（江苏版）高考数学一轮复习 专题9.6 双曲线（测）-人教版高三全册数学试题

专题9.6双曲线一、填空题1．若实数k满足0＜k＜9，则曲线eq\f(x2,25)－eq\f(y2,9－k)＝1与曲线eq\f(x2,25－k)－eq\f(y2,9)＝1的________相等．【解析】由0<k<9，易知两曲线均为双曲线且焦点都在x轴上，由eq\r(25＋9－k)＝eq\r(25－k＋9)，得两双曲线的焦距相等．2．已知双曲线C的渐近线方程为y＝±2x，且经过点(2,2)，则C的方程为________．【解析】由题意，设双曲线C的方程为eq\f(y2,4)－x2＝λ(λ≠0)，因为双曲线C过点(2,2)，则eq\f(22,4)－22＝λ，解得λ＝－3，所以双曲线C的方程为eq\f(y2,4)－x2＝－3，即eq\f(x2,3)－eq\f(y2,12)＝1.3．设F1，F2分别是双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1的左、右焦点，若双曲线上存在点A，使∠F1AF2＝90°且|AF1|＝3|AF2|，则双曲线的离心率为________．【解析】因为∠F1AF2＝90°，故|AF1|2＋|AF2|2＝|F1F2|2＝4c2，又|AF1|＝3|AF2|，且|AF1|－|AF2|＝2a，所以|AF1|＝3a，|AF2|＝a，则10a2＝4c2，即eq\f(c2,a2)＝eq\f(5,2)，故e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(10),2)(负值舍去)．4．设双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦点是F，左、右顶点分别是A1，A2，过F作A1A2的垂线与双曲线交于B,C两点．若A1B⊥A2C，则该双曲线的渐近线的斜率为________．5．(2017·江南十校联考)已知l是双曲线C：eq\f(x2,2)－eq\f(y2,4)＝1的一条渐近线，P是l上的一点，F1，F2分别是C的左、右焦点，若·＝0，则点P到x轴的距离为________．【解析】由题意知F1(－eq\r(6)，0)，F2(eq\r(6)，0)，不妨设l的方程为y＝eq\r(2)x，点P(x0，eq\r(2)x0)，由·＝(－eq\r(6)－x0，－eq\r(2)x0)·(eq\r(6)－x0，－eq\r(2)x0)＝3xeq\o\al(2,0)－6＝0，得x0＝±eq\r(2)，故点P到x轴的距离为eq\r(2)|x0|＝2.6．已知双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1与直线y＝2x有交点，则双曲线离心率的取值范围为________．【解析】∵双曲线的一条渐近线方程为y＝eq\f(b,a)x，则由题意得eq\f(b,a)＞2，∴e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))2)＞eq\r(1＋4)＝eq\r(5).即双曲线离心率的取值范围为(eq\r(5)，＋∞)．7．已知双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)与椭圆eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1有相同的焦点，且双曲线C的渐近线方程为y＝±2x，则双曲线C的方程为________________．【答案】x2－eq\f(y2,4)＝1【解析】易得椭圆的焦点为(－eq\r(5)，0)，(eq\r(5)，0)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＋b2＝5，,\f(b,a)＝2，))∴a2＝1，b2＝4，∴双曲线C的方程为x2－eq\f(y2,4)＝1.8．过双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左焦点F1作斜率为1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为A，B，若v＝，则双曲线的渐近线方程为____________．【答案】3x±y＝09．设F1，F2分别是双曲线x2－eq\f(y2,b2)＝1的左、右焦点，A是双曲线上在第一象限内的点，若|AF2|＝2且∠F1AF2＝45°，延长AF2交双曲线右支于点B，则△F1AB的面积等于______．【答案】4【解析】由题意可得|AF2|＝2，|AF1|＝4，则|AB|＝|AF2|＋|BF2|＝2＋|BF2|＝|BF1|.又∠F1AF2＝45°，所以△ABF1是以AF1为斜边的等腰直角三角形，则|AB|＝|BF1|＝2eq\r(2)，所以其面积为eq\f(1,2)×2eq\r(2)×2eq\r(2)＝4.10．已知双曲线E：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)，若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|＝3|BC|，则E的离心率是________．【答案】2二、解答题11．已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为eq\r(2)，且过点(4，－eq\r(10))．点M(3，m)在双曲线上．(1)求双曲线的方程；(2)求证：·＝0；(3)求△F1MF2的面积．解：(1)∵e＝eq\r(2)，∴双曲线的实轴、虚轴相等．则可设双曲线方程为x2－y2＝λ.∵双曲线过点(4，－eq\r(10))，∴16－10＝λ，即λ＝6.∴双曲线方程为eq\f(x2,6)－eq\f(y2,6)＝1.(2)证明：不妨设F1，F2分别为左、右焦点，则＝(－2eq\r(3)－3，－m)，＝(2eq\r(3)－3，－m)．∴·＝(3＋2eq\r(3))×(3－2eq\r(3))＋m2＝－3＋m2，∵M点在双曲线上，∴9－m2＝6，即m2－3＝0，∴·＝0.(3)△F1MF2的底|F1F2|＝4eq\r(3).由(2)知m＝±eq\r(3).∴△F1MF2的高h＝|m|＝eq\r(3)，∴S△F1MF2＝eq\f(1,2)×4eq\r(3)×eq\r(