预习04平面向量基本定理及加减数乘运算的坐标表示（八大考点）

预习04平面向量基本定理及加减、数乘运算的坐标表示一、平面向量基本定理1.平面向量基本定理:如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量，有且只有一对实数，使.2.基底:我们把不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一个基底,记作3.对平面向量基本定理的理解（1）基底不唯一，只要是同一平面内的两个不共线向量都可以作为基底．同一非零向量在不同基底下的分解式是不同的．（2）基底给定时，分解形式唯一．是被唯一确定的数值．二、平面向量的坐标表示（1）平面向量的正交分解:把一个平面向量分解为两个互相垂直的向量.（2）基底:在平面直角坐标系中,分别取与轴、y轴方向相同的两个单位向量作为基底.（3）坐标:对于平面内的任意一个向量,有且仅有一对实数x,y,使得，则有序数对叫做向量的坐标.（4）坐标表示.（5）特殊向量的坐标:三、平面向量加减运算、数乘运算的坐标表示设向量则有下表文字描述符号表示加法两个向量和的坐标等于这两个向量相应坐标的和减法两个向量差的坐标等于这两个向量相应坐标的差数乘实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标向量的坐标一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标已知,则四、平面向量共线的坐标表示（1）条件:,其中；（2）结论:当且仅当时,向量共线.考点01基底的概念及辨析【方法点拨】（1）两个向量能否作为一组基底,关键是看这两个向量是否共线.若共线,则不能作基底,反之,则可作基底；（2）一个平面的基底一旦确定,那么平面上任意一个向量都可以由这组基底唯一线性表示出来.【例1】下列说法错误的是（

）A．一条直线上的所有向量均可以用与其共线的某个非零向量表示B．平面内的所有向量均可以用此平面内的任意两个向量表示C．平面上向量的基底不唯一D．平面内的任意向量在给定基底下的分解式唯一【答案】B【分析】根据共线向量的性质和基底的性质，结合平面向量基本定理逐一判断即可.【详解】由共线向量的性质可知选项A正确；根据平面向量基本定理可知：平面内的所有向量均可以用此平面内的任意两个不共线的向量表示，所以选项B不正确；根据平面向量基本定理可知中：选项C、D都正确，故选：B【例2】已知，是不共线的非零向量，则以下向量可以作为基底的是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】C【分析】由零向量与任意向量共线判断A，根据判断B，设，建立方程，根据方程解的情况判断C，根据判断D.【详解】对于A：零向量与任意向量均共线，所以此两个向量不可以作为基底；对于B：因为，，所以，所以此两个向量不可以作为基底；对于C：设，即，则，所以无解，所以此两个向量不共线，可以作为一组基底；对于D：设，，所以，所以此两个向量不可以作为基底；故选：C.【变式11】（多选）下列命题中是假命题的为（

）A．已知向量，则，可以作为某一平面内所有向量的一个基底B．若，共线，则C．已知是平面的一个基底，若，则也是该平面的一个基底D．若，，三点共线，则【答案】AB【分析】A中，共线向量有可能有零向量，所以不能作为基底，判断A的真假；B中，共线向量不一定相等，判断B的真假；C中，由向量的基底的定义及向量的基本性质，可得，不共线，判断C的真假；D中，由三点共线的性质可判断D的真假．【详解】A中，若或中至少一个为零向量时，，就不能作为基底，所以A不正确；B中，若，共线，而，的方向不一定相同，且模长也不一定相等，所以B不正确；C中，因为是平面的一个基底，则与不共线，而，所以，不共线，所以可以作为该平面的基底，所以C正确；D中，由题得得，，即，即，即，所以D正确；故选：AB．【变式12】设是平面内所有向量的一个基底，则下列不能作为基底的是（

）A．和 B．和C．和 D．和【答案】C【分析】只要两个向量不共线，便可作为平面内的一组基底，从而判断哪组向量共线即可.【详解】对于A，令，则，不存在，，不共线，可以作为基底，A错误；对于B，令，则，不存在，，不共线，可以作为基底，B错误；对于C，，和共线，不能作为一组基底，C正确；对于D，令，则，不存在，，不共线，可以作为基底，D错误.故选：C.【变式13】（多选）如图所示，设是平行四边形的两条对角线的交点，给出下列向量组，其中可作为该平面内所有向量的基底的是（

）A．与 B．与 C．与 D．与【答案】BC【分析】根据平面向量基底的定义，结合平行四边形的性质逐一判断即可.【详解】A项中与共线，D项中与共线，B，C项中两向量不共线，故选：BC考点02用基底表示向量【方法点拨】用基底表示向量的两种方法：（1）运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行转化,直至用基底表示为止；（2）通过列向量方程或方程组的形式,利用基底表示向量的唯一性求解.【例3】在中，点D，E分别是，的中点，记，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据题意，由平面向量的线性运算，代入计算，即可得到结果.【详解】由题意可知，，．两式相减，得，所以．故选：D．【例4】在中，点为边中点，点在线段上，且，若，，则为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先以为基底表示出和，然后消去可得.【详解】因为点为边中点，，所以，消去得，即.故选：A.【变式21】已知D，E分别为的边BC，AC的中点，且，，则为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据题意可得，，结合中线的性质运算求解即可.【详解】因为，，且，，可得，，所以，整理得．故选：C．【变式22】如图，在直角梯形中，为上靠近的三等分点，交于．(1)用和表示；(2)求证：．【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）根据已知条件可得，，再结合向量的加减法和平面向量基本定理可求得结果；（2）由题意可得，再结合和三点共线，可求出，从而可证得结论.【详解】（1），，又为上靠近的三等分点，，；（2）交于，，由（1）知．．三点共线，，解得，．即【变式23】已知为等边三角形，分别以CA，CB为边作正六边形，如图所示，则（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】选取为基底，表示出，结合平行向量基本定理设，即可求解.【详解】选取为基底，，，，设，，，即.故选：A考点03平面向量基本定理的应用【例5】如图，与的面积之比为2，点P是区域内任意一点（含边界），且，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据题意，将图形特殊化，设垂直平分于点，的，当点与点重合和点与点重合时，分别求得的最值，即可求解.【详解】根据题意，将图形特殊化，设垂直平分于点，因为与的面积之比为2，则，当点与点重合时，可得，此时，即的最小值为；当点与点重合时，可得，此时，即，此时为最大值为，所以的取值范围为.故选：C.【例6】如图，是等边三角形，D在线段BC上，且，E为线段AD上一点，若与的面积相等，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据题意，可得E为AD中点，根据向量的线性运算法则，即可得答案.【详解】∵D在线段BC上，且，∴，又E为线段AD上一点，若与的面积相等，∴，则E为AD的中点，又，，所以，故选：D【变式31】如图，在中，，过点的直线分别交直线于不同的两点，记，用表示；设，若，则的最小值为．【答案】【分析】利用平面向量的线性运算、用基底表示向量，结合基本不等式即可求解.【详解】由题知，，即.由，，所以，因为、、三点共线，所以，所以，当且仅当，即时等号成立.故答案为：；【变式32】已知P是内部一点，且，则面积之比为（

）A．1：3：5 B．5：3：1 C．1：9：25 D．25：9：1【答案】B【分析】如图，根据平面向量的基本定理可得，进而得出和的高之间的关系，则，同理可得、，即可得出结果.【详解】设的面积为，由，得，有，又，令，则三点共线，且，即点在上，且，所以以为底，的高为的，故，同理可得，，所以.故选：B【变式33】在中，已知在线段上，且，设．(1)用向量表示；(2)若，求．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据向量基本定理求出答案；（2）先求出，结合（1）中所求的，利用向量数量积公式求出的值.【详解】（1）因为，所以，由题得；（2）由已知得，．考点04求点或向量的坐标【方法点拨】（1）求一个点的坐标,可以转化为求该点相对于坐标原点的位置的坐标；（2）求一个向量的坐标时,可以首先求出这个向量的始点坐标和终点坐标,再运用终点坐标减去始点坐标得到该向量的坐标.【例7】已知，，平面向量的坐标是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由向量的坐标运算求解．【详解】由已知，故选：D．【例8】若，点的坐标为，则点的坐标为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用向量的坐标计算公式可求点的坐标.【详解】设，故，而，故，故，故，故选：A.【变式41】已知向量，将向量绕原点O沿逆时针方向旋转到的位置，则点的横坐标为（

）A． B． C．0 D．1【答案】C【分析】先确定向量与轴正方向的夹角，再利用旋转的角度可求答案.【详解】因为，所以向量与轴正方向的夹角为，向量绕原点O沿逆时针方向旋转到的位置，则与轴正方向的夹角为，此时点在轴上，点的横坐标为0.故选：C.【变式42】设为一组标准正交基，已知，，．若，求在基下的坐标．【答案】．【分析】根据向量基本定理和向量坐标化即可得到答案.【详解】因为，又，所以．因此在基下的坐标为．【变式43】如图，已知，，，，求向量，，，的坐标．【答案】，，，【分析】根据向量的坐标表示方法直接得解.【详解】，，，．考点05向量线性运算的坐标表示【方法点拨】（1）若已知向量的坐标,则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行；（2）若已知有向线段两端点的坐标,则必须先求出向量的坐标,然后再进行向量的坐标运算；（3）向量的线性坐标运算可类比数的运算进行.【例9】（多选）已知，，下列选项中关于，的坐标运算正确的是（

）A． B．C．若且，则 D．【答案】BD【分析】利用平面向量的坐标运算，逐项计算判断即得.【详解】向量，，则，A错误；，B正确；令为坐标原点，则，点，C错误；，D正确.故选：BD【例10】已知点，向量，，点是线段的三等分点，则点的坐标是（

）A． B． C．或 D．或【答案】C【分析】根据向量的坐标运算求解，注意三等分点有两种可能.【详解】因为，，可得，又因为点是线段的三等分点，则或，所以或，即点的坐标为或.故选：C.【变式51】若，求【答案】【分析】根据平面向量的坐标表示和加法法则计算出答案.【详解】，.【变式52】已知P，Q分别为的边，的中点，若，，则点C的坐标为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由向量求出的坐标，进而求出点C的坐标.【详解】由P，Q分别为的边，的中点，，得，点为坐标原点，，因此，所以点C的坐标为.故选：A【变式53】已知点，若点是线段中点，则点的坐标为.【答案】【分析】根据题意，得到，结合向量的坐标运算与表示，即可求解.【详解】由题意知，点，且，因为点是线段中点，可得，所以点的坐标为.故答案为：.考点06利用线性运算的坐标表示解决几何问题【例11】已如点，，，则以，，为顶点的平行四边形的第四个顶点的一个坐标可以是.【答案】或或（写出一个即可）【分析】分三种情况①；②；③，利用平行四边形一组对边平行且相等借助向量相等即可求解.【详解】设点，以为顶点的平行四边形可以有三种情况：①若四边形为时，因为，可得，由，可得，解得，即；②若四边为，因为，可得，由，可得，解得，即；③若四边形为时，因为，可得，由，可得，解得，即.综上可得，点的坐标为或或.故答案为：（答案不唯一）【例12】（多选）已知在平面直角坐标系中，点，.当是线段的一个三等分点时，点的坐标为（

）A． B． C． D．【答案】AD【分析】设，则，然后分点P靠近点，靠近点两种情况，利用平面向量的线性运算求解.【详解】设，则，当点P靠近点时，，则，解得，所以，当点P靠近点时，，则，解得，所以，故选：AD【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.【变式61】已知在平行四边形中，对角线与相交于点则【答案】【分析】根据平面向量的坐标运算可求，再由平行四边形的性质可求.【详解】因为所以.所以.故答案为:.【变式62】在中，顶点的坐标为，边的中点的坐标为，则的重心坐标为．【答案】【分析】设的重心为，则，即可得到方程组，解得即可.【详解】解：设的重心为，则，因为，，所以，即，解得，即，即的重心坐标为.故答案为：【变式63】校考期末）已知，，点在线段的延长线上，且，则点的坐标为.【答案】【分析】由向量共线的坐标运算求解.【详解】点在线段的延长线上，与方向相反，由，则有，设，则，即，解得，故点的坐标为.故答案为：考点07向量共线的坐标表示【方法点拨】利用向量共线的坐标表达式直接求解.【例13】已知向量，，则与向量共线的向量的坐标可以是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据条件求出向量的坐标，再结合向量共线的坐标公式逐项计算判断即可.【详解】因为，，所以，对选项A：因为，所以两向量共线，A正确；对选项B：因为，所以两向量不共线，B错误；对选项C：因为，所以两向量不共线，C错误；对选项D：因为，所以两向量不共线，D错误；故选：A.【例14】已知向量，，若，则（

）A．8 B． C． D．【答案】B【分析】由平面向量平行的充要条件即可得解.【详解】因为，所以，所以.故选：B.【变式71】设向量，若，则实数m的值为（

）A． B．2 C． D．【答案】D【分析】利用向量线性运算的坐标表示，再结合向量共线的坐标表示求解即得.【详解】向量，则，由，得，解得，所以实数m的值为.故选：D【变式72】（多选）下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是（

）A． B．C． D．【答案】ABC【分析】判断两个平面向量能否构成平面的基底，只需判断它们是否共线即可，不共线才能作为平面的基底.【详解】能作为平面内的基底，须使两向量与不平行，若，则，故只需判断选项中的两向量的坐标是否满足即得.对于A选项，因，∴与不平行，故A项正确；对于B选项，，∴与不平行，故B项正确；对于C选项，，∴与不平行，故C项正确；对于D选项，，∴，故D项错误.故选：ABC.【变式73】已知向量，，.若与平行，则的值为.【答案】/【分析】利用向量的坐标运算，结合向量共线的坐标表示，列式计算即得.【详解】向量，，则，而，且与平行，因此，解得，所以的值为.故答案为：考点08由坐标解决三点共线问题【方法点拨】（1）三点共线问题的实质是向量共线问题.两个向量共线只需满足方向相同或相反,两个向量共线与两个向量平行是一致的；（2）利用向量平行证明三点共线需分两步完成:①证明向量平行;②证明两个向量有公共点【例15】已知，，三点共线，则.【答案】/【分析】由平面向量基本定理可知，若三点共线，则存在唯一的实数使得，利用等量关系计算的值.【详解】若三点共线，则存在唯一的实数使得，所以，则，即，则.故答案为：【例16】设，，，其中，，为坐标原点，若，，三点共线，则，的最小值为.【答案】2【分析】由题意求得，根据三点共线可得向量共线，利用向量共线的条件可得的值，将化为，展开后利用基本不等式即可求得答案.【详解】由，，可得，由于，，三点共线，故共线，所以，即，则，当且仅当，结合，即时取等号，故答案为：2；【变式81】判断下列各组三点是否共线：(1)，，；(2)，，；(3)，，.【答案】(1)A，B，C三点不共线.(2)D，E，F三点共线(3)G，H，L三点共线【分析】根据点的坐标确定向量的坐标，再根据向量共线定理即可判断.【详解】（1）因为，所以，所以与不共线，所以A，B，C三点不共线.（2）因为，所以，因为直线DE与DF有公共点D，所以D，E，F三点共线.（3）因为，所以，因为直线GH与GL有公共点G，所以G，H，L三点共线.【变式82】在中，已知点，，与交于点，则点的坐标为.【答案】【分析】将相交条件转化为向量共线建立点坐标满足的方程组，求解即可.【详解】因为点，，所以，.设，则，而，因为三点共线，所以与共线，所以，即.而，，因为三点共线，所以与共线，所以，即.由，得，所以点M的坐标为.故答案为：.【变式83】已知点A(x，0)，B(2x，1)，C(2，x)，D(6，2x).（1）求实数x的值，使向量共线;（2）当向量共线时，点A，B，C，D是否在一条直线上?【答案】（1）x=±2；（2）四点在一条直线上.【分析】(1)根据平面向量共线的坐标表示即可求出参数x；(2)分类讨论x的取值情况，结合共线向量的坐标表示即可判断四点共线.【详解】解（1）=(x，1)，=(4，x).∵，∴x2=4，x=±2.（2）由已知得=(22x，x1)，当x=2时，=(2，1)，=(2，1)，∴不平行，此时A，B，C，D不在一条直线上.当x=2时，=(6，3)，=(2，1)，∴，此时A，B，C三点共线.又，∴A，B，C，D四点在一条直线上.综上，当x=2时，A，B，C，D四点在一条直线上.一、单选题1．在中，，点为的中点，设，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据平面向量线性运算的几何意义，结合平面向量基本定理进行求解即可.【详解】因为，点为的中点，所以.故选：A.2．下列各组向量中，可以作为基底的是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】C【分析】根据基底需为不共线的非零向量，由此依次判断各个选项即可.【详解】对于A，，不可以作为基底，A错误；对于B，，共线，不可以作为基底，B错误；对于C，与为不共线的非零向量，可以作为一组基底，C正确；对于D，，共线，不可以作为基底，D错误.故选：C3．若向量，，，则可用向量，表示为（）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据向量基本定理，设，代入计算得到方程组，解出即可.【详解】设，即，则有，解得，则.故选：A.4．设向量，，，其中O为坐标原点，，，若A，B，C三点共线，则的最小值为（

）A．4 B．6 C．8 D．9【答案】A【分析】根据向量共线定理可得，再应用基本不等式“1”的代换求的最小值，注意等号成立条件.【详解】由题设，，，A，B，C三点共线，∴且，则，可得，∴，当且仅当时等号成立.∴的最小值为.故选：A5．若是平面内两个不共线的向量，则下列说法中正确的是（

）A．不可以表示平面内的所有向量；B．对于平面中的任一向量，使的实数有无数多对；C．若均为实数，且向量与共线，则有且只有一个实数，使；D．若存在实数使，则.【答案】D【分析】根据平面向量基本定理可以判定ABD，取向量λ+μ与λ2+μ2均为零向量或者λ2+μ2为零向量的特殊情况，可以判定C.【详解】由平面向量基本定理可知，A错误，D正确；对于B：由平面向量基本定理可知，若一个平面的基底确定，那么该平面内的任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的，故B错误；对于C：当两个向量均为零向量时，即λ1=λ2=μ1=μ2=0时，这样的λ有无数个，或当λ1+μ1为非零向量，而λ2+μ2为零向量(λ2=μ2=0)，此时λ不存在，故C错误；故选：D.6．在中，若，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】借助平面向量的线性运算与基本定理即可得.【详解】由，则，则，，故、，故.故选：A.二、多选题7．下列结论正确的是（

）A．一个平面内只有一对不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底B．若，是单位向量)，则C．向量与共线存在不全为零的实数使D．已知A，B，P三点共线，O为直线外任意一点，若则【答案】CD【分析】由平面基底的概念以及平面向量基本定理可判断AB，由共线向量定理可判断CD.【详解】对于A，由平面基底的概念可知，只要不共线的任何两个向量都可以作为平面的一组基底向量，故A错误；对于B，不妨设，，此时有，但不成立，故B错误；对于C，向量共线定理的充要条件可知C正确；对于D，由向量共线定理可知，其中，若则，故D正确.故选：CD.8．下列条件中可以证明三点共线的是（

）A． B．C． D．【答案】ABC【分析】根据向量的加法运算法则结合平面向量共线定理即可判断ABD；根据向量的坐标表示判断是否共线即可判断C.【详解】对于A，，因为，所以，所以，又因为公共端点，所以三点共线；对于B，因为，所以，所以三点共线；对于C，由，得，所以，又因为公共端点，所以三点共线；对于D，由，得，所以，且为相反向量，但不能证明三点共线，如图所示.故选：ABC.9．已知向量，，若向量，则可使成立的可能是（

）A． B． C． D．【答案】AC【分析】设，由平面向量的坐标运算可得用表示，逐项检验看是否满足即可得答案.【详解】设，由向量，，若向量，则，解得，当，时，；当，时，；当，时，；当，时，．故选：AC．三、填空题10．已知点，O为坐标原点，则AC与OB的交点P的坐标为.【答案】(3,3)【分析】法一：利用向量的共线可设，表示出的坐标，根据向量共线列出方程，即可求得答案；法二：设点P(x,y)，进而表示出相关向量的坐标，根据向量共线，列出方程，求得答案.【详解】法一:由O，P，B三点共线，可设,则,又，由共线，得，解得，所以,所以点P的坐标为(3,3),故答案为：法二:设点P(x,y)，则，因为，且与共线，所以，即x=y.又，，且共线，所以，解得x=y=3，所以点P的坐标为(3,3)，故答案为：11．已知点，若向量与的方向相