2023年山东省济宁市数学高二第二学期期末质量检测模拟试题含解析

2022-2023高二下数学模拟试卷

考生须知：

1,全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色

字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2,请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.用反证法证明：“实数χ,yz中至少有一个不大于0”时，反设正确的是()

A.x,yz中有一个大于0B.左丁:都不大于。

C.%，，2都大于0D.x,y,z中有一个不大于0

2.已知是i虚数单位，5是Z的共轨复数，若z(l+i)=上ɪ,则N的虚部为()

1+1

111.

A.-B.——C.—1D.——i

2222

3.复数Z满足(z+i)(2+i)=5,则Z=()

A.-2-2zB.-2+2iC.2-2/D.2+2,

4.执行如图所示的程序框图，若输出的S=120,则判断框内应填入的条件是()

A.k>4B.k>5C.k>6D.k>7

5.函数/(χ)在定义域内可导，y=/(χ)的图象如图所示，则导函数y=7'(X)可能为()

6.已知〃的分布列为:

n-101

ɪʌ

Pɪ

236

设4=3〃-2则Eg的值为（）

42

A.—3B.-C.——D.5

33

7.设随机变量:〜.5：，且Pα≤O)=P(XN0-2y则实数H的值为

A.10B.8C.6D.4

8.某机构需掌握55岁人群的睡眠情况，通过随机抽查IlO名性别不同的55岁的人的睡眠质量情况，得到如下列联表

男女总计

好402060

不好203050

总计6050110

n(ad-bc∖

K2≈7.8.

(α+b)(c+d)(α+c)(b+d)

根据K2表

2

p(κ≥k)0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

得到下列结论，正确的是。

A.有99%以下的把握认为“睡眠质量与性别有关”

B.有99%以上的把握认为“睡眠质量与性别无关”

C.在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为“睡眠质量与性别有关”

D.在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为“睡眠质量与性别无关”

9.如图，网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（

10.下面四个命题：

n

Pl：命题“∈N,〃2>T的否定是“3n0eN,∕√≤2'b"；

P2：向量1=（1,一〃），则加="是αJL人的充分且必要条件；

，3：“在ΔAβC中，若A>B,则“sinA>sin3”的逆否命题是“在ΔABC中，若SinA≤sinB,uA≤Bn

P4：若“"Λ4"是假命题，则，是假命题.

其中为真命题的个数是（）

12.某快递公司的四个快递点AB,C。呈环形分布（如图所示），每个快递点均已配备快递车辆10辆.因业务发

展需要，需将A,B,C,。四个快递点的快递车辆分别调整为5,7,14,14辆，要求调整只能在相邻的两个快递点间进

行，且每次只能调整1辆快递车辆，则

最少需要8次调整，相应的可行方案有1种

B.最少需要8次调整，相应的可行方案有2种

C.最少需要9次调整，相应的可行方案有1种

D.最少需要9次调整，相应的可行方案有2种

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

z、2

13.已知数列｛4,,｝为正项的递增等比数列，α∣+%=82,a2-a4=Sl,记数列（丁］的前〃项和为7“，则使不等式

2019T>1成立的最大正整数"的值是

14.如图所示，阴影部分为曲线y=sinx（—万≤x<∕）与X轴围成的图形，在圆。：/+>2=/内随机取一点，则

该点取自阴影部分的概率为一.

15.（“一IT严的展开式中第三项的系数为0

16.用分层抽样的方法从某校学生中抽取一个容量为45的样本，其中高一年级抽20人，高三年级抽10人，已知该校

高二年级共有学生300人，则该校学生总数是人.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

22

17.（12分）设耳，工分别为椭圆后：=+与=1（。＞人＞0）的左、右焦点，点A为椭圆E的左顶点，点3为椭圆E的

a~b~

上顶点，且IAw=2.

（1）若椭圆E的离心率为业，求椭圆E的方程；

3

（2）设P为椭圆E上一点，且在第一象限内，直线入。与丁轴相交于点Q，若以PQ为直径的圆经过点6,证明：

点。在直线χ+y-2=0上.

18.（12分）如图所示，四棱锥P-A3C。中，43_140,49，。。,2_1底面43。。，PA=AD=AB=-CD=I,

2

M为PB中点.

（1）试在Co上确定一点N,使得例N//平面Q4O；

（2）点N在满足（1）的条件下，求直线MN与平面RS所成角的正弦值.

P

19.（12分）将正整数排成如图的三角形数阵，记第“行的"个数之和为凡.

1

23

456

78910

1112131415

161718192021

(1)设S,,=4+/+生+…+4.τ5eN*),计算邑，S3,S&的值，并猜想S”的表达式；

(2)用数学归纳法证明(1)的猜想.

20.(12分)随着人们生活水平的日益提高，人们对孩子的培养也愈发重视，各种兴趣班如雨后春笋般出现在我们日

常生活中.据调查，3〜6岁的幼儿大部分参加的是艺术类，其中舞蹈和绘画比例最大，就参加兴趣班的男女比例而言,

女生参加兴趣班的比例远远超过男生.随机调查了某区100名3〜6岁幼儿在一年内参加舞蹈或绘画兴趣班的情况，得

到如下表格：

不参加舞蹈且不参参加舞蹈不参加参加绘画不参加参加舞蹈且参加

加绘画兴趣班绘画兴趣班舞蹈兴趣班绘画兴趣班

人数14352625

(I)估计该区3〜6岁幼儿参加舞蹈兴趣班的概率；

(∏)通过所调查的100名3〜6岁幼儿参加兴趣班的情况，填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99.9%的把

握认为参加舞蹈兴趣班与性别有关.

参加舞蹈兴趣班不参加舞蹈兴趣班总计

男生10

女生70

总计

2

山"2n{ad-bc).,

附∙K=----------------------------------,fi=a+b+c+d.

(a+C)S+d)(a+b)(c+d)

P(K2≥k)0.100.050.0250.0100.0050.001

k2.7063.8415.0246.6357.87910.828

21.(12分)如图，已知F∣,K分别为椭圆*+2r=i(a>z,>0)的上、下焦点，匕是抛物线C?：/=4)，的

焦点，点M是G与G在第二象限的交点，且|加用=1.

（1）求椭圆G的方程；

⑵与圆V+（y+l）2=ι相切的直线/：y=Z（x+。（其中灯Ho）交椭圆G于点A，B,若椭圆G上一点P满

足Q4+QB=XOP,求实数分的取值范围.

22.（10分）某市环保部门对该市市民进行了一次垃圾分类知识的网络问卷调查，每位市民仅有一次参加机会，通过

随机抽样，得到参与问卷调查的100人的得分（满分：100分）数据，统计结果如表所示：

组别L40,50)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,l∞j

男235151812

女051010713

（1）若规定问卷得分不低于70分的市民称为“环保关注者”，请完成答题卡中的2x2列联表，并判断能否在犯错误

概率不超过0.05的前提下，认为是否为“环保关注者”与性别有关？

（2）若问卷得分不低于80分的人称为“环保达人”.视频率为概率.

①在我市所有“环保达人”中，随机抽取3人，求抽取的3人中，既有男“环保达人”又有女“环保达人”的概率；

②为了鼓励市民关注环保，针对此次的调查制定了如下奖励方案：“环保达人”获得两次抽奖活动；其他参与的市民

获得一次抽奖活动.每次抽奖获得红包的金额和对应的概率.如下表：

红包金额（单位：元）1020

3ɪ

概率

44

现某市民要参加此次问卷调查，记X（单位：元）为该市民参加间卷调查获得的红包金额，求X的分布列及数学期

望.

附表及公式：,=('"(,+.,+OS+")'"-"'+"

p(κLk)0.150.100.050.0250.0100.0050.001

%)2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、C

【解析】

根据用反证法证明数学命题的方法和步骤，应先假设命题的否定成立，而要证明题的否定为：“苍％2都大于0”，

从而得出结论.

【详解】

解：根据用反证法证明数学命题的方法和步骤，应先假设命题的否定成立，

而命题：”实数X，XZ中至少有一个不大于0”的否定为“X,XZ都大于0”，

故选：C.

【点睛】

本题主要考查用命题的否定，反证法证明数学命题的方法和步骤，把要证的结论进行否定，得到要证的结论的反面,

是解题的突破口，属于基础题.

2、A

【解析】

1-zI-Z111.1

由题意可得：z_O+)_牙_五

贝!!彳=-；+据此可得，彳的虚部为g∙

本题选择A选项.

3、C

【解析】

利用复数的四则运算可得Z=——-i,再利用复数的除法与减法法则可求出复数Z.

2+z

【详解】

/、/、55(2-z)

(z+i)(2+z)=5,.∙.z=^--l===故选c.

【点睛】

本题考查复数的四则运算，考查复数的求解，考查计算能力，属于基础题.

4、B

【解析】

分析程序中两个变量和流程图可知，该算法为先计算后判断的直到型循环，模拟执行程序，即可得到答案.

【详解】

程序执行如下

kS=2S+k终止条件判断

00否

10+1=1否

22×2+2=4否

32×4+3=ll否

42×ll+4=26否

52x26+5=57否

62x57+6=120是

故当Z=6时S=120,程序终止，所以判断框内应填入的条件应为Z>5.

故选：B.

【点睛】

本题考查了循环结构的程序框图，正确判断循环的类型和终止循环的条件是解题关键

5、D

【解析】

根据函数/(X)的单调性判断出导函数/'(X)函数值的符号，然后结合所给的四个选项进行分析、判断后可得正确的

结论.

【详解】

由图象可知，函数,y=∕(x)在x<0时是增函数，

因此其导函数在x<O时，有/'(x)>O(即函数尸(χ)的图象在X轴上方)，因此排除A、C.

从原函数图象上可以看出在区间(O,XJ上原函数是增函数，所以/'(x)>0,在区间(χ,%)上原函数是减函数，所以

,

∕(Λ)<0;在区间(Λ2,+8)上原函数是增函数，所以尸(x)>0.

所以可排除C.

故选D.

【点睛】

解题时注意导函数的符号与函数单调性之间的关系，即函数递增(减)时导函数的符号大(小)于零，由此可判断出

导函数图象与X轴的相对位置，从而得到导函数图象的大体形状.

6、A

【解析】

求出Tl的期望，然后利用J=31-2,求解EJ即可.

【详解】

由题意可知E(τ])=-1×—I-O×—h1×—=—.

2363

g=3n-2,

所以EJ=E(lη-2)=IE(η)-2=-1.

故选A.

【点睛】

本题考查数学期望的运算性质，也可根据两个变量之间的关系写出ξ的分布列，再由ξ分布列求出期望.

7、D

【解析】

根据随机变量符合正态分布，从表达式上看出正态曲线关于，一：对称，得到对称区间的数据对应的概率是相等的，根

据两个区间的概率相等，得到这两个区间关于,一一对称，从而得到结果.

【详解】

随机变量：c:»

正态曲线关于_:对称,

7F(X≤0)=P(X>α-2)j

,。与α-2关于X=1对称，

Λ⅛(0+α-2)≡I

i

解得.4,故选D.

【点睛】

本题主要考查正态曲线的对称性，考查对称区间的概率的相等的性质，是一个基础题.正态曲线的常见性质有：（1）

正态曲线关于一，对称，且越大图象越靠近右边，越小图象越靠近左边；（2）边C.越小图象越“瘦长”，边C.越大

Λ>U产fΛWV

图象越“矮胖”；（3）正态分布区间上的概率，关于"对称，内丫>“=pr.=：oS

8、C

【解析】

根据独立性检验的基本思想判断得解.

【详解】

因为7.8>6.635,根据K2表可知；选C∙

【点睛】

本题考查独立性检验的基本思想，属于基础题.

9、C

【解析】

分析：由题意，该几何体是一个正四棱柱切了四个角（小三棱锥），从而利用体积公式计算即可.

详解：由题意，该几何体是一个正四棱柱切了四个角（小三棱锥），

贝!JV=2X2X3-4XW1X1X3=10.

32

故选：C.

点睛：（1）解决组合体问题关键是分清该几何体是由哪些简单的几何体组成的以及这些简单的几何体的组合情况；（2）

由三视图求几何体的面积、体积，关键是由三视图还原几何体，同时还需掌握求体积的常用技巧如：割补法和等价转

化法.

10、B

【解析】

根据全称命题的否定是特称命题判断Pl；根据向量垂直的坐标表示判断〃2；根据逆否命题的定义判断P3；由且命题

的性质判断

【详解】

Pl：命题“N,n2n”的否定是"2。"，Pl不正确；

V”∈>23n0∈Mn0≤2"

P2：α,〃的充分且必要条件是W,l)∙(l,-")=0等价于=即为加=〃，P?正确；

Pi:由逆否命题的定义可知，”在ΔAβC中，若A>B,则“sinA>sinβ^^的逆否命题是“在ΔABC"中，若SinA≤sinβ,

则"4≤B",P3正确；

PA≡若‘'〃八4"是假命题，则。是假命题或4是假命题，不正确.

所以，真命题的个数是2,故选B.

【点睛】

本题通过对多个命题真假的判断，主要综合考查全称命题的否定、向量垂直的充要条件、逆否命题的定义、“且”命题

的性质，属于中档题.这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全

盘皆输”，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的自己已经掌握的

知识点入手，然后集中精力突破较难的命题.

11、B

【解析】

结合函数的性质，特值及选项进行排除.

【详解】

当X=I时，y=2+sinl>2,可以排除A,C选项；

ςinYcinχ

由于y=x+是奇函数，所以>=l+χ+关于点(0,1)对称，所以B对，D错.

%X

故选：B.

【点睛】

本题主要考查函数图象的识别，由解析式选择函数图象时，要注意特值法的使用，侧重考查直观想象的核心素养.

12、D

【解析】

先阅读题意，再结合简单的合情推理即可得解.

【详解】

(I)AfD调5辆，DfC调1辆，BfC调3辆，共调整：5+1+3=9次，

(2)A-D调4辆，A-B调1辆，B-C调4辆，共调整：4+1+4=9次，

故选：D

10

10

【点睛】

本题考查了阅读能力及简单的合情推理，属中档题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、6

【解析】

设等比数列｛an｝的公比q,由于是正项的递增等比数列，可得q>l.由a∣+as=82,a2∙a4=8l=a∣a5,∙"∙a∣,as,是一元二

2

次方程χ2-82x+81=0的两个实数根，解得aι,as,利用通项公式可得q,a„,利用等比数列的求和公式可得数列｛一｝

an

的前n项和为Tn.代入不等式2019IgTLll>1,化简即可得出.

【详解】

数列｛0,,｝为正项的递增等比数列，4+%=82,a2∙a4=81=aιas,

q+4=82q=l

即《解得则公比4=3,・・・%=3'i,

4∙a5=81a5=Sl

222

则7L=T+§+?+

.∙.2019⅛,-l>1,即2019x[>l,得3"<2019,此时正整数W的最大值为6.

故答案为6.

【点睛】

本题考查了等比数列的通项公式与求和公式、一元二次方程的解法、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属

于中档题.

【解析】

分析：由题求出圆的面积，根据定积分求出曲线y=sinx(-〃≤x≤»)与x轴围成的图形的面积，利用几何概型求出

概率.

详解：由题圆。：χ2+V=/的面积为乃.乃2=乃3,曲线y=sinx(—乃≤x≤;T)与X轴围成的图形的面积为

ir(4

sinx<⅛=2sinxdx=2-cos%=4,故该点取自阴影部分的概率为一.

ΛΛI0Jπr

4

即答案为一.

π

点睛：本题考查几何概型，考查利用定积分求面积，是缁.

15、6

【解析】

利用二项展开式的通项公式，当r=2时得到七项，再抽出其系数.

【详解】

2rr

7；+|=C；2x'-(—^)(r=0,1∙,12),

√11

当r=2时，(=G""'(一石ɪ)?，所以第三项的系数为(-=6,故填6.

【点睛】

本题考查二项展开式的简单运用，考查基本运算能力，注意第3项不是厂=3,而是r=2.

16、900

【解析】

计算可得样本中高二年级人数，从而可计算得到抽样比，从而可求得学生总数.

【详解】

由题意可知，高二年级抽取：45—20—10=15人抽样比为：-=-

453

，该校学生总数为：300÷L=900人

3

本题正确结果：900

【点睛】

本题考查分层抽样的应用，关键是能够明确每层在样本中占比与该层在总体中的占比相同.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

2

17、(1)—+/=1；(2)见解析

3-

【解析】

(D设C=席不，由IABl=2,得/+02=4,且?=当，

得a=G，b=l,c=V∑，

2

二椭圆E的方程为±+y2=h

3

22

(2)由题意，得/+。2=4,.∙.椭圆E的方程二+上方=1,

a24-α2

2,

则々(一c,O)，F1(c,O),C=Ja2—匕2—∖j2a-4

设Pa,%),由题意知XOWc,则直线KP的斜率MP=,

X0+C

直线工P的方程为y=(X-C),当尤=0时，y=二^,即点Q(0,二ɪ),

X0-CX0-CX0-C

直线耳。的斜率为MQ=舌7，

•••以PQ为直径的圆经过点6,.∙.PG∙L耳。，

二×liFg=ɪ×ɪ=T,化简得城=/2-(2。2-4),

AQ-VCC-XQ

22

又∙.∙P为椭圆E上一点，且在第一象限内，.∙.与+。J=1,⅞>0,>o>O,

cr4-α2

〃21

由①@，解得光O=—，%=2-”2,・•・£-I：=:，即点P在直线Lj一1二”上.

22

18、(I)L(2)毡.

35

【解析】

【试题分析】(1)先确定点N的位置为CD的四等分点，再运用线面平行的判定定理进行证明肱V//平面PAD；(2)

借助(1)的结论，及线面角的定义构造三角形找出直线MN与平面QAB所成角NA££),再通过解直角三角形求出

其正弦值述：

5

解：⑴证明：CN=LN。,脑V//平面PAD.过M作EM//AB交PA于E,连接DE.因为CN=INo,所以

33

CN=LCD=LAB=EM,又EMUDC/IAB,故EM//DN,且EM=DN,即OEMN为平行四边形,则

42

MW//ED,又£DU平面PAD,NMa平面PAD,MN//平面PAD；

(2)解:因为NM//ED,所以直线MN与平面PAB所成角等于直线DE与平面PAB所成角

PA，底面ABCD,所以PAYAD,又因为AB，AD,APCAB=A,所以A。J,底面PAB,NAEr)即为直线DE与

平面PAB所成角.因为AE=L,AD=I,所以OE=YS,sin/AEO=冬，5,所以直线MN与平面PAB所成角的正弦值

225

⅛2√5

为----O

5

4

19、(1)S2=16,S3=81,S4=256,Sn=n；(2)见解析.

【解析】

4

分析：直接计算接=16,邑=81,邑=256,猜想：Sll=nt

(2)证明：①当〃=1时，猜想成立.②设”=M^∈N*)时，命题成立，即SK=G

③证明当〃=左+1时，成立。

详解：(1)解：S]=α∣=l,S2=Sl+A3=1+4+5+6=16,

53=S2+α5=16+11+12+13+14+15=81,

S4=S3+a5=81+22+23+…28=256,

猜想S,,=〃4；

(2)证明：①当〃=1时，猜想成立.

②设〃=MAWN*)时，命题成立，即S*=左"，

n(n-l]1πrn(n-∖∖n(n-∖∖

由题意可知a“='2+H2+2+…—---+π

2

n(∕?+1)n{n^+1

“^Ξ--2_―2-

(2k+l)[(2A+iy+l

所以吸=(2k+1)(2⅛2+22+1)=4A3+6/+软+1,

2

炉+攵+=(上+，

SM=Sk+a2M=/++641

所以〃=%+1时猜想成立.

由①、②可知，猜想对任意〃∈N"都成立.

点睛：推理与证明中，数学归纳法证明数列的通项公式是常见的解法。根据题意先归纳猜想，利用数学归纳法证明猜

想。数学归纳法证明必须有三步：

①当〃=1时，计算得出猜想成立.

②当“=々(AeN*)时，假设猜想命题成立，

③当“=Z+1时，证明猜想成立。

20、(I)0.6(II)有99.9%的把握认为参加舞蹈兴趣班与性别有关，详见解析

【解析】

(I)画出韦恩图，计算参加舞蹈班的人数，再计算概率.

(∏)补全列联表，计算K2,与临界值表作比较得到答案.

【详解】

(I)画出韦恩图得：

100

(II)

参加舞蹈兴趣班不参加舞蹈兴趣班总计

男生102030

女生502070

总计6040100

所以，有99.9%的把握认为参加舞蹈兴趣班与性别有关.

【点睛】

本题考查了概率的计算，列联表，意在考查学生的计算能力.

21、(l)y+ɪ-=l;⑵10,4Mg")

【解析】

22>/62、

试题分析：（1）由题意得耳（0,1）,所以/一从=1,又由抛物线定义可知加=4,M-—3—},由椭圆定义

Z

知,2a^\MF}\+\MF2\=4,得α=2,故〃=3,从而椭圆&的方程为

22'-6k2t

Xy=Mx+f),Skt

-+ɪ=1；(2)x+x=Ax0,yi+y2=λy0,联立得P,代入椭

34l24%2+3y2=12,2(4+342=/1(4+342),

4后2产2t,所以2%可卜件44.

圆方程，所以储=二与,又左=

4+3公I-Z23

试题解析:

（1）由题意得耳（0,1）,所以/—〃=],又由抛物线定义可知|叫|=%+1=（,

ɔ（°ɔ、22

27

得VM=§，于是易知M-----，从而也用二++1由椭圆定义知,

3713

2a=∖MFi∖+∖MF2∖=4,得q=2,故。？=3,

2

从而椭圆G的方程为工+Ji.

34

⑵设A(3,χ),B(x2,y2),P(%,%),贝岫04+0B=20P知，xl+x2=λx0,yl+y2=λy0,

22

且"+二=1,①

34

/、，/、2肘+1

又直线/：y^k(x+t)(其中股≠0)与圆V+(y+1)-=1相切，所以有-!y—^.=1

√l+%2

2t

由z≠o,可得左=(f≠+1>f≠0)>②

∖-t2

<'="（：+’），消去），得（4+3左2）Y+6女2女+3女2/—]2=o,且△>（）恒成立,

又联立

4x2+3∕=12,`'

6k2t3k2t2-∖2

且X∣+“24+3/'”也_4+3.2

Skt

所以X+%=/(玉+/)+2股=

4+3%2

/∖

-6k2tSkt12⅛4r2lβk2t