（江苏版）高考数学一轮复习 专题5.3 平面向量的数量积（测）-江苏版高三全册数学试题

专题5.3平面向量的数量积一、填空题1．已知向量a＝(eq\r(3)，1)，b＝(0,1)，c＝(k，eq\r(3))，若a＋2b与c垂直，则k＝【解析】因为a＋2b与c垂直，所以(a＋2b)·c＝0，即a·c＋2b·c＝0，所以eq\r(3)k＋eq\r(3)＋2eq\r(3)＝0，解得k＝－3.2．在平面直角坐标系xOy中，已知四边形ABCD是平行四边形，＝(1，－2)，＝(2,1)，则·＝【解析】由四边形ABCD是平行四边形，知＝＋＝(1，－2)＋(2,1)＝(3，－1)，故·＝(2,1)·(3，－1)＝2×3＋1×(－1)＝5.3．若平面向量a＝(－1,2)与b的夹角是180°，且|b|＝3eq\r(5)，则b的坐标为【解析】由题意设b＝λa＝(－λ，2λ)(λ＜0)，而|b|＝3eq\r(5)，则eq\r(－λ2＋2λ2)＝3eq\r(5)，所以λ＝－3，b＝(3，－6)，4．(2016·山东高考)已知非零向量m，n满足4|m|＝3|n|，cos〈m，n〉＝eq\f(1,3)，若n⊥(tm＋n)，则实数t的值为5．(2016·天津高考)已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE＝2EF，则·的值为【解析】如图所示，＝＋.又D，E分别为AB，BC的中点，且DE＝2EF，所以＝eq\f(1,2)，＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,4)＝eq\f(3,4)，所以＝eq\f(1,2)＋eq\f(3,4).又＝－，则·＝eq\f(1,2)＋eq\f(3,4)·(－)＝eq\f(1,2)·－eq\f(1,2)2＋eq\f(3,4)2－eq\f(3,4)·＝eq\f(3,4)2－eq\f(1,2)2－eq\f(1,4)·.又||＝||＝1，∠BAC＝60°，故·＝eq\f(3,4)－eq\f(1,2)－eq\f(1,4)×1×1×eq\f(1,2)＝eq\f(1,8).6．已知△ABC为等边三角形，AB＝2，设点P，Q满足＝λ，＝(1－λ)，λ∈R，若·＝－eq\f(3,2)，则λ＝7．已知平面向量a＝(2,4)，b＝(1，－2)，若c＝a－(a·b)·b，则|c|＝________.【解析】由题意可得a·b＝2×1＋4×(－2)＝－6，∴c＝a－(a·b)·b＝a＋6b＝(2,4)＋6(1，－2)＝(8，－8)，∴|c|＝eq\r(82＋－82)＝8eq\r(2).8．已知向量a，b满足(2a－b)·(a＋b)＝6，且|a|＝2，|b|＝1，则a与b【解析】∵(2a－b)·(a＋b)＝6，∴2a2＋a·b－b2＝6，又|a|＝2，|b|＝1，∴a·b＝－1，∴cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)＝－eq\f(1,2)，又〈a，b〉∈[0，π]，∴a与b的夹角为eq\f(2π,3).9．已知a＝(λ，2λ)，b＝(3λ，2)，如果a与b的夹角为锐角，则λ的取值范围是________．【解析】a与b的夹角为锐角，则a·b>0且a与b不共线，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3λ2＋4λ>0，,2λ－6λ2≠0，))解得λ<－eq\f(4,3)或0<λ<eq\f(1,3)或λ>eq\f(1,3)，所以λ的取值范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(4,3)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,3)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，＋∞)).10.如图，菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝60°，M为DC的中点，若N为菱形内任意一点(含边界)，则·的最大值为________．【解析】设＝λ＋μ，因为N在菱形ABCD内，所以0≤λ≤1,0≤μ≤1.＝＋eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)＋.所以·＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＋))·(λ＋μ)＝eq\f(λ,2)2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(λ＋\f(μ,2)))·＋μ2＝eq\f(λ,2)×4＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(λ＋\f(μ,2)))×2×2×eq\f(1,2)＋4μ＝4λ＋5μ.所以0≤·≤9，所以当λ＝μ＝1时，·有最大值9，此时，N位于C点．二、解答题11．在平面直角坐标系xOy中，已知向量m＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，－\f(\r(2),2)))，n＝(sinx，cosx)，x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).(1)若m⊥n，求tanx的值；(2)若m与n的夹角为eq\f(π,3)，求x的值．12．已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m＝(sinA，sinB)，n＝(cosB，cosA)，m·n＝sin2C(1)求角C的大小；(2)若sinA，sinC，sinB成等差数列，且·(－)＝18，求边c的长．解：(1)m·n＝sinA·cosB＋sinB·cosA＝sin(A＋B)，对于△ABC，A＋B＝π－C,0＜C＜π，∴sin(A＋B)＝sinC，∴m·n＝sinC，又m·n＝sin2C，∴sin2C＝sinC，cosC＝eq\f(1,2)，C＝eq\f(π,3).(2)由sinA，sinC，sinB成等差