,G,H,则四边形EFGH的周长为（）

C.2+Λ∕3D.l+2√3

【答案】A

【解答】解：如图，连接80,AC.

四边形ABC。是菱形，ZBAD=120°,

：.AB^BC^CD=AD^2,/8AO=/OAO=60°,BDLAC,

ZABO=ZCBO=30o,

.,.OA=JUB=I,OB=√3O∕i=√3>

2

VOELAB,OFLBC,

.∖ZBEO=ZBFO=90o,

在48Eo和尸。中，

'NBEO=NBFO

,ZEBO=ZFBO-

BO=BO

：.ABEO乌ABFO(AAS),

：.OE=OF,BE=BF,

；NEBF=60°,

aBEF是等边三角形，

.∖EF=BE=-J3x-=->

22

同法可证，∕∖DGH,∕∖OEH,△（?尸G都是等边三角形，

：.EF=GH=3,EH=FG=昱,

22

四边形EFGH的周长=3+√S,

故选：A.

17.（2021•朝阳）如图，在菱形A3C。中，点E,尸分别在AB,CQ上，JSBE=2AEfDF

EHF

=2CF,点G,H分别是AC的三等分点，则:四边出G.的值为（）

S菱形ABCD

9639

【答案】A

【解答】解：,JBE=2AE,DF=2FC,

•AE1CF1

•-------ZZ-------------------=------

BE2DF2

•.•G、”分别是AC的三等分点，

•••A-G=1，--C-H~1>

GC2AH2

•.•—AE=“A一G-一，

BEGC

J.EG//BC

.EG_AE1

一而而可

同理可得H尸〃AO,典」，

AD3

.S四边形EHFG1v11

S菱形ABCD339

故选：A.

18.（2021•南充）如图，在菱形ABC。中，ZA=60o,点、E,E分别在边AB,BC上,AE

=BF=2,AOEF的周长为3加，则AD的长为（）

A.√6B.2√3C.√3+lD.2√3-1

【答案】C

【解答】解：如图，连结8。，作垂足为H,

；四边形ABC。是菱形，

.∙.AB=AO,AD//BC,

"：ZA=60°,

...△ABO是等边三角形，N4BC=180°-∕A=120°,

：.AD=BD,ZA8D=ZA=ZADB=60a,

.∙.∕OBC=NA8C-NABD=120°-60°=60°,

；AE=BF

MADE2LBDF(SAS),

：.DE=DF,NADE=NFDB,

：.NEDF=NEDB+NFDB=ZEDB+ZADE=ZADB=GOo,

EF是等边三角形，

•••△。£：尸的周长是3加，

DE=yf^,

i⅛AH=x,则HE=2-X,

"：AD=BD,DHLAB,

.∙.NADH=上∕AQ3=30°,

2

.∙.AZ)=2x,DH=心,

在Rt△£＞，£：中，DH2+HE?=DE?,

：.(√3r)2+(2-χ)—(√β)2,

解得：X=上喳.(负值舍去)，

2

∙*∙AD=2x=

故选：C.

19.（2021∙北京）如图，在矩形ABCO中，点£,尸分别在6C,A。上，AF=EC.只需添

加一个条件即可证明四边形AECF是菱形，这个条件可以是（写出一个即可）.

D

［答案］AE=AF

【解答】解：这个条件可以是AE=AR

理由：：四边形ABC。是矩形，

：.AD//BC,

即AF//CE,

∖,AF^EC,

.∙.四边形AECF是平行四边形，

"：AE=AF,

.∙.四边形4EC尸是菱形，

故答案为：AE^AF.

20.（2021•山西）如图，在菱形ABC。中，对角线AC,BZ）相交于点O,BD=8,AC=6,

OE//AB,交BC于点、E,则OE的长为.

【答案】ɪ

2

【解答】解：T菱形ABCo中，对角线AC,8。相交于点O,

OA—OC=-ɪ-ʌɑɪɜ>O8=∕BD=4√ACYBD,

`:OE//AB,

：.BE=CE,

.♦.0E为4A8C的中位线，

.1

∙∙OE-yAB'

在RtZ∖4B0中，由勾股定理得：

AB=√32+42=5,

.∙.0E=∙∑

2

21.(2021•盐城)如图，D、E、F分别是AABC各边的中点，连接。£、EF、AE.

(1)求证：四边形AoE尸为平行四边形；

(2)加上条件后，能使得四边形A。EF为菱形，请从①/BAC=90°；②AE平

分/B4C；③AB=AC这三个条件中选择1个条件填空(写序号)，并加以证明.

【解答】解：(1)证明：已知。、E、F为AB、BC、AC的中点，

.∙.DE为aABC的中位线，根据三角形中位线定理，

；.f)E〃4C,且OE=∕AC=AF.

BPDE//AF,DE=AF,

：.四边形ADEF为平行四边形.

(2)证明：选②4E平分/BAC,

平分N84C,

：.ZDAE^ZFAE,

又YADEF为平行四边形，

J.EF//DA,

：.NZ?AE=NAEF,

：.ZFAE=NAEF,

.∙.AF=M,

.∙.平行四边形EF为菱形.

选③A8=AC,

`:EF//AB且EF=ΣAB,DE/∕ACHDE=I.^,

XVAB=AC

IEF=DE,

.∙.平行四边形AoE尸为菱形.

22.(2021•云南)如图，四边形ABCD是矩形，E、F分别是线段A。、BC上的点，点。是

E尸与BO的交点.若将aBED沿直线8。折叠，则点E与点尸重合.

(1)求证：四边形BEQF是菱形；

(2)若ED=24E,AB∙AD=3∖∕3<求EF∙BD的值.

【答案】⑴略(2)4√3

【解答】解：(1)证明：将4BEO沿8。折叠，使E,F重合,

JOE=OF,EFLBD,

•••四边形ABCQ是矩形，

.∙.NC=90°,AD//BC,

：.ΛODE=AOBF,

在AOBF和AOOE中，

'NOBF=NoDE

<ZBOF=ZDOE-

OF=OE

IAOBF当AODE(AAS),

：.OB=OD,

•；0E=OF,

.∙.四边形BEoE是平行四边形，

'：EFlBD,

.∙.四边形BFQE是菱形.

(2)如图，VAB∙AD=3√3,

∙"∙S^ABD—AB,AD—ɪʌ/ɜ*

"：ED=IAE,

.".ED=2AD,

3

：・SABDE：S^ABD=2:3,

:∙S∕∖BDE=册,

二菱形BEDF的面积=JLEF∙8D=2SABDE=2√^,

2

：.EF∙BD=AyR.

命题点3正方形的相关证明与计算

23.（2021•玉林）一个四边形顺次添加下列条件中的三个条件便得到正方形:

«.两组对边分别相等

h.一组对边平行且相等

C.一组邻边相等

d.一个角是直角

顺次添加的条件：①α^∙^c，fcK^b-d-"-C③afbfc

则正确的是（）

/ɜ添加条件A匚!

四边形正方形

A.仅①B.仅③C.①②D.②③

【答案】C

【解答】解：①由“得到两组对边分别相等的四边形是平行四边形，添加C即组邻边

相等的平行四边形是菱形，再添加d即一个角是直角的菱形是正方形，故①正确；

②由h得到一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，添加d即有一个角是直角的平

行四边形是矩形，再添加c即一组邻边相等的矩形是正方形，故②正确；

③由«得到两组对边分别相等的四边形是平行四边形，添加b得到一组对边平行且相等

的平行四边形仍是平行四边形，再添加c即一组邻边相等的平行四边形是菱形，不能得

到四边形是正方形，故③不正确：

故选：C.

24.（2019•毕节市）如图，点E在正方形ABCO的边AB上，若EB=I,EC=2,那么正方

【答案】B

【解答】解：；四边形ABCD是正方形,

.∙.NB=90°,

ABC2=EC2-EB2=22-12-3,

正方形ABCD的面积=BC2=3.

故选：B.

25.（2021•重庆）如图，正方形ABCZ）的对角线AC,BD交于点O,M是边AQ上一点，

连接。过点。作CWLoM,交CD于点M若四边形MON。的面积是1,则AB的

长为()

A.IB.√2C.2D.2√2

【答案】C

【解答】解：•：四边形ABC。是正方形，

：.ZMDO=ZNCO=45°,OD=OC,NQOC=90°,

NOON+/CON=90°,

YONLOM,

ΛZMOZV=90°,

：.NDON+NDOM=90",

ZDOM=ZCON,

在△£>(?M和△(%>代中，

rZDOM=ZCON

<OD=OC，

ZMDO=ZNCO

：.ADOM%ACON(ASA),

∙.∙四边形MOND的面积是I,四边形MOND的面积=∙ΔOOM的面积+Z∖0ON的面枳，

.∙.四边形MOND的面积=ZXCON的面积+ZkOON的面积=AOOC的面积，

ZXOOC的面积是1,

.∙.正方形ABCQ的面积是4,

.∖AB2^4,

."8=2,

故选：C.

26.(2021•湖北)如图，在正方形ABC。中，AB=4,E为对角线AC上与A,C不重合的

一个动点，过点E作EnLAB于点REGLBC于点G,连接OE,FG,下列结论：①

DE=FG:©DEVFG-,③/BFG=NADE;④FG的最小值为3.其中正确结论的个数有

()

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】C

【解答】解：①连接交FG于点0,如图，

,：EFA.AB,EG-LBC,

：.NEFB=NEGB=90°.

'：ZABC=90a,

四功形EFBG为矩形.

：.FG=BE,OB=OF=OE=OG.

•••四边形ABC。为正方形，

：.AB=AD,∕BAC=∕DAC=45°.

在AABE和△AOE中，

,AE=AE

<ZBAC=ZDAC-

AB=AD

Λ∆ABf^∆ADE(SAS).

：.BE=DE.

,DE=FG.

二①正确；

②延长OE,交FG于M,交FB于点H,ΛABE^∕∖ADE,

：.NABE=ΛADE.

由①知：OB=OF,

：.ZOFB^ZABE.

：.NoFB=NADE.

VZBΛD=90o,

ΛZADE+ZAHD=90o.

ΛZOFB+ZAHD=Wo.

即：NFMH=90°,

：.DELFG.

，②正确；

③由②知：ZOFB=ZADE.

即：NBFG=NADE.

，③正确；

④：点E为4C上一动点，

，根据垂线段最短，当Z）ELIC时，Z）E最小.

∙.∙AE>=CO=4,NACC=90°,

ΛΛC=√AD2-FCD2=4√2∙

：.DE=IAC=2®

2

由①知：FG=DE,

.∙.尸G的最小值为2圾，

；•④错误.

综上，正确的结论为：①②③.

故选：C.

27.（2021•黔东南州）如图，在边长为2的正方形ABCD中，若将AB绕点A逆时针旋转

60°,使点B落在点8'的位置，连接88',过点。作。ELBB',交88'的延长线

于点E,则B'E的长为（）

【答案】A

【解答】解：分别延长AD和BE交于点F,

由题知，AB=2,ZABF=60o,

ΛBF=AB÷cos60°=2÷A=4,AF=BF∙sin60o=4×ɪ1=2√3,NF=90°-ZABF

22

=30o,

DF=AF-AD=2√3-2,

.∙.E尸=。尸∙cosNF=(2√ξ-2)X孝=3-b，

由题知，4438是等边三角形，

.∙.B'E=BF-BB'-EF=4-2-(3-√3)=√3^∣>

28.（2021•常德）如图，已知尸、E分别是正方形ABC。的边AB与BC的中点，AEDF

交于P.则下列结论成立的是（）

A.BE=IAEB.PC=PD

2

C.ZEAF+ZAFD=90°D.PE=EC

【答案】C

【解答】解：：尸、E分别是正方形ABCQ的边AB与8C的中点,

：.AF=BE,

在和ABEA中，

'AF=BE

-NDAF=NABE=90°，

AD=BA

Λ∕∖AFD^ΛBEA(SAS),

.∙.NFDA=NEAB,

又：/Ff>A+NAED=90°,

ΛZEΛB+ZAFD=90o,

即NEAF+NAFQ=90°,

故C正确，A、B、。无法证明其成立，

故选：C.

29.(2021春•新吴区月考)如图，将正方形OEFG放在平面直角坐标系中，O是坐标原点,

点E的坐标为(2,3),则点尸的坐标为()

A.(-2,3)B.(-3,5)C.(5,-2)D.(-1,5)

【答案】D

【解答】解：如图，过点E作EZ)_LX轴于点Q,过点G和点F分别作)，轴和X轴的平行

线，交y轴和X轴于点B和A,两线相交于点C,

得矩形ACBO,

.∖AC=OB,AO=CB,

；点E的坐标为(2,3),

.,.ED=3,OO=2,

；四边形OEFG是正方形，

.∙.∕E0G=NFG0=90°,

ΛZEC>D+ZGOB=90o,

VZGOB+ZOGB=90a,

"EOD=NOGB,

在aEOO和AOGB中，

"ZEOD=ZOGB

-NEDo=NOBG=90°，

EO=OG

.,.ΔΔOGB(AAS),

：.ED=OB=3,OD=BG=2,

同理可证：4E0DqAFGC(AAS),

：.ED=CG=3,OD=CF=2,

.∖AO=CB=BG+CG=3+2=5,AF=AC-CF=OB-CF=3-2=1,

：.F（-L5）.

故选：D.

30.（2020•陕西）如图，在矩形ABCZ）中，A8=4,BC=8,延长8A至E,使AE=AB,以

AE为边向右侧作正方形AEFG,。为正方形4EFG的中心，若过点O的一条直线平分该

组合图形的面积，并分别交EF、BC于点M、N,则线段MN的长为.

【答案】4√5-

【解答】解：如图，连接AC,BD交于点H,过点。和点H的直线MN平分该组合图形

的面积，交4）于S,取AE中点P,取AB中点。，连接OP,HQ,过点O作OTVQH

于T,

：四边形ABCD是矩形，

：.AH=HC,

又YQ是AB中点，

ΛρH=AβC=4,QH//BC,AQ=BQ=2,

2

同理可求Po=ΛΛG=2,PO//AG,EP=AP=2,

2

：.PO//AD//BC//EF/∕QH,EP=AP=AQ=BQ,

'MO=OS=SH=NH,ZOPQ^ZPQH=W,

'：OTLQH,

四边形PoTQ是矩形，

：.Po=QT=2,OT=PQ=4,

J.TH=2,

∙,∙OH-+TR2=∙∖∕4+16^2√5>

.∙.MN=2OH=4√^,

故答案为：4-∖∕5.

31.（2021•湖州）由沈康身教授所著，数学家吴文俊作序的《数学的魅力》一书中记载了这

样一个故事：如图，三姐妹为了平分一块边长为1的祖传正方形地毯，先将地毯分割成

七块，再拼成三个小正方形（阴影部分）.则图中AB的长应是.

【解答】解：：地毯面积被平均分成了3份,

在RtAACD中，根据勾股定理可得AD=^CD2-AC2=√2.

又根据剪裁可知BD=CK=1,

J.AB=AD-BD=42-1.

故答案为：∙∖l∕2-L

32.（2021•东营）如图，正方形纸片48C。的边长为12,点尸是AD上一点，将