福建省永安市第三高中高三10月月考数学试题

永安三中2020—2021学年上学期10月月考数学试卷一、单选题1.已知集合，，那么等于（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用并集的定义直接求解即可【详解】解：因为集合，，所以，故选：A【点睛】此题考查并集的运算，属于基础题2.下列函数中与表示为同一函数的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】当两个函数的定义域和对应关系分别相同时，这两个函数就是同一个函数，由此逐个分析判断即可【详解】因为，，定义域不同，因而选项A错误；，对应关系不同，因而选项B错误；与给定的函数为同一函数，因而选项C符合题意；，定义域不同，因而选项D错误．故选：C【点睛】此题考查判断两个函数是否是同一函数，判断的依据是定义域和对应关系分别相同即可，属于基础题3.下列函数中，在区间上单调递增的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据指数函数、对数函数以及幂函数的单调性逐一分析选项即可.【详解】解：根据指数函数、对数函数以及幂函数的单调性可知：A：在上单调递减；B：在上单调递减；C：在上单调递增；D：在上单调递减；故选：C【点睛】本题考查指数函数、对数函数以及幂函数的单调性的判断，属于基础题.4.函数定义域是（）.A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由二次根式在分母上，得被开方数大于零，同时再由对数的真数大于零，可求得函数的定义域【详解】解：由题意得，，解得，所以函数的定义域为，故选：A【点睛】此题考查求函数的定义域，属于基础题5.函数的零点一定位于下列哪个区间内（）.A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求出端点所对应的函数值，利用零点的存在性定理即可判断.【详解】，，的零点一定位于.故选：C.【点睛】本题考查利用零点存在性定理判断零点所在区间，属于基础题.6.已知，，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据指数函数与对数函数的性质，判断．【详解】，，，且；所以．故选：．【点睛】本题考查了利用指数函数与对数函数单调性判断函数值大小的问题，是基础题．7.已知扇形的周长为12cm，圆心角为，则此扇形的面积为（）．A.8cm2 B.10cm2 C.12cm2 D.14cm2【答案】A【解析】【分析】根据弧度制下的扇形的弧长和面积公式求解即可．【详解】解：设扇形的半径为cm，∵扇形的周长为12cm，圆心角为，∴，得，∴此扇形的面积（cm2），故选：A．【点睛】本题主要考查弧度制下扇形的弧长和面积公式，属于基础题．8.在中，若，则一定为（）A.等边三角形 B.钝角三角形 C.锐角三角形 D.直角三角形【答案】B【解析】分析：将条件的原式移项，结合三角和差公式即可得出结论.详解：由题可知：，故为锐角，由三角形的内角和为180°可知C为钝角，故三角形为钝角三角形，所以选B.点睛：考查三角和差公式的应用，结合三角形的内角和结论即可，属于基础题.二、多选题9.若，则（）A. B. C. D.【答案】BD【解析】【分析】利用函数在区间上的单调性可判断A选项；利用对数函数在区间上的单调性可判断B选项；利用特殊值法可判断C选项；利用函数在区间上的单调性可判断D选项.【详解】对于A选项，函数在区间上单调递减，由于，则，A选项错误；对于B选项，函数在区间上单调递增，由于，则，B选项正确；对于C选项，取，，则，则，，即不成立，故C选项错误；对于D选项，取函数，当时，，所以，函数在区间上单调递增，由于可得，即，D选项正确.故选：BD.【点睛】本题考查利用函数的单调性判断不等式的正误，考查了导数的应用，属于中等题.10.将函数的图象向左平移个单位后，得到函数的图象，则（）A.函数的图象关于直线对称B.函数的图象关于点(，0)对称C.函数在区间(，)上单调递增D.函数在区间(0，)上有两个零点【答案】ACD【解析】【分析】先由已知求出，然后利用三角函数的图像和性质逐个判断即可【详解】可得，当，，故A正确；当，，故B错误；当(，)，(，0)，故C正确；当(0，)，(，)，故D正确．故选：ACD．【点睛】此题考查三角函数的平移变换，考查三角函数的图像和性质的应用，属于基础题11.下图是函数（其中，，）的部分图象，下列结论正确的是（）A.函数的图象关于原点对称B.函数的图象关于点对称C.函数在区间上单调递增D.方程在区间上的所有实根之和为【答案】ABD【解析】【分析】根据函数图象求出的解析式，根据正弦型函数的性质判断选项正误.【详解】由已知，，，因此，∴，所以，过点，因此，，又，所以，∴，对A，图象关于原点对称，故A正确；对B，当时，，故B正确；对C，由，有，故C不正确；对D，当时，，所以与函数有4个交点令横坐标为，，，，，故D正确.故选：ABD.【点睛】本题考查根据正弦型函数的部分图象求函数的解析式，以及分析正弦型函数的性质，属于基础题.12.已知是定义域为的奇函数，是偶函数，且当时，，则（）A.是周期为2的函数B.C.的值域为[1，1]D.的图象与曲线在上有4个交点【答案】BCD【解析】【分析】对于A，由为R上的奇函数，为偶函数，得，则是周期为4的周期函数，可判断A；

对于B，由是周期为4的周期函数，则，，可判断B．

对于C，当时，，有，又由为R上的奇函数，则时，，可判断C．

对于D，构造函数，利用导数法求出单调区间，结合零点存在性定理，即可判断D．【详解】根据题意，

对于A，为R上奇函数，为偶函数，所以图象关于对称，即则是周期为4的周期函数，A错误；

对于B，定义域为R的奇函数，则，是周期为4的周期函数，则；

当时，，则，则，

则；故B正确．

对于C，当时，，此时有，又由为R上的奇函数，则时，，

，函数关于对称，所以函数的值域．故C正确．

对于D，，且时，，，，，是奇函数，，的周期为，，，，设，当，，设在恒成立，在单调递减，即在单调递减，且，存在，单调递增，单调递减，，所以在有唯一零点，在没有零点，即，的图象与曲线有1个交点，当时，，，则，，则，所以在上单调递增，且，所以存在唯一的，使得，所以，，在单调递减，，，在单调递增，又，所以，又，所以在上有一个唯一的零点，在上有唯一的零点，所以当时，的图象与曲线有2个交点，，当时，同，的图象与曲线有1个交点，当，的图象与曲线没有交点，所以的图象与曲线在上有4个交点，故D正确；故选：BCD．【点睛】本题考查抽象函数的奇偶性、周期性、两函数图像的交点，属于较难题.三、填空题13.命题“，”为假命题，则实数的取值范围是________．【答案】【解析】【分析】由原命题为假可知其否定为真，结合二次函数性质知，解不等式求得结果.【详解】若原命题为假命题，则其否定“，”为真命题，解得：的取值范围为故答案为：【点睛】本题考查一元二次不等式在实数集上恒成立问题的求解，关键是能够利用原命题与其否定之间的真假关系将问题转化为恒成立的问题.14.已知“”是“”的必要条件，则实数的取值范围是______.【答案】【解析】【分析】解出，通过必要条件得出集合间的包含关系，利用包含关系列不等式求解即可．【详解】由已知不等式的解集为，因为是的必要条件，，则，得，故答案为：【点睛】本题通过必要非充分条件，考查集合间的包含关系，有时不要遗漏空集的情况，是基础题．15.已知，则______.【答案】【解析】【分析】先利用诱导公式对化简，可得，代入中化简可得结果【详解】解：由，得，，所以，故答案为：【点睛】此题考查诱导公式的应用，属于基础题16.如图，是我国古代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如果小正方形的面积为4，大正方形的面积为100，直角三角形中较小的锐角为，___．【答案】【解析】【分析】求出大正方形的边长、小正方形的边长，结合图形得出，再由，解得和，进而得到值．【详解】由题意得，大正方形的边长为10，小正方形的边长为2，所以，即①．由于为锐角，两边同时平方得：，即，又因为，所以，，所以②，由①②得：，，，故答案为：．【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系，结合图形得出，是解题的关键．四、解答题17.已知函数的图象过点.(1)求的值；(2)计算的值.【答案】(1)；(2).【解析】【分析】（1）根据题意将点代入解析式利用指数与对数的互化即可求解.（2）由（1）根据指数与对数的运算性质即可求解.【详解】(1)的图像过点，，，得.(2)由(1)知，，.【点睛】本题考查了指数与对数的互化以及指数与对数的运算性质，属于基础题.18.已知集合，，.（1）当时，求；（2）若，求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）求解指数不等式，解得集合；根据集合交运算即可容易求得结果；（2）分集合是否为空集，根据题意，列出不等式，即可容易求得参数范围.【详解】（1），时，，∴（2）∵，∴当时，，即，符合题意；当时，即时，只需或即可.解得或，综上，的取值范围为.【点睛】本题考查集合的交运算，以及由集合交集得结果求参数范围，涉及指数不等式的求解，属综合基础题.19.已知为锐角，.（1）求的值；（2）求的值．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由二倍角公式，结合题意，可直接求出结果；（2）先由题意求出，，根据，由两角差的正弦公式，即可求出结果.【详解】（1）因为，所以；（2）因为为锐角，所以，，又，所以，，所以.【点睛】本题主要考查三角恒等变换给值求值的问题，熟记二倍角公式，以及两角差的正弦公式即可，属于常考题型.20.已知函数.（1）求函数的单调区间；（2）当时，求函数的最大值与最小值.【答案】（1）的递增区间是和；递减区间是，（2）最大值是，最小值是【解析】【分析】（1）先求导，再解，的解集即可得解；（2）由函数的单调性，先求极值，再求端点值，再比较大小求值域即可.【详解】解：（1）当时，，单调递增；当时，，单调递减；当时，，单调递增；所以的递增区间是和；递减区间是；（2）由（1）知，在，上单调递增，在区间上单调递减，所以的极大值为，极小值为，又因为，，所以的最大值是，最小值是.【点睛】本题考查了利用导数研究函数单调性，重点考查了利用函数的单调性求函数的值域，属基础题.21.已知函数.（1）求的最小正周期；（2）求函数的单调增区间；（3）求函数在区间上的取值范围.【答案】（1）；（2）；（3）．【解析】【分析】（1）根据二倍角公式和诱导公式，结合辅助角公式可求得解析式，从而利用周期公式求周期；（2）利用整体代换即可求单调增区间；（3）由得，从而可得的取值范围.【详解】（1）所以．（2）由，得，所以函数的单调递增区间是.（3）由得，所以，所以．【点睛】本题考查三角函数的性质，考查利用整体的思想结合图象解决给定范围下的三角函数的范围，属基础题.22.已知函数.（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围；（Ⅲ）设函数，其中.证明：的图象在图象的下方.【答案】(1).(2).(3)证明见解析.【解析】分析：（Ⅰ）求出函数的导数，计算和的值，点斜式求出切线方程即可.（Ⅱ）设，并求导.将问题转化为在区间上，恒成立，或者恒成立，通过特殊值，且，确定恒成立，通过参数分离，求得实数的取值范围；(Ⅲ）设，将问题转化为证明，利用函数的导数确定函数最小值在区间，并证明.即的图象在图象的下方.详解：解：（Ⅰ）求导，得，又因为所以曲线在点处的切线方程为（Ⅱ）设函数，求导，得，因为函数在区间上为单调函数，