2023届高考数学二轮复习 10 集合与常用逻辑用语选择填空压轴小题训练 作业

专题10集合与常用逻辑用语选择填空压轴

小题专项训练

一、单选题

1∙已知集合*{si~…}[T%)],N={的}(的CR),则满足M=N且

a+Z>=2c的集合N的个数为()

A.0B.1C.2D.3

2.已知命题：⅛f(x)=xi+ax2+(2m-a-})x-m(a>0,m>0),且If(X)I在区间(0,1)上

恒成立，则该命题成立的充要条件为()

22

A.2m—α-1≥—B.0≤2m-a—∖≤-

33

C.2m-a-∖≥0D.2m-a-l≤0

3.设集合A的最大元素为例，最小元素为“，记A的特征值为XA=M-机，若集合中只有

一个元素，规定其特征值为O.已知4，4，4,…，4是集合N'的元素个数均不相同的非

空真子集，且XA,+X&+X++…+X-=120,则〃的最大值为()

A.14B.15C.16D.18

4.设“，〃是实数，集合A={4r—4<1,XeR},B={x∣∣x-⅛∣>3,x∈/?),⅛A⊂β,则Ia-耳

的取值范围为()

A.[0,2]B.[0,4]C.[2,+∞)D.[4,+∞)

5.对于函数/(x)=F,下列说法正确的是()

A.F(X)的单调减区间为(0,e)

B.设g(x)=d+”,若对∀%eR,3⅛e(l,+e),使得g(x,)=/(%)成立，则a.e

C.当OVXlVX2〈I时，χ1lnχ2<x2lnx1

D.若方程/(W)=上有4个不等的实根，则he

6.已知命题：函数/(x)=χ3+ox?+(2〃?一。-I)X-〃z(α>0,m>0),且关于X的不等式I/(x)∣<m

的解集恰为(0,1),则该命题成立的必要非充分条件为()

A.m≥aB.m<a

C.m≥a2D.∣n≤a2

7.设定义在R上的函数f(x)的值域为A,若集合A为有限集，且对任意呼R，存在

天€/?使得/(王)/(受)=/(毛)，则满足条件的集合A的个数为()

A.3B.5C.7D.无穷个

8.已知/(x)是定义在(0,+e)上的单调函数，对于Vx>0,均有""x)-InX)=I,则“”>3"

是"/(x)≤αr-l在(0,+e)上恒成立”的()

A.充分不必要条件B.充要条件

C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

9.如图，在正方体ABa)-A8C2中，点尸在直线8G运动，给出四个命题:

(1)三棱锥A-OfC的体积不变：

(2)直线AC与直线AP所成的角最小值为?；

(3)二面角P-AR-C的大小不变；

(4)M是平面上到直线AA与直线Be的距离相等的点，则点M的轨迹是抛物线.

正确的命题个数是()

A.1B.2C.3D.4

10.定义集合Ω={(x,y)∣xeR,yeR},M={(x,y)∣xcose+ysine=2,ee[θ,2%)},

N={(χ,y)∣W+∣y∣≤2},则下列判断正确的是()

A.MCN=0

B.Qz(MuN)=O

1

C.⅛∕∣,∕2,∕3∈Λ∕,Z1:XCOSe+ysin8=2,I2:XCoSI6+今)+ysin∣6+∙^)=2,

4：XCoSK-才J+ysin(e-丁J=2,则由四寸，围成的三角形一定是正三角形,且所有正

三角形面积一定相等

D.满足尸任M且尸任N的点P构成区域的面积为4(万-1)

11.已知集合A=∙集合8={x∣2021x+lnx≥2021},若B=A,则

实数。的取值范围为()

A.[―β,e∖B.1]C.[—1,1]D.[-1,e∖

12.若A=IXlX-g<1},B=∣x∣^≥lj,定义Ax3={x∣x∈Au8且XcAC8},则Axb=

()

-13'

C.—D.(0,1]

L22J

13.向量集合S={α∣α=(x,y),x,yeR},对于任意a，β≡S,以及任意4e(0,l),都有

λa+(∖-λ)βeS,则称为“C类集”，现有四个命题：

①若为“C类集”，则集合M={闻a∈S}(〃为实常数)也是“C类集”；

②若、7都是“C类集”，则集合用={。+/电€5力€7卜也是“(：类集”；

③若A、&都是“C类集”，则AUA2也是“C类集”；

④若A、儿都是“C类集”，且交集非空，则ACa也是“C类集”.

其中正确的命题有()

A.①②B.①③④C.②③D.①②④

3

14.设函数/(x)=2'-2τ+E7,xeR,对于实数a7,给出以下命题：命题R：a+A.。；

∣Λ∣+1

命题必：〃-从∙0;命题q"3)+∕S).∙0.下列选项中正确的是()

A.外。2中仅Pl是O的充分条件B.P1、P2中仅P2是4的充分条件

C.以外都不是。的充分条件D.P卜P2都是0的充分条件

二、填空题

2

15.设函数〃X)=Iln(X+2)卜S的定义域为D,若命题p：。，/(x)≤0"为假命题，

则a的取值范围是.

16.已知函数/(x)=χ2-4x+3,g(x)=mr+5-2m,若对任意的x∣∈[1,4],总存在Λ2e[l,4],

使，(占)=g(%)成立，则实数机的取值范围是.

17.已知向量”，分满足忖=3五,且对任意reR,但有»[叫，则*4+向的最

大值是.

18.如图所示，平面中两条直线与4相交于点。，对于平面上任意一点V,若P,4分别是

M到直线与I2的距离,则称有序非负实数对(PM)是点M的“距离坐标”,给出下列四个命题:

①“距离坐标”为(1,0)的两点间距离为2i

②若P=q,则点M的轨迹是一条过。点的直线；

③若PqWO,贝『'距离坐标”为(PM)的点有且仅有4个；

④若直线与4的夹角是60。，则IOM=2?b+p”屋或J。叫=手[p2-pq+q2.

其中所有正确命题的序号为.

C1%∈M

19.对任意集合Λ/,定义京(X)=《二山已知集合、TqX,则对任意的x∈X,下

[O,X史M

列命题中真命题的序号是.(I)若S=T,则夭(χ)≤人(X)；(2)AW=I-As5W;

(3)Kr(X)=A(X)Jr(X);(4)八M(X)=[①甘生』(其中符合同表示不大于。的

最大正数)

20.设有下列四个命题

PT:WXWR,靖一1≥X；P2勺Xo∈(O,+∞),lnxo≤x0-1；

P3:方程χ2-2OX-3=0有两个不相等实根；p4:函数/(X)=Ig(X2+4x+l)的值域是我,则实

数。的取值范围是(-2⑵.

则下述命题中所有真命题的序号是.

PlAP2，(2)P1^^P4>③Y2VP4，④->P3Vp4.

21.设X,yGR,集合4={(χ,y)∣0r+"y+l=O},B-{{×,y}∖x2+y2-∖),且A∩B是一个单元素

集合，若对所有的(α∕)G{(0,3∣“<0,⅛<0},则集合C={(x,y)∣(x-4+(y-4≤]}所表

示的图形的面积等于一.

22.设集合S,T,SqNMTaNRSI中，至少有两个元素，且S,T满足：①对于任意x,yeS,

若x≠y,都有孙€丁；②对于任意x,ye7,若x<y,则2e5.若有4个元素，则ST有

X

____________个元素.

23.给出下列说法：

①，，若X+y=1,则SinX=CoS)，”的逆命题是假命题；

②“在△ABC中，sin8>sinC是B>C的充要条件”是真命题；

③p:x*2或yx4是q:x+y#6的充分不必要条件；

④命题“若x<-l,则χ2-2x-3>0”的否命题为“若x≥T,则χ2-2x-3≤0"∙以上说法正确

的是(填序号).

24.集合"，N,都是非空集合，现规定如下运算：MNS=

{x∣XW(MCN)<J(NCS)U(SCM)且XeMcNcS}.假设集合A={x∣α<x<b},

B={x∖c<x<d],C=[x∖e<x<f],其中实数“，b,,d,,/满足：(1)ab<O,Cd<0；

ef<0；(2)b-a=d-c=f-e；(3)b+a<d+c<f+e.计算ABC=

答案:

1.C

【解析】

【分析】

分2sinα=cosα+tanα、2cosα=sinα+tanα、2tanα=sinα+cos0三种情况,

分别构造函数，利用导数判断函数单调性和零点个数可得答案.

【详解】

因为α+0=2c,所以么c、〃成等差数列,

因为M=N,所以用中的三个元素成等差数列，

因为a∈（θ,]J,所以0＜sinα,cosα＜l,tanα＞0,

⅛2sina=cosα+tan0时，

cos2x÷sinx-sin2x

令/(ɪ)=cosΛ÷tanx-2sinx=

COSX

Sinx(I-SinX)+1-sin2x

，

COSX

由1一$足工＞0』一$皿2工＞0得，（五）＞（）,

工€（0m时了（力＞（）,

即2§Μ2=852+13110在040个）上无解,

此时｛sinα,cosa,lana｝构不成集合M

当2cosα=Sina+tan0时，

令/(x)=SinX+tan工-2COSXx∈0,—

∕,(x)=cosx+l+tan2x÷2sinx,

因为Xe(O所以r(x)>0,"x)在Xe(O,/J单调递增,

口」乃、.πππ1ʌ/ɜE3-4√3

且f∖­=sin—htan2cos—=­ι-------√3=----------<O,

lk6j666236

,，乃、•不冗、"6AlC

/—=sin—Ftan2cos—=-----Fʌ/ɔ—1>O,

UJ3332

所以/(X)在Xe(0,?有一个零点，

即28Sa=Sin2+tan2有一个解，

此时｛sinα,cosα,tana｝构成集合N；

当2tanc=sina+cosa时，

令/(Λ)=sinx÷cosx-2tanx尤∈(θ,?,

∕z(x)=cosx-sinx-20+tan2x)=(cosx-2)-sinx-2tan2x,

因为Xe(0,所以r(x)<0,"x)在Xe(O单调递减，

口/万兀'π1ʌ/ɜ2Λ∕53—百ʌ

FI.f∖­I=sin—Fcos2tan-=—ι--------------=--------->0,

⑴6662236

(万).πππl-3√3

UJ3332

所以f(x)在Xe(O有一个零点，

即2tanor=sinα+cosa有一个解，

此时｛sinα,tana,cosα｝构成集合N；

综上，集合N的个数为2个.

故选：C.

2.C

【解析】

【分析】

由题知/(O)=-"J⑴="，通过求导可得/'(X)在(0,1)上是增函数，结合条件可得函数

f(x)在91)上是增函数，进而4(X)NIf(O)≥0,即求.

【详解】

Yf(x)=X3+ax1+(2∕n-a-∖)x-m(a>Qjn>0),

.*.f(0)=-in,f(↑)=m,∕,(Λ)=3X2+2ΛX+2∕H-<7-1,/'(θ)=2"z-a-l,

令g(x)=∕'(x)=3f+2ax+2ιn-a-∖,贝IJg'(x)=6x+2a,

Vxe(0,l),w>0,即

.∙.xe(0,l)[]寸，短(X)=6x+2a>0,函数g(x)在(0,D上是增函数,

要使Iy(X)Km在区间(0,1)上恒成立，又/(0)=-m,f(∖)=m,

则应满足/(χ)在区间(0,1)上为增函数，

.∙.当xe(O,1)时，f,(x)>O,又函数((x)在(0,1)上是增函数，

Λf(x)≥∕,(O)=2m-a-l≥O,BP2m-a-∖≥0.

故选：C.

3.C

【解析】

【分析】

要想”的值大，则特征值要尽可能的小，A，4,A3,4是集合N*的元素个数均不相

同的非空真子集，不妨令A是只有1个元素的非空真子集，则XA=°，A是含有两个元素

的非空真子集，则x&=i时能保证〃的值最大，同理可得：x&=2,以此类推x4="T,

利用等差数列求和公式列出方程，求出〃的最大值.

【详解】

由题意，要想"的值大，则特征值要尽可能的小，可令XA=O,XΛ2=1,XA,=2,L,

X-="-∣,则0+1+2+―+(”-1)="(7)=120,解得：〃=16或-15(舍去).

故选：C

4.D

【解析】

【分析】

解绝对值不等式得到集合48,再利用集合的包含关系得到不等式，解不等式即可得解.

【详解】

集合A={M∣x-α∣<l,xeK}={x∣a-l<x<α+l},

B={x∣x-协3,XeR}={x∣x<6-3或x>6+3}

XA⊂B,所以α+l≤6-3或α-l≥0+3

即a-b≤-4或α-b≥4,即∣4一,≥4

所以|。-可的取值范围为［4,物)

故选：D

5.B

【解析】

【分析】

函数/。)=卷，XW(O,1)U(1,+∞),∕l(x)=⅛≠,利用导数研究函数的单调性以及极值，

∖nxInX

画出图象.

A.结合图象可判断出正误；.

B.设函数g(x)(xeR)的值域为G,函数/3(Xe(I,+»))的值域为E.若对VXl∈R,≡r2≡(1,-κ≈),

使得g(xJ=∕(W)成立，可得G=E.分别求出G,E,即可判断出正误.

C.由函数f(x)=F在犬£(°，1)单调递减，可得函数y=也在Xe(QI)单调递增，由此即可判断

InxX

出正误；

D.方程/(IxI)=G有4个不等的实根，则x>0,且x≠l时，/(X)=々有2个不等的实根，由

图象即可判断出正误；.

【详解】

函数/O)=*,xe(0,I)U(1,+8).

Inx

可得函数/(X)在(0,1)上单调递减，在(l,e)上单调递减，在(e,+8)上单调递增,

当x=e时，/(x)min=/(e)=e,由此作出函数的大致图象，如图示：

A.由上述分析结合图象，可得A不正确.

B.设函数g(x)(xwR)的值域为G,函数/(x)(xe(l,E))的值域为E.

g(x)=x2+a,对Vx∈R,G=[α,+∞),Vx∈(l,+∞),E=[e,+∞).

由g(x)=∕+”,若对VXleR,3x2∈(l,+∞),使得g(x∣)=/(々)成立，

则G=E,所以α.e,因此B正确.

C.由函数/(X)=F在X£(()」)单调递减，可得函数>=——在xe((),l)单调递增，

1

因此当OVxlVX2〈I时，—<-^,BPx1Inx2>x2↑nxi,因此C不正确；

X1X2

D.方程/(∣X∣)=幺有4个不等的实根，则x>0,且XWl时，/(X)=左有2个不等的实根，

结合图象可知左>e,因此D不正确.

故选：B.

6.A

【解析】

【分析】

根据已知条件，可从已知出发，求得结论成立的m需要满足的关系，然后结合选项要求进

行分析验证，即可完成求解.

【详解】

函数/(x)=x3+ax2+(,2m-a-l)x-m(a>0,m>0),

f(0)-0+0+0-m=-m,f(l)-l+a+2m-a-∖-m-m,

f(x)=3X2+2ax+(2m-a-l'),f(O)=O+O+(2m-α-1)=2m-a-∖,

令g(x)=f(X)=3f+20r+(2〃La-I),所以g(x)=6x+2α,

因为Xe(0,1),a>0,所以g(x)=6x+24>0,此时函数g(x)是单调递增的，

所以g(x)>g(0)=2机要使得If(X)I<加的解集恰为(0,1)恒成立，

且F(O)=-机、/⑴=机则应满足在xe(0,l)为增函数，所以当x∈(0,l)时，f∖x)>Q,故

/(0)=2m-a-l>0,止匕时，，”>等，由选项可知，选项C和选项D无法由该结论推导，

2

故排除，而选项C,m≥a,若空>/,止匕时二<“<ι与α>o矛盾，故不成立，所以该

命题成立的必要非充分条件为加Na.

故选：A.

7.B

【解析】

根据定义确定元素范围，再分类讨论元素个数.

【详解】

解：若A中最大元素为大于1的元素为。，则/>.,不满足题意，故A中最大元素不超过

1,同理可得A中最小元素不小于T

若集合A中只有一个元素则α2=α.∙.α=0,i.∙.A={0},A={l},

若集合A中有两个元素α,A（T≤4<6≤l）,则/=〃或

当a2=α时α=0（1舍去），此时〃=1即A={-1,0}

当∕=b时4*0,因止匕h≠0,.∙.6⅛=α.∙.人=1,〃2=l.∙.a=-l（1舍去）

即A={T1}

若集合A中有三个元素4,6,c（-l4"<b<c≤l）,则/="或/=8或储=c,

当a。=。时ɑ=0（1舍去），此时ZJ°Nα,b°w£>,C°≠α.1=c,/=c或c?=8,解得

C=IS=Tca,舍去

当/=6时α≠0,l>0>0,.∙.b,≠力≠”,b2=c,:.c2≈c.∖c≈∖,b=-1,矛盾，舍去

当储=C时α<0,1Nc>0,二c。=c,c=l,α=-1.,方=i>,i>=0,即A={-1,0,1}

若集合A中有四个或四个以上元素。,尻,c,d（T≤α<'v<c<d≤l）,则由上推导可得

a=-l,d=∖,b==c=0,矛盾，即此时A无解

综上所满足条件的集合A可以为{0},{l},{-l,l},{l,0},{-1,0,1},共5个，

故选：B

【点睛】

关键点点睛：此题考查了函数的值域，分类讨论思想，解题的关键是由任意小∙¾wR,存

在xγR使得〃玉）/（七）=〃£），且集合A为有限集，可得从集合A中取两个不同的数或

同一个数取两次的积等于第三个数，这第三个数也是集合A中的，然后分类讨论即可，属于

较难题

8.A

【解析】

【分析】

令r=f(x)-Inx,由题可求得f=ι,得出/(幻=InX+1,因为"f(x)≤αx-l在(0,+。)上恒成

立”等价转化为α2叱2对Vx>0恒成立，利用导数求出夕(X)=孙出的最大值，得到其

XX

充分必要条件，然后即可判断.

【详解】

令∕=f(X)TnX,则/(x)=InX+f.

由/(j,(x)Tnx)=l,，/Q)=ln∕+r=l,即lnf+r-l=0,

gQ)=ln∕+-1是的单调递增函数，月.g⑴=0,.」=1,

.,./(x)=Inx+1,

〃/、..InX+2

丁・/(x)<ax-lo∖nx+∖<ax-↑<^>a≥------

X

ttf(x)≤ox-1在(0,+8)上恒成立”等价于a≥见—对于Vx>0恒成立.

InX+2-Inx-I

令φ(χ)=φ'(χ)

X~x^

当Xe(O寸，√(x)>0,S(X)单调递增；当xe(g,+8)时，0(χ)<θ,3(x)单调递减,

e(x)nκ,x=。(目=e,故"(x)≤以-1在(0,+∞)上恒成立”等价于α≥e.

Qa〉3是。2e的充分不必要条件，>3”是"/(x)≤αx-l在(0,+e)上恒成立"充分不必

要条件，

故选：A

9.C

【解析】

【分析】

对于(1),证得BCJ/平面ARC即可判断；对于(2),取点P与B重合，计算NC4P即可判断;

对于(3),点尸移动时，它与直线AR

确定平面为一己知平面即可判断；对于(4),探讨得点M到直线AA的距离为线段MA的长,

借助抛物线定义判断作答.

【详解】

在正方体A8CO-A46A中，点P在直线BG运动,

对于(1),对角面ABGA为矩形，即BC"∕AR,而BGN平面AAC,则8C∣〃平面Ao°,

于是得点P到平面ARC距离为定值，

又，ARC面积是定值，即三棱锥P-AAC的体积是定值，而匕.”其=匕me，所以三棱锥

A-RPC的体积不变，(1)正确；

rryr

对于(2),当点P与B重合时，直线AC与直线AP所成的角为/CAB=1＜彳，(2)不正确；

对于(3),点尸在直线BG上运动时，点尸与直线AR确定的平面为直线BG与直线4。确定

的平面，即平面4BCQ∣,

二面角P-ADt-C即为已知平面ABCtDl与平面AD1C所成的一个锐二面角，于是得二面角

P-4。-C的大小不变，(3)正确；

对于(4),因AA_L平面A1BCQ,又点M在平面A4G2内，于是得点M到直线AA距离

为线段MA的长，

从而将“M是平面ABCR上到直线AA与直线B1C1的距离相等的点"转化为平面AB1C1D1

内点M到点A距离与到直线BC的距离相等，

由抛物线的定义知，点〃的轨迹是抛物线，(4)正确，

综上得，命题⑴⑶(4)都正确,(2)不正确,即正确的命题有3个.

故选：C

10.C

【解析】

【分析】

首先确定集合M和N所表示的区域，再数形结合判断选项是否正确即可.

【详解】

对于集合M=1(%,γ)∣Xcos6*+γsin6*=2,0∈[0,2τr)∣,

2

原点到直线XCoSe+ysin。=2的距离为"=∣,,=2,

JCoS2，+Sin汩

所以集合M表示圆V+丁=4上所有点的切线上的点,

对于集合N={(x,y)∣k∣+3≤2},

当x20,yN0时，x+y≤2表示图中三角形AOO区域；

当x≤0,yN0时，-x+y≤2表示图中三角形AOB区域;

当xVO,yVO时，-X-y≤2表示图中三角形BoC区域;

当x≥O,y≤O时，x-y≤2表示图中三角形C。。区域；

所以集合N={(x,y)∖∖x∖+3≤2}表示图中ABCD区域，

对于A选项，由图可知MCN={(x,y)∣(2,0),(0,2),(-2,0),(0,-2)},不是空集，故A错；

对于B选项，⅞1(M=N)表示图中圆内部挖去ABC。区域剩下的部分，不是空集，故B错；

对于C选项，Z1:XCoSe+ysin6=2表示在点(2CoS，,2sin，)处的切线，

4：XCOS［，+g)+ySin［。+g>2表示在点(2COSg+争,2SinW+等)处的切线，

小XCOSU-g)+ysin(eγ)=2表示在点(2cos(。-争,2sin(9-争)处的切线，三切点

均在圆上，易知三切点构成正三角形，由对称性可知C正确；

对于D选项，由B选项知，且PeN则P点在圆内部挖去ABCO区域剩下的区域内，

面积为4乃-8,故D错；

故选C.

【点睛】

本题主要考查直线与圆的位置关系问题，在解题的过程中，要善于数形结合，代数几何化之

后，可以辅助我们解题，达到事半功倍的效果.

II.B

【解析】

【分析】

令/(x)=2021x+lnx,由〃x)单调性和/(1)=2021可求得集合8,将问题转化为

x"T-e'+”EXg1在Xe[1,e)上恒成立,化简不等式得χ"一山一≤e-v-lneT,构造函数

X

y=t-∖nt,由导数可确定其单调性；分别在α≤0∖0<α≤l和”>1三种情况下，根据不等式

恒成立求得取值范围.

【详解】

令f(x)=2021x+lnx,则/(》)=2021+1>0,.∙.∕(x)在(0,+e)上单调递增,

又了⑴=2021,.∙.2021x+lnx≥2021的解集为x≥l,.∙.3=[l,+∞),

∙∙∙[l,+∞)为/T-生X≤1的解集的子集，

X

即当xe[l,+∞)时，》1-"1£1吧4恒成立；

X

lx

由6T—e-'+alnx4](XNI)得:x'-e--a↑nx≤x(x≥l),

即xa-Inxa≤e~x÷x=ln^~x(x≥l),

令y=f-ln∕,则y=[—=]1,

.∙.当fw(0,l)时，/<0；当fe(l,+∞)时，y'>0；

在(0,1)上单调递减，在(l,+∞)上单调递增；

flv

①当α≤0时，xe(0,l],e-∈∣^0,^,.∙.x<^≥^,即“lnx≥-X在[1,+8)上恒成立，

当X=I时，0≥-l,则α∈R;

当χ>l时，a≥--^,令g(x)=—F(x>l),则g'(x)=^z⅛(x>l),

InX`'Inxv'(InX)

.1当xe(l,e)时，g,(x)>O;当xw(e,+∞)时，g[x)<0；

r.g(x)在(Le)上单调递增,在(e,*c)上单调递减，.∙.g(x)maχ=g(e)=-e,.∙.α≥-e;

综上所述：ae[-e,0]；

②当0<α≤l时，.x≥l..∙.∖<xa≤x,XeA+Inx>0..∖e^x>-∖nχ,

:.xa-∖nxa<x-∖nx<x+e^x>∙'ae(θ,l]满足题意；

③当0>1时，

若x"-lnx"≤e='+x=e`—IneA(X≥1)恒成立，则χa—alnx—e-*—x≤0在口,+00)上恒成立,

令y=Inx-(XT)(X≥1),则y,=--∖=ʌ≤O,

.,.丁二1。1一(％-1)在［1,+00)上单调递减，∙∙∙y≤0,即InX≤x-l,又常<1,

xa~cι}∏x~a'—x≥xa-α(x-1)-e`~x=xa—cιx+cι~c'-x

>x"—+I)X+α—1>x"—(a+l)x,

a

令x0=(a+l尸，则x-(a+l)x=(a+l.-(a+l)"H=(a+l产-(a+I尸=0，

又(a+l)=>1，则芯r-"lnx0-""-XO>0,

即xa-alnx-e-*-x≤0在[l,+∞)上不恒成立，

r∙a>l不合题意；

综上所述：实数。的取值范围为卜e,l].

故选：B.

【点睛】

关键点点睛：本题以集合为载体，考查了利用导数求解不等式恒成立问题，解题关键是能够

根据集合的包含关系将问题转化为不等式恒成立，通过同构的思想将问题进一步转化为函数

的函数值之间的比较问题，通过构造函数，结合函数的单调性来进行求解.

12.B

【解析】

【分析】

本题抓住新定义AXB=｛xIxeAuB且XeAC8｝中X满足的条件,解不等式得到集合A,B,

进而求得AB,AB,最后求出(AI8)1(AuB)即为所求.

【详解】

小沙卜｛-1-别=｛叫<、得

QA=

β=∣Λ∣i≥lj>=∣Λ∣-≥0∣={Λ∣0<X≤1}

.∙.AnB={x∣0<x≤l},AUB={x∣-g<x<∙∣

.∙.A×B=L∣-^<X≤0^1<Λ<∣∣=f-∣,0

故选：B

【点睛】

关键点点睛：本题考查集合的新定义，解绝对值不等式和分式不等式，理解题目中

Ax8={x∣xeA=8且X/4c8}中X满足的条件是解题的关键，考查学生的分析试题能力

与转化与化归能力，属于较难题.

13.D

【解析】

【分析】

根据“C类集”的定义逐项进行分析判断.

【详解】

①若为“C类集”，则对于任意a，BwS,以及任意「尖(0,1),都有42+(1—；l)6∈S,

对于集合M={4“∣αeS}(〃为实常数)，可得对于任意〃尸WM,以及任意4«0,1)都

有“ze+(I-为〃尸eΛ∕,故正确；

②若为“C类集”，则对于任意必，β∖WS,以及任意4e((U),都有；l%+(l-∕lMeS,

若T为"C类集”，则对于任意见,βfT,以及任意4w(0,l),都有24+(IT)AeT,

可得对于任意α∣+α2eM,川+河cM,以及任意4«0,1),都有

/1佃+%)+(l-4佃+y⅝)wM,故正确；

③若A为"C类集”，则对于任意四，N，以及任意4e(0,l),都有X%+(l-2MeA，

若为为“C类集”，则对于任意ɑ2,β2≡A2,以及任意义w(0,1),都有∕L%+(l-∕L)y¾eA2,

设M=A4,M为A，4中元素的合并而得，且不重复，不符合“C类集”的定义，故错误；

④若A为“C类集”，则对于任意ɑ∣,βt≡Ai,以及任意4e(0,l),都有+(1-2MeA,

若为为“C类集”，则对于任意a?,β2≡A2,以及任意4e(0,l),都有/I%+。-%)河eA?，

设M=A4,M为A，4中元素的公共部分，且不为空集，符合“C类集”的定义，故正确；

故选：D.

【点睛】

关键点点睛：解答本题的关键在于对“C类集”定义的理解，除了可以采用上述根据定义去分

析的思路,还可以采用等价转化的方法进行分析:将集合看作点集,若对于中任意两点A,β,

线段AB上的点均属于，则称点集为C类集.

14.D

【解析】

【分析】

3

/(X)^g(x)+∕ι(x),g(x)=2t-2^Λ,h(x)ɪ——,xeR,g(χ)是奇函数，在R上单调递增，/?(x)

IXl+1

是偶函数，在(一8,0)单调增，在(0,+8)单调减，且〃(χ)>0,根据这些信息即可判断.

【详解】

3

令/。)=8。)+/1。)送(犬)=2'-2-'血外=厂厂^€1<,g(x)是奇函数，在R上单调递增，Zz(X)

IXI+1

是偶函数，在(一8,0)单调增，在(0,+8)单调减，且〃(X)>0.

∕m)+∕S)≥O=∕(α)≥-∕S),

即g(a)+h(a)>-g(h)—h(b),

即g(a)+h(d)>g(-b)+[-h(b)],

①当6∕+⅛>0时,d>-b,故g(a)≥g(-b),又/ι(x)>0,故∕z(α)>一人⑸，,此时f(a)+f(∂)..0,

即Pl是q的充分条件；

②当a-/≥0n4≥∕时，α≥0,-∖[a<b<ʌ/ɑ,->∕a<-b<>fa>

⑴当αNl时，a≥y[a,则一后。，故g(4)*(-b)；

此时，Λ(α)>O,~h(b)<O,ΛΛ(a)>-Λ(⅛),二/(〃)+/S)..()成立；

(ii)当。=0时，。=0,/(O)+7(0)=6≥0成立，即/(4)+/S)-O成立；

(iii)：g(x)在R上单调递增，"x)在(-8,0)单调递增，

.∙./(x)=g(x)+Mx)在(-8,0)单调递增，

:八-1)=0，∙λ∕(x)>0在(一1，0)上恒成立；

又'."K)时，g(x)>0,A(x)>0,.∖Λx)>O在[O,+oo)上恒成立，

.∙√(x)>0在(-1,+8)恒成立,

故当0<α<l时，a<y[a<1,-∖<-4a<b<4a<\,

.∖Aa)>O,型)>0,

二/S)+∕S)∙∙0成立.

综上所述，”-从∙.0时，均有/(α)+∕S)∙∙O成立，.∙.P2是q的充分条件.

故选：D.

【点睛】

本题的关键是将函数人的拆成一个奇函数和一个函数值始终为正数的偶函数之和，考察对函

数基本性质的掌握与熟练运用.

15.(-∞,-2]

【解析】

【分析】

根据特称命题为假命题转化为全称命题是真命题，进而转化为恒成立问题，

利用恒成立问题即可求解.

【详解】

命题p：MΞX∈D,/(x)≤O"为假命题,贝IJ“Vxe。，/(x)>O”为真命题.

则函数g(x)=∣ln(x+2)∣的图象要恒在MX)=W图象的上方(两个式需都有意义).

作图可知α≤-2.

所以α的取值范围是(-∞,-2].

故答案为：(-∞,-2].

16.(-<≈,-3]u[6,+∞)

【解析】

【分析】

根据对任意的MwI,4],总存在Λ2e[l,4],使得/(x∣)=g(X2),可得两个函数值域的包含关

系,

进而根据关于皿的不等式组，解不等式组即可.

【详解】

因为f(x)=Y-4x+3=(x-2)2-l,

所以函数/(x)的对称轴为x=2,

对任意的％w[l,4],记“x)e[T,3].记A=[-l,3].

由题意知，当机=0时不成立,

当机>0时，g(x)=〃a+5-2加在[1,4]上是增函数,

所以g(x)∈[5-僧,2〃2+5],记8=[5-m,2机+5]

由题意知，BEA

—1≥5—in

所以2m+5≥3'解得in≥6.

当〃z<0时，g(x)=s+5-2机在[1,4]上是减函数，

所以g(x)w[2〃?+5,5-间,记C=[2机+5,5-问，

由题意知，CRA

2m+5≤—1

所以｛<，解得加≤-3∙

5-〃7≥3

综上所述，实数”的取值范围是(7,-3]D[6,M).

故答案为：(f0,-3]56,+∞)

【点睛】

解决本题的关键是将问题转化为对任意的为«1,4],总存在Λ⅛C[1,4],使得“为)=8(々)，

可得两个函数值域的包含关系，进而分别求两个函数的值域.

17.6

【解析】

【分析】

由题意，由人降「叫可得)K,进而可得+向2,利用完全平方公式

结合基本不等式，即可得解.

【详解】

因为对任意reR,卜-成21恒成立，即卜-5L，如图

由图可知，（b-a^Va,

又鼠用胪，消=卜邛+同2,

又I；U/+冏=（卜刎即_2卜叫响邻叫+向）l2×t∣⅛

3

,r,2（∣i-β∣+⅛即0-a+|町z,rr,H

..%>∣J__θɪ-即i8≥^—Fɪ=但叫+向）≤36

.平」卜向≤6,当且仅当他丁卜向=3时取等号，所以gJ∣+向的最大值是6.

故答案为：6.

【点睛】

关键点点睛：本题考查向量的线性运算及基本不等式，解题的关键是利用向量的线性运算的

Irllrr

相关知识分析出对任意reR,但有卜-∕∣≥卜时，必有司_L「，然后利用勾股定理

得到件=∣⅛-a∣3+同2,即可利用基本不等式求最值.

18.③④

【解析】

【分析】

①根据/,4是否垂直进行分析并判断;②通过夹角的角平分线进行分析并判断;③作出44满

足距离要求的平行线，根据平行线的交点数进行判断；④作出图示，利用角度以及余弦定理

进行计算并判断.

【详解】

①：当4U时，此时“距离坐标”为（1,0）的两点间距离为2,

当不垂直于4时，此时“距离坐标”为（1,0）的两点间距离大于2,故错误；

②：因为44的夹角ce(0,90°],记其补角为夕，分别作a,£的角平分线右，如图所示:

Ll

=>

此时可知乙,乙上的点到/r4的距离相等，即P=4,所以点M的轨迹是两条过。点的直线,

故错误;

③：因为P4≠0,所以p,qHθ,作平行于的直线且与的距离为乙作平行于4的直线且与4

的距离为夕，如图所示:

由图可知，满足条件的《4的平行线有四个交点，所以“距离坐标''为(PM)的点有且仅有4

个，故正确;

④：(情况一)记垂足为AB,延长AM交4于C点，如下图所示:

因为AM=P,8M=q,ZOAC=90o,ZAOC=60o,ZMBC=90°,所以ZACO=30。,

所以Λ∕C=28M=2q,所以AC=AM+MC=p+2q,所以OC=^£_=M(P+2外,

cos30°3''

所以OM2=OC2+MC2-2OC∙MC∙COS30O,解得。例p2+pq+q2；

(情况二))记垂足为A，8,延长MA交&于C点，如下图所示：

所以NACO=30°,

所以MC=28M=2q,所以AC=MC-AM=2q-p,所以0C=_^£_=亚(2q_p),

cos30°3v7

所以aw?=oc2+MC2-20。MC.cos30。，解得OM=手Jp?一pq+q。,故正确；

故答案为：③④.

【点睛】

关键点点睛：解答本题的关键在于理解“距离坐标”的含义以及通过“数形结合”的方法完成命

题的判断以及证明，其中③的说明注意使用转化思想.

19.(1)(2)(3)(4)

【解析】

【分析】

根据给定条件对4个命题逐一分析并判断作答.

【详解】

对于(1),因SqT,xe5时，XeT,吴(X)=Λ∙(x)=1,XeS时，夭(X)=0,而Λ>(x)=O或

Λω=l,则夭(X)≤K(X),(1)正确;

对于(2),x∈S时，xedχS,则％(x)=l,几S(X)=°，X史S时，xcdχS,即%(X)=O,K∙(x)=l,

Λ(x)+4s(x)=l,从而有力(X)=I—∙4s(x),(2)正确;

对于(3),x∈S'T,则xeS,xeT,fs7∙(x)=∖,fs(x)=∖,fτ{x)=1,即兵式x)=人(X)∙Λ∙(x),

XeSCτ,则人T(X)=0,此时XeS与X¢7至少有一个成立，即又(X)=O与G(X)=O中至

少一个成立,从而Ar(X)=R(X)•力(X)成立，

综上知(3)正确；

对于(4),X∈SDT时，ʌτ(x)=l,若x∈S,x∈T,则/(4)="(x)=l,

P(X)+4(X)+1山=L

22

若xeS,x∕T,则K(X)=I,yr(x)=O,内外+/(W.]二],

若xi⅛S,xeT,同理可得[/㈤+,⑴+∣]=1,

若M£S=T,则χes,χ∕τ,Λr(χ)=Λω=Λω=o.内R+g∕+∣]=3=o,

综上得力式X)=区国誓"■]，(4)正确.

故答案为：(1)(2)(3)(4)

20.①②④

【解析】

【分析】

P1：设/(x)=e*-l-x,求导且令r(x)=e*-l=0,得X=0,进而可得=/(O)=(),可

判断々是否为真命题.

Λ:举例当天=1时成立，即可判断巴是否为真命题.

6：由△>(),得方程有两个不相等实根，即可判断《是否为真命题.

z∖2×>2

P-函数的值域是R,由r+以+1=x+