第39讲 圆的方程、直线与圆的位置关系（精讲）【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）解析版

【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）第39讲圆的方程、直线与圆的位置关系（精讲）题型目录一览①圆的方程②点与圆的位置关系③与圆有关的轨迹问题④直线与圆相交⑤直线与圆相切、相离一、知识点梳理一、知识点梳理一、圆的基本概念平面内到定点的距离等于定长的点的集合（轨迹）叫圆．二、圆的基本性质、定理与公式1．圆的四种方程（1）圆的标准方程：，圆心坐标为（a，b），半径为（2）圆的一般方程：，圆心坐标为，半径（3）圆的直径式方程：若，则以线段AB为直径的圆的方程是（4）圆的参数方程：①的参数方程为（为参数）；②的参数方程为（为参数）．注意：对于圆的最值问题，往往可以利用圆的参数方程将动点的坐标设为（为参数，为圆心，r为半径），以减少变量的个数，建立三角函数式，从而把代数问题转化为三角问题，然后利用正弦型或余弦型函数的有界性求解最值．2．点与圆的位置关系判断（1）点与圆的位置关系：①点P在圆外；②点P在圆上；③点P在圆内．（2）点与圆的位置关系：①点P在圆外；②点P在圆上；③点P在圆内．三、直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系有3种，相离，相切和相交四、直线与圆的位置关系判断（1）几何法（圆心到直线的距离和半径关系）圆心到直线的距离，则：直线与圆相交，交于两点，；直线与圆相切；直线与圆相离（2）代数方法（几何问题转化为代数问题即交点个数问题转化为方程根个数）由，消元得到一元二次方程，判别式为，则：直线与圆相交；直线与圆相切；直线与圆相离．【常用结论】关于圆的切线的几个重要结论（1）过圆上一点的圆的切线方程为．（2）过圆上一点的圆的切线方程为（3）过圆上一点的圆的切线方程为（4）求过圆外一点的圆的切线方程时，应注意理解①所求切线一定有两条；②设直线方程之前，应对所求直线的斜率是否存在加以讨论．设切线方程为，利用圆心到切线的距离等于半径，列出关于的方程，求出值．若求出的值有两个，则说明斜率不存在的情形不符合题意；若求出的值只有一个，则说明斜率不存在的情形符合题意．二、题型分类精讲二、题型分类精讲题型一圆的方程策略方法求圆的方程的两种方法【典例1】已知圆过三点，，，则的圆心和半径分别为（

）A．， B．，C．， D．，【答案】A【分析】利用斜率可以推出是直角三角形，而直角三角形外接圆的直径是斜边长，圆心是斜边中点，据此求解.【详解】由题意，，，即，故，即是直角三角形，且为斜边，直角三角形外接圆的直径是斜边长，圆心是斜边中点，又，于是的外接圆半径为，圆心是的中点，即.故选：A【题型训练】一、单选题1．（2023·全国·高三专题练习）若方程表示圆，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据二元二次方程表示圆的条件列不等式，由此求得的取值范围.【详解】由圆的一般式方程可得，即，求得，故选：A2．（2023·全国·高三专题练习）已知圆的方程为，则圆心的坐标为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】将圆的方程配成标准方程，可求得圆心坐标.【详解】圆的标准方程为，圆心的坐标为.故选：A.3．（2023·全国·高三专题练习）已知直线是圆的对称轴，则的值为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由圆的方程可得圆心坐标，根据圆心在直线上可求得结果.【详解】由圆方程得：圆心，直线是圆的对称轴，圆心在直线上，即，解得：.故选：A.4．（2023·全国·高三专题练习）已知的顶点，，，则其外接圆的方程为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】先设圆的方程为，根据题意，列出方程组求解，即可求出结果.【详解】设的外接圆的方程为，因为的顶点，，，所以，解得，因此即为所求圆的方程.故选：A.【点睛】本题主要考查求圆的标准方程，利用待定系数法求解即可，属于基础题型.5．（2023·全国·高三专题练习）以点为圆心，且与直线相切的圆的方程是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】求出圆心到直线的距离即得圆的半径，即得圆的方程.【详解】由题得圆心到直线的距离，所以圆的方程为.故选：D.6．（2023·全国·高三专题练习）圆C：关于直线对称的圆的方程是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据点关于直线对称的性质，结合圆的标准方程进行求解即可.【详解】由圆C：，可知圆心坐标：，半径为，因为点关于直线的对称点为，所以圆C：关于直线对称的圆的方程是，故选：C7．（2023·高三课时练习）关于x、y的方程表示一个圆的充要条件是（

）.A．，且B．，且C．，且，D．，且，【答案】D【分析】根据圆的一般式方程可得答案.【详解】关于x、y的方程表示一个圆的充要条件是，即，且，.故选：D8．（2023秋·湖南·高三临澧县第一中学校联考开学考试）已知圆，过点作圆C的两条切线，切点分别为A，B．则四边形的面积为（

）．A．6 B．12 C．14 D．18【答案】B【分析】求出圆心和半径，得到切线长，求出四边形的面积.【详解】依题意，圆，圆心为，半径为3，则，，

故，由对称性可知，与全等，故四边形的面积．故选：B9．（2023秋·山东·高三校联考开学考试）过点，且圆心在直线上的圆与轴相交于，两点，则（

）A．3 B． C． D．4【答案】C【分析】由题意设圆的圆心、半径分别为，则圆的方程为，结合已知条件即可求出圆的方程，在圆的方程中令，即可求出，两点的坐标，由此即可得解.【详解】因为圆心在直线上，所以设圆的圆心、半径分别为，则圆的方程为，将，代入圆的方程有，解得，所以圆的方程为，在圆的方程中令得，解得，所以.故选：C.二、填空题10．（2023秋·上海黄浦·高三上海市大同中学校考开学考试）已知圆的面积为，则．【答案】【分析】根据圆的一般方程得出圆的半径，然后根据已知列出方程，求解即可得出答案.【详解】由已知可得，圆的半径.所以，圆的面积为，所以，，解得.故答案为：.11．（2023秋·云南昆明·高三云南省昆明市第十中学校考开学考试）已知圆的半径为3，则.【答案】【分析】化简圆的方程为圆的标准方程，根据题意列出方程，即可求解.【详解】将圆的方程转化为，因为圆的半径为3，所以，即.故答案为：.12．（2023秋·江西吉安·高三吉安三中校考开学考试）请写出一个过点，且与直线相切的圆的标准方程，为．【答案】（答案不唯一）【分析】写出一个符合条件的圆的标准方程即可.【详解】设为直径的一个端点，到直线的距离，可知半径，又若圆心在直线上，且，解得，所求圆的方程为.故答案为：（答案不唯一）．13．（2023·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，过四点的圆的方程为.【答案】【分析】根据题意，设圆的方程为，取三个点的坐标代入，得到方程组，求解即可得到结果.【详解】设圆的方程为，将点的坐标分别代入可得，，解得则可得圆的方程为故答案为:14．（2023春·河南商丘·高三临颍县第一高级中学校联考阶段练习）圆心与圆的圆心重合，且过点的圆的方程为．【答案】【分析】根据同圆心设出方程，代入点求出即可求解.【详解】依题意，设所求圆的方程为，由于所求圆过点，所以，解得．所以所求圆的方程为．故答案为：.15．（2023·全国·高三专题练习）已知圆C：，则当圆C的面积最小时，圆上的点到坐标原点的距离的最大值为．【答案】【分析】利用配方法，结合二次函数的性质、圆的几何性质进行求解即可.【详解】，所以半径，当且仅当时，半径最小，此时圆心为，圆心到原点的距离为，因为，所以原点在圆外，根据圆的性质，圆上的点到坐标原点的距离的最大值为，故答案为：16．（2023春·湖南长沙·高三长沙麓山国际实验学校校考阶段练习）在平面直角坐标系中，经过直线与两坐标轴的交点及点的圆的方程为．【答案】【分析】根据直线的方程求出直线与坐标轴的交点，利用待定系数法及点在圆上即可求解.【详解】令，得，解得，所以直线与轴的交点为,令，得，解得，所以直线与轴的交点为,设圆的方程为,则因为，，三点都在圆上，所以,解得故所求圆的方程为故答案为：.题型二点与圆的位置关系策略方法判断集合关系的三种方法在处理点与圆的位置关系问题时，应注意圆的不同方程形式对应的不同判断方法，另外还应注意其他约束条件，如圆的一般方程的隐含条件对参数的制约．【典例1】“m<1”是“点P（1，1）在圆C：x2＋y2﹣2mx＝0外”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件【答案】B【分析】根据点与圆的位置，结合充分性、必要性的定义进行判断即可.【详解】由x2＋y2﹣2mx＝0可得，该方程表示圆，所以有，当点P（1，1）在圆C：x2＋y2﹣2mx＝0外时，有，所以此时，显然由不一定能推出，但是由一定能推出，所以“m<1”是“点P（1，1）在圆C：x2＋y2﹣2mx＝0外”的必要不充分条件，故选：B【题型训练】一、单选题1．（2023春·福建·高三校联考阶段练习）设圆：，若直线在轴上的截距为，则与的交点个数为（

）A． B． C． D．以上都有可能【答案】C【分析】利用直线过定点，判断定点在圆内即可．【详解】解：直线在轴上的截距为，直线过定点，，点在圆内，直线与的交点个数为个．故选：．2．（2023·全国·高三专题练习）已知两直线与的交点在圆的内部，则实数k的取值范围是（

）.A． B．C． D．【答案】B【分析】求出两直线的交点坐标，利用该交点到圆心的距离小于半径列式，解不等式可得结果.【详解】圆的圆心为，半径为，由得，则两直线与的交点为，依题意得，解得.故选：B3．（2023·全国·高三专题练习）点为圆外一点，则直线与该圆的位置关系为（

）A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定【答案】A【分析】利用点与圆的位置关系及直线与圆的位置关系的判断方法，结合点到直线的距离公式即可求解；【详解】因为点为圆外一点，所以.圆的圆心，半径为，所以圆心到直线的距离为，即.所以直线与该圆的位置关系为相交.故选：A.4．（2023·辽宁·校联考二模）已知圆，直线l：，若l与圆O相交，则（

）．A．点在l上 B．点在圆O上C．点在圆O内 D．点在圆O外【答案】D【分析】根据l与圆O相交，可知圆心到直线的距离小于半径，列出不等式，再判断点与直线和圆的关系.【详解】由已知l与圆O相交，,可知圆心到直线的距离小于半径，则有，故，把代入，所以点不在直线l上，故A错误；又，则点在圆O外，故D正确.故选：D．5．（2023·全国·高三专题练习）已知点在圆C：的外部，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据条件得到圆的标准方程，再由圆的半径的平方大于0得到；再根据点在圆的外部得到，即可求解得到的取值范围.【详解】由，得，则，解得：①，又∵点在圆的外部，∴，即，解得或②，由①②得，故选：B．二、填空题6．（2023·全国·高三专题练习）若坐标原点在圆的内部，则实数的取值范围为.【答案】【分析】根据原点在圆内可建立不等式，求解即可.【详解】∵原点在圆的内部，，解得所以实数的取值范围为故答案为：7．（2023·北京·北京四中校考模拟预测）已知圆，若点在圆上，并且点到直线的距离为，则满足条件的点的个数为.【答案】3【分析】设，根据点P到直线的距离为，求得，再由在圆上，得到，取得或，进而求得满足条件的点的个数，得到答案.【详解】设，由点P到直线的距离为，得两边平方整理得到①因为在圆上，所以，即②联立①②得，解得或，当时，由①②可得，解得或，即或当时，由①②可得，解得或，即或综上，满足条件的点P的个数为.故答案为：3.8．（2023·全国·高三专题练习）设点P(x，y)是圆：x2＋(y－3)2＝1上的动点，定点A(2，0)，B(－2，0)，则的最大值为.【答案】12【解析】由平面向量的数量积公式，可得的解析式；再由是圆上的动点，可得，的取值范围；从而求得的最大值．【详解】是圆上的动点，且，，，，，由，得，且，，的最大值为：12故答案为：．题型三与圆有关的轨迹问题策略方法求与圆有关的轨迹问题的四种方法(1)直接法：直接根据题设给定的条件列出方程求解．(2)定义法：根据圆的定义列方程求解．(3)几何法：利用圆的几何性质得出方程求解．(4)代入法(相关点法)：找出要求的点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式求解．【典例1】已知直线，点与点关于原点对称，若直线上存在点满足，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由求出点的轨迹，由直线与此轨迹存在公共点求出的范围作答.【详解】依题意，，设点，则，由，得，即，由已知得，而点既在直线上，又在圆上，因此直线与圆有公共点，又圆的圆心为原点，半径为，于是，解得或，所以实数的取值范围为.故选：B【题型训练】一、单选题1．（2023·湖南郴州·统考模拟预测）已知A，B是：上的两个动点，P是线段的中点，若，则点P的轨迹方程为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由圆的垂径定理得，利用勾股关系求得，结合圆的定义即可求出点P的轨迹方程.【详解】因为中点为P，所以，又，所以，所以点P在以C为圆心，4为半径的圆上，其轨迹方程为.故选：C.2．（2023秋·湖南永州·高三永州市第一中学校考阶段练习）在平面内，是两个定点，是动点，若，则点的轨迹为（

）A．圆 B．椭圆 C．抛物线 D．直线【答案】A【分析】由平行四边形法则易得，可知，可判断点的轨迹为以线段为直径的圆.【详解】设为线段的中点，.因为，所以，所以，所以，当点在点或时也满足，所以点的轨迹为以线段为直径的圆.故选:A.3．（2023春·安徽阜阳·高三安徽省临泉第一中学校考专题练习）平面直角坐标系中，，，动点满足，则使为等腰三角形的点个数为（

）A．0 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】设，根据可得动点的轨迹方程为圆，再结合为等腰三角形分析即可求解.【详解】设，由，得，整理得，记为圆又，为等腰三角形，则有或.因为圆与圆相交，故满足点有2个；因为圆与圆相交，故满足点有2个，故使为等腰三角形的点共有4个.故选：D.4．（2023·全国·高三专题练习）古希腊几何学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.在平面直角坐标系中，，，点满足，则点的轨迹方程为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】直接设，根据两点间距离公式代入运算整理．【详解】∵，即设，则，整理得故选：B．5．（2023·四川宜宾·四川省宜宾市第四中学校校考模拟预测）已知圆，圆，过动点P分别作圆、圆的切线PA，PB（A，B为切点），使得，则动点P的轨迹方程为（

）．A． B．C． D．【答案】D【分析】由条件结合圆的切线性质可得出，结合两点间的距离公式可得出答案.【详解】由得．因为两圆的半径均为1，则，则，即．所以点P的轨迹方程为．故选：D6．（2023秋·北京·高三北京市陈经纶中学校考开学考试）已知直线，点与点关于原点对称，若直线上存在点满足，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由求出点的轨迹，由直线与此轨迹存在公共点求出的范围作答.【详解】依题意，，设点，则，由，得，即，由已知得，而点既在直线上，又在圆上，因此直线与圆有公共点，又圆的圆心为原点，半径为，于是，解得或，所以实数的取值范围为.故选：B7．（2023·河南·校联考模拟预测）已知圆的直径，若平面内一个动点与点的距离是它与点距离的倍，则的面积的最大值为（

）A．64 B．12 C． D．【答案】D【分析】以为原点，所在直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，设，利用求出点的轨迹方程，再根据圆的知识可求出结果.【详解】以为原点，所在直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则，，设，因为，所以，整理得，所以点在以为圆心，以为半径的圆上，到直线的距离的最大值为，因此的面积的最大值为.

故选：D二、填空题8．（2023秋·湖南长沙·高三长郡中学校联考阶段练习）已知圆：，过动点作圆的切线（为切点），使得，则动点的轨迹方程为.【答案】【分析】由勾股定理得后列式求解【详解】设，由得，则，即.故答案为：9．（2023秋·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）已知点，，，点P满足，则点P到点C距离的最大值为．【答案】10【分析】设，根据题意求出点P的轨迹方程，然后利用圆的性质求得答案.【详解】设，∵，∴，化简得．则点P的轨迹是以为圆心，半径等于4圆，∵，故的最大值为，故答案为：10．10．（2023春·云南红河·高三开远市第一中学校校考阶段练习）已知点，，动点M满足，则点M到直线的距离可以是．（写出一个符合题意的整数值）【答案】0或1(只写一个即可)【分析】由题设知的轨迹为，根据圆心到距离得到到直线距离的范围，即可写出一个值.【详解】由题设知，即在以为直径的圆上，且圆心为，半径为，所以的轨迹为，而到的距离为，即直线过圆心，所以M到直线的距离范围，所以点M到直线的距离的整数值可以是0或1.故答案为：0或1(只写一个即可)11．（2023·全国·模拟预测）已知O为坐标原点，M是抛物线准线上的一点，点P在圆上.若MP的中点在圆上，则的取值范围为.【答案】【分析】设，由已知条件求点P轨迹方程，与圆联立方程组，求交点坐标，代入中求取值范围.【详解】抛物线的准线方程为x=1，设，，MP的中点为，则，.由题意，知在圆上，所以，即，联立消去x可得，当时，，此时；当时，，由P在圆上，可知，所以，即或，而，所以或.综上所述，的取值范围为.故答案为：12．（2023·浙江温州·乐清市知临中学校考模拟预测）点P圆上，点在直线上，O坐标原点，且，则点的横坐标的取值范围为．【答案】【分析】设点的坐标为，点的坐标为，由条件可得点在以为直径的圆上，由条件列不等式可求点Q的横坐标的取值范围.【详解】因为点在直线上，故设点的坐标为，设点的坐标为，则，因为，所以，所以，即点在圆上，又点在圆上，所以两圆有交点，又圆的圆心坐标为，半径为，所以，所以，所以，所以，所以，所以或，所以点的横坐标的取值范围为.故答案为：.13．（2023·四川成都·三模）已知，是圆内一点，对圆O上任意一点P都有为定值，则mn的值为．【答案】【分析】设，（为正常数），把用表示后整理即得圆方程，由此可求得，得出结论．【详解】设，（为正常数），显然，否则点轨迹是线段的中垂线，，整理得，这就是圆的方程，所以，解得，所以．故答案为：．题型四直线与圆相交策略方法直线与圆的相交问题（1）研究直线与圆的相交问题，应牢牢记住三长关系，即半径长、弦心距和半径之间形成的数量关系．（2）弦长问题=1\*GB3①利用垂径定理：半径，圆心到直线的距离，弦长具有的关系，这也是求弦长最常用的方法．=2\*GB3②利用交点坐标：若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间的距离公式计算弦长．=3\*GB3③利用弦长公式：设直线，与圆的两交点，将直线方程代入圆的方程，消元后利用根与系数关系得弦长：．【典例1】直线l：截圆所得的弦长等于（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据给定条件，求出圆的圆心和半径，再利用几何法求出弦长作答.【详解】圆的圆心，半径，点到直线的距离，所以所求弦长为.故选：C

【题型训练】一、单选题1．（2023·全国·高三专题练习）圆与直线的位置关系是（

）A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定【答案】A【分析】运用几何法与的关系判断圆与直线位置关系即可.【详解】圆的圆心为，半径为1，所以圆心到直线的距离，所以直线与圆的位置关系为相交.故选：A.2．（2023·全国·高三专题练习）直线和圆的位置关系为（

）A．相交 B．相切C．相离 D．无法确定【答案】A【分析】根据直线与圆的位置关系列式判断即可.【详解】由，得，所以圆心为，半径为，而直线可化为，所以圆心到直线的距离为，则直线和圆相交.故选：A3．（2023·全国·高三专题练习）已知圆C:x2+y2=1，直线：y=2x+b相交，那么实数b的取值范围是（

）A．（-3，1） B．（-，-） C．（，） D．（-，）【答案】D【分析】利用圆心到直线的距离列不等式，从而求得的取值范围.【详解】圆的圆心为，半径为，直线，由于圆与直线相交，所以，解得.故选：D4．（2023秋·湖北武汉·高三武汉市第四十九中学校考阶段练习）若直线与曲线有两个交点，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据直线所过的定点，结合直线与圆的切线性质，利用数形结合思想进行求解即可.【详解】直线恒过定点，曲线表示以点为圆心，半径为1，且位于直线右侧的半圆（包括点，）．当直线经过点时，与曲线有两个不同的交点，此时，直线记为；当与半圆相切时，由，得，切线记为．分析可知当时，与曲线有两个不同的交点，

故选：A．5．（2023·北京·高三专题练习）若圆与y轴交于A，B两点，则（

）A．2 B．4 C． D．【答案】D【分析】直接联立方程求A、B坐标即可.【详解】联立得，故A、B坐标为，即.故选：D6．（2023秋·北京·高三统考开学考试）直线被圆所截得的弦长为（

）A．1 B． C．2 D．3【答案】C【分析】根据圆心在直线上可得结果.【详解】由已知得圆心为，半径，因为圆心在直线上，所以直线被圆所截得的弦长为.故选：C7．（2023秋·山东·高三校联考开学考试）过点，且圆心在直线上的圆与轴相交于，两点，则（

）A．3 B． C． D．4【答案】C【分析】由题意设圆的圆心、半径分别为，则圆的方程为，结合已知条件即可求出圆的方程，在圆的方程中令，即可求出，两点的坐标，由此即可得解.【详解】因为圆心在直线上，所以设圆的圆心、半径分别为，则圆的方程为，将，代入圆的方程有，解得，所以圆的方程为，在圆的方程中令得，解得，所以.故选：C.8．（2023·全国·高三专题练习）过点作圆C：的两条切线，切点分别为A，B，则直线的方程为（）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据题意，可知圆的圆心为，半径，由切线长公式求出的长，进而可得以为圆心，为半径为圆，则为两圆的公共弦所在的直线，联立两个圆的方程，两方程作差后计算可得答案．【详解】根据题意，可知圆的圆心为，半径，过点作圆的两条切线，设切点分别为、，而，则，则以为圆心，为半径为圆为，即圆，所以为两圆的公共弦所在的直线，则有，作差变形可得：；即直线的方程为.故选：B.9．（2023秋·天津河东·高三天津市第四十五中学校考阶段练习）圆被过点的直线截得的最短弦长为（

）A．2 B．4 C． D．【答案】C【分析】根据点与圆、直线与圆的位置关系即可求得最短弦长.【详解】圆，圆心，半径所以，故点在圆内，则当直线垂直于过C，P的直径时，最短弦长.故选：C.10．（2023·河北衡水·模拟预测）已知直线与圆相交于两点，则的面积为（

）A． B． C． D．5【答案】B【分析】求出圆心和半径，由垂径定理得到，从而求出的面积.【详解】圆的方程为，故圆心坐标为，半径，点到线段的距离为，故，的面积.故选：B.11．（2023·山东济宁·嘉祥县第一中学统考三模）若直线与圆：相交于，两点，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】求出直线过的定点并判断与圆的位置关系，再求出垂直于经过该定点的圆的直径的弦长作答.【详解】直线，即恒过定点，而，即点在圆内，因此当且仅当时，最小，而圆的圆心，半径，，所以.故选：B

12．（2023·山西朔州·怀仁市第一中学校校考模拟预测）已知圆，过点作圆的两条切线，切点分别为，若，则的长为（

）A．2 B．3 C． D．【答案】D【分析】利用直线与圆相切的性质及四边形内角和计算可得∠APO=30°，解三角形即可.【详解】如图所示，因为，若，则，即，因为，所以.故选：D13．（2023秋·北京海淀·高三清华附中校考开学考试）若直线把圆分成长度为1：2的两段圆弧，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】直线和圆相交于，则根据较短弧长与较长弧长之比为得到,利用点与直线的距离建立条件关系即可．【详解】圆的标准方程为，圆心为，半径，设直线和圆相交于，若较短弧长与较长弧长之比为，则，则圆心到直线的距离，即，即，故选:D

14．（2023·全国·高三专题练习）若不等式的解集为区间，且,则（

）A． B． C． D．2【答案】C【分析】将问题转化为半圆位于直线下方的区间长度为2，由此可得，求出直线与半圆的交点坐标即可求得的值.【详解】解：如图所示：因为表示以坐标原点为圆心，4为半径位于轴上方(含和轴交点)的半圆，表示过坐标原点及第一三象限内的直线，又因为不等式的解集为区间，且,即半圆位于直线下方的区间长度为2，所以，所以直线与半圆的交点，所以.故选：C.15．（2023·全国·高三专题练习）设O为坐标原点，曲线x2＋y2＋2x－6y＋1＝0上有两点P，Q，它们关于直线x＋my＋4＝0对称，且，则直线PQ的方程为（

）A．y＝－x－1 B．y＝－x＋1C．y＝x－1 D．y＝x＋1【答案】B【分析】由的对称性得圆心过已知直线，从而求得值，直线与直线垂直，可设出其方程为，同时设，代入圆方程应用韦达定理得，得，代入求得得直线方程（注意判断直线与圆相交）．【详解】曲线x2＋y2＋2x－6y＋1＝0，即曲线(x＋1)2＋(y－3)2＝9，表示圆心为(－1，3)，半径为3的圆，因为点P，Q在圆上且关于直线x＋my＋4＝0对称，所以圆心在直线x＋my＋4＝0上，代入可得m＝－1，即直线方程为x－y＋4＝0.由题意知直线PQ与直线x－y＋4＝0垂直，所以可设直线PQ：y＝－x＋b，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，将y＝－x＋b代入圆的方程，整理得2x2＋2(4－b)x＋b2－6b＋1＝0，Δ＝4(4－b)2－4×2·(b2－6b＋1)＞0，解得2－3＜b＜2＋3，由根与系数的关系得x1＋x2＝－(4－b)，x1x2＝，y1y2＝b2－b(x1＋x2)＋x1x2＝＋4b.因为＝0，所以x1x2＋y1y2＝0，即b2－6b＋1＋4b＝0，解得b＝1∈(2－3，2＋3)，所以直线PQ的方程为y＝－x＋1.故选：B.二、填空题16．（2023·全国·高三专题练习）若直线过点且被圆截得的弦长是6，则该直线的方程为.【答案】或．【分析】由弦长求得圆心到直线的距离，根据点到直线的距离求直线的方程.【详解】由题可知圆心，半径，弦长，设弦心距是d，则，解得，若l斜率不存在，直线是，代入圆的方程解得,故该直线被圆截得的弦长为6,符合题意，若l斜率存在，设直线方程，即，则圆心到直线的距离，解得，直线l的方程为，即，综上，所求直线方程为或．故答案为：或．17．（2023·广西柳州·统考模拟预测）设直线与圆相交于两点，且弦的长为2，则实数的值是.【答案】【详解】根据给定条件，利用几何法求弦长列式求解作答.【点睛】圆的圆心，半径，圆心到直线的距离，依题意，，则，解得，所以实数的值是.故答案为：18．（2023·湖北·黄冈中学校联考模拟预测）已知直线与圆相交于A、B两点．若为直角三角形，则的值为．【答案】【分析】由为直角三角形，可得，从而可得的值.【详解】根据题意，圆即，若为直角三角形，即为等腰直角三角形，所以有圆心到直线的距离为：，解得：．故答案为：19．（2023春·广东珠海·高三珠海市第一中学校考阶段练习）已知圆，直线l过点，且交圆O于P，Q两点，使弦长为整数的直线l共有条.【答案】16【分析】根据弦长公式，可知线段的长度变化是连续的，故只需求得长度的最小值和最大值，即可知道长度介于最小值和最大值之间的整数的个数，再由对称性即可求解.【详解】

如图，过点作垂直于，垂足为，连接，设，圆半径为，则有=所以当即两点重合时，取得最小值为，因为圆直径为14，所以，当或时，分别代表圆内过点的最短弦和最长弦，这两条弦分别只有1条，其余长度为7、8、9、10、11、12、13的弦由于圆的对称性分别有两条，故该圆内过点且长度为整数的弦共有条.故答案为：16.20．（2023·广东广州·广州市从化区从化中学校考模拟预测）已知直线与圆交于A，两点，若是圆上的一动点，则面积的最大值是.【答案】【分析】求出圆C圆心到弦AB的长度d，求出弦AB的长度，M到弦AB的最大距离为d＋r(r为圆C半径)，根据三角形面积公式即可求出答案．【详解】，则圆C的圆心为，半径为，圆心C到直线l（弦AB）的距离为，则，则到弦AB的距离的最大值为，则面积的最大值是.故答案为：21．（2023·全国·高三专题练习）若过定点的直线截圆C：所得弦长小于3，则该直线斜率的取值范围为【答案】【分析】讨论直线斜率不存在和存在两种情况，根据相交弦长公式验证弦长，即可列不等式求得直线斜率的取值范围.【详解】当直线l斜率不存在时，圆心到直线的距离为1，此时直线截圆C所得弦长为，不符合题意，故直线l的斜率存在；设直线l方程为，即，此时圆心到直线的距离，则有，解得，即直线l斜率的取值范围为．故答案为：．22．（2023·高三课时练习）已知圆，过点A（2，0）的直线l交圆C于M、N两点，且，则直线l的方程是.【答案】【分析】当直线的斜率不存在时，求出的坐标，经计算可知，不符合题意；所以直线的斜率存在，设直线，联立直线与圆的方程，根据韦达定理得和，再求出，根据，解方程得，即可求出直线的方程.【详解】当直线的斜率不存在时，，联立，得或，不妨设，，则，不符合题意；所以直线的斜率存在，设直线，联立，消去并整理得，，设，，则，，则，所以,解得，，所以直线l的方程是.故答案为：题型五直线与圆相切、相离策略方法直线与圆相切、相离的问题（1）圆的切线方程的求法=1\*GB3①点在圆上，法一：利用切线的斜率与圆心和该点连线的斜率的乘积等于，即．法二：圆心到直线的距离等于半径．=2\*GB3②点在圆外，则设切线方程：，变成一般式：，因为与圆相切，利用圆心到直线的距离等于半径，解出．注意：因为此时点在圆外，所以切线一定有两条，即方程一般是两个根，若方程只有一个根，则还有一条切线的斜率不存在，务必要把这条切线补上．（2）常见圆的切线方程过圆上一点的切线方程是；过圆上一点的切线方程是．过圆外一点作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为过曲线上，做曲线的切线，只需把替换为，替换为，替换为，替换为即可，因此可得到上面的结论．（3）关于直线与圆的相离问题的题目大多是最值问题，即直线上的点与圆上的点的最近或最远距离问题，这样的题目往往要转化为直线上的点与圆心距离的最近和最远距离再加减半径长的问题．【典例1】已知直线是圆的对称轴，过点作圆C的一条切线，切点为，则（

）A．2 B． C． D．7【答案】D【分析】根据题意，得到直线过圆心，求得，得到，结合圆的弦长公式，即可求解.【详解】由圆，可得，所以圆心，半径为，又由直线是圆的对称轴，即直线过圆心，即，解得，即，则，所以切线长为.故选：D.【典例2】已知直线与圆相离，则实数m的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由圆心到直线的距离大于半径即可求解.【详解】由，得，∵直线与圆相离，∴解得．∴实数m的取值范围是，故选:D【题型训练】一、单选题1．（2023·新疆喀什·校考模拟预测）已知圆，直线，则圆C与直线l（

）A．相交 B．相切 C．相离 D．相交且直线过圆C的圆心【答案】B【分析】根据题意只需判断圆心到直线的距离与半径比较大小即可判断．【详解】由可得，故圆心，半径，则圆心到直线的距离，故直线与圆C相切．故选：B2．（2023·江苏常州·校考一模）已知是圆内一点，现有以为中点的弦所在直线和直线，则（

）A．且与圆相交 B．且与圆相离C．且与圆相离 D．且与圆相交【答案】C【解析】由垂直关系确定直线的斜率，由斜率关系确定，圆心到直线的距离结合点与圆的位置关系得出与圆相离.【详解】由可知，以为中点的弦所在直线的斜率为则直线的方程为，直线的方程可化为由可知，圆心到直线的距离为因为是圆内一点，所以，即故直线与圆相离故选：C3．（2023秋·全国·高三校联考开学考试）已知直线与圆相切，则实数（

）A．或 B．或9 C．11或 D．或【答案】A【分析】由圆心到直线的距离等于半径列出方程，求出.【详解】依题知圆心，半径为3，则，解得或.故选：A.4．（2023秋·安徽阜阳·高三安徽省临泉第一中学校考期末）已知，直线，若l与⊙O相离，则（

）A．点在l上 B．点在上C．点在内 D．点在外【答案】C【分析】根据l与相离,可知圆心到直线的距离大于半径，由此列不等式，即可推出，即可得答案.【详解】由已知l与相离,可知圆心到直线的距离大于半径，不妨设为的半径，即有，故，由于，则，所以,则点在内，故选：C．5．（2023·全国·高三专题练习）已知直线与圆相离，则实数m的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由圆心到直线的距离大于半径即可求解.【详解】由，得，∵直线与圆相离，∴解得．∴实数m的取值范围是，故选:D．6．（2023·全国·高三专题练习）过点作圆：的切线，则切线方程为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】首先将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半径，从而判断点在圆上，再求出，即可得到切线的斜率，最后利用点斜式计算可得.【详解】圆：，即，圆心为，半径，又，所以点在圆上，且，所以切线的斜率，所以切线方程为，即.故选：C7．（2023·全国·高三专题练习）“”是“直线与圆相切”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于半径得到方程，解出值，再根据充分不必要条件的判定即可得到答案.【详解】若直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于半径，即，，故前者能推出后者，后者无法推出前者，故“”是“直线与圆相切”的充分不必要条件.故选：A.8．（2023·四川成都·树德中学校考模拟预测）若直线，与相切，则最大值为（

）A． B． C．3 D．5【答案】B【分析】由条件可得，然后设，由三角函数的知识可得答案.【详解】的圆心为，半径为，因为直线，与相切，所以，即，所以可设，所以，其中，故选：B9．（2023·陕西宝鸡·校考一模）已知点在圆上，过作圆的切线，则的倾斜角为（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据直线垂直的斜率关系，即可由斜率与倾斜角的关系求解.【详解】圆心为，所以,所以过的切线的斜率为，设倾斜角为，则，由于，故，故选：D10．（2023春·北京东城·高三北京市第十一中学校考阶段练习）已知圆，过直线上的动点作圆的切线，切点为，则的最小值是（

）A． B．2 C． D．【答案】D【分析】根据题意易知当圆心到直线上点的距离最小时，最小，利用点到直线的距离公式计算即可.【详解】圆，圆心，半径，设圆心到直线：的距离为，则，易得，则，故当圆心到直线上点的距离最小时，即圆心到直线的距离，此时最小，因为，所以，故最小值是．故选：D.11．（2023秋·安徽·高三校联考阶段练习）已知圆在点处的切线上一点在第一象限内，则的最小值为（

）A． B．5 C． D．9【答案】C【分析】利用圆的切线方程及基本不等即可求解．【详解】易知圆在点处的切线的方程为，所以，，，所以，当且仅当，时，等号成立．所以的最小值为.故选：C.12．（2023秋·江苏南通·高三江苏省如皋中学校考阶段练习）已知是上一点，过点作圆的两条切线，切点分别为，当直线与平行时，（

）A． B． C． D．4【答案】C【分析】根据给定条件，利用圆的切线的性质，结合面积法求解作答.【详解】连接，由切圆于知，，因为直线与平行，则，，而圆半径为，于是，由四边形面积，得，所以.

故选：C13．（2023·全国·高三专题练习）过点作圆C：的两条切线，切点分别为A，B，则直线的方程为（）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据题意，可知圆的圆心为，半径，由切线长公式求出的长，进而可得以为圆心，为半径为圆，则为两圆的公共弦所在的直线