2023-2024学年广东省高二年级下册期中数学质量检测试题（含解析）

2023-2024学年广东省高二下学期期中数学质量检测试题

一、单选题

1.若前〃项和为5“的等差数列｛q｝满足%+%=12-佝，则书-2=()

A.46B.48C.50D.52

【正确答案】C

【分析】由等差数列性质化简条件求的,结合等差数列前〃项和公式可求S∣3,由此可得结论.

【详解】由%+%=12-阻，有%+%+“9=12,

根据等差数量性质可知名+的=2%,

所以3%=12,故的=4,

所以兀=)(a；/)=13%=52,

所以$-2=50.

故选：C.

2.在数字通信中，信号是由数字0和1组成.由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错

误地接收为1或0.已知发信号0时，接收为。和1的概率分别为0.9和0.1；发送信号1时，接收为

1和0的概率分别为0.95和005,若发送信号0和1是等可能的，则接受信号为1的概率为()

A.0.475B.0.525C.0.425D.0.575

【正确答案】B

【分析】运用全概率公式及对立事件概率公式计算即可.

【详解】设A="发送的信号为0"，B="接收到的信号为0”，

则W="发送的信号为1”,豆=”接收到的信号为1”,

所以P(A)=O5,P(A)=0.5,P(BlA)=O.9,P(β∣Λ)=0.1,P(BIa=O.05,P(豆IN)=O.95,

所以接收信号为0的概率为：P(B)=P(A)P(BIA)+P(A)P(B∖A)=0.5×0.9+0.5×0.05=0.475,

所以接收信号为1的概率为.P(历=l-P(3)=l-0.475=0.525

故选：B.

3.在等比数列｛%｝中，如果4+4=16,/+4=24,那么〃?+%=()

A.72B.81C.36D.54

【正确答案】D

【分析】依题意设等比数列｛q,｝的公比为4，由等比数列的通项公式求出d，最后根据

%+为=44(生+包)计算可得；

【详解】解：设等比数列｛4｝的公比为4,因为q+4=16,/+4=24,

644

所以勺2=；+〃：=正=7,所以a7+⅛="3。+"应=/(/+%)=24x(5)=54；

故选：D

4.将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿

者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有()

A.60种B.120种C.240种D.480种

【正确答案】C

【分析】先确定有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，然后利用组合，排

列，乘法原理求得.

【详解】根据题意，有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，可以先从5名

志愿者中任选2人，组成一个小组，有种选法；然后连同其余三人，看成四个元素，四个项目看

成四个不同的位置，四个不同的元素在四个不同的位置的排列方法数有4!种，根据乘法原理，完

成这件事，共有点x4!=24()种不同的分配方案，

故选：C.

本题考查排列组合的应用问题，属基础题，关键是首先确定人数的分配情况，然后利用先选后排思

想求解.

5.某社区活动需要连续六天有志愿者参加服务，每天只需耍一名志愿者，现有甲、乙、丙、丁、戊、

己6名志愿者，计划依次安排到该社区参加服务，要求甲不安排第一天，乙和丙在相邻两天参加服

务，则不同的安排方案共有()

A.72种B.81种C.144种D.192种

【正确答案】D

【分析】先计算乙和丙在相邻两天参加服务的排法，排除乙和丙在相邻两天且甲安排在第一天参加

服务的排法，即可得出答案.

【详解】解：若乙和丙在相邻两天参加服务，不同的排法种数为A；A；=240,

若乙和丙在相邻两天且甲安排在第一天参加服务，不同的排法种数为A；A：=48,

由间接法可知，满足条件的排法种数为240-48=192种.

故选：D.

6.若函数/(x)=x°+αr+1在(!,+«))是增函数，则a的取值范围是

X2

A.[-1,0]B.[-l,+∞)C.[0,3]D.[3,+∞)

【正确答案】D

【详解】试题分析：由条件知尸(x)=2x+α—摄20在上恒成立，即“≥^-2x在上

恒成立.

：函数y=J-2x在上为减函数，

.,.O>3.

故选D.

函数的单调性与导数的关系.

22

7.已知(2-X广"=4+&(χ+ι)+%(χ+ι)2+.■•+θ2023(χ÷l)°∖则同+∣4∣+k∣+…+I⅞o23∣=()

A.24046B.1C.22003D.O

【正确答案】A

【分析】首先利用换元，转化为(3T)2023=4+即+”++%023产，再去绝对值后，赋值求和.

【详解】令r=χ+l,可得χ=f-l,

2023202322023

则[2-(z-l)]=(3-r)=a0+alt+a2t++α2023r,

rr

二项式(3τ)2侬的展开式通项为(+1=CJfm∙3≡-∙(-∕),

a2023rr

则r=G023∙3^∙(-l)(0≤r≤2023Mr∈N).

当「为奇数时，见<0,当，为偶数时，ar>Q,

因此，同+同+同+…+∣<⅛∣l=%-4+a2-------⅛3=(3+∙)-02=2^"M6.

故选：A.

8.⅛a=O.leol,⅛=∣,C=-In0.9,贝IJ()

A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.a<c<b

【正确答案】C

【分析】构造函数f(x)=∣n(l+x)-x,导数判断其单调性，由此确定”,b,c的大小.

【详解】方法一：构造法

设/(x)=In(I+X)-X(X>-1),因为/'(X)=_I=-上，

1+x1+x

当x∈(-l,O)时，f∖x)>0,当Xe(O,+00)时T(x)<0,

所以函数/(x)=In(I+x)-X在(0,+∞)单调递减，在(TO)上单调递增，

所以∕g)<∕(0)=0,所以故3>InE=-InO.9,即b>c,

所以/(-历)<∕(0)=0,所以lnɪʒ+而<0,故木<葭。，所以旨。苫，

故α<b,

设g(x)=xe*+ln(l-x)(O<x<l),则g'(χ)=(χ+i)e"+-1η~=□二:；

令〃(X)=e'(x2-1)+1,h∖x)=ev(x2+2x-l),

当0<x<√Σ-l时，函数∕z(x)=e∙l(χ2τ)+i单调递减，

当应-l<x<l时，Λ,ω>0,函数MX)=e*(χ2-l)+l单调递增，

又A(O)=0,

所以当O<x<0-1时，∕7(x)<0,

所以当OVX<0-1时，g'(x)>O,函数g(x)=xe"+ln(l-k)单调递增，

所以g(0.1)>g(0)=0,βPθ.leo'>-lnO.9,所以

故选：C.

方法二：比较法

l

解：a=0.k°,b=-^~,c=-ln(l-0.1),

1—0.1

①ln^-lnZ?=0.1+ln(l-0.1),

令/(x)=x÷In(l-x),x∈(0,0.1],

则r(x)=i-J-=产<o,

1-x1-x

故/(X)在(0,0.1]上单调递减，

可得/(0.l)</(0)=0,即lna-ln⅛<0,所以。<匕；

(2)α-c=O.ko'+In(I-O,I),

令g(x)=xex+ɪn(ɪ-x),X∈(0,0.1],

贝I」g'(x)=xe'+e'L=(It5)。二)，二］,

')l-x1-x

令⅛(Λ)=(1+x)(l-x)ex-1,所以k,(x)=(1-x2-2x)ex>O,

所以Kx)在(0,0.1］上单调递增,可得Λ(x)>Λ(0)>0,即gr(x)>O,

所以g(x)在(0,0.1］上单调递增，可得g(0.1)>g(0)=0,即a-c>0,所以

故c<a<b.

二、多选题

9.设等差数列｛%｝的前〃项和为S“，公差为d,若q=30,S∣2=S∣9,则()

A.J=—2B.S“≤S15

C.%=。D.‰=0

【正确答案】AB

【分析】由等差数列前〃项和公式求出"，再结合通项公式和前“项和公式逐项辨析即可.

【详解】方法一：

；等差数列｛(｝满足％=30,St2=Stg,

12χ111O1Q

.,・由等差数歹IJ前〃项和公式有12x30+-^—χd=19χ30+∙^x^χd,解得d=-2,

2

/.an--In+32,Stl=-n+31«,

对于A,d=-2,故选项A正确；

对于B,，=-r+3山=J〃-卫］+曳，当〃取与卫最接近的整数即15或16时，5.最大,

(2J42

.∙∙S,,≤S",故选项B正确；

对于C,须=-2x15+32=2*0,故选项C错误；

对于D,⅛=-302+31X30=30≠0,故选项D错误.

方法二：

I等差数列｛q,｝满足几=%，

/.519-S12=al3+αl4+αl5+%+的+4s+¾=7%=°,；•%=°

对于A,“∣6=4+∣5d=30+15"=0,.∙.d=-2,故A正确;

对于B,α∣=30>0,J=-2<O,<316=O,ΛS15=S16≥Stl,故选项B正确;

对于C,45=46一"=2工0,故选项^音误；

对于D,5=3()X①+%,)=30x(45+%)=3也2±0)=30≠0,故选项D错误.

30222

故选：AB.

10.如图是函数y=∕(x)的导函数y=f(x)的图像，下列结论正确的是()

A.了=一2是函数卜=/。)的极值点

B.X=I是函数y=∕(χ)的极值点

c.y=/(χ)在χ=-i处取得极大值

D.函数y=f(χ)在区间(-2,2)上单调递增

【正确答案】AD

【分析】根据函数的极值的定义和判断方法，通过y=∕'(x)图像，可判断出选项ABC的正误；再通

过函数的单调性与导数的关系可判断出选项D的正误.

【详解】对于选项A,由y=∕(x)图像可知，在x=—2的左侧r(x)<0,在x=—2的右侧/'(X)>0,

所以由函数的极值的判断方法可知，选项A正确；

对于选项B,由j=f(x)图像可知，在X=I的左侧f'(x)>O,在X=I的右侧/'(X)>0,所以由函数

的极值的判断方法可知，选项B错误；

对于选项C,根据y=f(X)图像和极值的定义可知，选项C错误；

对于选项D,由y=∕'(x)图像可知，在区间xw(-2,2)上，恒有/(x)≥0,且仅在x=l处取到等号，

故选项D正确.

故选：AD.

H.在口+9)的展开式中，下列结论正确的是()

A.第6项和第7项的二项式系数相等B.奇数项的二项式系数和为256

C.常数项为84D.有理项有2项

【正确答案】BC

【分析】根据二项式展开式的特征，即可结合选项逐一求解.

【详解】[x+^]的展开式中共有10项，由二项式系数的性质可得展开式中的第5项和第6项的

二项式系数相等，故A错误；

由已知可得二项式系数之和为2'，且展开式中奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等,

所以奇数项的二项式系数和为才=256,故B正确；

/JiY9》，3

展开式的通项为=C；产'X?=C"2,0≤r≤9,r∈N,令9-'r=0,解得r=6.

故常数项为C；=玛=84,故C正确;

有理项中尤的指数为整数，故r=0,2,4,6,8,故有理项有5项，故D错误.

故选：BC

12.已知直线y=τ+2分别与函数y=和y=ln(2x)的图象交于点A(M,χ),β(x2,y2),则()

vx2

A.e'+e＞2eB.χχ2＞立^

-4

1r

C.幼+/InX2＞。D.e'+ln(2x2)＞2

xi

【正确答案】ABD

【分析】A选项，看出y=ge，与y=ln(2x)互为反函数，确定y=τ+2也关于y=X对称，求出

A(X，凹)，以赴，％)两点关于(11)对称，F+/=2,必+%=2,ʃɪ≠x2,A选项，利用基本不等

式进行证明；B选项，得到玉ɪeʌ''=-xl+2=x2,XlX2=gx∣e",构造/(x)=xe',

求导得到其单调性，从而求出王马＞逅；C选项，由基本不等式得到°＜芭＜；＜1,构造

4x2

g(x)=处,xe(0,l),求导得到其单调性，得到g(xJ＜g[L],得到皿+々In%＜。；D选项，先

Xkx2√xI

根据M+必=2得至IJgeU+ln(2x2)=2,再用作差法比较大小.

【详解】y=；e'与y=ln(2x)互为反函数，即两函数关于N=X对称，

而y=-x+2与y=χ垂直，故y=-χ+2也关于y=χ对称，

y=-x+2x=l

联立解得:

y=xy=ι

故A(Xl,y∣),8®,%)两点关于(U)对称,

即χ∣+占=2,χ∣χχ2且y+必=2,yt≠y2

不妨设0<x∣<1,*2>1，1<y∣<2,y2<1,

A选项，A+e*≥2de''ex2=2Je'"=2e，当且仅当e*=e*2,即Xl=X2时等号成立,

又占#当，故等号取不到，A正确；

因为ye(l,2),所以;eJ(1,2),所以％∈(ln2,ln4),

因此x∣>ln2>ln√^=g,故x∣e(∣∙,l),

又A(Xl,χ)为y=；e*与,=2-》的交点，故;e*1=_&+2=w,

xe

所以Xrr2=；书*'，令/(x)=∙",XGu，

其中∙f(x)=(l+x)e'>0在Xe[,l)上恒成立，

故〃X)=xe'⅛A-e上单调递增，

所以XlX,=Lχ∣e">，x，e3=立，B正确；

1^21224

因为O<x∣<l,x2>1,xl+X2=2,

所以0<x∣x2<(土产)=1,因此有o<χ∣<]<ι,

设g(x)=∕,xw(0,l),/(x)=∣[:”,Xe(0,1),

因为x∈(0,l),所以g[x)=Tɪ>O,因此g(x)=W在xw(0,)上单调递增,

ZXIn—

当0<x∣<一<1时，有即1£土<_2_=T,inx,,

X2

Inx1,八

因此---+x2ɪnx2<O,C错误；

x∖

因为y+%=2,所以geJln(2w)=2,

v

所以e*+ln(2w)-2=e"+ln(2w)-ɪeʃ'+ln(2x2)=--e'>0,

即e*+ln(2w)>2,D正确.

故选：ABD

互为反函数的两个函数的性质：①反函数的定义域和值域分别为原函数的值域与定义域；

②严格单调的函数存在反函数，但有反函数的函数不一定是单调的(比如反比例函数)；

③互为反函数的两个函数关于y=χ对称，

④奇函数不一定有反函数，若有反函数，则反函数也时奇函数；

⑤如果一个函数图象关于y=χ对称，那么这个函数一定存在反函数，并且其反函数就是它本身.

三、填空题

13.设等比数列｛4｝的公比为9,其前〃项和为"，若5z=3%+2,S4=3a4+2,贝Ijq=.

【正确答案】T或=

2

【分析】根据已知条件，由首项和公比列方程组求解.

【详解】等比数列｛4｝的公比为若$2=3/+2,Slt=3%+2,贝1必力1,

则有q(+g)=3o1q+2,①，

中心=3q∕+2,②

②-①，化简可得：2/-q-3=0,解得“=-1或g=；

3

故-1或;

14.函数/O)=xe"的图象在x=l处的切线方程为.

【正确答案】y=2er-e

【分析】根据导数的几何意义求切线方程即可.

【详解】∙.∙∕,(x)=(x+l)et,ΛΓ(l)=2e,/(l)=e,，函数/(x)=Xe，在X=I处的切线方程为

y=2ex-e.

故答案为.y=2o-e

15.某校从8名教师中选派4名教师同时去4个边远地区支教(每地1人)，其中甲和乙不同去，则

不同的选派方案共有种.

【正确答案】1320

【分析】根据给定条件，利用分类加法计数原理及排列、组合列式计算作答.

【详解】依题意，当甲和乙都不去时，选派方案有A：种，

当甲和乙之一去时，选派方案有C；C：A：种，

所以不同的选派方案共有A：+CC：A：=360+2X20X24=1320.

故1320

χ3j

16.已知α,⅛∈R,若.,X2,乙是函数/(x)=+∕2+1的零点，且x∣<X2<⅛,|石|+同=|&|，

则6a+b的最小值是.

【正确答案】-16

【分析】由三次方程的韦达定理化简，将6α+6表示为函数

【详解】/(x)=0Kp√=-(αr2+⅛),可转化为两函数图象的交点

①若x∣,%<0,鼻>0,此时α>O,b<O,由对称性可知x∣<7⅞,不合题意

②若x∣<0,々,鼻>0,此时α<O,h>O,由题意得-W+X?=X3

对于方程(X-XI)(X-X2)。-工3)=°

i2

X—(xl+x,+X3)X+(xlx2+X1X3+X2X3)x—X1X2X3=0

-(ɪ,x2+x3)=a

a=-2X2

故，■-XX+x∖x3÷工2工3=0解得

i2b=X2

-xtx2xi=b

故64+匕=》；-12々,(》2>°)

令g(x)=χ3-i2x,g'(x)=3(x+2)(x-2)

故g(x)在(0,2)上单调递减，在(2,+∞)上单调递增

故64+b的最小值为-16

故-16

四、解答题

17.已知函数/(x)=x3-2x2-4x+2.

(1)求/(x)的单调递增区间；

(2)求“x)在［-1,3］上的值域.

【正确答案】(l)"x)的单调递增区间为(F-1),(2,+∞);

⑵卜6/,五94'.

【分析】(1)求导后，根据导数的正负可求出函数的单调区间;

(2)根据导数与函数最值的关系结合条件即得.

【详解】(1)因为"x)=Λ3-2χ2-4χ+2.

所以r(x)=3∕-4χ-4=(3x+2)(x-2),

7

由r(x)=o,可得工=一(或x=2,

f'(x),/(x)的变化情况如下：

2

X2(2,+∞)

卜T)~3卜川

/'(X)+O—O+

94

f(x)递增递减—6递增

27

所以函数“X)的单调递增区间为18,(2,+∞);

l^2^l「2"I

(2)由(1)知，〃x)在-1,--上单调递增，在一§,2上单调递减，在［2,3］上单调递增.

所以X=-I为极大值点，2为极小值点，又"T)=3,(|)=3/(2)=-6,”3)=—1,

「94

所以/(X)在［τ,3］上的值域为-6,万.

18.公差不为0的等差数列｛4｝,满足%+2%=20,%,4,a,成等比数列.

(1)求｛《,｝的通项公式;

,,

(2)记bll=2-'¾,求数列｛2｝的前“项和Tn.

【正确答案】(1)4,=2〃：

⑵北=(〃一1)2向+2.

【分析】(1)设｛4,,｝的公差为d，由题意列出关于4,4的两个方程，求出4,从而可求出通项公

式;

(2)利用错位相减法即得.

【详解】(1)设｛q,｝的公差为d,dxθ,因为见+2为=20,4,q,见成等比数歹∣J,

'3q+7d=20

则又d≠0,

(«,+2d∖=αl(α∣+8J),

解得4=2,d=2,

故4=2+2(/j-l)=2n；

(2)由(1)知d=2"-%="∙2",

贝IJ7；=1X2+2X2?++“∙2",

2η,=l×22+2×23++π∙2n+1

22n+l

所以-7；=2+2?+2?+L+2,,-n∙2π+l=-n-2π+,=(l-n)2π+l-2,

1-2

所以(=(〃-1)2"+∣+2.

19.已知数列｛q,｝中，4=2,且α,,=2a“_]一"+2("N2,"∈N.).

(1)求出,内，并证明｛%-〃｝是等比数列;

(2)求｛%｝的通项公式;

(3)数列｛叫的前〃项和加

【正确答案】(1)4=4,%=7,证明见解析;

„n(n+∖]、

⑶S,,=2"-l+-^(wzeNj

【分析】(1)利用赋值法即可求得的,生，利用等比数列定义即可证得｛%-力是等比数歹∣J;

(2)先求得数列的通项公式，进而求得｛q｝的通项公式;

(3)利用分组求和法即可求得数列｛4｝的前〃项和5„,

【详解】(1)由q=2,¾47

=⅛.I-77+2(Λ≥2,Λ∈N+)W¾=>¾=>

an-n=2%-2"+2=2[α,z--3，.：(篙=2，

又4-1=1,.是首项为1,公比为2的等比数列.

,,1

(2)由(1)知%-"=lχ2*τ,Λα,,=2^+n(π∈N+).

(3)数列｛4｝的前"项和

0I2,,l

Sn=(2+1)+(2+2)+(2+3)++(2^+n)

=(20+2'+2?++2"T)+(l+2+3++n)

1—2"+“∕ι(π+l)、

=----+-^——^=2,,-l+-^——H∏z∈NJ

1-222v7

20.袋中装有4个大小相同的小球，编号为1,2,3,4,现从袋中有放回地取球2次.

(1)求2次都取得3号球的概率；

(2)记这两次取得球的号码的最大值为X,求X的分布列.

【正确答案】(1)上

Io

(2)分布列见解析

【分析】(1)根据独立事件的乘法公式即可求得答案；

(2)确定X的取值，求出每个值对应的概率，即可求得分布列.

【详解】⑴由题意从袋中有放回地取球2次，每次取到3号球概率吟,

故2次都取得3号球的概率P=X=A

(2)随机变量X的取值为123,4,则尸(X=I)=

P(X=2)=(小苧=Q(X=3)=(/竿*

尸(X=4)=(U+零十

所以X的分布列为：

234

1357

P

TδT616^I6

21.已知数列｛a“｝满足.a∣+2,2+32/+…+"2%=/+n∖n∈N")

(1)求数列｛4｝的通项公式；

⑵记S,,为数歹IJ也"向｝的前八项和(〃eN"),求证.2≤Szi<4

【正确答案,2】(1)4,=』

n

(2)证明见解析

【分析】(1)利用递推关系分类讨论〃=1与〃≥2两种情况，注意检验《=2,易得勺=2*；

n

4

(2)利用裂项求和法易得S〃=4-再由〃≥1可推得2≤S,<4.

【详解】(1)由已知可得当〃=1时，％=1+1=2;

22

当〃=2时，α1+2¾=2+2,得%=1;

22

当〃≥2时，由q+2?w+3?/++nan=H+7?,

222

得4+2¾+3¾÷+(H-1)^an_}=