2023-2024学年上海市浦东区高二年级上册期末考数学试卷含答案

2023-2024学年上海市浦东区高二年级上学期

期末区统考数学试卷

2024.1

一、填空题（本大题共有12小题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写

结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得0分.

l.A,B,C三点不在同一直线上，则经过这三个点的平面有个.

2.现行国际比赛标准的乒乓球直径是40毫米，在忽略材料厚度和制造误差的情况下，则乒

乓球的表面积大约为平方毫米。（数值近似到0.01）

3.以下论述描述正确的是.（请填写对应序号）

①随机现象是不可重复的；

②所及现象出现某一结果的可能性大小都是不可测的；

③概率就是描述随机现象中某写结果出现的可能性大小。

4.甲乙两人下棋，甲获胜的概率为0.4,甲不输的概率为0.9,则甲乙两人下成和棋的概率是

5.从装有标号为1,2,3的三个球的袋子中依次取两个球（第一次取出的球不再放回），观察记

录两个球标号（依次）的情况，则上述随机试验的样本空间中的基本事件数量是.

6.已知正方体ABC。—A4GR，点尸为线段与。上的点，则满足平面5。£>1片的

点P的个数为.

7.若用与球心距离为3的平面截球体所得的圆面半径为4,则球的体积为.

8.中国17岁射击运动员黄雨婷在2023年杭州亚运会上以顽强作风和精湛技艺为中国代表团

摘得三枚金牌，展现了奋发向上、勇攀高峰的精神面貌。以下是她在女子10米气步枪个人

项目决赛最后淘汰赛阶段14次射击取得的成绩（单位：环）

1234567891011121314

10.310.310.410.410.810.810.510.410.710.510.710.710.310.6

则该组数据的方差是.（近似到0.001）

9.在正方体八个顶点中任取两点，则这两个点所确定的直线与正方体的每个面都相交的概率

是.

10.把1,2,3,4,5,6,7,8,9,10分别写在10张一样的卡片上，并随机抽取1张。设A：出现偶数,

B：出现3的倍数。若“A,B两个事件至少有一个发生”的对立事件是C,则事件C对应的

子集是.

11.两个篮球运动员甲和乙罚球时命中的概率分别是0.7和0.6,两人各投一次，假设事件“甲

命中”与“乙命中”是独立的，则至少一人命中的概率是.

12.如图，在正四棱柱ABCD—A4CQ中，A4=245及£6,//分别是棱

441，5片,。£,。。1的中点，直线/过点G

①存在唯一的直线/与直线3E和直线AH都相交

②存在唯一的直线I与直线3E和直线AH所成的角都是60

③存在唯一的直线/与直线3E和直线都垂直

以上三个命题中，所有真命题的序号是.

二、选择题（本大题共有4题，满分12分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸

的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.

13.某校有学生1800人，为了解学生的作业负担，学校向学生家长随机抽取了1000人进行

调查，其中70%的家长回答他们孩子每天睡眠时间大致在6-7小时，28%的家长回答他们孩

子回家做作业的时间一般在3-4小时，下列说明正确的是（）.

A.总体是1000B.个体是每一名学生

C.样本是1000名学生D.样本容量是1000

14.下列命题中，为假命题的是（）

A.过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行

B.垂直于同一个平面的两条直线平行

C.a力是空间两条直线，若贝Ua//Z?

D.若直线/垂直于平面a内的两条相交直线，则直线/垂直于平面a

15.某同学将观察学校柚子树生长习性作为自主研究课题，他观察了校园内6株柚子树成熟

结果个数（两位数）并用茎叶图（如右图所示）做了记录，则这6株柚子树成熟结果个数的

中位数为（）

A.21B.21.5C.22D.22.5

168

2122

31

16.如图，圆锥形容器的高为3厘米，圆锥内水面的高4为1厘米，若将圆锥容器倒置，水

面高为外，下列选项描述正确的是（)

A.4的值等于1B./gG(1,2)C.4的值等于2D.%e(2,3)

三、解答题（本大题满分52分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的

规定区域内写出必要的步骤

17.（本题满分10分，第1小题6分，第2小题4分）

如图，已知圆柱的底面半径为2,母线长为3

（1）求该圆柱的体积和表面积

（2）直角三角形绕qO旋转一周，求所得圆锥的侧面积

18.（本题满分10分，第1小题6分，第2小题4分）

（1）骰子是每一面上分别标注123,4,5,6个圆点且质地均匀的小正方体，常被用来做等可

能性试验，习惯上总是观察朝上的面和点数，请写出下列随机试验的样本空间；

①单次掷一颗骰子，观察点数；

②先后掷两颗骰子，观察点数之和为7且第二次点数大于第一次点数的可能结果；

（2）掷一颗骰子，用A,8分别表示事件“结果是偶数”与事件“结果不小于3”。请验证这

两个随机事件是否独立，并请说明理由。

19.（本题满分10分，第1小题5分，第2小题5分）

如图，已知正方形OBDC的边长为1,平面三角形ABC是等边三角形

（1）求异面直线AC与所成的角的大小

（2）在线段AC上是否存在一点E,使得研）与平面BCD所成的角大小为30?若存在,

求出CE的长度，若不存在，说明理由。

20.（本题满分10分，第1小题5分，第2小题5分）

如图，在长方体ABC。—4耳GA中，DC=4,AD=DD[=2

（1）求二面角G-BD-C的正切值

（2）设三棱锥。-BCD]的体积为V,是否存在体积为“V（九为正整数），且十二条棱

长均相等的直四棱柱，使得它的所有棱长和为24,若存在，求出该直四棱柱底面菱形的内

角的大小；若不存在，请说明理由。

AB

21.（本题满分12分，第1小题3分，第2小题4分，第3小题5分）

2023年11月5日至11月10日在国家会展中心举办中国国际进口博览会。期间，为保障

展会的顺利进行，有A,B两家外卖公司负责为部分工作者送餐。两公司某天各自随机抽取

30名送餐员工，统计A公司送餐员工送餐数，得到如图频率分布直方图；统计两公司

[40,60）样本送餐数，得到如图送餐数分布茎叶图，已知两公司[40,60）样本送餐数平均

值相同。

A公司B公司

777433222423444m

7555335

（1）求冽的值

（2）求的值

（3）为宣传道路交通安全法，并遵循按劳分配原则，A公司决定员工送餐20份后，每多

送1份餐对其进行一次奖励，并制定了两种不同奖励方案：

方案一：奖励现金红包2元。

方案二：答两道交通安全题，答对2题奖励5元，答对1题奖励2元，答对0题奖励1

元。员工每一道题答题相互独立且每题答对概率为p（0<0<1与该员工交通安全重视程

度相关）

求下表中必的值（用P表示）；从员工收益角度出发，如何选择方案较优？并说明理由。

附：方案二综合收益E满足公式£=（Ip[+2P2+50）〃,〃为该员工被奖励次数o

方案二奖励1元2元5元

概率

PlP3

2023-2024学年上海市浦东区高二年级上学期

期末区统考数学试卷

2024.1

一、填空题（本大题共有12小题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写

结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得0分.

LA,8,C三点不在同一直线上，则经过这三个点的平面有个.

【答案】1

【解析】不在同一条直线上的三点确定一个平面.

2.现行国际比赛标准的乒乓球直径是40毫米，在忽略材料厚度和制造误差的情况下，则乒

乓球的表面积大约为平方毫米.（数值近似到0.01）

【答案】20106.19

【解析】由题意知4不（40）2=6400TT«20106.19.

3.以下论述描述正确的是.（请填写对应序号）

①随机现象是不可重复的；

②所及现象出现某一结果的可能性大小都是不可测的；

③概率就是描述随机现象中某写结果出现的可能性大小.

【答案】③

【解析】由定义即可知.

4.甲乙两人下棋，甲获胜的概率为0.4,甲不输的概率为0.9,则甲乙两人下成和棋的概率是

【答案】0.5

【解析】甲乙两人下成和棋的概率是0.9—04=0.5.

5.从装有标号为1,2,3的三个球的袋子中依次取两个球（第一次取出的球不再放回），观

察记录两个球标号（依次）的情况，则上述随机试验的样本空间中的基本事件数量是.

【答案】6

［解析】上述随机试验的样本空间中的基本事件数量是3x2=6.

6.已知正方体ABC。—A4G。，点尸为线段用。1上的点，则满足平面3。。1片的

点P的个数为.

【答案】1

【解析】当尸为耳2中点时成立.

7.若用与球心距离为3的平面截球体所得的圆面半径为4,则球的体积为.

500万

【答案】

3

【解析】由题意知球的半径为户彳=5,则球的体积为子x53=2箸.

8.中国17岁射击运动员黄雨婷在2023年杭州亚运会上以顽强作风和精湛技艺为中国代表团

摘得三枚金牌，展现了奋发向上、勇攀高峰的精神面貌.以下是她在女子10米气步枪个人项

目决赛最后淘汰赛阶段14次射击取得的成绩(单位：环)

1234567891011121314

10.310.310.410.410.810.810.510.410.710.510.710.710.310.6

则该组数据的方差是.(近似到0.001)

【答案】0.032

rtoj+r-1।10.3+10.3+10.4++10.6737

【解析】由题意知平均数为--------------------------=——

1470

9.在正方体八个顶点中任取两点，则这两个点所确定的直线与正方体的每个面都相交的概率

是.

【答案】-

7

【解析】体对角线和每个面都相交，故答案是

7

10.把1,2,3,4,5,6,7,8,9,10分别写在10张一样的卡片上，并随机抽取1张.设

A：出现偶数，B：出现3的倍数.若“A,8两个事件至少有一个发生”的对立事件是C,则

事件C对应的子集是.

【答案】0,{1},{5},{7},{1,5},{1,7},{5,7},{1,5,7}

【解析】由题意知4={2,4,6,8,10},5={3,6,9},45={2,3,4,6,8,9,10},

C={1,5,7},则事件C对应的子集是0,{1},{5},{7},{1,5},{1,7},{5,7},{1,5,7).

11.两个篮球运动员甲和乙罚球时命中的概率分别是0.7和0.6,两人各投一次，假设事件“甲

命中”与“乙命中”是独立的，则至少一人命中的概率是.

【答案】0.88

【解析】则至少一人命中的概率是1—(1—0.7)0—0.6)=0.88.

12.如图，在正四棱柱ABCD—AAG。中，=24氏后,”6//分别是棱

"石男,。。［,。。］的中点，直线/过点G.

①存在唯一的直线/与直线5E和直线都相交；

②存在唯一的直线/与直线3E和直线AH所成的角都是60；

③存在唯一的直线/与直线3E和直线AH都垂直;

以上三个命题中，所有真命题的序号是.

【答案】①③

【解析】对于①，因为是异面直线，且G不在经过直线3E和直线AH且互相平行的两个

平面上，所以过G，有且仅有一条之间与两条直线相交;

对于②，直线5E和直线所成角为60,其补角为120,—<60=也，故应该

22

是三条直线;

对于③，异面直线的公垂线有且只有一条，过点G作与公垂线平行的直线即可；

故选①③.

二、选择题（本大题共有4题，满分12分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸

的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.

13.某校有学生1800人，为了解学生的作业负担，学校向学生家长随机抽取了1000人进行

调查，其中70%的家长回答他们孩子每天睡眠时间大致在6-7小时，28%的家长回答他们孩

子回家做作业的时间一般在3-4小时，下列说明正确的是（）.

A.总体是1000B.个体是每一名学生

C.样本是1000名学生D.样本容量是1000

【答案】D

【解析】总体是1800学生每天睡眠时间和作业时间，个体是每一名学生每天睡眠时间和作

业时间，样本是1000名学生每天睡眠时间和作业时间，样本容量是1000,故选D.

14.下列命题中，为假命题的是（）

A.过直线外一点有且只有一条直线与己知直线平行

B.垂直于同一个平面的两条直线平行

C.a/是空间两条直线，若。_1_6且Z?_Lc,则a//Z?

D.若直线/垂直于平面a内的两条相交直线，则直线/垂直于平面a

【答案】c

【解析】。力还可以是异面直线，不一定平行，故选C.

15.某同学将观察学校柚子树生长习性作为自主研究课题，他观察了校园内6株柚子树成熟

结果个数（两位数）并用茎叶图（如右图所示）做了记录，则这6株柚子树成熟结果个数的

中位数为（）

A.21B.21.5C.22D.22.5

168

2122

31

【答案】B

【解析】这6株柚子树成熟结果个数的中位数为2三1±+22=21.5,故选B

2

16.如图，圆锥形容器的高为3厘米，圆锥内水面的高4为1厘米，若将圆锥容器倒置，水

面高为外，下列选项描述正确的是（）

A.4的值等于1B./gG(1,2)C.4的值等于2D.用£（2,3）

【答案】D

4

【解析】设圆锥形容器的底面积为S,则未倒置前液面的面积为一S,

9

11419

则水的体积为一Sx3——x-Sx2^—S,

33927

设倒置后液面面积为S',则上=[&],，5'=淬=五,

S{hjh29

1v/y319

则水的体积为3s九=^=^s'

解得饱=初3笈2.67,

故选D.

三、解答题（本大题满分52分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的

规定区域内写出必要的步骤

17.（本题满分10分，第1小题6分，第2小题4分）

如图，已知圆柱的底面半径为2,母线长为3.

（1）求该圆柱的体积和表面积；

（2）直角三角形904绕O］。旋转一周，求所得圆锥的侧面积.

1，!、।

【答案】（1）体积为12〃，表面积为20»；（2）25兀

【解析】（1）体积为了x2?x3=12»,表面积为2万x22+2万x2x3=2。万.

（2）所得圆锥的侧面积为〃x2x万丁=2而〃.

18.（本题满分10分，第1小题6分，第2小题4分）

（1）骰子是每一面上分别标注1,2,3,4,5,6个圆点且质地均匀的小正方体，常被用来

做等可能性试验，习惯上总是观察朝上的面和点数，请写出下列随机试验的样本空间；

①单次掷一颗骰子，观察点数；

②先后掷两颗骰子，观察点数之和为7且第二次点数大于第一次点数的可能结果；

（2）掷一颗骰子，用A,8分别表示事件”结果是偶数”与事件“结果不小于3”.请验证这

两个随机事件是否独立，并请说明理由.

【答案】（1）见解析；（2）相互独立

【解析】⑴①{1,2,3,4,5,6}；②{（1,6）,（2,5）,（3,4）}.

（2）A={2,4,6},B={3,4,5,6},A|B={4,6},

i21

P（A）=a，P（3）=g，P（A=B）=P（A）P（B）,

则事件A,3是相互独立的.

19.（本题满分10分，第1小题5分，第2小题5分）

如图，已知正方形。皮）。的边长为1,40,平面05DC,三角形ABC是等边三角形.

（1）求异面直线AC与3。所成的角的大小；

（2）在线段AC上是否存在一点E,使得研＞与平面BCD所成的角大小为30?若存在,

求出CE的长度，若不存在，说明理由.

A

【答案】（1）45；（2）1

【解析】（1）因为OBDC为正方形，则班>//OC,

则异面直线AC与3。所成的角即为AC与0C所成的角ZACO,

因为三角形ABC是等边三角形，则BC=AB=AC=0,r.AO=1,

An

AO±平面OBDC,AO±OC,tanZACO=—=1,ZACO=45.

OC

（2）作跖//AO交OC于点产，连接

人0，平面0班）。，.・.砂，平面06。。，

则ED与平面8。所成的角大小为ZEDF,

X

设CF=x,则EF=x,DF=J+〜，,tan30=—=—=,=>x=—,

3DF71772

则CE=日产1#=几=1.

20.（本题满分10分，第1小题5分，第2小题5分）

如图，在长方体A3C。—4耳。］。］中，DC=4,AD=D\=2.

（1）求二面角G—5。—。的正切值；

（2）设三棱锥。-BCR的体积为V,是否存在体积为八V（九为正整数），且十二条棱

长均相等的直四棱柱，使得它的所有棱长和为24,若存在，求出该直四棱柱底面菱形的内

角的大小；若不存在，请说明理由.

G

【答案】(1)—;(2)-；

22

【解析】(1)过G作GGL3。交5。于G,连接CG,

ABCD-ABCR为正方体，则CC]±平面ABCD,

又3G在底面ABCD的投影为CG,:.CG±BD,

且CG=4*

V42+225

CCi2_亚

则二面角C「BD—C的正切值tanZCGQ=

CG-

5

(2)三棱锥D-BCR的体积为

1118

=X

^D-BCDi^DX-BCD~\BCD^D]=—X—x2x4x2=—,

因为十二条棱长均相等的直四棱柱，使得它的所有棱长和为24,则每条棱的长度为2,

设菱形的一个角为夕，贝”底面积为2x2xsin6=4sine,

Q

则直四棱柱的体积为2x4sine=8sin6=—〃nsin6=〃，

3

TT

n为正整数，.二〃=1,=>sin8=1=>。=一，

2

jr

则存在，且菱形的内角为一.

2

21.（本题满分12分，第1小题3分，第2小题4分，第3小题5分）

2023年11月5日至11月10日在国家会展中心举办中国国际进口博览会.期间，为保障展

会的顺利进行，有A,B两家外卖公司负责为部分工作者送餐.两公司某天各自随机抽取30

名送餐员工，统计A公司送餐员工送餐数，得到如图频率分布直方图；统计两公司

［4