四川省广安市华蓥中学2023-2024学年高二上学期12月月考数学试题

四川省华蓥中学20232024学年高二上12月月考数学试题高2025届12月月考数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.直线的倾斜角为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】将直线方程变为斜截式,根据斜率与倾斜角关系可直接求解.【详解】直线变形为所以设倾斜角为则因为所以故选:B【点睛】本题考查了直线方程中倾斜角与斜率的关系,属于基础题.2.已知直线与直线，若，则（）A. B.2 C.2或 D.5【答案】A【解析】【分析】解方程，再检验即得解.【详解】解：若，则，所以或．当时，重合，不符合题意，所以舍去；当时，符合题意．故选：A3.阿基米德不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．若椭圆C的焦点在轴上，且椭圆C的离心率为，面积为，则椭圆C的标准方程为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据已知条件求得，由此求得正确答案.【详解】依题意，解得.由于椭圆焦点在轴上，所以椭圆的标准方程为.故选：B4.已知圆与圆相交于A，B两点，则=（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】首先确定圆的圆心和半径，再将两圆方程作差求相交弦方程，应用点线距离公式、弦长的几何求法求.【详解】由圆中且半径为1，将两圆方程作差，得，整理得，所以相交弦方程，则到其距离为，所以.故选：A5.在数列中，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据题目条件得到为等差数列，公差为1，并求出首项，从而得到通项公式，求出，得到答案.【详解】因为，所以为等差数列，公差为1，首项为，故，所以，因为，所以，.故选：C6.如图是抛物线拱形桥，当水面在时，拱顶高于水面，水面宽为，当水面宽为时，水位下降了（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】以抛物线的顶点为坐标原点，抛物线的对称轴为轴建立平面直角坐标系，并设拱桥所在抛物线为，根据题意得出点在抛物线上，可求出的值，并设拱顶高于水面，可知点在抛物线上，代入抛物线方程可解出的值，由此可得出水面下降的高度.【详解】建系如图，设拱桥所在抛物线为，点在抛物线上，得，抛物线方程为，当水面宽为时，设拱顶高于水面，由点在抛物线上，得，故水面下降了.故选：D.【点睛】本题考查抛物线方程的应用，建立平面直角坐标，将问题转化为抛物线方程来求解是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.7.如图，在三棱锥中，，，，则异面直线OB与AC所成的角是（）A.30° B.60° C.90° D.120°【答案】B【解析】【分析】由异面直线的向量求法求解即可【详解】∵，，∴．∵，，∴．又∵，∴，∴，又异面直线所成角的取值范围∴异面直线OB与AC所成的角为60°．故选：B8.已知点，点Q为圆上的动点，则的最小值为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】先确定点在定直线上，根据的最小值等于圆心到直线的距离减去圆的半径求解.【详解】因为，所以在直线即上.又圆心到直线的距离为：，所以的最小值为：.故选：C二、多选题（本大题共4小题，共20分．在每小题有多项符合题目要求）9.已知动直线与圆，则下列说法正确的是（）A.直线过定点B.圆的圆心坐标为C.直线与圆的相交弦的最小值为D.直线与圆的相交弦的最大值为4【答案】ACD【解析】【分析】根据直线与圆的相关知识对各选项逐一判断即可.【详解】对于A，直线，即，令，得，即直线过定点，故A正确；对于B，圆，即，圆心坐标为，故B错误；对于C，因为，所以直线所过定点在圆的内部，不妨设直线过定点为，当直线与圆的相交弦的最小时，与相交弦垂直，又因为，所以相交弦最小为，故C正确；对于D，直线与圆的相交弦的最大值为圆直径4，故D正确.故选：ACD10.若方程所表示的曲线为，则（）A.曲线可能是圆B.若，则为椭圆C.若为椭圆，且焦点在轴上，则D.若时，曲线上一点到焦点的距离为，则到另一个焦点的距离为或【答案】AC【解析】【分析】根据圆、椭圆、双曲线的定义及性质判断即可.【详解】当，即时，方程为，表示圆心为原点，半径为的圆，故A正确，B错误；对于C，若为焦点在轴上的椭圆，则，解得，故C正确；对于D，若时，方程为，表示焦点在轴上的双曲线，则，，所以双曲线上的点到焦点的距离的最小值为，故D错误.故选：AC.11.下列命题中，正确的有（）A.若，则⊥B.若是空间的一个基底，则也是空间的一个基底C.已知空间三点，点O到直线BC的距离为D.是平面的法向量，是直线l的方向向量，若，则1与平面所成角为【答案】BCD【解析】【分析】A可举出反例；B选项，推出不共面，利用空间向量基底的概念进行判断；C选项，利用点到直线的空间向量公式进行求解；D选项，根据直线方向向量，法向量及线面角的概念进行判断.【详解】A选项，如图所示，满足，但与不垂直，A错误；B选项，若是空间的一个基底，则不存在使得，设，则，无解，故不共面，则也是空间的一个基底，B正确；C选项，已知空间三点，则，，故点O到直线BC的距离为，C正确；D选项，是平面的法向量，是直线l的方向向量，若，故直线l与垂直平面的直线所成锐角为，由于l与平面所成角和互余，故1与平面所成角为，D正确.故选：BCD12.椭圆的左、右焦点分别为，为坐标原点，则以下说法正确的是（）A.过点的直线与椭圆C交于A，B两点，则的周长为8B.椭圆上存在点P，使得C.若实数满足椭圆C，则的最大值为D.为椭圆上一点，为圆上一点，则点的最大距离为【答案】ABD【解析】【分析】选项A，由椭圆定义可得周长为；选项B，由点在椭圆上，且满足，联立方程组可解得点坐标；选项C，由的几何意义为斜率，设直线方程，联立与椭圆方程，转化为方程组有解，求斜率范围，从而得最大值；选项D，求点的距离最大值，先求解的最大值.【详解】由椭圆方程可得，，则.则，选项A，的周长，故A正确；选项B，设存在点，则，由得，联立解得，则，则椭圆上存在点，使，故B正确；选项C，设，，则的几何意义为两点连线的斜率，设直线，联立消得，，由，解得，则，的最大值为，故C错误；选项D，设，则，所以，则，因为，所以，所以，所以，故D正确.故选：ABD.三、填空题（本大题共4小题，共20分）13.已知双曲线方程为，则其渐近线方程为__________．【答案】【解析】【分析】根据渐近线方程公式直接求解即可.【详解】渐近线方程为.故答案为：14.学校举行知识竞赛，甲乙两人进入最后的决赛，已知某题甲答对的概率是，乙答对的概率是，则此题没有人答对的概率是__________．【答案】##【解析】【分析】根据甲乙两人之间相互独立，结合独立事件的概率乘法公式，即可求解.【详解】由题意，甲乙两人之间是相互独立的，且甲答对的概率是，乙答对的概率是，所以此题没有人答对的概率是.故答案为：.15.已知是曲线的两个焦点，是曲线上一点，且，则的面积等于__________.【答案】【解析】【分析】根据椭圆的方程得到的值，由椭圆的定义可知的值，从而求得、的值，再由勾股定理得到，由此得解.【详解】由椭圆的方程可得：，，所以，则，因为，又由椭圆的定义知，所以，，则中，有，则，所以.故答案为：.16.设、分别为具有公共焦点、的椭圆和双曲线的离心率，是两曲线的一个公共点，且满足，则的值为_____________．【答案】【解析】【分析】设椭圆、双曲线的方程分别为，公共焦点、的坐标分别是，设为坐标原点，由于，则，所以是以为直角顶点的三角形，再由椭圆、双曲线的定义可得，所以，由可得，因此得，从而的值为，故应填.【详解】设椭圆、双曲线的方程分别为，公共焦点、的坐标分别是，如图所示，设为坐标原点，，，即，是直角三角形，且，由椭圆、双曲线的定义可得，解得，在中，，，即，，.故答案为：.四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.已知等差数列的前n项和为，且．（1）求数列的通项公式；（2）求；【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）求出公差和首项，从而得到通项公式；（2）利用等差数列的求和公式求出答案.【小问1详解】设公差为，则，解得，且，故；【小问2详解】.18.已知直线过点，点O是坐标原点．（1）若直线与直线垂直，求直线方程（2）若直线在两坐标轴上的截距相等，求直线方程【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）根据直线垂直的斜率关系求解即可；（2）根据截距是否为进行分类讨论求解答案即可.【小问1详解】因为直线与直线垂直，直线即，斜率为，所以直线斜率为，又因为直线过点，所以直线方程为，即【小问2详解】因为直线在两坐标轴上的截距相等，且直线过点所以当截距为时，直线方程为，当截距不为时，设直线方程为，代入点，得，得，所以直线方程为，即，所以直线方程为或19.已知点P到的距离与它到x轴的距离的差为4，P的轨迹为曲线C.（1）求C的方程；（2）若直线与C交于A，B两点，且弦中点的横坐标为，求的斜率.【答案】（1）或.（2）.【解析】【分析】（1）根据两点间距离公式，结合绝对值的性质进行求解即可；（2）利用点差法进行求解即可.【小问1详解】设，由题意可知：，两边同时平方，得所以的方程为或.【小问2详解】由题可知曲线为，设，，则.由得，所以斜率为.20.如图，在四棱镜中，平面，．，E为的中点，点在上，且．（1）求证：平面；（2）求二面角的正弦值；【答案】（1）证明过程见解析（2）【解析】【分析】（1）由线面垂直得到线线垂直，进而证明出线面垂直；（2）建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出平面的法向量，求出两法向量的夹角余弦值，进而求出二面角的正弦值.【小问1详解】因为平面，平面，所以，因为，，平面，所以平面；【小问2详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴，垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系，，E为的中点，点在上，且，故，设，由得，解得，故，设平面的法向量为，则，令，则，所以，又平面的法向量为，故，故二面角正弦值为.21.已知圆C过点且圆心在直线上（1）求圆C的方程，并求过点的切线方程．（2）若过点的直线与圆C交于A，B两点，且三角形ABC的面积为10，求直线l的方程．【答案】（1），切线方程为（2）或或【解析】【分析】（1）求出的垂直平分线方程，与联立求出圆心坐标，进而求出半径，得到圆的方程，并设出切线方程，由点到直线距离公式得到方程，求出切线方程；（2）设出直线方程，表达出圆心到直线的距离，利用垂径定理得到弦长，从而根据面积列出方程，求出或，分两种情况，求出相应直线的斜率，得到直线方程.【小问1详解】由对称性可知圆心C在线段的垂直平分线上，线段的中点坐标为，又，故的垂直平分线的斜率为，故的垂直平分线方程为，即，联立与，解得，故圆心坐标为，半径为，故圆C的方程为，当过点的直线斜率不存在时，不是圆C的切线，设过点的切线方程为，则，解得，故过点的切线方程为，即；【小问2详解】将代入圆C，，故点在圆C外，当过点的直线斜率不存在时，此时直线与圆无交点，舍去，设过点的直线方程为，则圆心到直线的距离，又半径，故由垂径定理得，又三角形ABC的面积为10，所以，解得或，由于，故或均满足要求，当时，，解得或，当时，，解得，综上，直线l的方程为或或.22.已知A、B分别为椭圆E：（a>1）的左、右顶点，G为E的上顶点，，P为直线x=6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D．（1）求E的方程；（2）证明：直线CD过定点.【答案】（1）；（2）证明详见解析.【解析】【分析】（1）由已知可得：，，，即可求得，结合已知即可求得：，问题得解.（2）方法一：设，可得直线的方程为：，联立直线的方程与椭圆方程即可求得点的坐标为，同理可得点的坐标为，当时，可表示出直线的方程，整理直线的方程可得：即可知直线过定点，当时，直线：，直线过点，命题得证.【详解】（1）依据题意作出如下图象：由椭圆方程可得：，，，，椭圆方程为：（2）[方法一]：设而求点法证明：设，则直线的方程为：，即：联立直线的方程与椭圆方程可得：，整理得：，解得：或将代入直线可得：所以点的坐标为.同理可得：点的坐标为当时，直线的方程为：，整理可得：整理得：所以直线过定点