2022-2023学年上海复旦附中高二年级上册开学考数学试卷及答案

复旦附中2022学年第一学期高二年级数学开学考

2022.9

一、填空题(本大题共12题,满分54分,第1-6题每题4分，第7-12题每题5分)

1.设角6的终边经过点P(—4,3),那么2cos6—sin0=___;

2.若方=(2,-1)3=(-3,4)，则万在B上的数量投影是;

3.函数/(x)=2sinxsin^y-xj的值域是;

jrjr

4.函数/(x)ncos^x+sinx在区间——上的最小值为___;

_44_

5.在AABC中，a=26,b=2后,A=%,则。=;

4

6.已知无B均为非零向量，且5+3$与70-53垂直，5-伤与75-23垂直，则万与万的

夹角为j

7.在锐角三角形ABC中，a=3,6=4,三角形的面积等于3百，则。=;

%2+siny=3(兀\

8.实数x,y满足1,，则孙=______;

J2x+cosy=2I2)

JI3

9.已知xNyNzNq■，且x+y+z=a〃，则cosx・siny・cosz的最大值为;

10.己知向量力与砺的夹角为仇|力|=2,|砺1=1,而，丽=(1-。砺而I在

t=t0时取得最小值,则当o<%<1时，cose的取值范围为；

6

11.在“8。中，已知方•就+2瓦i・芯=30•赤，则sinC的最大值为____;

12.设函数/(x)=sin6y+cos6幺，其中人是一个正整数，若对任意实数a,均有

55

{/(x)|a<x<a+l}={f(x)|xwH},则后的最小值为;

1

--选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）

13.若非零且不平行的向量zB满足|方+3|=出|,则下列正确的是（）.

A.|2a|>|2a+6|B.|251<|25+6|C.\2b\>\a+2b\D.\2b\<\a+2b\

14.正八边形4/2444444中，高+丽=，豆，则义的值为（）.

4-V22+V2/-

A.———B.2C.———D.V2

22

15.O为锐角三角形ABC的外心，。到三边a,b,c的距离分别为k,m,n,则（）

A.k:m:n=a:b:cB.左：〃z:〃=—:工：一

abc

C.左：〃2:〃=tan/:tan8:tanCD.k:m:n=cos力:cosB:cosC

16.已知函数/（x）=sinox+。coss,周期T<2匹/,且在x=£处取得最大

值,则使得不等式4|0|-aNO恒成立的实数力的最小值为（）.

A.也B.也C.也D.如

11131113

三.解答题（本大题共5题，共76分）

17.（本题14分）已知向量成=（G,1）,单位向量元与向量比的夹角为四.

3

（1）求向量万的坐标；

⑵若向量力与坐标轴不平行，且与向量力=（后2/—垂直，令，=/+5x+4,请将/

表示为x的函数y=/（x）,并求/（x）的最大值.

2

18.（本题14分）在A/BC中，已知a=3,c=6,B=%

4

⑴求sinC的值；

，4

⑵在边BC上取一点D,使得cos/ADC=——，求tanZDAC的值.

5

19.(本题14分)

如图,有一块直角梯形区域ABCD,其中AB=AD=1,BC=2,在D处有一个可以转动的探照灯,其照

771T

射角/位中=2.设=0,-探照灯照射在该梯形ABCD内部区域的面积为

4L4

S.

⑴令f=tana,求S关于，的函数关系式;

(2)求S的取值范围.

3

20.（本题16分）

如图，A、B是单位圆上的相异两定点（0为圆心）且乙4。8=。（。为锐角）.点C为单位圆

上的动点，线段AC交线段0B于点0B

（D求方•海（结果用。表示）；/

⑵若e=6（r,yy

①求E7•赤的取值范围；

②——设■=，―。5-（0＜，＜1）,记s手"=/（/），求函数/（7）的值域.

S-B"

21.（本题18分）

用a,b,c分别表示“ABC的三个内角A,B,C所对边的边长，R表示dBC的外接圆的半径.

（1）若R=2,a=2,B=45,求AB的长；

⑵在ANBC中，若NC是钝角，求证：/+/＜4代；

（3）给定的三个正实数a,13,艮其中64。，问：2,b,R满足怎样的关系时，以a,b为边长，R为

外接圆半径的AZBC不存在？存在一个或存在两个（全等的三角形算作同一个）？在AZBC

存在的情况下，用a,卜口表示。.

4

参考答案

一、填空题

11'31'“1-6

1.—;2.-2;3.-，­；4.----;5.75°或12°

5.22.2

2+V2(11]

6.60°；7.J13;8.9.——;10.——,・一

28128)

11.—12.8

3

11.在“8C中，己知布•就+20•前=3场•赤，则sinC的最大值为—

【答案】,

【解析】在△Z8C中，•.•刀•太+2或•前=30•无

he-cosA+lac-cosB=3ab•cosC

,人b~C~—U~c(1~+C-—b~rQ-+6~一。2

由余弦定理得：----------+2x----------=3X----------

_a2+b2-c2_3a2+3h2-3c2__2a2+b2

整理得：/+2/=3c2.cosC=

2ah6ab6ab

cosCN也，当且仅当6=缶。=乂叵4时取.

33

sinC=Vl-cos2C<—..1.sinC的最大值为

33

12.设函数/(x)=sin6色+cos6幺，其中k是一个正整数，若对任意实数a,均有

55

{/(x)la<x<a+1}={/(x)|xeR］，则左的最小值为;

【答案】8

【解析】由条件知,

5

,/、.(,kxkx.,kx,kx\(.kx.kx->kxkxy

/(x)=sin—+cos6—=sin—+cos——sin4----sin2'-cos'——i-cos4—

55人5555)

.kx2依丫2,2履2kx

sin2—+cos—-3sin—cos

55)5T

22kx34kx5

l--sin----=-cos-----+-

45858

其中当且仅当x='竺（加wZ）时，/（x）取到最大值，

2k

5万

根据条件知，任意一个长为1的开区间（凡4+1）至少包含一个最大值点，从而二<1,即

2k

57r5TT

左,手反之，当左>三时，任意一个开区间（凡Q+1）均包含/（X）的一个完整周期,此时

{/(x)|a<x<a+\}={/(x)|xeR}

成立，综上可知,正整数人的最小值为—+1=8故答案为：8.

2

二、选择题

13.A14.D15.D16.A

16.己知函数/（x）=sin（yx+acos（yx,周期T<2万=,且在x=£处取得最大

值,则使得不等式4|o|-aNO恒成立的实数力的最小值为（）.

「V6

A.也L.---

1711D片

【答案】(1)A

【解析】f(x)=sin69x+acos(ox=yla2+\sin(GX+。)，，其中tan。=a〉0,

•.・X=工处取得最大值.•.工69+。=工+21<乃,即。二工+2k〃一2力，kGZ,

66226

7T7T\TC7TI

—+2k^----co=tan(--------co)=-----^―=a,(l),k£Z,

(tan

6

Tl2乃兀71

+1sinl—a)+°=y/a+1sin[^-+2k7v--co

3326

71

V^+Icos—69=GZ,，⑵

66a2+\

nI——，:.sin2am37133

(1)x(2)得sin—G=—•——+COS——1

6aa+166a2+1〃2(/+1

即/-2a2-3=0,解得。==-也(舍去)，由(1)得tan等=tan((+A7r),左EZ,

6

•••cos等＞0,•••等在第一象限,•••取当

tan±+2k4，左£Z,

(6J

27r

由7=上＜24，即.•(i.)T丝C=7々1+2左肛左wZ,，。=12左+1,左£Z,

|co\66

使I切最小，则左=一1,即|(y|min=U，

若不等式X\a)\^a恒成立,则42max--------

11

故选：A.

三、解答题

G1、

17.(1)3=(0,1)或—,—

22

7-7

V5

18.(1)V(2)n

19.(1)5=2--(l+r+—)(2)吴-五

2\+t

20.(1)-2sin2-(2)①[0,3]②(0,2)

2

21.用a,b,c分别表示的三个内角A,B,C所对边的边长，R表示“BC的外接圆的半

7

径.

(1)若R=2,a=2,B=45,求AB的长;

(2)在“3C中，若NC是钝角，求证：/+〃<4々；

(3)给定的三个正实数a,b,R,其中bKa,问:a,b,R满足怎样的关系时，以a,b为边长，R为

外接圆半径的A/BC不存在？存在一个或存在两个(全等的三角形算作同一个)？在ANBC

存在的情况下，用a,b,R表示c.

【答案】(1)V2+V6(2)由余弦定理得cos。="+"一♦,

2ab

••,c为钝角，可得cosC<0,.•./+〃<。2(9分$)$

222

又；由正弦定理得。=2亦皿。<27?,;.。2<4斤，.-.a+b<4R

(3)⑶①a>2R/或必修2R时,不存在;

②当a=2火且b<2R时，4=90°,存在一个，c7a2-/;

③当a=b<2R,NA=ZB且都是锐角sin/=sin8=-匕时，4ABe存在且只有一个，

2R

c=27?sinC=-747?2-«2；(4)当6<a<2火，存在两个，

R

黄4代一守土。"火2-。2

c--------------------------

2R

【解析】(1)•.•/?=2,。=2,8=45°,由正弦定理可得：

-^-=4=-^