（江苏版）高考数学一轮复习 专题11.3 概率分布与数学期望、方差（讲）理-人教版高三全册数学试题

专题11.3概率分布与数学期望、方差【最新考纲解读】内容要求备注ABC概率统计离散型随机变量及其分布列√

对知识的考查要求依次分为了解、理解、掌握三个层次（在表中分别用A、B、C表示）.了解：要求对所列知识的含义有最基本的认识，并能解决相关的简单问题.理解：要求对所列知识有较深刻的认识，并能解决有一定综合性的问题.掌握：要求系统地掌握知识的内在联系，并能解决综合性较强的或较为困难的问题.超几何分布√

条件概率及相互独立事件√

次独立重复试验的模型及二项分布

√

离散型随机变量的均值与方差√【考点深度剖析】1.江苏高考中，一般考古典概型、相互独立、二项概型基础上的随机变量的分布，期望与方差。2.随机变量的概率分布及期望，内容多，处理方式灵活，可以考查其中一块，可以内部综合，可以作为问题的背景与其他内容结合考，复习时要注重基础，以不变应万变.【课前检测训练】【判一判】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)抛掷均匀硬币一次，出现正面的次数是随机变量．()(2)离散型随机变量的分布列描述了由这个随机变量所刻画的随机现象．()(3)某人射击时命中的概率为0.5，此人射击三次命中的次数X服从两点分布．()(4)从4名男演员和3名女演员中选出4名，其中女演员的人数X服从超几何分布．()(5)离散型随机变量的分布列中，随机变量取各个值的概率之和可以小于1.()(6)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的．()(7)条件概率一定不等于它的非条件概率．()(8)相互独立事件就是互斥事件．()(9)对于任意两个事件，公式P(AB)＝P(A)P(B)都成立．()(10)二项分布是一个概率分布，其公式相当于(a＋b)n二项展开式的通项公式，其中a＝p，b＝1－p.()(11)P(B|A)表示在事件A发生的条件下，事件B发生的概率，P(AB)表示事件A，B同时发生的概率．()(12)小王通过英语听力测试的概率是eq\f(1,3)，他连续测试3次，那么其中恰好第3次测试获得通过的概率是P＝Ceq\o\al(1,3)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))1·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))3－1＝eq\f(4,9).()(13)随机变量的均值是常数，样本的平均值是随机变量，它不确定．()(14)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离变量的平均程度越小．()(15)正态分布中的参数μ和σ完全确定了正态分布，参数μ是正态分布的均值，σ是正态分布的标准差．()(16)一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和，它就服从或近似服从正态分布．()(17)均值是算术平均数概念的推广，与概率无关．()1.√2.√3.×4.√5.×6.√7.×8.×9.×10.×11.√12.×13.√14.√15.√16.√17.×【练一练】1．袋中有3个白球、5个黑球，从中任取2个，可以作为随机变量的是()A．至少取到1个白球B．至多取到1个白球C．取到白球的个数D．取到的球的个数【答案】C2．从标有1～10的10支竹签中任取2支，设所得2支竹签上的数字之和为X，那么随机变量X可能取得的值有()A．17个B．18个C．19个D．20个【答案】A【解析】X可能取得的值有3,4,5，…，19共17个．3．随机变量X的分布列如下：X－101Pabc其中a，b，c成等差数列，则P(|X|＝1)等于()A.eq\f(1,6)B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,2)D.eq\f(2,3)【答案】D【解析】∵a，b，c成等差数列，∴2b＝a＋c.又a＋b＋c＝1，∴b＝eq\f(1,3)，∴P(|X|＝1)＝a＋c＝eq\f(2,3).4．随机变量X等可能取值1,2,3，…，n，如果P(X<4)＝0.3，则n＝________.【答案】10【解析】P(X<4)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝eq\f(1,n)＋eq\f(1,n)＋eq\f(1,n)＝eq\f(3,n)＝0.3，得n＝10.5．一盒中有12个乒乓球，其中9个新的、3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X是一个随机变量，则P(X＝4)的值为______．【答案】eq\f(27,220)6．袋中有3红5黑8个大小形状相同的小球，从中依次摸出两个小球，则在第一次摸得红球的条件下，第二次仍是红球的概率为()A.eq\f(3,8)B.eq\f(2,7)C.eq\f(2,8)D.eq\f(3,7)【答案】B【解析】第一次摸出红球，还剩2红5黑共7个小球，所以再摸到红球的概率为eq\f(2,7).7．某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是()A．0.8B．0.75C．0.6D．0.45【答案】A【解析】已知连续两天为优良的概率是0.6，那么在前一天空气质量为优良的前提下，要求随后一天的空气质量为优良的概率，可根据条件概率公式，得P＝eq\f(0.6,0.75)＝0.8.8.如图，用K，A1，A2三类不同的元件连接成一个系统．当K正常工作且A1，A2至少有一个正常工作时，系统正常工作．已知K，A1，A2正常工作的概率依次为0.9,0.8，0.8，则系统正常工作的概率为()A．0.960 B．0.864C．0.720 D．0.576【答案】B9．某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至多命中一次的概率为eq\f(16,25)，则该队员每次罚球的命中率为________．【答案】eq\f(3,5)【解析】设该队员每次罚球的命中率为p，则依题意有1－p2＝eq\f(16,25)，即p2＝eq\f(9,25).又0<p<1，故p＝eq\f(3,5).10．国庆节放假，甲去北京旅游的概率为eq\f(1,3)，乙去北京旅游的概率为eq\f(1,4)，假定二人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1人去北京旅游的概率为________．【答案】eq\f(1,2)11．某射手射击所得环数ξ的分布列如下：ξ78910Px0.10.3y已知ξ的均值E(ξ)＝8.9，则y的值为()A．0.4B．0.6C．0.7D．0.9【答案】A【解析】由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋0.1＋0.3＋y＝1，,7x＋8×0.1＋9×0.3＋10y＝8.9，))可得y＝0.4.12．设样本数据x1，x2，…，x10的均值和方差分别为1和4，若yi＝xi＋a(a为非零常数，i＝1,2，…，10)，则y1，y2，…，y10的均值和方差分别为()A．1＋a,4 B．1＋a,4＋aC．1,4 D．1,4＋a【答案】A【解析】eq\f(x1＋x2＋…＋x10,10)＝1，yi＝xi＋a，所以y1，y2，…，y10的均值为1＋a，方差不变仍为4.故选A.13．设随机变量X的分布列为P(X＝k)＝eq\f(1,5)(k＝2,4,6,8,10)则D(X)等于()A．5B．8C．10D．16【答案】B【解析】∵E(X)＝eq\f(1,5)(2＋4＋6＋8＋10)＝6，∴D(X)＝eq\f(1,5)[(－4)2＋(－2)2＋02＋22＋42]＝8.14．随机变量ξ的取值为0,1,2.若P(ξ＝0)＝eq\f(1,5)，E(ξ)＝1，则D(ξ)＝________.【答案】eq\f(2,5)【解析】设P(ξ＝1)＝a，P(ξ＝2)＝b，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)＋a＋b＝1，,a＋2b＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\f(3,5)，,b＝\f(1,5)，))所以D(ξ)＝eq\f(1,5)＋eq\f(3,5)×0＋eq\f(1,5)×1＝eq\f(2,5).15．抛掷两枚骰子，当至少一枚5点或一枚6点出现时，就说这次试验成功，则在10次试验中成功次数的均值为________．【答案】eq\f(50,9)【题根精选精析】考点1离散型随机变量及其分布列【1-1】随机变量X的概率分布规律为P（X＝n）＝（n＝1,2,3,4），其中a是常数，则P（＜X＜）的值为.【答案】【解析】因为随机变量X的概率分布规律为（n＝1,2,3,4），所以，所以.【1-2】若随机变量X的分布列如下表，且EX=6.3，则表中a的值为.【答案】7【解析】由得，，解【1-3】口袋中有n(n∈N*)个白球，3个红球．依次从口袋中任取一球，如果取到红球，那么继续取球，且取出的红球不放回；如果取到白球，就停止取球．记取球的次数为X.若P(X＝2)＝eq\f(7,30)，则n的值为.【答案】7【1-4】在对某渔业产品的质量调研中，从甲、乙两地出产的该产品中各随机抽取10件，测量该产品中某种元素的含量（单位：毫克）.下表是测量数据的茎叶图：规定：当产品中的此种元素含量毫克时为优质品.（Ⅰ）试用上述样本数据估计甲、乙两地该产品的优质品率（优质品件数/总件数）；（Ⅱ）从乙地抽出的上述10件产品中，随机抽取3件，求抽到的3件产品中优质品数的分布列及数学期望.【解析】(I)甲厂抽取的样本中优等品有7件,优等品率为乙厂抽取的样本中优等品有8件,优等品率为(II)的取值为1，2，3. 所以的分布列为123故的数学期望为【1-5】甲、乙、丙三个车床加工的零件分别为350个，700个，1050个，现用分层抽样的方法随机抽取6个零件进行检验.（1）从抽取的6个零件中任意取出2个，已知这两个零件都不是甲车床加工的，求其中至少有一个是乙车床加工的零件；（2）从抽取的6个零件中任意取出3个，记其中是乙车床加工的件数为X，求X的分布列和期望.X012P0.20.60.2X的期望为．【基础知识】1．离散型随机变量的分布列(1)随机变量如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量，随机变量常用字母X，Y，ξ，η等表示．(2)离散型随机变量对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量．若是随机变量，，其中是常数，则也是随机变量.2.常见离散型随机变量的分布列(1)两点分布：若随机变量服从两点分布，即其分布列为01其中，则称离散型随机变量服从参数为的两点分布．其中称为成功概率．(2)超几何分布：在含有件次品的件产品中，任取件，其中恰有件次品，则事件{}发生的概率为，，其中，且，称分布列为超几何分布列.01…m…(3)设离散型随机变量可能取得值为，，…，，…，取每一个值()的概率为，则称表…………为随机变量X的概率分布列，简称X的分布列．有时为了表达简单，也用等式，表示的分布列．分布列的两个性质①，；②.【思想方法】1.求分布列的三种方法(1)由统计数据得到离散型随机变量的分布列；(1)可设出随机变量Y，并确定随机变量的所有可能取值作为第一行数据；(2)由统计数据利用事件发生的频率近似地表示该事件的概率作为第二行数据．由统计数据得到分布列可帮助我们更好理解分布列的作用和意义．(2)由古典概型求出离散型随机变量的分布列；求离散型随机变量的分布列，首先要根据具体情况确定X的取值情况，然后利用排列、组合与概率知识求出X取各个值的概率．而超几何分布就是此类问题中的一种．(3)由互斥事件的概率、相互独立事件同时发生的概率及n次独立重复试验有k次发生的概率求离散型随机变量的分布列．2.求离散型随机变量分布列的步骤(1)找出随机变量X的所有可能取值xi(i＝1,2,3，…，n)；(2)求出各取值的概率P(X＝xi)＝pi；(3)列成表格并用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确．3.解答离散型随机变量的分布列及相关问题的一般思路(1)明确随机变量可能取哪些值．(2)结合事件特点选取恰当的计算方法计算这些可能取值的概率值．(3)根据分布列和期望、方差公式求解．注意解题中要善于透过问题的实际背景发现其中的数学规律，以便使用我们掌握的离散型随机变量及其分布列的知识来解决实际问题．【温馨提醒】求离散型随机变量的分布列的关键是正确理解随机变量取每一个所表示的具体事件，然后综合应用各类求概率的公式，求出概率.考点2二项分布及应用【2-1】【盐城2015调研】袋中装有完全相同的5个小球，其中有红色小球3个，黄色小球2个，如果不放回地依次摸出2个小球，则在第一次摸出红球的条件下，第二次摸出红球的概率是.【答案】【2-2】已知在一次试验中，，那么在次独是.【答案】【解析】因为，所以在次独．【2-3】设服从二项分布的随机变量X的期望和方差分别是2.4和1.44，则二项分布的参数的值为.【答案】【解析】由二项分布的期望和方差得，解的【2-4】【2015四川模拟】一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需要击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分（即获得分）.设每次击鼓出现音乐的概率为，且各次击鼓出现音乐相互独立.（1）设每盘游戏获得的分数为，求的分布列；（2）玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？（3）玩过这款游戏的许多人都发现，若干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而减少了.请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因.【解析】试题分析：（1）由得，.所以的分布列为X-2001020100【2-5】【北京市西城区2015模拟】在某批次的某种灯泡中，随机地抽取个样品，并对其寿命进行追踪调查，将结果列成频率分布表如下.根据寿命将灯泡分成优等品、正品和次品三个等级，其中寿命大于或等于天的灯泡是优等品，寿命小于天的灯泡是次品，其余的灯泡是正品.寿命（天）频数频率合计（1）根据频率分布表中的数据，写出、的值；（2）某人从灯泡样品中随机地购买了个，如果这个灯泡的等级情况恰好与按三个等级分层抽样所得的结果相同，求的最小值；（3）某人从这个批次的灯泡中随机地购买了个进行使用，若以上述频率作为概率，用表示此人所购买的灯泡中次品的个数，求的分布列和数学期望.所以的数学期望.（注：写出，，、、、.请酌情给分）【基础知识】1．条件概率及其性质(1)对于任何两个事件和，在已知事件发生的条件下，事件发生的概率叫做条件概率，用符号来表示，其公式为.在古典概型中，若用表示事件中基本事件的个数，则.(2)条件概率具有的性质：①；②如果和是两互斥事件，则．2．相互独立事件(1)对于事件、，若的发生与的发生互不影响，则称、是相互独立事件．(2)若与相互独立，则，．(3)若与相互独立，则与，与，与也都相互独立．(4)若，则与相互独立．3．独立重复试验与二项分布(1)独立重复试验独立重复试验是指在相同条件下可重复进行的，各次之间相互独立的一种试验，在这种试验中每一次试验只有两种结果，即要么发生，要么不发生，且任何一次试验中发生的概率都是一样的．(2)二项分布在次独立重复试验中，设事件发生的次数为，在每次试验中事件发生的概率为，那么在次独立重复试验中，事件恰好发生次的概率为()，此时称随机变量服从二项分布，记作，并称为成功概率．【思想方法】1.条件概率的求法(1)定义法：先求和，再由，求；(2)基本事件法：借古典概型概率公式，先求事件包含的基本事件数，再求事件所包含的基本事件数，得.2.求相互独立事件同时发生的概率的方法(1)利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解；(2)正面计算较繁或难以入手时，可从其对立事件入手计算．相互独立事件的概率通常和互斥事件的概率综合在一起考查，这类问题具有一个明显的特征，那就是在题目的条件中已经出现一些概率值，解题时先要判断事件的性质(是互斥还是相互独立)，再选择相应的公式计算求解．3.二项分布满足的条件(1)每次试验中，事件发生的概率是相同的．(2)各次试验中的事件是相互独立的．(3)每次试验只有两种结果：事件要么发生，要么不发生．(4)随机变量是这n次独立重复试验中事件发生的次数．4.二项展开式的通项与二项分布的概率公式的“巧合”一般地，由n次试验构成，且每次试验相互独立完成，每次试验的结果仅有两种对立的状态，即与，每次试验中.我们将这样的试验称为次独立重复试验，也称为伯努利试验．在次独立重复试验中，每次试验事件发生的概率均为，即，.由于试验的独立性，次试验中，事件在某指定的次发生，而在其余次不发生的概率为.而在次试验中，事件恰好发生次的概率为，.它恰好是的二项展开式中的第项．5.牢记且理解事件中常见词语的含义：(1)、中至少有一个发生的事件为；(2)、都发生的事件为；(3)、都不发生的事件为；(4)、恰有一个发生的事件为；(5)、至多一个发生的事件为.【温馨提醒】这些都是二项分布问题，关键是正确求出随机变量的分布列，可直接使用公式求解.因此牢记公式，，并深刻理解其含义．考点3离散型随机变量的均值与方差【3-1】设随机变量X～B（n，p），且E（X）＝1.6，D（X）＝1.28，则的值为.【答案】n＝8，p＝0.2【解析】因为随机变量X～B（n，p），且E（X）＝1.6，D（X）＝1.28，所以.【3-2】设服从二项分布X～B（n，p）的随机变量X的均值与方差分别是15和，则n、p的值分别是.【答案】60，【解析】由二项分布X～B（n，p）的均值与方差可知E(X)=np=15,D(X)=np(1-p)=,解得n=60,p=,所以【3-3】变量X的概率分布列如右表，其中成等差数列，若，则_________.【答案】【3-4】【常州2015调研】某公司计划在迎春节联欢会中设一项抽奖活动：在一个不透明的口袋中装入外形一样号码分别为1，2，3，…，10的十个小球.活动者一次从中摸出三个小球，三球号码有且仅有两个连号的为三等奖，奖金30元；三球号码都连号为二等奖，奖金60元；三球号码分别为1，5，10为一等奖，奖金240元；其余情况无奖金.（1）求员工甲抽奖一次所得奖金ξ的分布列与期望；（2）员工乙幸运地先后获得四次抽奖机会，他得奖次数的方差是多少？【3-5】【无锡2015模拟】在2014年俄罗斯索契冬奥会某项目的选拔比赛中，A,B两个代表队进行对抗赛，每队三名队员,A队队员是A1,A2,A3,B队队员是B1,B2,B3，按以往多次比赛的统计，对阵队员之间胜负概率如下表，现按表中对阵方式出场进行三场比赛，每场胜队得1分，负队得0分，设A队，B队最后所得总分分别为．（1)求A队得分为1分的概率；（2）求的分布列；并用统计学的知识说明哪个队实力较强．【基础知识】1．均值若离散型随机变量X的分布列为…………称为随机变量的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平．．若，其中为常数，则也是随机变量，且.若服从两点分布，则；若，则.2.方差若离散型随机变量X的分布列为…………则描述了()相对于均值的偏离程度，而为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量与其均值的平均偏离程度．称为随机变量的方差，其算术平方根为随机变量的标准差．若，其中为常数，则也是随机变量，且．若服从两点分布，则．若，则．【思想方法】1.求离散型随机变量均值、方差的基本方法(1)已知随机变量的分布列求它的均值、方差和标准差，可直接按定义(公式)求解；(2)已知随机变量的均值、方差，求的线性函数的均值、方差和标准差，可直接用的均值、方差的性质求解；(3)如能分析所给随机变量是服从常用的分布(如两点分布、二项分布等)，可直接利用它们的均值、方差公式求解．2.求离散型随机变量均值的步骤(1)理解随机变量的意义，写出可能取得的全部值；(2)求的每个值的概率；(3)写出的分布列；(4)由均值定义求出．3.六条性质(1)(为常数)(2)(为常数)(3)(4)如果相互独立，则(5)(6)4.均值与方差性质的应用若是随机变量，则一般仍是随机变量，在求的期望和方差时，熟练应用期望和方差的性质，可以避免再求的分布列带来的繁琐运算．【温馨提醒】求离散型随机变量的期望和方差的应用问题，首先应仔细地分析题意，当概率分布不是一些熟知的类型时，应全面地剖析各个随机变量所包含的各种事件，并准确判断各事件的相互关系，从而求出各随机变量相应的概率.【易错问题大揭秘】 1.随机变量取值不全致误典例(12分)盒子中有大小相同的球10个，其中标号为1的球3个，标号为2的球4个，标号为5的球3个．第一次从盒子中任取1个球，放回后第二次再任取1个球(假设取到每个球的可能性都相同)．记第一次与第二次取得球的标号之和为ξ.求随机变量ξ的可能取值及其分布列．易错分析由于随机变量取值情况较多，极易发生对随机变量取值考虑不全而导致解题错误．温馨提醒(1)解决此类问题的关键是弄清随机变量的取值，正确应用概率公式．(2)此类问题还极易发生如下错误：虽然