2022-2023学年山东省淄博市张店区八年级（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年山东省淄博市张店区八年级（下）期末数学试卷

（五四学制）

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.代数式，在实数范围内有意义，则X的取值范围是（）

A.%≥3B.%>3C.%≤3D.%<3

2.若户|,则华的值为（）

A.IB.IC.ID.I

3.下列计算中，正确的是（）

A.2+。=2ΛΓ2B.√-6X√^^3=3√-2

C.√7Ξ2）2=±2D.√^I5÷√3=5

4.如图，直线Q〃/√∕c,直线α,I)，C分别交直线τn,n于点4,C,mn

E,B,D,F,若AC=2,CE=4,BD=1,则。F=（）

A.2

B.3

c∙I

DI

5.一元二次方程/一6x-1=0配方后可变形为（）

A.（x+3）2=10B.（x+3）2=8C.（x—3）2=10D.(x—3)2=8

6.菱形，矩形，正方形都具有的性质是（）

A.四条边相等，四个角相等B.对角线相等

C.对角线互相垂直D.对角线互相平分

7.如图，△力BC与ADEF是位似图形，位似中心为O,OA=2,D

AD=3,A4BC的面积为4,则ADEf1的面积为（）

A.6

B.9

C.10O

D.25

8.如图，在平面直角坐标系XOy中，矩形力BCD的顶点4在第一象限，B,

。分别在y轴的正半轴和负半轴上.若BO=DO=4,乙ABo=60°,则点C的

坐标为（）

A.（-2√^3,-2√3）

B.（-2,-2）

ɛ.（—2,—2V3）

D.（―2√3,—2）

9.我国古代数学家研究过一元二次方程的正数解的几何解法.

以方程/+2x-35=0,即X（X+2）=35为例加以说明，三国

时期的数学家赵爽（公元3〜4世纪）在其所著的两股圆方图注

J）中记载的方法是：构造如图中大正方形的面积是（x+%+2）2,

同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即4X

35+22,据此易得％=5.小刚用此方法解关于X的方程/+niχ-n=o时，构造出同样的图

形，已知大正方形的面积为81,小正方形的面积为25,则关于X的方程/+„1万一?1=0的正

数解为（）

A.%=7B.%=5C.X=3D.X=2

10.如图，矩形4BCD,AB=6,BC=3,点E是边力B上的动点，

点尸是射线BC上的动点，且BF=2AE,连接4凡CE.若TAF+CE=m,

则Wl的最小值为（）

A.3∖ΓZB.3√~5C.6/7D.6√^5

二、填空题（本大题共5小题，共20.0分）

11.若√^?与最简二次根式2√"5il可以合并，则m=.

12.己知△4BCS△DEF,其相似比为2：ɜ,则它们的周长之比为.

13.若巧，工2是一元二次方程/+2x—1=O的两个根，则Xl+X2—x1-X2=.

14.如图，把图1中两条对角线长分别为6和8的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形,

将这四个直角三角形拼成如图2所示的正方形，则图2中阴影部分（中间小正方形）的面积为

图1图2

15.如图，在平面直角坐标系XOy中，点力，B分别是X轴正半轴和y轴

正半轴上的动点，连接48,作AB的中点P,在X轴和y轴上分别取点

C(4,0),D(0,6),连接CP,DP.若ZB=4,CP+2DP=m,则Tn的最

小值为.

三、解答题(本大题共8小题，共90.()分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

16.(本小题10.0分)

(1)计算：√^÷√^∙ΛΓ6+∫]∙(^÷ʃɪ);

(2)先化筒，再求值：(m+√~∑)(m—√~2)-τn(m-3),其中τn=√^3+l,.

17.(本小题10.0分)

(1)解方程：(x+l)2—3(x+l)+2=0；

(2)已知关于X的方程9χ2-(k+6)x+k+l=0有两个相等的实数根，请求k的值.

18.(本小题10.0分)

如图，点4,F,C,D在同一条直线上，点8,E分别在直线/D的两侧，且ZB=DE,乙4=小

AF=DC.

(1)若BFIEF,求证：四边形BCEF是矩形；

(2)若四边形BCE尸是菱形，且乙4BC=90。，AB=4,BC=3,求△4BF的面积.

AD

19.(本小题10.0分)

阅读材料，解答下列问题.

材料：已知√5—X—√2—X=1，求√5-尤+√2—X的值.

小明同学是这样解答的：

•：(√5—X—√2—x)(V5—X+√2—%)—(√5—x)2—(√2—x)2=5­x—2+x=3,

•：√5—x—√2­x=1>

∙∙∙√5—x+√2—x=3，

这种方法称为“构造对偶式”.

问题：已知√9+x+√3+x=3.

(1)求)9+X—V3+X的值；

(2)求X的值.

20.(本小题12.0分)

如图，已知AABP,点C,。在边AB上，连接PC,PD,使4WP=60。，⅛∆ΛCP-∆PZ)B.

(1)请判定APCD的形状，并说明理由；

(2)若ZC=2,BD=3,求AZBP的面积.

21.（本小题12.0分）

某水果商场经销一种高档水果，原价每千克50元.

（1）连续两次降价后每千克32元，若每次下降的百分率相同.求每次下降的百分率；

（2）若每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商

场决定采取适当的涨价措施，但商场规定每千克涨价不能超过8元，若每千克涨价1元，日销

售量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，那么每千克应涨价多少元？

22.（本小题13.0分）

【阅读理解】

配方法是中学数学的重要方法，用配方法可求最大（小）值.对于任意正实数α,b,可作如下变

形：

∙∙a+b=(V-α)2+(V^T)2=(√-α)2+(√-T)2—2√ab+2√ab=(V-α—V-h)2+2√ɑð

又r(√~H—√-h)2≥O

.∙.(V-α-√-F)2+2√ab≥O+2√ab

即α+b≥2√ab-

根据上述内容，回答问题：2+32，2x3;4+ɪ2J4×ɪ:6+6

2巾々.(用“=填空)

【思考验证】

如图1,∆ΛBCΦ,∆ACB=90o,CDIAB于点D,CO为AB边上中线，AD=2a,DB=2b,

试根据图形验证α+b≥2C成立，并指出等号成立时的条件.

【探索应用】

(1)请利用上述结论解决下面问题，某园林设计师要对园林的一个区域进行设计改造，一面利

用墙体将该区域用篱笆围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃，如图2所示，为了围成面积为

300^2的花圃，所用的篱笆至少为多少米？

(2)如图3,四边形ABCD的对角线AC,8。相交于点。，AAOB,△COO的面积分别是5和16.试

问四边形ABCO的面积是否存在最小值？若存在，请直接写出四边形ABCo面积的最小值；若

不存在，请说明理由.

23.(本小题13.0分)

已知同一平面内的具有公共顶点C的矩形和矩形CEFG,且48=τnBC,CG=mCE,连

接DG.

(1)当点E是矩形ABCD边AB延长线上的一点时，延长BC交DG于点P.

①如图1,若m=l,猜想线段DP与GP之间的数量关系是；

②如图2,若m为任意实数，则①中的猜想是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，

请说明理由；

(2)当点E是平面内任意一点时，取DG的中点Q,如图3所示，连接CQ,BE若BC=2,CE=3,

m=3,请求出CQ的取值范围.

图1图2图3

答案和解析

1.【答案】A

【解析】解：••・代数式Cr忑在实数范围内有意义，

ʌ%—3≥0,

解得：x≥3,

J.X的取值范围是：%≥3.

故选：A.

直接利用二次根式的定义得出320,进而求出答案.

此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确得出X-3的取值范围是解题关键.

2.【答案】D

【解析】解：帆=京

b3

∙∙3=±+ι="

bb33

故选：D.

先把竽化成E+1，再把：=3弋入进行计算，即可得出答案.

bbb3

此题考查了比例的性质，解题的关键是竽化成£+L

bb

3.【答案】B

【解析】解：42与，工不能合并，所以A选项不符合题意：

B.CXO6x3=3。,所以B选项符合题意；

C.∕X^2Y=2,所以C选项不符合题意；

D715÷V-3=V15÷3=∖Γ^5‹所以。选项不符合题意；

故选：B.

根据二次根式的加法运算对4选项进行判断；根据二次根式的乘法法则对B选项进行判断；根据二

次根式的性质对C选项进行判断；根据二次根式的除法法则对。选项进行判断.

本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法和除法法则是解决

问题的关键.

4.【答案】A

【解析］解：a∕∕b∕∕c,

=

24D

=CF=

21

4-=请

解得：DF=2,

故选：A.

根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算即可.

本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键.

5.【答案】C

【解析】解：X2-6x-1=0,

：.X2—6x=1,

.∙.X2—6x+9=10,

.∙.(x—3)2—10,

故选：C.

根据配方法即可求出答案.

本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型.

6.【答案】D

【解析】

【分析】

本题主要考查菱形的性质、矩形的性质以及正方形的性质.

根据菱形，矩形，正方形具有的性质依次判断选项即可.

【解答】

A项，矩形四边不相等，菱形四角不相等，故A项错误；

B项，菱形对角线不相等，故8项错误；

C项，矩形对角线不互相垂直，故C项错误；

。项，菱形、矩形、正方形的对角线都互相平分，故。项正确，

故选：D.

7.【答案】D

【解析】解：M∕BC与ADEF是位似图形，

2ABC八DEF,AB//DE,

・••△AoBSADOE,

tAB_OA

ʌ~DE=OD"

VOA=2,AD=3,

.∙.OD=OA+AD=5,

AB2

ʌDE=5,

.SXABC_A_4

[/一%)2-25,

MABC的面积为4,

.∙∙∆DEF的面积为25,

故选：D.

根据位似图形的概念得到AABCSAAB//DE,得到4408-4DOE,根据相似三角形的面

积比等于相似比的平方计算即可.

本题考查的是位似图形的概念、相似三角形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方

是解题的关键.

8.【答案】D

【解析】解：过C作CEIy轴于E,

4BEC=90°,

••・四边形ABCD是矩形，BO=DO=4,

.∙.∆ABC=90°,BD=8,

VZ-ABO=60°,

・・・Z-CBE=30°,

•・•∆BCD=90°,

Λ

.∙.CD=^BD=4,BC=CCD=4√^3,

∙.∙乙CBE=30o,Z.CEB=90o,

.∙.CE=^BC=2∖∏,BE=HCE=6.

.∙.OE=2,

∙∙∙点C在第三象限，

二点C(—2Λ∕~3,—2),

故选：D.

由矩形的性质和直角三角形的性质分别求出CE,OE的长，即可求解.

本题考查了矩形的性质，直角三角形的性质，正确地作出辅助线是解题的关键.

9.【答案】D

【解析】解：设矩形的宽为”,长为α,

•••大正方形的面积为81,小正方形的面积为25,

.∙.X+α=9,a—X=5,

X=2,a=7,

故选：D.

根据图形列方程组求解.

本题考查了一元二次方程的应用，掌握数形结合思想是截图的关键.

io.【答案】c

【解析】解：连接点。和点E,如图：

ADRP1

而=而=5'^abf=^dae=90°>

.,∙ΔABFS△DAE,

.DF_4D_1

1

ʌ+CF=DF+CE,

延长Zλ4至点0,使4。=40,连接DE,则。E=D'E,

：•DE—CE=D,E÷CE=m,

・・・当点E为Co与的交点时，M取最小值，止匕时

,2222

m=CD'=yj(DD)÷CD=ʌ/(2×3)+6=6/2即m的最小值为6√""Σ,

故选：C.

本题的思路是先根据两条边对应成比例并且夹角相等证明三角形相似，将TAF转化为OE,然后做

DE关于ZB的对称线段DE,结论自然可得.

本题考查了矩形的性质，掌握三角形相似的性质是解题的关键.

11.【答案】3

【解析】解：∙∙∙C与最简二次根式21帚可以合并，

∙*∙TH.—3•

故答案为：3.

根据同类二次根式的定义得出答案即可.

本题考查了同类二次根式和最简二次根式，能熟记同类二次根式的定义是解此题的关键，注意：

几个二次根式化成最简二次根式以后如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫同类二次根式.

12.【答案】2：3

【解析】解：•・・△ABCsADEF,其相似比为2：3,

•••它们的周长比为2：3,

故答案为2：3.

根据相似三角形的性质即可得到答案.

本题考查相似三角形的性质，相似三角形周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方.

13.【答案】-1

【解析】解：「Xi、外是一元二次方程产+2X-I=O的两个根,

.∙.x1+x2=—2,X1X2——1,

∙*∙ɪɪ+%2-%1%2=-2一(—1)=-1.

故答案为：—1.

根据根与系数的关系可得出/÷x2=-2,X1X2=-1，将其代入Xi+X2-Xi-右中即可求出结论・

本题考查了根与系数的关系，牢记两根之和等于一、两根之积等于溪解题的关键.

14.【答案】1

【解析】解：如图1,菱形ZBCD中，BD=6,AC=8,

11

∙∙∙OA=-/1C=4,OD=QBD=3,

・••图2中正方形的边长=OA-OD=1,

••・阴影的面积=1.图I图2

故答案为：1.

如图1，由菱形的性质，得到。4=^4C=4,OD=TBD=3,因此图2中正方形的边长=1,即可

得到阴影的面积=L

本题考查菱形的性质，正方形的面积，关键是由菱形的性质，求出直角三角形的直角边的长.

15.【答案】8+2√-5

【解析】解:设点A(α,0),点B(0,b),

•••点P为AB中点，

二点「(羽)，

VAB=4,

"+/=42=16,

VCP+2DP=m,

∙∙∙J(4-i)2+φ2+Jφ2+(6-∣)2=m，

••・m=V20—4a+2"40—6b，

要使小最小，则α=0,ð=4.

.∙.τn=8+2y∕-5∙

故答案为：8+2y∕~5.

先表示出点P的坐标，再求出DP与CP,最后根据CP+IDP=ni结合二次根式的知识判断m的最小

值.

本题主要考查了勾股定理的知识、二次根式的知识，有一定的难度.

16.【答案】解：(1)原式=+

33

=λfl×6÷Jl××

=3+√-3;

(2)原式=m2-2-m2+3m

=3m—2,

当m=C+1时，

原式=3(/3+1)-2

=30+3-2

=3y∕~3+l.

【解析】(1)先算括号里面的，再算乘除，最后算加减即可；

(2)先根据二次根式混合运算的法则把原式进行化简，再把m的值代入进行计算即可.

本题考查的是二次根式的化简求值，熟知二次根式混合运算的法则是解题的关键L

17.【答案】解:(I)(X+1-2)(X+1-1)=0,

(x—I)X=0,

.∙.χ-l=0或X=0,

解得不ι=1,X2=0；

(2)・.・方程有两个相等的实数根，

，Δ=b2—4ac=[―(fc+6)]2—4×9×(k÷l)=0,

整理得1—24k=0,

解得k=0或24.

【解析】(1)将(％+1)看作整体，根据因式分解法解一元二次方程；

(2)根据根的判别式4=b2-4αc=0,建立关于Zc的方程，求出k的值.

本题考查了解一元二次方程，根的判别式，熟练掌握一元二次方程的解法和一元二次方程根的情

况与判别式△的关系是解题的关键.

18.【答案】(I)证明：•・・AF=DC,

・•・AF+CF=DC+CF,

即AC=DF,

又•・,Z.A=Z-DfAB=DE,

.∙.∆∕1^C≡∆DEF(SAS)f

：・BC=EF,∆ACB=∆DFEf

・•.BC//EFf

，四边形BCEF是平行四边形，

VBF1EF9

・•・乙BFE=90°,

，平行四边形BCEF是矩形；

(2)解:连接BE,交CF于点G,

・・・四边开08CE尸是菱形，

ʌCG=FG,BE1AC,

V∆ABC=90o,AB=4,BC=3,

:∙AC=√TlB2÷BC2=V42÷32=5,

■■S^ABC=^AC-BG=^AB-BC,

ABBC4×312

-'-BG=-=—=^

.∙.FG=CG=√BC2-BG2=J32-(y)2=

ʌ½F=i4C-FG-CG=5-19-19=ξ7,

CIALrlZ,171242

.∙∙SΔABF-AF-BG=-×-×-=-.

【解析】(1)证AABCmDEF(SAS),得BC=EF,∆ACB=∆DFE,再证BC//EF,则四边形BCEF是

平行四边形，然后证4BFE=90。，即可得出结论：

(2)连接BE,交C尸于点G,由菱形的性质得CG=FG,BELAC,再由勾股定理得AC=5,进而由

三角形面积求出BG=然后由勾股定理得FG=CG=，^∖AF=AC-FG-CG=即可解

决问题.

本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、菱形的性

质、勾股定理以及三角形面积等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键.

19.【答案】解：(1)•・,N9+%—√3÷%)(√9÷X+√3÷%)=(√9÷%)2—(√3÷x)2=9+

X—3—X=6,

•：√9+X+√3÷X=3,

・•・√9÷X-√3÷%=2,

・•・√9+X—√3+%的值为2；

(2)由(1)得：√9+x-√3+x=2,√9+x+√3+x=3,

・•・2√9÷%=5，

ʌ√9÷%=2.5»

.,.9+X=6.25,

X=-2.75,

・•・%的值为-2.75.

【解析】(1)利用例题的解题思路进行计算，即可解答；

(2)利用(1)的结论可得2√9+久=5,从而可得√9+久=2.5,进而可得9+%=6.25,然后进行

计算即可解答.

本题考查了二次根式的化简求值，平方差公式，准确熟练地进行计算是解题的关键.

20.【答案】解：(I)APCD为等边三角形，理由如下：

•・•△ACPS△PDB,

・•・乙ACP=乙PDB,

:■∆PCD=乙PDC,

.•.△PCD是等腰三角形,

又∙.∙∆ADP=60°,

.•.△PC。是等边三角形；

(2)MACPSAPDB,

.AC__PC_

ʌ^PD~^BD,

又：力。=2,BD=3,△PCD的等边三角形,

2PD

ʌ'pb=~'

：.PD=√%(负值已舍)，

如图，过点P作PHlC。于H,

•••Z.CDP=60°,

.∙.PH=？PD=等，

•••SAABP=∣ΛB∙PH=ɪ×(2+<6+3)Xɪ=产.

【解析】(1)根据三角形相似结合NADP=60。即可判断；

(2)根据三角形相似得出等式求出等边三角形边PO的长从而得出高，即可得出结果.

本题考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键.

21.【答案】解：(1)设每次下降的百分率为X

根据题意得：50(1—%)2=32

解得：x1=0.2,X2=1∙8(不合题意舍去)

答：每次下降20%

(2)设涨价y元(0<y≤8)

6000=(10÷y)(500-20y)

解得：yι=5,y2=10(不合题意舍去)

答：每千克应涨价5元.

【解析】(1)设每次下降的百分率为％,根据相等关系列出方程，可求每次下降的百分率;

(2)设涨价y元(OVy≤8),根据总盈余=每千克盈余X数量，可列方程，可求解.

本题考查了•元二次方程的应用，找到题目中的相等关系，列出方程是本题的关键.

22.【答案】>>=

【解析】解：【阅读理解】,.∙α+ð=(√^"α—√^3)2+2。/b,

・•・当α=b时，ɑ+h=2√ab∖

当α≠匕时，α+h>2√ab.

.∙.2+3>2Λ∕2×3,4÷ɪ>2/4x?6÷6=2√6×6.

3Y3

故答案为：>,>,=.

【思考验证】由题意得，AB=2a+2b=2(α÷ð),OD=a-b.

•・・乙4CB=90。，Co为AB边上中线，

ʌCO=∖AB=(α+b).

又∙.∙CD1AB,

ʌCD=√CO2-OD2=J(α+b)2—(α-b)2=2>Λ0fa.

・••在RtaCOD中，CO是斜边，CO是其中的一直角边，

CO≥CD,即α+b≥2√ab-

•••当α=b(点。与D重合)时，a+h=2√ab∙

【探索应用】(1)设该矩形花圃的长是α米，则其宽是等米.

根据题意，得篱笆的长度C=α+3x出=α+期.

aa

由上述结论，得C=α+史≥2Iα×-,即C≥60.

Q-7a

.∙.当a=等时，即α=30时，C=60(取最小值).

•••所用的篱笆至少为60米.

(2)设SACOB=M∙

∙.∙ΔCoB与4COD底边上的高相等，△ΛOB-⅛Δ4。D底边上的高相等,

,竺—SACOB_SB

°DS“ODSMOD'

m580

，解得S"0。=

16SMODm

••・S四边形ABCD=5+16+m+-=21+m+-.

∙.∙m+—≥2Im×-=8√-5∙

mΛJm

:∙S四边形ABCD≥2\Jr8C,当m=M时,即Hi=4/亏时取等号•

••・四边形ABCa面积的最小值存在，为21+8√-5.

【阅读理解】对α+b=(√^^α-y∕~b)2+2，ab进行分析可知,当α=b时,α+b=2√ab∖当α≠b

时,α+b>2√^而据此判断即可.

【思考验证】根据题意，将C。和CO用α和b表示出来，由C0≥CD,得α+b≥2，■法.当点。与。重

合时,即当a=b时取等号.