2023北京高三一模数学汇编：第五道解答题（第20题）

2023北京高三一模数学汇编

第五道解答题(第20题)

1.(2023•北京西城・统考一模)已知椭圆C：x?+2y2=2,点A,8在椭圆C上，且Q4_LOB(。为原点).设

AB的中点为V,射线OM交椭圆C于点N.

(1)当直线AB与X轴垂直时，求直线AB的方程；

Q)求器［的取值范围.

2.(2023•北京东城・统考一模)已知椭圆氏5+*l(α>∕,>0)的一个顶点为A(0,l),离心率e邛.

⑴求椭圆E的方程；

(2)过点「卜百,1)作斜率为A的直线与椭圆E交于不同的两点3,C,直线A8,AC分别与X轴交于点M,

IMDI

M设椭圆的左顶点为。，求扁的值.

22

3.(2023.北京朝阳•统考一模)已知椭圆E:5+匕=1(0<〃<4)经过点(3,1).

(1)求椭圆E的方程及离心率；

(2)设椭圆E的左顶点为A,直线/：X=Wy+1与E相交于M,N两点，直线AM与直线χ=4相交于点

。.问：直线N。是否经过X轴上的定点？若过定点，求出该点坐标；若不过定点，说明理由.

4.(2023•北京丰台•统考一模)已知函数f(x)=x+3(a>0).

e

⑴求函数f(x)的极值;

⑵若函数有两个不相等的零点七，

(i)求〃的取值范围；

(ii)证明：x∣+J⅞>2In4.

5.(2023•北京石景山・统考一模)己知函数/(x)=e'-l-帆SinMmeR).

(1)当〃2=1时，

(i)求曲线y=∕(χ)在点(o,∕(o))处的切线方程；

(ii)求证：∀xe(θ,∙∣),/(Λ)>0.

(2)若〃刈在(0,∙∣)上恰有一个极值点，求加的取值范围.

6.(2023•北京房山・统考一模)已知函数/(x)=0r-(α+l)lnx-L

X

(I)当α=0时，求曲线y=f(χ)在点(IJ⑴)处的切线方程；

⑵若y="X)在X=2处取得极值，求/(X)的单调区间；

(3)求证：当0<α<l时，关于X的不等式/(x)>l在区间［l,e］上无解.

22B

7.(2023•北京顺义•统考一模)已知椭圆C:三+当=1(4>方>0)经过点1,⅛-,离心率为0.

a3I2J2

⑴求椭圆C的方程；

⑵设直线/：y=丘+f(fH())与椭圆C相交于A,B两点,。为坐标原点.若以OAOB为邻边的平行四边形

Q4P3的顶点P在椭圆C上，求证：平行四边形OApB的面积是定值.

1+X

8.(2023•北京平谷♦统考一模)已知函数/⑴=；—ef>0).

1-x

(1)当。=1时,求曲线y=F(X)在点(O,F(O))处的切线方程;

(2)讨论y=∕(χ)的单调性；

(3)若对任意xe(O,l)恒有/(x)>l,求a的最大值.

参考答案

1.(l)x=±-

3

(2)愕,有

【分析】(1)根据题意可知点AB关于X轴对称且OAJ利用勾股定理可得直线AB的方程为

x=±直；(2)当直线AB的斜率不存在时，陪S直线AB的斜率存在时，联立直线y=h+机和椭

圆方程再根据OAJ∙OB可得3加=2公+2,即二≥/再由湍=2为求出点N∈∣绊,3^—),代入椭圆

32k+\2匕+1

方程即可得汇=3-Λ,即可求得螺;的取值范围为半，代

【详解】(1)当直线AB与X轴垂直时，设其方程为X=r(-√∑<f<0)∙

由点AB关于X轴对称，且。4,08,由勾股定理可知不妨设Aa/),

将点A的坐标代入椭圆C的方程，得产+2r=2,解得r=±如.

3

所以直线AB的方程为X=±亚.

3

31

(2)当直线A3的斜率不存在时，由(I)知两"一袤一“

3

当直线AB的斜率存在时，设其方程为y=h+"?.

y=kx+m,

由得(2&2+l)x2+4kmx+2m2—2=0.

X2+2/=2,

22

由A=8(2∕—∕√+l)>0,^m<l+2k.

Akm2m2-2

设A(XI,y∣),B(x,y),则玉+演=一

222p+T,ʌ'ʌ2-2k2+\

因为。4_LOB,所以OA.08=0.

xx

所以xlx2+y∣y2~t2+(向+>n)(kx2+m)-O.

2

整理得(k?+l)x1x2+km{xλ+x2)+m=O.

所以(k-+1)(2M-2)+km(-4km)+m2(2k2+1)=0.

9

解得3〃/=2公+2,从而m2≥5.

IiUUlULlU+PJc-

设CW=/OM,其中∕l>0.

Uirai2IArIllIl2-2lanλtnλ

则。N=万(。4+QB)=万(司+々,％+*)=(-

2k1+∖2k1+∖,

将岛)代入椭圆C的方程,得"

所以>公=3/_1,HPΓ=3-Λ.

m

因为苏≥2,所以*z<3,ap^≤2<√3.

322

综上篇的取值范围是手,6.

2.（1）—+y2=l

3

⑵幽」

（'∖MN∖2

A2「2,

【分析】（1）依题意可得力=1,:====，进而求出椭圆方程;

a~ar3

（2）首先表示出直线方程，设3（.》）、C（x2,y2）,联立直线与椭圆方程，消元列出韦达定理，由直线

AB,AC的方程，表示出A+%=-2√L得到点。为线段MN的中点，进而求解.

【详解】⑴由题意可知b=l,^2=l-⅜-=-⅛=4,所以/=3,

a~a3

则所求椭圆E的方程为j+V=1.

3

（2）依题意过点P（-6,1）的直线为y-l=MX+6），设3（芭,凹）、c（x2,y2）,不妨令

-∖∣3<x1<x9≤ʌ/ɜ,

y-∖=+j

由,χ2,消去y整理得（1+3〃）产+仅辰2+6攵）χ+9公+6®=0,

____-1

222

所以A=色&2+6⅛)-4(l+3k)(9k+6√3⅛)>0,解得k<0,

-U6Λ∕3⅛2+6⅛9⅛2+6√3⅛

所FCI以*+入2=----------2-

1+3公

直线AB的方程为y-l=2L二L,令y=o,解得XM=T⅛=L,?«、，

Xl1-y1氏(X]+√3)

直线AC的方程为yT=X,令y=(),解得XW=丁出=。信

X21一%Kx2÷，3)

所以/+/=-∣(-x]-iτ+-1⅛)

kχ1+√3x2+√3

9公+6&[z,6限2+6-、

=_1.2X∣1+G(X∣+匕)=_1.X1+3〃+1+3小)

2

kχlχ2+-V3(xl+x2)+3k9k+6>∕3k+∣^χ,66k。+6k

1+3r+X--1+3r+

16√3⅛

=--------

k3

=-2∖∣3，

因为点。(-6,0),则点。为线段MN的中点，

所以IM局DI=I5

【点睛】直线与圆锥曲线相交所成线段比值的求解步骤：

设出直线方程，利用韦达定理和判别式求出取值范围；

结合韦达定理将线段比值的表达式表示出来；

根据判别式中的范围采用分离变量，换元，基本不等式等方法进行求值.

3.⑴椭圆E的方程为二+亡=1,离心率为

422

⑵直线N。过定点(2,0).

【分析】(1)根据椭圆经过点(四』)即可求得椭圆方程，利用离心率公式即可求离心率；

(2)表示出直线AM的方程为V=-^¼(x+2),即可求得点Q(4,-⅝),再利用点斜式表示得直线N。的

ʃɪ+2X1+2

方程为了一%=萼二乎GF，即可求出NQ与X轴的交点，利用韦达定理等量替换即可求出直线

(4-X2)(X1+2)

NQ恒过的定点.

22

【详解】(1)因为椭圆E:?+工=1(0<〃<4)经过点(√∑,1),

21

所以:+L=1,解得"二2,

4n

所以椭圆E的方程为《+$=1,

42

因为“2=4,0=2,所以C=Ja2一廿=&,

所以离心率为e=£=".

a2

(2)直线NQ过定点(2,0),理由如下：

由_4可得+2)y2+2my-3=O,

显然A=4疗+12(疗+2)>0,

设“(百,%),%(%,%)，则有y+%=一一”「%必=—Λτ-∙

m~+2疗+2

直线AM的方程为y=-¾(χ+2)∙

令χ=4,解得y=-⅛,则Q4,-¾),

ɪl+ZX)'，

6)1

所以直线NQ的斜率为A=改+2-=6)[-)，式为+2)且心°#O,

-

Q4—X2(4—X2)(ɪit^2)

=≡g≡(f)∙

所以直线NQ的方程为y-必

%(4-X2)(x∣+2)

6χ-%α+2)

_W[6y∣一旷2(x∣+2)]%(4*2)(X∣+2)

6y-%α+2)

⅛21-4%(x∣+2)=6(，町2+1)X-4%。%%+3)

6j∣-y2U1+2)6%-y2(w>'∣+3)

2m∖--^3—A2m

+6——ɔ_18.y2

2冲访+6>I-12%("+2(m~+2

-myy+6y-3y3A2m

i2l2—m\-+6——ɔ——一9%

Hl*2+2Im-+2

2

_-18AW-18(∕W+2)γ2

2

-9m-9(m+2)y2

所以直线NQ过定点(2,0).

【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键在于利用直线的点斜式方程求的点点。(4,黑)的坐标，再利用点

斜式方程表示出直线N。与X轴的交点横坐标，利用韦达定理等量代换求恒过定点.

4.(1)函数f(x)无极大值，有极小值1+ln”.

⑵(i)0<a<1.(H)见详解.

e

【分析】(1)利用导数研究函数的单调性和极值.

(2)(i)利用导数研究函数的单调性与极值，再结合图象与零点进行求解.

(ii)利用构造对称函数以及导数进行证明.

【详解】(1)因为f(x)=x+二，所以r(x)=I—9=因为”>0,

e-ee

由f'(x)>O有：x>∖na,由/'(X)<0有：x<∖na,

所以函数/(χ)在(-∞,lnα)单调递减，在(Ina,+ɔo)单调递增，

所以函数/(x)无极大值，有极小值/(ɪna)=1+In”.

(2)(i)由⑴有：函数/(χ)在(ro,lnα)单调递减，在(Ina,+∞)单调递增，

若函数/(x)有两个不相等的零点巧，々，则/(Ina)=I+lnα<0,解得“<l,

e

所以OCa<,，因为当χf+∞时，=→0,=+x→+∞,,所以f(x)→E,

eee

所以/(x)=x+，在(Ina,+00)上有1个零点,

当Xf-∞时,→+∞,又''指数爆炸"，所以/(x)→+∞,

所以/(x)=x+［在(-∞,lnα)上有1个零点，

综上，当0<“<1时，函数/(X)有两个不相等的零点4，X2.

e

(Ii)由⑴有：当O<“<J时，函数/(X)有两个不相等的零点为，巧，

e

不妨设芭<lnα<z,构造函数尸(x)=∕(x)-f(2Ina-x),则9(X)=尸(x)+f(21nq-x),

因为/'(X)=J=，所以F(X)=I-占+1-能7=2-停+J,

因为0<α<L所以巴+乙2乜旦=2,当前仅当X=Ina时取到等号，

eevαNe'a

所以尸(X)=2-4+-≤0,所以尸(x)=〃x)—/(2InaT)在R上单调递减，

Iea)

7

又W>Ino,所以∕(x2)VF(Ina)=./(Ina)-/(21nα-Ina)=0,

BPF(X,)=∕(Λ2)-∕(21Π<7-Λ2)<0,即f(%)<f(21na-j⅛),又f(/)=」(%),

所以/(xj<∕(21n“一Λ2),又xl<lnα<X2,所以21114-々<ln4,

由⑴有：函数f(x)在(-∞,lnα)单调递减，所以玉>2lna-X2,

即由+々>2Ina,结论得证.

5.(1)(i)切线/方程为y=0；(ii)证明见解析

⑵(l,+∞)

【分析】(1)当机=1时，求导，根据导数几何意义求解切点坐标与斜率，即可得切线方程；根据导函数的

正负确定函数的单调性，即可得函数/(x)的最值，即可证明结论；

(2)根据极值点与函数的关系，对加进行讨论，确定导函数是否存在零点进行判断，即可求得”?的取值

范围.

【详解】(1)当“7=1时，∕,(x)=et-COSX

(i)/'(O)=e°-cos0=0,又"0)=e0-I-SinO=O,所以切线/方程为y=0.

(ii)/(x)=e'-l-sinx,∕,(x)=e'-cosx,因为xe(θ,∙^∙),所以e*>1,-cosx>-1,

所以e*-cosx>0,所以/'(x)=e*-cosx>0

所以/(x)在((埒)单调递增，所以F(X)>/⑼=0；

(2)/(X)=e'-l-∕Hsi∏Λ,∕z(x)=e'-mcosx

当相£1时，所以一moosX≥—cosX,

/、'(x)=eʌ-"zcosx≥eʌ-cosx,

由(1)知，/(x)>0,

所以/(χ)在(0日)上单调递增.

所以当机£1时，/(x)=e*-l-msinx没有极值点，

当/>1时，∕,(x)=ejr-wcosx,

因为y=eʌ与y=-mcosX在(Og)单调递增.

所以尸(x)在(0,；)单调递增.

所以r(0)=l-m<0,∕,(∣)=^>0∙

所以丸€(0身使得尸(x0)=0.

所以当O<x<x。时，f(x)<O,因此“X)在区间(0,Λυ)上单调递减，

当x0<x<5时，f∖x)>0,因此.f(x)在区间上单调递增.

故函数f(x)在K)B)上恰有一个极小值点，加的取值范围是(1,一)∙

6.(I)N=T

(2)/(到的单调递增区间为(0，1)和(2,+8),单调递减区间为(1,2)

(3)证明见解析

【分析】(1)根据导数的几何意义求得切线斜率，即可求得切线方程；

(2)根据/'(2)=O可求出〃=；,并对其进行检验即可求解；

(3)分,≥e和l<L<e两种情况，求出函数/(χ)在区间U,e］上的最大值即可作答.

aa

・、那、2,

4/.、,”、z1八一τ3c.α+l1ax-(d+l)x+l(QX-I)(X-I)

【详解】(1)⅛/(x)=αv-(α÷l)Inx一一,x>O∏Γ<f∖χ)=a-------+—7=--------`)------=ʌ--------R-------,

xXX^X厂

当α=0时，/(l)=-lnl-j=-l,∕,(l)=0,

y=ʃ(ɪ)在点(IJ⑴)处的切线方程为y=-1；

(2)因为y=∕(x)在X=2处取得极值，所以尸(2)=牛1=0,解得〃=；,

检验如下：

令〃,、小一1/I)n,解得X=2或X=I,

f(X)=---------4--------=0

XT

若O<x<l或x>2时，则外勾>0；若ICX<2,贝IJr(X)<0.

所以/(x)的单调递增区间为(0,1)和(2,+8),单调递减区间为(1,2),

故y=∕(x)在χ=2处取得极小值，满足题意，

故f(X)的单调递增区间为(0,1)和(2,+8),单调递减区间为(1,2)；

(3)由(1)知尸(x)=3-D,(x-D,由O<α<l时，得,>1,因x∈U,e］,

Jra

当工≥e时，当x∈(l,e)时，∕,(x)<0,即函数/⑴在U,e］上单调递减，则,(外皿=/⑴=<1,

a

因此不等式/(X)>1不成立，即不等式/(x)>1在区间［l,e］上无解；

当l<,<e时，当l<x<L时，∕,(x)<0,当,<x<e时，∕,(x)>0,即f(χ)在(1」)上递减，在(Le)上

aaaaa

递增，

于是得/(x)在［l,e］上的最大值为/(I)或/(e),而/(l)=α-l<l,/(e)=αe-(α+1)-L

e

/(e)-l=a(e-l)-2-L<(e-l)-2-l=e-3-!<0,即/(e)<l,

eee

因此不等式/(X)>1不成立，即不等式/(x)>l在区间u,e］上无解，

所以当O<a<l时，关于X的不等式/(x)>l在区间［l,e］上无解.

7.⑴］+V=ι

(2)证明见解析

【分析】(1)由题意可得关于。，b,C的方程组，求得a,b的值，则椭圆方程可求；

(2)联立直线方程与椭圆方程，化为关于X的一元二次方程，利用根与系数的关系及四边形。出8是平行

四边形，可得尸点坐标，把尸点坐标代入椭圆方程，得到产=f,利用弦长公式求得∣A8∣,再由点到

直线的距离公式求出点。到直线/的距离，代入三角形面积公式即可证明平行四边形(MPB的面积为定值.

1

2-

F

^

解得

22从

【详解】(I)由题意，可得,2-α=

所以椭圆为二+V=I.

2

(2)证明：把y=H+r代入椭圆方程++V=1,

2

得(2k+I)X2+4ktx+2r-2=0,

所以△=(4kt)2-4(2r+1)(2*—2)=16⅛2-8r+8>0,BRr<2k2+l,

设Aa,y∣),B(x2,y2),则χtχ2=^Lfl,

乙K十1乙K+1

所以弘+%=/(玉+%2)+2/=可差

乙K十i

因为四边形OAPB是平行四边形，

(Λbf2/、

所以。P=。4+。B=(Xl+々，M+必)=I-ɔ,zɪ,>用工1,

∖,乙KiL乙Ki17

所以尸点坐标为「岛,5⅛)∙

又因为点尸在椭圆上,

^k2t2产

41即笆

所以际+际=I/2=J≤

4

2t2

因为|A8∣=∖∣∖+k∖xi-x2∖=J+^^(xl+x2)-xlx2，

即lIABIl=标.2=

*2二+1)-2⅛+l√^F7∣

又点。到直线/的距离d=-ɪ=,

y∣∖+k2

所以平行四边形OAPB的面积

S0APB=2S0AB=\AB\.d=-^==如,

-V

即平行四边形OAPB的面积为定值.

8.(l)y=χ+l

(2)见解析

(3)2

【分析】(I)根据导数的几何意义得出切线方程；