2022-2023学年广东省云浮市高一（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年广东省云浮市高一（下）期末数学试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

A.-1B.—iC.1D.i

2.若正方形4BC。的边长为2,则I而—荏I=（）

A.4√-2B.2√^2C.√^7D.ɪ

3.高一年级有男生480人，女生520人，张华按男生、女生进行分层，通过分层随机抽样的

方法抽取了总样本量为50的样本，则张华从男生中抽取的样本量为（）

A.23B.24C.25D.26

4.一个几何体由6个面围成，则这个几何体不可能是（）

A.四棱台B.四棱柱C.四棱锥D.五棱锥

5.如图，在长方体ABCD-A'B'C'D'中，ArE=2^EB'>BF=^FB'>G,H,分别在棱CC',C'D'

上,EH//B'C'//FG,该长方体被平面EFGH截成两个几何体,设体积较大的几何体的体积为匕,

体积较小的几何体的体积为V2,则£=（）

A.10B.5C.12D.11

6.柜子中有3双不同颜色的手套，红色、黑色、白色各1双.若从中随机地取出2只，则取出

的手套是一只左手套一只右手套，但不是一双手套的概率为（）

Art∙-5B-5jC-5D-5

7.2012年至2021年全国及广东固定资产投资年增速情况如图所示，则（）

2012年至2021年全国及广东固定资产投资年增速情况如图

增速/%

2O

10.o

86.

1O

1O

14.

2.

1O

08.O

6

4.()

2.(,)

()

.0

2012201320142015201620172018201920202021年份

A.2012年至2021年全国固定资产投资先减后增

B.2012年至2021年广东固定资产投资年增速的40%分位数为11.1%

C.2012年至2021年全国固定资产投资年增速的平均数比2012年至2021年广东固定资产投

资年增速的平均数大

D.2012年至2021年全国固定资产投资年增速的方差比2012年至2021年广东固定资产投资

年增速的方差大

8.罗定文塔，位于广东省云浮市罗定市城区.宝塔平面上呈八角形，

各层塔檐微微翘起,状如绽开的花瓣.顶层的莲花座铁柱、塔刹九霄盘、

宝珠等铸件总重逾七吨，为广东古塔之最.如图，为了测量罗定文塔的

高度，选取了与该塔底B在同一平面内的两个测量基点C与D,现测得

乙BCD=69°,ACDB=37o,CD=37.6m,在点C测得罗定文塔顶端4

的仰角为64。，则罗定文塔的高度4B=（参考数据：取血九64。=2,

cos370=0.8,√^6≈2.449，C≈1.414）（）

A.23.5m

B.47m

C.24.5τn

D.49m

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.若（l+i）2=5-3i,则（）

A.z的实部为1

B.z的虚部为一4

C.∣z∣=√T7

D.Z-2—i在复平面内对应的点位于第二象限

10.己知△?!BC的内角4B,C的对边分别为α,b,c,己知α=3,6=4,锐角C满足SinC=W更,

4

贝∣J（）

A.△?!BC的面积为3√^1IB.cosC=ɪ

C.c=√19D.cosB=

B.pμuB）=I

C.4与B互斥

D.4与B相互独立

12.己知矩形ABC。，AB=I,BC=口，将△?!£>C沿对角线AC进行翻折，得到三棱锥。一

ABC,在翻折过程中，下列结论正确的是（）

A.三棱锥。-4BC的外接球的体积不变

B.三棱锥D-ZBC的体积的最大值为,

C.当三棱锥。一ABC的体积最大时，二面角。一BC-A的正切值为

D.异面直线AB与CD所成角的最大值为90。

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.从1〜9这9个数中随机选择一个数，则这个数的平方的个位数字为4的概率为.

14.己知向量落至满足I矶=5,∖b∖=2,且日在至上的投影向量为2B，则五，石夹角的余弦

值为»α∙K=•

15.已知一个圆锥的侧面展开图是半径为4,圆心角为］的扇形，将该圆锥加工打磨成一个球

状零件，则该零件表面积的最大值为.

16.如图，在正方体力BCD-&BlCID2中，AB=2,E,M,N,P,

Q分别为AB,C1D1,B1C1,BC,CD的中点，。为平面MNPQ内的一

个动点，则为。+。E的最小值为.

四、解答题(本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17.(本小题10.0分)

已知点4(1,1),5(-1,0),C(0,l),且而=说.

(1)求点。的坐标；

(2)求AABC的面积.

18.(本小题12.0分)

如图，在正三棱柱4BC-4∕ιCι中，P,Q分别为&B,CCl的中点.

(1)证明：PQ〃平面4BC.

(2)证明：平面AlBQI平面44ιBιB.

19.体小题12.0分)

村全称是“美丽乡村”篮球联赛，近几个月以来，广东各地村居篮球联赛众多.村BA以篮

球为纽带，掀起乡村体育热潮，大力促进全民健身和乡村振兴的发展.某村球队对最近50场

比赛的得分进行了统计，将数据按[55,65),[65,75),[75,85),[85,95]分为4组,画出的频率

分布直方图如图所示.

(1)求频率分布直方图中Tn的值；

(2)估计这50场比赛得分的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表)；

(3)若该球队准备对得分排名前20%的比赛进行宣传，试估计被宣传的比赛得分不低于多少.

20.(本小题12.0分)

已知α,b,C分别为△4BC三个内角4,B,C的对边，且Ca—2加讥4=0，B为锐角.

⑴求B；

(2)若α+c=5,b=C,求同∙J?.

21.(本小题12.0分)

某高校的入学面试中有4B,C三道题目，规则如下：第一环节，面试者先从三道题目中随

机抽取一道，若答对抽到的题目，则面试通过，若没答对抽到的题目，则进入第二环节；第

二环节，该面试者从剩下的两道题目中随机抽取一道，若答对抽到的题目，则面试通过，若

没答对抽到的题目，则进入第三环节；第三环节，若该面试者答对剩下的一道题目，则面试

通过，若没有答对剩下的题目，则面试失败.假设对抽到的不同题目能否答对是独立的，李明

答对4B,C题的概率依次是J,ɪ,ɪ

234

(1)求李明第一环节抽中4题，且第一环节通过面试的概率；

(2)求李明第二环节或第三环节通过面试的概率.

22.体小题12.0分)

如图，在四面体ABCD中，AB=AD,BC=CD,E为BD的中点，F为4C上一点.

(1)求证：平面4CEL平面BDF；

(2)若Z∙BCD=90°,/.BAD=60o,AC=√3BC,求直线BF与平面ACC所成角的正弦值的最

大值.

答案和解析

1.【答案】B

【解析】

【分析】

本题考查了复数的运算法则，利用复数的运算法则即可得出，属于基础题.

【解答】

解：［=-ʌ=—i.

I-ι∙ι

故选8.

2.【答案】B

【解析】解：因为正方形ABCD的边长为2,

所以I而|=|四|=2，且而1荏，

所以I粉一适I=∖^BD∖=√22+22=2√^2∙

故选：B.

根据数量积的运算律计算可得.

本题考查平面向量数量积运算，属基础题.

3.【答案】B

【解析】解：由题意，高一年级有男生480人，女生520人，可得高一年级共有480+520=1000

人，

可得分层随机抽样的方法抽取了总样本量为50的样本，

则张华从男生中抽取的样本量为赢X480=24人.

故选：B.

根据分层抽样的概念以及抽取方法，即可求解.

本题主要考查分层抽样的定义，属于基础题.

4.【答案】C

【解析】解：根据题意，依次分析选项：

对于4四棱台是上下两个四边形，四个侧面有一6个面，满足题意;

对于B,四棱柱是上下两个四边形，四个侧面有6个面，满足题意；

对于C,四棱锥有一个底面，四个侧面有5个面，不满足题意；

对于D,五棱锥有一个底面，五个侧面有6个面，满足题意.

故选：C.

根据题意，由棱柱，棱台和棱锥的面的个数，结合选项得出答案即可.

本题考查棱台、棱锥、棱柱的结构特征，注意常见几何体的面、棱、顶点的数目，属于基础题.

5.【答案】D

【解析】解：不妨设4'B'=3,BB'=2,∙.∙力唁=2EB；，'''A'E=2,EB'=1,

又混=而，：•BF=FB，=1,

λSAEFB，=2×1×1=2,得S∕18FE4=^ABB∣A∣~SAEFB，=ɜ×2--=—)

∙∙∙EH∕∕B'C,∕∕FG,二长方体被平面EFGH截成的两部分均为高为BC的直棱柱，

其体积之比即为底面积之比，得#=评皿=H.

V2SAEF8，

故选：D.

、

不妨设AB'=3,BB'=2,即可求出SAEFB，SABFEAI,依题意截成的两部分均为高为BC的直棱柱，

则体积之比即为底面积之比.

本题考查棱柱体积的求法，考查化归与转化思想，考查运算求解能力，是中档题.

6.【答案】B

【解析】解：由题意，分别用药,a2,bi，b2,c1,c2表示6只手套，

从中随机地取出2只,包含(αι,o⅛),(%，瓦)，(%也)，(%,Cι),(a1,c2),(a2,b1),(a2,b2),(a2,c1),

(α2>C2),(瓦,。2)，(瓦,Ci)，(瓦,。2)，(p2'cl)t(匕2儿2)，(Cl,C2),共有15种,

其中取出的手套中一只左手套一只右手套，

包含(的也)，(α1,c2),(α2,b1),(a2,ci),(bvc2),(.b2,c1),共有6种,

所以不是一双手套的概率为P=⅛=∣.

故选：B.

利用列举法求得基本事件的总数，以及所求事件中包含的基本事件的个数，结合古典撷型的概率

计算公式，即可求解.

本题考查古典概型相关知识，属于基础题.

7.【答案】D

【解析】解：对于选项4由折线统计图可知2012年至2021年全国固定资产投资年增速先减后增，

但是均为正数，故全国固定资产投资均增加，故A错误；

对于选项8,2012年至2021年广东固定资产投资年增速从小到大排列为6.3%、7.2%、10.0%、

10.7%、11.1%、13.5%、14.6%、15.8%、15.9%、18.2%,

因为10X40%=4,所以第40%分位数为第4、5位两数的平均数，即为此%严%=10.9%,故

3错误；

对于选项C,由统计图可知只有2012年全国固定资产投资年增速比广东固定资产投资年增速大，

其余年份广东固定资产投资年增速均大于全国固定资产投资年增速，

所以2012年至2021年全国固定资产投资年增速的平均数比2012年至2021年广东固定资产投资年

增速的平均数小，故C错误；

对于选项。，全国固定资产投资年增速比较分散，广东固定资产投资年增速比较集中，

所以2012年至2021年全国固定资产投资年增速的方差比2012年至2021年广东固定资产投资年增

速的方差大，故。正确.

故选：D.

根据折线统计图一一分析即可.

本题主要考查了统计图的应用，考查了平均数、方差和百分位数的计算，属于中档题.

8.【答案】B

【解析】解：因为cos37。=0.8,所以S讥37°=√1-3237。=0.6,

又sin74°≈sin75o=sin(45o+30°)

=sin450cos300+cos450sin300

ʃl<3,C-I√-6+∖Γ2

=—×-+—×2=—-'

因为ZBCC=69°,乙CDB=37°,所以NCBD=I800-69°-37°=74°,

在ABCD中由正弦定理

SinNC8。SinzCDB

CDsinLCDB37.6sin37o

即CB又tcm640=—

λnnz,.UZIOɔnz,Q37.6sE37°2×37.6×0.6.„

所以AB=BCtanM=2BC=2×∙Sin74。≈,汽冢至≈47m-

4

故选：B.

首先求出sin37。，再由两角和的正弦公式求出S讥75。，在△BCD中由正弦定理表示出BC,再由锐

角三角函数得到4B=BCtan64°,从而计算可得.

本题主要考查了和差角公式，正弦定理在求解三角形中的应用，属于中档题.

9.【答案】ACD

【解析】解：因为(l+i)W=5—33所以W=F=舁等*=^=I-43

'Jl+ι(l+O(l-ι)2

所以z=l+4i,所以Z的实部为1,虚部为4,∣z∣=√M+42=CV,故A、C正确，8错误；

z—2-i=l+4i—2—i=-1+3i,

所以z-2-i在复平面内对应的点(-1,3)位于第二象限，故。正确.

故选:ACD.

根据复数代数形式的除法运算化简W，即可求出z,从而判断4、B、C,再求出Z-2-3根据复

数的几何意义判断即可.

本题主要考查复数的四则运算，属于基础题.

10.【答案】BC

【解析】解：在AABC中，因为α=3,6=4,且SirlC=匚身，

4

由三角形的面积公式，可得S-BC=gabsinC=：x3x4xf=甘，所以A错误；

由C为锐角，且SinC=H可得CoSC=√1-si/C=所以8正确；

44

i___

由余弦定理得C?=α2÷/?2-2abcosC=9÷16-2×3×4×-=19,可得C=√19,所以C正

4

确；

由余弦定理得COSB=α2+c2j2=9+194=红厅,所以。不正确.

2ac2×3×y∏919

故选：BC.

由三角形的面积公式，可判定4错误；由三角函数的基本关系式，可判定8正确，由余弦定理,

可判定C正确，。错误.

本题考查了三角形的面积公式，三角函数的基本关系式以及余弦定理在解三角形中的应用，考查

了计算能力和转化思想，属于基础题.

11.【答案】ABD

【解析】解：因为n(0)=12O,n(4)=4O,n(β)=30,n(A∩β)=10,

所以P(A)=箸P(B)=职=；,P(Λδ)=⅛≡=⅛

所以PoIB)=PG4)∙P(B),即4与B相互独立，故A、D正确;

因为n(AnB)=10,所以4与B不互斥，故C错误；

P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB)=g+；—・=g,故B正确.

故选：ABD.

根据古典概型的概率公式求出PG4),P(B),P(AB),即可判断从C、。，再根据和事件的概率公

式计算P(AUB),即可判断B.

本题主要考查了独立事件和互斥事件的定义，属于基础题.

12.【答案】ACD

【解析】解：对于A,设AC的中点为。，则由Rt4ABC'RtADC

OA=OB=OC=OD,所以。为三棱锥D-ABC外接球的球心，其半径为TAC=1,

所以三棱锥D-ABC外接球的体积为守兀，故A正确；

对于B,设三棱锥D-4BC底面4BC上的高为九，则％-.BC=^SA4BC,八，

当平面4CC_L平面ABC时，三棱锥D-4BC的高最大，

此时三棱锥D-4BC的体积IZDrBC=*xlXCX?=；,故B错误；

对于C,三棱锥D-ABC的体积的最大时，平面4DC平面4BC,

D

过点。作DMI4C交4C于点M,过点M作MN〃/1B,交BC于点N,连接。N,

由平面AOC_L平面4BC,平面4DCΓI平面4BC=4C,DMU平面4DC,

所以DMJ_平面4BC,BCU平面ABC,所以DMIBC,

又MNUAB,AB1BC,所以MNIBC,

DMnMN=M,DM,MNU平面DMN,所以BCl平面DMN,

ONU平面。MN,所以BCj.CN,所以NDNM即为二面角。一BC-4的平面角，

又DM=.则MC=√DC2-DM2=ɔ

AC22

又zCMNsχCAB,所以黑=鬻，则MN=1所以tanzJ)NM=黑=2「，

ABCA4MN

即二面角D-BC-A的正切值为2，？，故C正确；

对于D,当翻折后点。到点B的距离为C，即BD=C，在ABCD中，BC2=BD2+CD2,

则CD∙LBD,又CDIAD,AD∩BD=D,AD,BDU平面4BD,则CDI平面4BD,即异面直线4B

与CD所成角为90。，

即异面直线AB与CD所成角的最大值为90。，故。正确.

故选：ACD.

由直角三角形的性质得出AC的中点为三棱锥。-力BC外接球的球心，进而得出A正确；当平面

40CJ_平面ABC时，三棱锥。-ABC的体积最大，从而判断8；三棱锥。一ABC的体积的最大时，

平面ADC_L平面ABC,二面角。—BC—A的正切值；当BD=/1，由线面垂直判定定理证明CDl

平面ABD,进而得出异面直线AB与CD所成角的最大值为90。.

本题主要考查棱锥的体积，异面直线所成的角，二面角的求法，考查运算求解能力，属于中档题.

13.【答案】I

【解析】解：因为/=1,22=4,32=9,42=16,52=25,62=36,72=49,82=64,92=81,

从1〜9这9个数中随机选择一个数共有9种选法，

其中这个数的平方的个位数字为4的只有2、8共2个,

所以所求的概率P=a

故答案为：

根据古典概型的概率公式计算可得.

本题考查古典型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.

14.【答案】I8

【解析】解：∙∙∙I矶=5,住|=2,且五在石上的投影向量为2反

⅛∙j=j∙=2b)即五∙b=2∣b∣2=8,

T→a`b84

.•"°$如，切=丽=应=+

故答案为：ɪ;8.

根据方在加上的投影向量为鬻∙∙⅛,求出心&再求出夹角的余弦值，即可得出答案.

∖b∖∣⅛∣

本题考查平面向量数量积的性质，考查转化思想，考查运算能力，属于基础题.

15.【答案】胃

【解析】解：根据题意，该圆锥的母线长为，=4,设圆锥底面圆半径为R,

高为八，如图所示，

由2兀/?=4X］得，R=I,所以h=√B-R2=√^5.

圆锥Po内切球的半径等于△PAB内切圆的半径，

设的内切圆圆心为。1，半径为r,

由于SAPAB=SAPAOl+SAPBe)&+^ΔABO1>则有"×2×√15=ɪ×4r+ɪX

4r+ɪ×2r,

解得r=2ψ.

所以该球状零件表面积的最大值为4口2=零.

故答案为：ψ∙

根据题意，运用扇形的弧长公式可求得圆锥半径，结合等面积法可求得三角形的内切圆半径，进

而求得圆锥内切球的表面积.

本题考查球的表面积计算，涉及旋转体的结构特征，属于基础题.

16.【答案】E

【解析】解：延长EP,与DC的延长线交于点7,ABCD是正方形,

因为4C1BD,EP//AC,QP//BD,

所以EPIQP,

所以EPJ.PN,

又PNnPQ=P,PNU平面MNPQ,PQU平面MNPQ,

所以EP1平面MNPQ,

所以TPj■平面MNPQ,EP=PT,

所以E关于面MNPQ的对称点7,

所以4。+OE=A1O+0T≥A1T,

以。为坐标原点，DA,DC,DDl所在直线分别为X,y,Z轴建立空间直角坐标系.

因为AB=2,E,P,分别为4B,BC的中点，EP=PT,

因为4ι(2,0,2),T(0,3,0),

所以必7=√以+33+22=λ∏7,

故答案为：V17.

先根据线面垂直得出E关于面MNPQ的对称点F,EP=PT,再建系根据两点间距离求解即可.

本题考查空间中距离，解题关键是空间向量法的应用，属于中档题.

17.【答案】解：(1)因为4(1,1),β(-l,0),C(0,l),

所以荏=(-1,0)-(LI)=(—2,—1)，设Qay),则而=(X,y)—(0,1)=(x,y-1),

又荏=而,所以忧：_1，解得忧J即0(—2,0).

(2)因为MCl=1,且4C〃x轴，B到AC的距离为1,

所以S&4BC=/XlXl=2，

【解析】(1)设。(χ,y),表示出荏、丽的坐标，根据对应坐标相等得到方程组，解得即可;

(2)根据点的坐标的特征，直接求出三角形的面积.

本题主要考查平面向量的坐标运算，属于基础题.

A

18.【答案】解：(1)证明：取AB的中点D,连接P。、CD,因为P,Q分别为⅛-------刁Cl

aB,CCi的中点，V×γ>≤.

所以PL√∕Λ4ι且PD=^AAl,ʌ"ɪ71

又三棱柱ABe-AIBlCI是正三棱柱，所以CQ〃44「CQ=^AA1,八；,斗'少少C

所以P。〃CQ且PD=CQ,B

所以PDCQ为平行四边形，所以PQ〃CD,

又因为PQC平面ZBC,CDU平面4BC,

所以PQ〃平面4BC.

(2)证明：在正三棱柱4BC-&8道1中。为48的中点，

所以CDIAB,又44]L平面ZBC,CDU平面NBC,所以CDIA

AA1C∖AB=A,AA1,ABU平面ABBIa「所以CC_L平面力BBla「

又CDllPQ,所以PQI平面28B14,又PQU平面&BQ,

所以平面4BQ1平面44a及

【解析】(1)取AB的中点D,连接P。、CD,即可证明PDCQ为平行四边形，从而得到PQ〃CD,即

可得证；

(2)首先证明CDl平面ZBB√lι,即可得到PQ_L平面4BB√lι,从而得证.

本题考查线面平行的证法及面面垂直的证法，属于中档题.

19.【答案】解：(I)由频率分布直方图可得(m+0.03+2τn+0.01)XlO=1,解得m=0.02.

(2)由频率分布直方图可得平均数为(0.02×60+0.03×70+0.04×80+0.01X90)×10=74.

(3)因为(0.02+0.03+0.04)×10=0.9>0.8,

(0.02+0.03)×10=0.5<0.8,

所以第80%百分位数位于［75,85)之间，设为X,

则(0.02+0.03)×10+(x-75)X0.04=0.8,解得X=82.5,

所以被宣传的比赛得分不低于82.5.

【解析】(1)根据频率分布直方图中所有小矩形的面积之和为1得到方程，解得即可；

(2)根据平均数公式计算可得；

(3)计算第80%百分位数，即可得解.

本题考查频率分布直方图的性质、平均数、百分位数等基础知识，考查数据分布能力，属于基础

题.

20.【答案】解：(1)y∕~3a—2bsinA=0>

由正弦定理得√^?SiMA=2sinBsinA>

又SinA≠0,

即SinB=亨，又B为锐角，所以B=M

Zɔ

(2)由余弦定理可得COSB=a2+c2-b2=1,

2ac2

即M-Fc2-7=αc,由Q÷c=5,即M+2ac+C2=25,

则25—2ac—7=ac,即QC=6,

所以拜第

若｛：二;，由余弦定理=炉+¢2-2bcC0S4,

即22=(√^7)2+32-2×3×CcosA,

解得cos4=ɪ,所以屈-AC=∖AB∖-∖ACICoSA=CX3xʃ=6;

若｛;二分由余弦定理=/+¢2-2bccos4,

即32=(√^7)2+22-2×2×CcosA,

解得CoS力=-

14

所以荏-AC=∖AB∖∖AC∣cos4=√^7x2xg=L

【解析】(1)利用正弦定理将边化角，即可求出SinB,从而得解；

(2)利用余弦定理求出a、c,再由余弦定理求出cos4最后由数量积的定义计算可得.

本题考查三角形的正弦定理、余弦定理和向量数量积的定义，考查方程思想和运算能力，属于中

档题.

21.【答案】解：(1)设事件D为李明第一环节抽中4题，且第一环节通过面试.

由题意得李明第一环节抽到每道题目的概率均为5

所以P(O)=WXRa

(2)设事件E为李明第一环节