高中数学北师大版必修2第二章2.2圆的一般方程作业

[A.基础达标]1．方程2x2＋2y2＋4x＋6y＝1表示的几何图形是()A．圆 B．直线C．点 D．不表示任何图形解析：选A.将方程2x2＋2y2＋4x＋6y＝1化为x2＋y2＋2x＋3y－eq\f(1,2)＝0.则D＝2，E＝3，F＝－eq\f(1,2).计算得D2＋E2－4F＝22＋32－4×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝15>0.所以方程表示圆，故选A.2．下列方程中表示圆的是()A．x2＋y2－2x＋2y＋2＝0B．x2＋y2－2xy＋y＋1＝0C．x2＋y2－2x＋4y＋3＝0D．x2＋2y2－2x＋4y－1＝0解析：选C.选项C中的方程可化为(x－1)2＋(y＋2)2＝2，表示圆，其余选项中的方程均不表示圆．3．已知点(a＋1，a－1)在圆x2＋y2－x＋y－4＝0的外部，则a的取值范围是()A．(－∞，－eq\r(2))∪[－eq\r(2)，＋∞)B．(－∞，2)∪(2，＋∞)C．(－∞，－eq\r(2))∪(eq\r(2)，＋∞)D．(－∞，－2)∪(2，＋∞)解析：选C.将圆的一般方程配方得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y＋\f(1,2)))eq\s\up12(2)＝eq\f(9,2)，点在圆外，需eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋1－\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－1＋\f(1,2)))eq\s\up12(2)>eq\f(9,2)，解得a∈(－∞，－eq\r(2))∪(eq\r(2)，＋∞)．4．已知圆x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0，当该圆的面积取最大值时，圆心坐标是()A．(0，－1) B．(1，－1)C．(－1，0) D．(－1，1)解析：选A.由x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0，得圆的半径r＝eq\f(1,2)eq\r(k2＋4－4k2)＝eq\f(1,2)eq\r(4－3k2).所以当k＝0时，r最大，此时圆的面积最大，此时圆心(－eq\f(k,2)，－eq\f(2,2))，即(0，－1)，故选A.5．若圆x2＋y2＋2ax－4ay＋5a2－4＝0上所有点都在第二象限，则a的取值范围为()A．(－∞，2) B．(－∞，－1)C．(1，＋∞) D．(2，＋∞)解析：选D.由x2＋y2＋2ax－4ay＋5a2－4＝0，得(x＋a)2＋(y－2a)2＝4，其圆心坐标为(－a，2a)，半径为2，则有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－a<0，,2a>0，,|－a|>2，,|2a|>2，))解得a>2.6．圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0的圆心到直线x－y－2＝0的距离为________．解析：已知圆的圆心坐标为(1，1)，由点到直线的距离公式得圆心到直线x－y－2＝0的距离d＝eq\f(|1－1－2|,\r(12＋12))＝eq\r(2).答案：eq\r(2)7．若实数x，y满足x2＋y2－6x＋8y＋24＝0，则x2＋y2的最大值等于________．解析：依题意，点P(x，y)在圆x2＋y2－6x＋8y＋24＝0上，即(x－3)2＋(y＋4)2＝1，而x2＋y2表示点P与原点O距离的平方．由于已知圆的圆心为C(3，－4)，半径r＝1，又|OC|＝5，所以点P与原点O距离的最大值为1＋5＝6，从而x2＋y2的最大值是36.答案：368．点M，N在圆x2＋y2＋kx＋2y－4＝0上，且点M，N关于直线x－y＋1＝0对称，则该圆的面积是________．解析：将x2＋y2＋kx＋2y－4＝0化为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(k,2)))eq\s\up12(2)＋(y＋1)2＝5＋eq\f(k2,4)，故圆心坐标是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(k,2)，－1)).由题意知，直线x－y＋1＝0过圆心，故－eq\f(k,2)＋1＋1＝0，解得k＝4，此时圆的半径为3，圆的面积是9π.答案：9π9．求经过两点A(4，2)，B(－1，3)，且在两坐标轴上的四个截距之和为2的圆的方程．解：设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0，所以圆在x轴上的截距之和为x1＋x2＝－D；令x＝0，得y2＋Ey＋F＝0，所以圆在y轴上的截距之和为y1＋y2＝－E；由题设，得x1＋x2＋y1＋y2＝－(D＋E)＝2，所以D＋E＝－2.①又A(4，2)，B(－1，3)两点在圆上，所以16＋4＋4D＋2E＋F＝0，②1＋9－D＋3E＋F＝0，③由①②③可得D＝－2，E＝0，F＝－12，故所求圆的方程为x2＋y2－2x－12＝0.10．等腰三角形的顶点A(4，2)，底边一个端点是B(3，5)，求另一端点C的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么．解：设底边另一个端点C的坐标是(x，y)，依题意，得|AC|＝|AB|，由两点间距离公式得eq\r(（x－4）2＋（y－2）2)＝eq\r(（4－3）2＋（2－5）2)，整理得(x－4)2＋(y－2)2＝10，这是以点A(4，2)为圆心，以eq\r(10)为半径的圆．又因为A，B，C为三角形的三个顶点，所以A，B，C三点不共线．即点B，C不能重合且不能为圆A的一条直径的两个端点，所以点C不能为(3，5)且eq\f(x＋3,2)≠4，eq\f(y＋5,2)≠2，即点C也不能为(5，－1)，故点C的轨迹方程为(x－4)2＋(y－2)2＝10(除去点(3，5)和(5，－1))，它的轨迹是以A(4，2)为圆心，eq\r(10)为半径的圆，但除去(3，5)和(5，－1)两点．[B.能力提升]1．已知两点A(－2，0)，B(0，2)，点C是圆x2＋y2－2x＝0上任意一点，则△ABC面积的最小值是()A．3－eq\r(2) B．3＋eq\r(2)C．3－eq\f(\r(2),2) D.eq\f(3－\r(2),2)解析：选A.lAB：x－y＋2＝0，圆心(1，0)到l的距离d＝eq\f(|3|,\r(2))＝eq\f(3,\r(2))，所以AB边上的高的最小值为eq\f(3,\r(2))－1.又因为|AB|＝eq\r(22＋22)＝2eq\r(2)，所以S△min＝eq\f(1,2)×(2eq\r(2))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,\r(2))－1))＝3－eq\r(2).故选A.2．经过圆x2＋2x＋y2＝0的圆心C，且与直线x＋y＝0垂直的直线方程是()A．x＋y＋1＝0 B．x＋y－1＝0C．x－y＋1＝0 D．x－y－1＝0解析：选C.因为x2＋2x＋y2＝0可化为(x＋1)2＋y2＝1，所以圆心C(－1，0)．又过点C的直线与x＋y＝0垂直，所以其斜率为1.所以所求直线方程为y＝x＋1，即x－y＋1＝0.3．设圆C的方程为x2＋y2－4x－5＝0，若此圆的一条弦AB的中点为P(3，1)，则直线AB的方程为________．解析：由题可设直线AB的斜率为k.由圆的知识可知：CP⊥AB.所以kCP·k＝－1.又kCP＝eq\f(1－0,3－2)＝1⇒k＝－1.所以直线AB的方程为y－1＝－(x－3)，即x＋y－4＝0.答案：x＋y－4＝04．已知M(0，4)，N(－6，0)，若动点P满足PM⊥PN，则动点P的轨迹方程是________．解析：由于PM⊥PN，所以动点P的轨迹是以线段MN为直径的圆(不包括端点M，N)，其圆心为线段MN的中点(－3，2)，直径|MN|＝eq\r(36＋16)＝2eq\r(13)，于是半径等于eq\r(13)，故轨迹方程为(x＋3)2＋(y－2)2＝13(x≠0，且x≠－6)．答案：(x＋3)2＋(y－2)2＝13(x≠0，且x≠－6)5．在平面直角坐标系xOy中，设二次函数f(x)＝x2＋2x＋b(x∈R)的图像与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C.(1)求实数b的取值范围；(2)求圆C的方程；(3)问圆C是否经过某定点(其坐标与b无关)？请证明你的结论．解：(1)令x＝0，得抛物线与y轴交点是(0，b)；令f(x)＝x2＋2x＋b＝0，由题意b≠0且Δ>0，解得b<1且b≠0.(2)设所求圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，令y＝0得x2＋Dx＋F＝0，这与x2＋2x＋b＝0是同一个方程，故D＝2，F＝b.令x＝0得y2＋Ey＋F＝0，此方程有一个根为b，代入得出E＝－b－1.所以圆C的方程为x2＋y2＋2x－(b＋1)y＋b＝0.(3)圆C必过定点(0，1)和(－2，1)．证明如下：x2＋y2＋2x－(b＋1)y＋b＝0可化为x2＋y2＋2x－y＋b(1－y)＝0，因为过定点，则与b无关，即y＝1代入上式可得x＝0或x＝－2.所以圆C必过定点(0，1)，(－2，1)．6．(选做题)已知Rt△AOB中，|OB|＝3，|AB|＝5，点P是△AOB内切圆上一点，求以|PA|，|PB|，|PO|为直径的三个圆面积之和的最大值与最小值．解：如图，建立平面直角坐标系，使A，B，O三点的坐标分别为A(4，0)，B(0，3)，O(0，0)．设P(x，y)，内切圆半径为r，则有|OA|·r＋|OB|·r＋|AB|·r＝|OA||OB|，所以r＝1.故内切圆的方程是(x－1)2＋(y－1)2＝1，化简为x2＋y2－2x－2y＋1＝0.①又|PA|2＋|PB|2＋|PO|2＝(x－4)2＋y2＋x2＋(y－3)2＋x2＋y2＝3x2＋3y2－8x－6y＋25.②由①可知x2＋y2－2y＝2x－1.将其代入②，则有|PA|2＋|PB|2＋|PO|2＝3(2x－1)－8x＋25＝－2x＋22，因为x∈[0，2]，故|PA|2＋|PB|2＋|PO|2的最大值为22，最小值为18，三个圆面积之和，S＝πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|PA|,2)))eq\s\up12(2)＋πeq\b\lc\