第八章 立体几何（综合检测）【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）参考答案

第八章立体几何章末检测参考答案1．C2．C3．A4．A5．C6．A7．A8．B9．BD10．ABC11．BD12．AD13．14．15．16．①④17．【详解】（1）证明：连接，∵在矩形中，，分别是，中点，∴，，∴四边形是平行四边形，∴.∵是的中点，∴.∵平面，平面，∴平面，平面.∵，∴平面平面.∵平面，∴平面.（2）解：法一：∵平面，，∴平面.过在平面内，作，垂足为，则.∵，∴平面，∴长是点到平面的距离.在矩形中，是中点，，，.∴.∵，，∴，即点到平面的距离为.法二：设到平面的距离为，在矩形中，，，∴.∵平面，平面，∴，∵，∴，，∴的面积为.∵的面积为，，∴，∴，即点到平面的距离为.18．【详解】（1）解：（1）在正三棱柱中，易知，因为平面，平面，所以平面.因为平面，平面平面，所以.（2）（2）取的中点，连接，易知是正三角形，所以.又三棱柱是正三棱柱，所以平面，所以以为坐标原点，过点与平行的直线为轴，，所在直线分别为轴､轴建立如图所示的空间直角坐标系.设，，则，，，，，，所以，.设平面的法向量为，则，即，则，令，则，所以，易知平面的一个法向量，所以.因为平面与平面所成的锐二面角的大小为30°，所以，整理得，所以，，设直线与平面所成角的大小为，则.19．【详解】（1）取中点为，连接，在中，，，，，，所以，又，，而，所以，又，，，又，，平面（2）存在点F是的中点，使直线CF与平面PBC所成角的正弦值等于．以A为坐标原点，以为x轴，为y轴，为z轴建立空间直角坐标系，则，，，，设点，因为点F在线段上，设，，，设平面的法向量为，，则，令，则设直线CF与平面所成角为，，解得或（舍去），，此时点F是的中点，所以存在点F．20．【详解】（1）取BE的中点O，连接PO，OF，因为，，线段AD，BC的中点分别为点E，F，所以，，又因为，所以，在等腰直角中，，，所以平面PFO，因为平面PFO，所以.（2）当四棱锥体积最大时，点P在平面BCDE的射影即为点O，即平面BCDE.法一：以OB，OF，OP方向为x轴，y轴和z轴分别建立空间直角坐标系.如图3.则，，，，设平面PEC的法向量为，则取，可得易得平面ECB的一个法向量所以因为二面角是锐角，所以二面角的大小为.法二：在中，因为，，，所以.在中，，，，所以.由二面角的定义可知，二面角的平面角就是.所以二面角的大小为.21．【详解】（1）取中点，连接，，为中点，；，，；四边形为菱形，，为等边三角形，，又分别为中点，，，即；，平面，平面，平面，平面平面.（2）连接，由（1）知：为等边三角形，，；以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系，则，，，，，，，；设，则，，轴平面，平面的一个法向量，，解得：（舍）或，即，；由得：，，设平面的法向量，则，令，解得：，，；轴平面，平面的一个法向量，，，即平面与平面所成二面角的正弦值为.22．【详解】（1）解法一：连接交于，连接．在四棱柱中，易知四边形为平行四边形，

所以是的中点，

在中，因为是的中点，所以．

又平面，平面，所以平面．解法二：作辅助线，找到过且平行于平面的一个平面取的中点，连接，，，因为是的中点，所以，，所以四边形是平行四边形，所以．

又平面，平面，所以平面．

易知，，所以四边形是平行四边形，所以．又平面