(江苏版)高考数学一轮复习 专题8.1 空间几何体的表面积与体积(练)-人教版高三全册数学试题_第1页
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文档简介

专题8.1空间几何体的表面积与体积【基础巩固】一、填空题1.(2017·无锡模拟)若正三棱锥的底面边长为eq\r(2),侧棱长为1,则此三棱锥的体积为________.【答案】eq\f(1,6)【解析】该正三棱锥的底面积为eq\f(\r(3),4)×(eq\r(2))2=eq\f(\r(3),2),高为eq\r(1-\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),3)))2)=eq\f(\r(3),3),所以该正三棱锥的体积为eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),2)×eq\f(\r(3),3)=eq\f(1,6).2.(2017·宿迁模拟)用半径为2cm的半圆形纸片卷成一个圆锥筒,则这个圆锥筒的高为________cm.【答案】eq\r(3)3.如图所示,已知三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长均为1,且AA1⊥底面ABC,则三棱锥B1-ABC1【答案】eq\f(\r(3),12)【解析】三棱锥B1-ABC1的体积等于三棱锥A-B1BC1的体积,三棱锥A-B1BC1的高为eq\f(\r(3),2),底面积为eq\f(1,2),故其体积为eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×eq\f(\r(3),2)=eq\f(\r(3),12).4.(2017·盐城模拟)若一个圆锥的侧面展开图是面积为4π的半圆面,则该圆锥的体积为________.【答案】eq\f(2\r(6),3)π【解析】由圆锥的侧面展开图是面积为4π的半圆面,得该半圆的半径是2eq\r(2),即为圆锥的母线长.半圆周长即为圆锥底面圆的周长,设圆锥底面圆半径为r,则2eq\r(2)π=2πr,解得r=eq\r(2),所以圆锥的高是h=eq\r(2\r(2)2-r2)=eq\r(6),体积是V=eq\f(1,3)πr2h=eq\f(2\r(6),3)π.5.(2017·苏、锡、常、镇四市调研)已知△ABC为等腰直角三角形,斜边BC上的中线AD=2,将△ABC沿AD折成60°的二面角,连接BC,则三棱锥C-ABD的体积为________.【答案】eq\f(2\r(3),3)6.(2017·南京、盐城模拟)设一个正方体与底面边长为2eq\r(3),侧棱长为eq\r(10)的正四棱锥的体积相等,则该正方体的棱长为________.【答案】2【解析】由题意可得正四棱锥的高为2,体积为eq\f(1,3)×(2eq\r(3))2×2=8,则正方体的体积为8,所以棱长为2.7.(2017·苏州调研)将半径为5的圆分割成面积之比为1∶2∶3的三个扇形作为三个圆锥的侧面,设这三个圆锥的底面半径依次为r1,r2,r3,则r1+r2+r3=________.【答案】5【解析】由题意可得三个扇形的弧长分别为eq\f(5π,3),eq\f(10π,3),5π,分别等于三个圆锥底面圆的周长,则r1=eq\f(5,6),r2=eq\f(5,3),r3=eq\f(5,2),所以r1+r2+r3=eq\f(5,6)+eq\f(5,3)+eq\f(5,2)=5.8.(2017·泰州模拟)如图,长方体ABCD-A1B1C1D1中,O为BD1的中点,三棱锥O-ABD的体积为V1,四棱锥O-ADD1A1的体积为V2,则eq\f(V1,V2)的值为________.【答案】eq\f(1,2)【解析】V1=eq\f(1,2)V三棱锥D1-ABD=eq\f(1,2)V三棱锥B-ADD1=eq\f(1,4)V四棱锥B-ADD1A1=eq\f(1,2)V四棱锥O-ADD1A1=eq\f(1,2)V2,则eq\f(V1,V2)=eq\f(1,2).二、解答题9.(2015·全国Ⅱ卷)如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=16,BC=10,AA1=8,点E,F分别在A1B1,D1C1上,A1E=D1F=4.过点E,F的平面(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由);(2)求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值.10.如图1,在直角梯形ABCD中,∠ADC=90°,CD∥AB,AB=4,AD=CD=2,将△ADC沿AC折起,使平面ADC⊥平面ABC,得到几何体D-ABC,如图2所示.(1)求证:BC⊥平面ACD;(2)求几何体D-ABC的体积.(1)证明在题图中,可得AC=BC=2eq\r(2),从而AC2+BC2=AB2,故AC⊥BC,又平面ADC⊥平面ABC,平面ADC∩平面ABC=AC,BC⊂平面ABC,∴BC⊥平面ACD.(2)解由(1)可知,BC为三棱锥B-ACD的高,BC=2eq\r(2),S△ACD=2,∴VB-ACD=eq\f(1,3)S△ACD·BC=eq\f(1,3)×2×2eq\r(2)=eq\f(4\r(2),3),由等体积性可知,几何体D-ABC的体积为eq\f(4\r(2),3).【能力提升】11.(2015·全国Ⅰ卷改编)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺,问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧长为8尺,米堆的高为5尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺,圆周率约为3,估算出堆放的米约有________斛(保留整数).【答案】2212.(2017·苏、锡、常、镇四市调研)设棱长为a的正方体的体积和表面积分别为V1,S1,底面半径和高均为r的圆锥的体积和侧面积分别为V2,S2,若eq\f(V1,V2)=eq\f(3,π),则eq\f(S1,S2)的值为________.【答案】eq\f(3\r(2),π)【解析】棱长为a的正方体的体积V1=a3,表面积S1=6a2,底面半径和高均为r的圆锥的体积V2=eq\f(1,3)πr3,侧面积S2=eq\r(2)πr2,则eq\f(V1,V2)=eq\f(a3,\f(1,3)πr3)=eq\f(3,π),则a=r,所以eq\f(S1,S2)=eq\f(6a2,\r(2)πr2)=eq\f(3\r(2),π).13.(2017·南通调研)在体积为eq\f(\r(3),2)的四面体ABCD中,AB⊥平面BCD,AB=1,BC=2,BD=3,则CD的长度为________.【答案】eq\r(7)或eq\r(19)【解析】四面体ABCD的体积为eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×2×3sin∠CBD×1=sin∠CBD=eq\f(\r(3),2),则∠CBD=60°或∠CBD=120°.当∠CBD=60°时,CD2=9+4-2×3×2×eq\f(1,2)=7,CD=eq\r(7);当∠

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