2023-2024学年云南省部分学校高三年级上册12月联考数学试卷含详解

高三数学考试卷

注意事项：

1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮

擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

4.本试卷主要考试内容：高考全部内容.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题

目要求的.

1.已知z=2—i,贝ij|z—4=（）

A.2B.4C.2夜D.8

2.曲线）=三+%2在点（i,2）处的切线的斜率为（）

A.2B.3C.6D.7

3.从2023年12月14日13：00至IJ当天13：25,某时钟的分针转动的弧度为（）

5兀2兀5兀2兀

A.—B.—C.D.-------

6363

4.已知P是圆。：必+丁2=1上一点，Q是圆o：（x—3）2+（y+4）2=3上一点，则|PQ|最小值为（）

A.1B.4-gC.2D.3-石

5.若某圆锥的母线与底面所成的角为45，且其母线长为4,则该圆锥的体积为（）

6.在等比数列｛4｝中，已知％+。2+。3=4,。4+。5+。6=-32,则。6=（

128

7.设x>0,向量AB=（x2,_2x）在向量AC=（1,2）上投影向量为2AC,则X的最小值为（）

4下

8.曲线W具有如下3个性质：（1）曲线W上没有一个点位于第一、三象限；（2）曲线W上位于第二象限的任意一

点到点（0,1）距离等于到直线y=-1的距离；（3）曲线W上位于第四象限的任意一点到点（2,0）的距离等于到直

线x=-2的距离.那么.曲线W的方程可以为（）

12

—x,x<0,

A.(尤2_4)(81_力=0B.4

-2y/2x,x>0

1,

2y/~x,x<0,—X,x<0

c.y=<D.4

x>0-26,x>0

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全

部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.已知Z（A）表示集合A中整数元素的个数，若集合/=X2%>1,贝!!()

A.Z(㈣=9B.McN=b0v%v

C.Z(McN)=9x<9]

10.在正四棱柱ABC。—4耳。12中，AB=2,A&=2G，则（

A.该正四棱柱外接球的表面积为18兀

B.异面直线与5G所成的角为60

该正四棱柱外接球的表面积为20兀

D.异面直线与3G所成的角大于60

71卜3（0〉°）在°，个］

11.若函数/(x)=sinCOXH----上恰有10个零点，则切值可能为（）

6

A.50B.54C.51D.58

12.已知函数/（%）=：+：：坨'的值域为［4何,n<0,m>0,加+〃>0,则下列函数的最大值为加的是

JL十XIgX

()

/xx4+6x2lgx

g⑴二不意氤

冗4+2/(3_九4)lgX-l

B.g⑺―l+2x6lgx

/、x-3x2lgx

g(x卜FgT

/、3x2lgx-x

D.g(x)=FiT

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.(X—2/)5的展开式中，/y6的系数为

X2+15

14.y二I__________(填入“偶”“奇”“非奇非偶”中的一个)函数，y的最小值是_______.

J九2+6

Xy2

15.已知椭圆C：r+i(«>。〉0)的右顶点、上顶点分别为A,B,直线A5与直线x=—2a相交于点。，且

2

a'b

点D到x轴的距离为m则C的离心率为.

16.某企业招聘新员工，先由人力资源部两位工作人员对求职者的简历进行初审，若能通过两位工作人员的初审，

则通知求职者参加面试；若两位工作人员对简历的初审均未予通过，则不通知求职者来面试.若恰能通过一位工作

人员的初审，则再由人力资源部领导对简历进行复审，若能通过复审，则通知求职者参加面试，否则不通知求职者

来面试，设每一位求职者的简历能通过两位工作人员中的任意一位初审的概率为。复审的简历能通

过人力资源部领导复审的概率为‘，简历评审是否通过相互独立.记才表示10位求职者中能被通知参加面试的人

2

数，则E(X)的最大值为.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.在ABC中，AB=2,AC=6,A为锐角且ABC的面积小于3.

(1)求A取值范围；

(2)求3c2的取值范围.

18.为了了解云南省大学生关注记者节大会是否与性别有关，某大学学生会随机抽取1000名云南省大学生进行统

计，得到如下2x2列联表：

男大学生女大学生合计

关注记者节大会300250550

不关注记者节大会200250450

合计5005001000

(1)从关注记者节大会的550名大学生中任选1人，求这人是女大学生的概率.

(2)试根据小概率值£=0.005的独立性检验，能否认为关注记者节大会与性别有关联？说明你的理由.

附：/=_______Mad-bc?________

其中n=a+b+c+d.

(a+》)(c+d)(a+c)(b+d)

a0.10.050.010.0050.001

%2.7063.8416.6357.87910.828

+1

19.已知数列｛4｝满足4=-2,an+l=2an+2"+4n-4.

(1)证明：1号?］为等差数列.

(2)求｛4｝的前〃项和S”.

1nx

20.已知函数/(x)=-------av+l(a>l).

(1)证明：/(%)［十,e［上存在极值.

(2)证明：当xe(0,-H»)时，/(^)<eA-2-x+1.

21.如图，在四棱锥尸—ABC。中，ZABC=ZBAD=90°,BC=2AD=2日与，24。均为正三角

(1)证明：AD平面「5cl.

高三数学考试卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题

目要求的.

1.已知z=2-i,则（）

A.2B.4C.272D.8

【答案】C

【分析】根据复数的模长计算公式，可得答案.

【详解】因为2=2—i，所以|z_i|=|2—2i|={22+（_2）2=20.

故选：C.

2.曲线y=N+%2在点0,2）处的切线的斜率为（）

A.2B.3C.6D.7

【答案】D

【分析】对曲线）二三+/求导，然后求出曲线在0,2）处的切线的斜率即可.

【详解】因为了=5/+2工，所以当x=l时,y'=7.

故选:D.

3.从2023年12月14日13：00到当天13：25,某时钟分针转动的弧度为（）

5兀2兀5兀2n

A.—B.——C.——D.------

6363

【答案】C

【分析】根据弧度的概念求解.

【详解】因为分针是按照顺时针方向旋转，所以转动的角为负角，

所以分针转动的弧度为--11=--.

306

故选：C.

4.已知P是圆C:x2+y2=i上一点，。是圆o：（x—3/+（y+4）2=3上一点，则|PQ|的最小值为（）

A.1B.4-73C.2D.3-73

【答案】B

【分析】利用两圆的圆心距及圆的性质计算即可.

【详解】因为C（o,o）,0（3,—4）,所以|CD|=5,且两圆的半径分别为4=1遥=6鸣+马＜|CD|,即两圆外

离,

所以|PQ|的最小值为|CD|r-4=5-1一石=4—君.

故选：B

5.若某圆锥的母线与底面所成的角为45，且其母线长为4,则该圆锥的体积为（）

3272

--------兀

3

【答案】A

【分析】由题意可知圆锥的高与底面半径相等，再由母线长可求出高和底面半径，从而可求出圆锥的体积.

【详解】因为该圆锥的母线与底面所成的角为45,且其母线长为4,

所以该圆锥的高与底面半径相等，且都等于《=2四，

（2何2义20=殍

所以该圆锥的体积V=—兀/丸=—7cx

故选：A

6.在等比数列｛4｝中，已知%+%+%=4,a4+a5+a6=-32,则％,=（）

64128256

A.-----B.42C.-------D.-----

333

【答案】C

【分析】由等比数列的通项公式求解即可.

【详解】设｛4｝的公比为4，则/+%+。6=/（4+4+/）=4/=-32,解得彳=一2,

44s128

所以q+a?+%=（1+4+q?）=3al=4,解得ax=—,所以,=-x（—2]=——.

故选：C.

7.设x>0,向量=2x）在向量AC=（1,2）上的投影向量为71AC，则X的最小值为（）

4百

【答案】A

【分析】利用投影向量的概念求得X的表达式，再利用二次函数的性质求解最小值.

ULIUUUIU

ABAC

【详解】向量在向量上的投影向量为

则4=X24X=（X2）当且仅当x=2时，等号成立，

555

4

所以2的最小值为--.

5

故选：A.

8.曲线W具有如下3个性质：（1）曲线W上没有一个点位于第一、三象限；（2）曲线W上位于第二象限的任意一

点到点（0,1）距离等于到直线y=-1的距离；（3）曲线W上位于第四象限的任意一点到点（2,0）的距离等于到直

线x=-2的距离.那么,曲线W的方程可以为（）

12

—x,x<0,

（尤2_4y）（8x-y2）=0B.y=<4

-2y[2x,x>0

12

x<0,—x,x<0

y=<D.y=<4

-2^2%,x>0

-2y/x,x>0

【答案】B

【分析】借助抛物线的定义判断即可.

【详解】根据抛物线的定义，到点（0,1）的距离等于到直线y=-l的距离的点的轨迹是以（0,1）为焦点，

直线y=-1为准线的抛物线，其方程为必=4下

同理可得到点（2,0）的距离等于到直线为=-2的距离的点的轨迹方程为/=8x.

（V—4力（8龙—/）=0存在点位于第一、三象限，根据性质（1）可得A错误.

一12

—x,x<0,

根据性质（2）与（3）,曲线W的方程可以为y=j4,

-2^2%,x>0.

故选：B.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全

部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.己知Z（A）表示集合A中整数元素的个数，若集合/=卜卜—9）（2x+l）<0},集合N={,2，>1},则（）

A.Z（M）=9B.McN={x[0<x<9}

C.Z（McN）=9D.瓜N）2M={x|x<9}

【答案】ABD

【分析】根据不等式求解，明确集合的元素，由题意以及集合的交并补运算，可得答案.

【详解】由不等式（x—9）（2x+l）<0,解得—3<x<9；由不等式2工>1=2°，解得x>0，

因为Af=<x—g<x<9>,N=1x|x>0},所以Z（Af）=9,Mr^N=1x|0<%<9},

@N）UV={M尤<9},Z（MI^）=8.

故选：ABD.

10.在正四棱柱ABC。—44GA中，A3=2,A&=26，则（）

A.该正四棱柱外接球的表面积为18兀

B.异面直线4。与BG所成角为60

C.该正四棱柱外接球的表面积为20兀

D.异面直线4。与BQ所成的角大于60

【答案】BC

【分析】对A,C,正四棱柱的对角线为球的直径，代入球的表面积公式即可；对于B,D,根据异面直线所成角

定义，平移相交可得解.

【详解】对于A,由题，正四棱柱的对角线为球的直径，则正四棱柱外接球的半径为

2

则该正四棱柱外接球的表面积为471K2=20兀，故A错误，C正确；

如图，

易证A.D//B.C,则异面直线4。与BG所成的角为8c与BG所成的角，

设片。5G=5则叫=%=巨||[=2=8仃

所以VOAG为正三角形，所以异面直线4。与BG所成的角为60,故B正确，D错误;

故选：BC.

71]—g(0〉O)在0,《]

11.若函数/(x)=sinCOXH----上恰有10个零点，则。的值可能为(

6

A.50B.54C.51D.58

【答案】BD

【分析】根据题意，将问题转化为函数y=sin[0x+S)图象与直线的1交点个数，进而结合三角函数的图象

2

和性质求得答案.

【详解】当时71，+71+£

6)6666

71g，要使/(%)在0,工]

令/(九)=0,得sinCDX~\-----上恰有10个零点,

6

ln、35兀二兀兀/兀tc

则帝满足---1~8兀<—CDH—W—10兀，解得°e(52,60].

-6666

故选：BD.

12.已知函数/(x)=x的值域为卜z,间,n<Q,m>0,m+n>0,则下列函数的最大值为用的是

1+xIgx

)

/xx4+6x2lgx

A.g(")=K^氤

B.

1+2x6lgx

/、x-3x2lgx

C.g(“尸FgT

/、3x2lgx-x

D.g⑴二丁还

【答案】AC

【分析】此题考查复合函数性质，只需化简选项中的函数，写成复合函数形式，判断复合函数的内函数值域与函数

/(%)定义域是否相同即可。

x4+3x2lgx2x4+6x2lgx/

【详解】因为小)=：+浮卜〉0),所以/(一)=

6A2O-76(X>(J),

±IXIgX1+xlgx1+2xlgx'

当X的取值范围为(0,+。)时，X2的取值范围为(0,+。)，

所以了(/)的最大值与y(x)的最大值相等，均为加，A正确.

因为土^1=辿二=小型_1，所以g(x)〜一+243——)lgx—1的最大值为加―1,B错误.

1+2x6lgx1+2x6lgx1+2x6lgx

1311X_li

-y+-lg-"21'「一3%2哈

因为/(x)=T•(X〉0),所以/

1111

1十Xigx1-1igx-'

XXX

当X的取值范围为(0,+。)时，-的取值范围为(0,+8),

X

%-3%21gx——»

所以的最大值与/(")的最大值相等，均为加，所以g(x)=一3一-——的最大值为m,c正确.

x-Igx

J人IgA—AA—J人r1L,、r八

一3---------二----3---------e-m,-n,因为〃<0,m>0,加+〃>0,

x-Igxx-Igx

所以一〃，所以g(x)=3x？g：-x的最大值一定不是加,D错误.

x-Igx

故选：AC.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.(X—2/)5的展开式中，x2y6的系数为

【答案】-80

【分析】根据二项式定理求解.

【详解】•••(X—2丁2丫展开式的通项加=c"5f(―2y2y=(—2)'C"5fy2"

12y6的系数为(—2)3C3=_80.

故答案为：-80.

Y2+15

14.y='——_______(填入“偶”“奇”“非奇非偶”中的一个)函数，y的最小值是________.

VX2+6

【答案】①.偶②.6

【分析】根据函数的奇偶性的定义判断函数奇偶性，利用基本不等式分析求解.

(-%)2+15/+15V+15

【详解】因为XGR,/,=/2，所以丁=^^=是偶函数；

7(-x)2+6G+67776

-----------/2_i_QQIQ

令t=Ix1+6>A/6，则y=---=t+—>2M,：=6，

9

当且仅当/=—,即f=3,x=土r/-时，等号成立，

t

所以y的最小值为6.

故答案为：偶；6.

X

15.已知椭圆C：J+1（。〉6〉0）的右顶点、上顶点分别为A,B,直线AB与直线x=—2。相交于点。，且

a~

点D到x轴的距离为a,则C的离心率为

【答案】翌1##20

33

【分析】根据椭圆顶点的坐标，结合直线交点，利用椭圆离心率公式，可得答案.

【详解】设直线x=-2。与x轴的交点为E,如下图所示:

则国=a,A（a,O）,,Bp|OB|=Z?,|（24|=a,

\DE

易知VAOB:NAED,则七百

\BO3所叶"产"

Bnb1cf—庐272

即一=彳，所以e=—=J1--T=^—-

a3a'矿3

故答案为：述.

3

16.某企业招聘新员工，先由人力资源部两位工作人员对求职者的简历进行初审，若能通过两位工作人员的初审，

则通知求职者参加面试；若两位工作人员对简历的初审均未予通过，则不通知求职者来面试.若恰能通过一位工作

人员的初审，则再由人力资源部领导对简历进行复审，若能通过复审，则通知求职者参加面试，否则不通知求职者

来面试，设每一位求职者的简历能通过两位工作人员中的任意一位初审的概率为。复审的简历能通

过人力资源部领导复审的概率为已，简历评审是否通过相互独立.记才表示10位求职者中能被通知参加面试的人

2

数，则E(X)的最大值为.

160

【答案】一

27

【分析】根据相互独立事件的概率求解每位能参加面试的概率，有点二项分布的数学期望可得表达式，利用导数求

解函数最值即可.

【详解】1位求职者能被通知参加面试的概率为p2+2p(1—p)x光=2p2—/,

则X~3(10,2P2-p3),所以E(X)=10(2p2-p3).

令函数/(p)=10(2p2—/),其中;

则/'(0)=1°2(4一3°)>0,可得/(。)为增函数，

则/(同max=/[]=1°义]2义，(>翳.故E(X)的最大值为詈.

故答案为：—

27

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.在A6C中，AB=2,AC=6,A为锐角且ABC的面积小于3.

(1)求A的取值范围;

(2)求BO?的取值范围.

【答案】17.

18.(16,40-12石)

【分析】(1)运用面积公式表示出面积，结合面积小于3即可得;

(2)借助(1)问中的A的范围，结合余弦定理即可得.

【小问1详解】

ABC的面积S=—AB-ACsinA=6sinA<3,

2

则sinA<L

2

因为A为锐角，所以A的取值范围是

【小问2详解】

由(1)知A的取值范围是0,3

则cosA的取值范围是I—2,1J，

由余弦定理得BC~=AC2+AB2-2AB-ACcosA=40-24cosA«

所以5c2的取值范围是06,40-126).

18.为了了解云南省大学生关注记者节大会是否与性别有关，某大学学生会随机抽取1000名云南省大学生进行统

计，得到如下2x2列联表：

男大学生女大学生合计

关注记者节大会300250550

不关注记者节大会200250450

合计5005001000

(1)从关注记者节大会550名大学生中任选1人，求这人是女大学生的概率.

(2)试根据小概率值c=0.005的独立性检验，能否认为关注记者节大会与性别有关联？说明你的理由.

,n(ad-bcV

附：%一=7一7、/,八(―一京'其中”=a+〃+c+d-

a0.10.050.010.0050.001

%2.7063.8416.6357.87910.828

【答案】(1).

(2)能认为关注记者节大会与性别有关联，理由见解析

【分析】(1)根据古典概型概率计算公式求得所求概率.

(2)计算/2的值，进而作出判断.

小问1详解】

从关注记者节大会的550名大学生中任选1人，

这人是女大学生的概率为变=—,

55011

小问2详解】

零假设为"o：关注记者节大会与性别无关联.

根据列表中的数据，经计算得到

*2

1000X(300X250-200x250)_1000>1Q

5002x550x450~~99~>，

当e=0.005时，xa-7.879<10,

根据小概率值a=0.005的独立性检验，推断H()不成立,

即能认为关注记者节大会与性别有关联.

n+1

19.己知数列｛4｝满足4=-2,an+1=2an+2+4n-4.

(1)证明：I""；""｝为等差数列.

(2)求｛4｝的前w项和S”.

【答案】(1)证明见解析

+,2

(2)Sn=(n-l)2"-2n-2n+2

【分析】(1)根据等差数列的定义，结合题目中给的等式，可得答案;

(2)利用错位相减法，可得答案.

【小问1详解】

证明：因为a“+i=2a“+2"+i+4o—4,

所以出+4(〃+1)4+4"_4+I+4(〃+1)-2(a、+4”)

2”+i2"2向

_2a=+2”+i+4〃一4+4(〃+1)—2(q+4")_2"i

2〃+i2〃+i'

又五±3=1,所以［旦学］为等差数列，且首项为1,公差为1.

2I2"J

【小问2详解】

n+472

由(1)知_；!^-=n,所以a”=〃x2"—4〃.

Sn=1x2+2x22+L+wx2"-4(l+2+L+n),

2S„=1X22+2X23+L+nx2n+1-8(l+2+L+n),

则—S〃=(2+22+L+2,!)-HX2"+1+4(1+2+L+n)

2(l-2n)(\\n,、一,、

=；2"x2"+］i+4x，+2n=(-〃)2"+1-2+2小+1),

所以S,=(〃—I"”'—21—2〃+2.

1nx

20.已知函数/(x)=-----av+l(a>l).

x

(1)证明："%)在上存在极值.

(2)证明：当xe(0,+co)时，/(x)<eA-2-%+l.

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

【分析】(1)利用导数证得了(%)在上存在极值.

InY

(2)利用导数，通过证明/'(x)<-—x+lV0<ei—x+1来证得不等式成立.

【小问1详解】

l-lnx1-Inx-ax2

/'("=

令g(x)=l-Inx—ar?,因为。>(),所以g(x)在(0,+。)上单调递减.

又因为g—)=1+ln\Ja_1=In>0,g(e)=_tze2<0,

所以g(x)在［十,e］上存在唯一零点m.

当xe］十，加时，g(x)>0,>0；当xe(m,e)时，g(x)<0,/(x)<0.

所以/(%)在》=机处取得极大值，即/(%)在［5,e］上存在极值.

【小问2详解】

1nY

因为Q>1,所以f(X)<-----X+1.

令〃(》)=-7+1,由(1)可知〃'⑺在(0,+e)上单调递减.又〃⑴=0,

所以力⑺在(0,1)上单调递增,在(1,+8)上单调递减,则⑴，即皿-X+1W0.

X

令M%)=eA2—x+1,xe(0,+oo),则左'(力=/2—1,则%(%)在(0,2)上单调递减，

在(2,+8)上单调递增,所以左⑺2M2)=0,即广2—X+GO.

综上，当xe(0,+co)时，/(x)<e'-2-x+1.

【点睛】求解函数极值的步骤：⑴确定“外的定义域；(2)计算导数/'(%)；⑶求出/■'(X)=()的根；(4)

用/'(£)=0的根将的定义域分成若干个区间，考查这若干个区间内/'(X)的符号，进而确定“司的单调

区间；(5)根据单调区间求得函数的极值.

21.如图，在四棱锥P—A5CD中，ZABC=ZBAD=90°,BC=2AD=242>P45与，均为正三角

(1)证明：AD平面P5C.

(2)证明：平面PCD.

(3)设平面Q43c平面PC。=心平面Q4Dc平面P8C=，2,若直线4与6确定的平面为平面，线段AC

的中点为N,求点N到平面戊的距离.

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析(3)土叵

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【分析】(1)由已知得出即可根据线面平行的判定证明；

(2)取的中点E,连接DE,过P作尸01平面A3CD,垂足为。，连接。4,OB,OD,OE,通过已知

得OELBD,通过线面垂直的判定与性质得出。石，尸5,通过中位线得出OECD,即可得出尸8LCD,再通

过勾股定理得出？即可证明；

(3)以。为坐标原点，OE的方向为x轴的正方向建立空间直角坐标系，得出各点坐标，通过点到平面距离的向量

求法即可求出.

【小问1详解】

因为NABC=ZSAD=90°,

所以AB18C,AB1,AD,

所以AD/3C,

因为AOa平面P5C,5Cu平面尸5C,

所以AD平面尸5c.

【小问2详解】

取的中点E，连接OE，则四边形ABED为正方形.

过P作尸01平面A3CD,垂足为0.

连接tM,OB,OD,OE.

P

由.和..BAD均为正三角形，得PA=PB=PD，

所以。4=03=0。，即点。为正方形A跳D对角线的交点,

则

因为P01平面A3CD，且OEu平面A3CD,

所以POLOE,

又BDPO=O,且BDu平面尸fiD,POu平面尸3D,

所以OE_L平面PBD,

因为PBu平面尸班），