江苏省南京市建邺区2023-2024学年九年级数学第一学期期末学业水平测试试题含解析

江苏省南京市建邺区2023-2024学年九年级数学第一学期期末学业水平测试试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题（每题4分，共48分）1．如图，在△ABC中，点D、E分别在边BA、CA的延长线上，=2，那么下列条件中能判断DE∥BC的是（）A． B． C． D．2．如图是一根空心方管，它的俯视图是（）A． B． C． D．3．二次函数y＝x2的图象向左平移1个单位，再向下平移3个单位后，所得抛物线的函数表达式是（）A．y＝+3 B．y＝+3C．y＝﹣3 D．y＝﹣34．如图，已知矩形的面积是，它的对角线与双曲线图象交于点，且，则值是（）A． B． C． D．5．如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，∠ABC的平分线交AD于点F，若BF＝12，AB＝10，则AE的长为（）A．10 B．12 C．16 D．186．下列图形中是中心对称图形又是轴对称图形的是（）A． B． C． D．7．某校校园内有一个大正方形花坛，如图甲所示，它由四个边长为3米的小正方形组成，且每个小正方形的种植方案相同．其中的一个小正方形ABCD如图乙所示，DG=1米，AE=AF=x米，在五边形EFBCG区域上种植花卉，则大正方形花坛种植花卉的面积y与x的函数图象大致是（）A． B． C． D．8．如图，△ABC的边AC与⊙O相交于C、D两点，且经过圆心O，边AB与⊙O相切，切点为B．已知∠A=30°，则∠C的大小是（）A．30° B．45° C．60° D．40°9．如图所示，已知为的直径，直线为圆的一条切线，在圆周上有一点，且使得，连接，则的大小为()A． B． C． D．10．把二次函数y＝﹣（x+1）2﹣3的图象沿着x轴翻折后，得到的二次函数有（）A．最大值y＝3 B．最大值y＝﹣3 C．最小值y＝3 D．最小值y＝﹣311．一个几何体由大小相同的小方块搭成，从上面看到的几何体的形状图如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数，则从正面看到几何体的形状图是（）A． B． C． D．12．如图，直线////，若AB＝6，BC＝9，EF＝6，则DE＝（）A．4 B．6 C．7 D．9二、填空题（每题4分，共24分）13．边长为4cm的正方形ABCD绕它的顶点A旋转180°，顶点B所经过的路线长为（______）cm．14．方程(x﹣1)(x+2)＝0的解是______．15．如图，沿倾斜角为30°的山坡植树，要求相邻两棵树间的水平距离AC为2m，那么相邻两棵树的斜坡距离AB约为________m．（结果精确到0.1m）16．矩形的一条对角线长为26，这条对角线与矩形一边夹角的正弦值为，那么该矩形的面积为___.17．某工厂去年10月份机器产量为500台，12月份的机器产量达到720台，设11、12月份平均每月机器产量增长的百分率为x，则根据题意可列方程_______________18．反比例函数y＝的图象经过（1，y1），（3，y1）两点，则y1_____y1．（填“＞”，“＝”或“＜”）三、解答题（共78分）19．（8分）已知二次函数（、为常数）的图像经过点和点.（1）求、的值；（2）如图1，点在抛物线上，点是轴上的一个动点，过点平行于轴的直线平分，求点的坐标；（3）如图2，在（2）的条件下，点是抛物线上的一动点，以为圆心、为半径的圆与轴相交于、两点，若的面积为，请直接写出点的坐标.20．（8分）如下图1，将三角板放在正方形上，使三角板的直角顶点与正方形的顶点重合，三角板的一边交于点．另一边交的延长线于点．（1）观察猜想：线段与线段的数量关系是；（2）探究证明：如图2，移动三角板，使顶点始终在正方形的对角线上，其他条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明：若不成立．请说明理由：（3）拓展延伸：如图3，将（2）中的“正方形”改为“矩形”，且使三角板的一边经过点，其他条件不变，若、，求的值．21．（8分）如图，已知直线y＝﹣2x+4分别交x轴、y轴于点A、B，抛物线y＝﹣2x2+bx+c过A，B两点，点P是线段AB上一动点，过点P作PC⊥x轴于点C，交抛物线于点D，抛物线的顶点为M，其对称轴交AB于点N．（1）求抛物线的表达式及点M、N的坐标；（2）是否存在点P，使四边形MNPD为平行四边形？若存在求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．22．（10分）在2019年国庆期间，王叔叔的服装店进回一种女装，进价为400元，他首先在进价的基础上增加100元，由于销量非常好，他又连续两次涨价，结果标价比进价的2倍还多45元，求王叔叔这两次涨价的平均增长率是百分之多少？23．（10分）如图，已知二次函数G1：y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象过点（﹣1，0）和（0，3），对称轴为直线x＝1．（1）求二次函数G1的解析式；（2）当﹣1＜x＜2时，求函数G1中y的取值范围；（3）将G1先向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到新二次函数G2，则函数G2的解析式是．（4）当直线y＝n与G1、G2的图象共有4个公共点时，直接写出n的取值范围．24．（10分）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，A点的坐标为（3，0），以OA为边作等边三角形OAB，点B在第一象限，过点B作AB的垂线交x轴于点C．动点P从O点出发沿着OC向点C运动，动点Q从B点出发沿着BA向点A运动，P，Q两点同时出发，速度均为1个单位/秒．当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止．设运动时间为t秒．（1）求线段BC的长；（2）过点Q作x轴垂线，垂足为H，问t为何值时，以P、Q、H为顶点的三角形与△ABC相似；（3）连接PQ交线段OB于点E，过点E作x轴的平行线交线段BC于点F．设线段EF的长为m，求m与t之间的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围．25．（12分）已知：如图，C，D是以AB为直径的⊙O上的两点，且OD∥BC．求证：AD=DC．26．某市某幼儿园“六一”期间举行亲子游戏，主持人请三位家长分别带自己的孩子参加游戏．主持人准备把家长和孩子重新组合完成游戏，A、B、C分别表示三位家长，他们的孩子分别对应的是a、b、c．（1）若主持人分别从三位家长和三位孩子中各选一人参加游戏，恰好是A、a的概率是多少（直接写出答案）?（2）若主持人先从三位家长中任选两人为一组，再从孩子中任选两人为一组，四人共同参加游戏，恰好是两对家庭成员的概率是多少．（画出树状图或列表）

参考答案一、选择题（每题4分，共48分）1、D【分析】只要证明，即可解决问题．【详解】解:A.，可得AE：AC=1：1，与已知不成比例，故不能判定B.，可得AC：AE=1：1，与已知不成比例，故不能判定；C选项与已知的，可得两组边对应成比例，但夹角不知是否相等，因此不一定能判定；D.，可得DE//BC，故选D.【点睛】本题考查平行线的判定，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．2、B【分析】俯视图是从物体的上面看，所得到的图形：注意看到的用实线表示，看不到的用虚线表示．【详解】如图所示：俯视图应该是故选：B．【点睛】本题考查了作图−三视图，解题的关键是掌握看到的用实线表示，看不到的用虚线表示．3、D【分析】先求出原抛物线的顶点坐标，再根据平移，得到新抛物线的顶点坐标，即可得到答案.【详解】∵原抛物线的顶点为（0，0），∴向左平移1个单位，再向下平移1个单位后，新抛物线的顶点为（﹣1，﹣1）．∴新抛物线的解析式为：y＝﹣1．故选：D．【点睛】本题主要考查二次函数图象的平移规律，通过平移得到新抛物线的顶点坐标，是解题的关键.4、D【分析】过点D作DE∥AB交AO于点E，通过平行线分线段成比例求出的长度，从而确定点D的坐标，代入到解析式中得到k的值，最后利用矩形的面积即可得出答案.【详解】过点D作DE∥AB交AO于点E∵DE∥AB∴∵∴∴∴∵点D在上∴∵∴故选D【点睛】本题主要考查平行线分线段成比例及反比例函数，掌握平行线分线段成比例是解题的关键.5、C【解析】先证明四边形ABEF是菱形，得出AE⊥BF，OA=OE，OB=OF=BF=6，由勾股定理求出OA，即可得出AE的长【详解】如图，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DAE=∠AEB，∵∠BAD的平分线交BC于点E，∴∠DAE=∠BAE，∴∠BAE=∠AEB，∴AB=BE，同理可得AB=AF，∴AF=BE，∴四边形ABEF是平行四边形，∵AB=AF，∴四边形ABEF是菱形，AE⊥BF，OA=OE，OB=OF=BF=6，∴OA==8，∴AE=2OA=16；故选C．【点睛】本题考查平行四边形的性质与判定、等腰三角形的判定、菱形的判定和性质、勾股定理等知识；熟练掌握平行四边形的性质，证明四边形ABEF是菱形是解决问题的关键．6、A【分析】根据中心对称图形和轴对称图形的性质对各项进行判断即可．【详解】根据中心对称图形和轴对称图形的性质，只有下图符合故答案为：A．【点睛】本题考查了中心对称图形和轴对称图形，掌握中心对称图形和轴对称图形的定义和性质是解题的关键．7、A【解析】试题分析：S△AEF=AE×AF=，S△DEG=DG×DE=×1×（3﹣x）=，S五边形EFBCG=S正方形ABCD﹣S△AEF﹣S△DEG==，则y=4×（）=，∵AE＜AD，∴x＜3，综上可得：（0＜x＜3）．故选A．考点：动点问题的函数图象；动点型．8、A【解析】根据切线的性质由AB与⊙O相切得到OB⊥AB，则∠ABO=90°，利用∠A=30°得到∠AOB=60°，再根据三角形外角性质得∠AOB=∠C+∠OBC，由于∠C=∠OBC，所以∠C=∠AOB=30°．【详解】解：连结OB，如图，∵AB与⊙O相切，∴OB⊥AB，∴∠ABO=90°，∵∠A=30°，∴∠AOB=60°，∵∠AOB=∠C+∠OBC，而∠C=∠OBC，∴∠C=∠AOB=30°．故选A．【点睛】此题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径；以及圆周角定理：等弧所对的圆周角等于所对圆心角的一半．9、C【分析】连接OB，由题意可知，△COB是等边三角形，即可求得∠C，再由三角形内角和求得∠BAC,最后根据切线的性质和余角的定义解答即可.【详解】解：如图：连接OB∵为的直径∴∠ACB=90°又∵AO=OC∴OB=AC=OC∴OC=OB=BC∴△COB是等边三角形∴∠C=60°∴∠BAC=90°-∠C=30°又∵直线为圆的一条切线∴∠CAP=90°∴=∠CAP-∠BAC=60°故答案为C.【点睛】本题主要考查了圆的性质、等边三角形以及切线的性质等知识点，根据题意说明△COB是等边三角形是解答本题的关键.10、C【分析】根据二次函数图象与几何变换，将y换成-y，整理后即可得出翻折后的解析式，根据二次函数的性质即可求得结论．【详解】把二次函数y＝﹣（x+1）2﹣3的图象沿着x轴翻折后得到的抛物线的解析式为﹣y＝﹣（x+1）2﹣3，整理得：y＝（x+1）2+3，所以，当x＝﹣1时，有最小值3，故选：C．【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，求得翻折后抛物线解析式是解题的关键．11、D【解析】试题分析：根据所给出的图形和数字可得：主视图有3列，每列小正方形数目分别为3，2，3，则符合题意的是D；故选D．考点：1．由三视图判断几何体；2．作图-三视图．12、A【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，代入数值进行计算即可.【详解】解：∵////,∴,∵AB=6，BC=9，EF=6,∴,∴DE=4故选：A【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，找准对应关系是解答此题的关键.二、填空题（每题4分，共24分）13、4π【解析】试题解析：∵边长为4cm的正方形ABCD绕它的顶点A旋转180°，顶点B所经过的路线是一段弧长，

弧长是以点A为圆心，AB为半径，圆心角是180°的弧长，

∴根据弧长公式可得：=4π．

故选A．14、1、﹣1【分析】试题分析：根据几个式子的积为0，则至少有一个式子为0，即可求得方程的根.【详解】（x﹣1）（x+1）=0x-1=0或x+1=0解得x=1或-1．考点：解一元二次方程点评：本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握解一元二次方程的方法，即可完成.15、2.3【解析】AB是Rt△ABC的斜边，这个直角三角形中，已知一边和一锐角，满足解直角三角形的条件，可求出AB的长．【详解】在Rt△ABC中,∴∴即斜坡AB的长为2.3m.故答案为2.3.【点睛】考查解直角三角形的实际应用，熟练掌握锐角三角函数是解题的关键.16、240【分析】由矩形的性质和三角函数求出AB，由勾股定理求出AD，即可得出矩形的面积．【详解】解：如图所示：∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD=90°，AC=BD=26，∵，∴，∴，∴该矩形的面积为：；故答案为：240.【点睛】本题考查了矩形的性质、勾股定理、三角函数；熟练掌握矩形的性质，由勾股定理求出AB和AD是解决问题的关键．17、【分析】根据增长率公式即可列出方程.【详解】解：根据题意可列方程为：，故答案为：.【点睛】本题考查一元二次方程的应用——增长率问题.若连续两期增长率相同，那么a(1+x)2=b，其中a为变化前的量，b为变化后的量，增长率为x．18、＞【分析】根据反比例函数的增减性，结合横坐标的大小关系，即可得到答案．【详解】解：∵反比例函数，∴图象在一、三象限，y随着x的增大而减小∵∴故答案是：【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，采用的是利用反比例函数的增减性，结合横坐标的大小关系进行的解答．三、解答题（共78分）19、（1），；（2）；（3）或或【分析】(1)直接把两点的坐标代入二次函数解析式，得出关于b，c的二元一次方程组求解即可(2)过点作，过点作.证明△CMD相似于△AME，再根据对应线段成比例求解即可(3)根据题意设点P的纵坐标为y，首先根据三角形面积得出EF与y的关系，再利用勾股定理得出EF与y的关系，从而得出y的值，再代入抛物线解析式求出x的值，得出点坐标.【详解】解：(1)把和代入得：解方程组得出：所以，，(2)由已知条件得出C点坐标为，设.过点作，过点作.两个直角三角形的三个角对应相等，∴∴∴∵解得：∴(3)设点P的纵坐标为y,由题意得出，，∵MP与PE都为圆的半径，∴MP=PE∴整理得出，∴∵∴y=1,∴当y=1时有，，解得，；∴当y=-1时有，，此时，x=0∴综上所述得出P的坐标为：或或【点睛】本题是一道关于二次函数的综合题目，考查的知识点有二元一次方程组的求解、相似三角形的性质等，巧妙利用数形结合是解题的关键.20、（1）；（2）成立，证明过程见解析；（3）.【分析】（1）利用三角形全等的判定定理与性质即可得；（2）如图（见解析），过点分别作，垂足分别为，证明方法与题（1）相同；（3）如图（见解析），过点分别作，垂足分别为，先同（2）求出，从而可证，由相似三角形的性质可得，再根据平行线的性质和相似三角形的性质求出的值，即可得出答案.【详解】（1），理由如下：由直角三角板和正方形的性质得在和中，；（2）成立，证明如下：如图，过点分别作，垂足分别为，则四边形是矩形由正方形对角线的性质得，为的角平分线则在和中，；（3）如图，过点分别作，垂足分别为同（2）可知，由长方形性质得：，即在和中，.【点睛】本题考查了正方形的性质、矩形的性质、三角形全等的判定定理与性质、相似三角形的判定定理与性质，较难的是题（3），通过作辅助线，构造两个相似三角形是解题关键.21、（1）y＝﹣2x2+2x+4，M，N，（2）存在，P．【分析】（1）先由直线解析式求出A，B的坐标，再利用待定系数法可求出抛物线解析式，可进一步化为顶点式即可写出顶点M的坐标并求出点N坐标；（2）先求出MN的长度，设点P的坐标为（m，﹣2m+4），用含m的代数式表示点D坐标，并表示出PD的长度，当PD＝MN时，列出关于m的方程，即可求出点P的坐标．【详解】（1）∵直线y＝﹣2x+4分别交x轴，y轴于点A，B，∴A（2，0），B（0，4），把点A（2，0），B（0，4）代入y＝﹣2x2+bx+c，得，解得，，∴抛物线的解析式为：y＝﹣2x2+2x+4＝﹣2（x﹣）2+，∴顶点M的坐标为（，），当x＝时，y＝﹣2×+4＝3，则点N坐标为（，3）；（2）存在点P，理由如下：MN＝﹣3＝，设点P的坐标为（m，﹣2m+4），则D（m，﹣2m2+2m+4），∴PD＝﹣2m2+2m+4﹣（﹣2m+4）＝﹣2m2+4m，∵PD∥MN，∴当PD＝MN时，四边形MNPD为平行四边形，即﹣2m2+4m＝，解得，m1＝，m2＝（舍去），∴此时P点坐标为（，1）．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，平行四边形的存在性等，解题关键是要熟练掌握平行四边形的性质并能够灵活运用．22、【分析】设甲卖家这两次涨价的平均增长率为x，则首次标价为500（1+x），二次标价为500（1+x）（1+x）即500（1+x）2，据此即可列出方程．【详解】解：设王叔叔这两次涨价的平均增长率为x，根据题意得，解之得，，（不符合题意，故舍去）∴王叔叔这两次涨价的平均增长率为【点睛】本题考查了一元二次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．23、（1）二次函数G1的解析式为y＝﹣x2+2x+3；（2）0＜y≤4；（3）y＝﹣（x﹣4）2+2；（4）n的取值范围为＜n＜2或n＜．【分析】（1）由待定系数法可得根据题意得解得，则G1的解析式为y＝﹣x2+2x+3;(2)将解析式化为顶点式，即y＝﹣（x﹣1）2+4，当x＝﹣1时，y＝0；x＝2时，y＝3；而抛物线的顶点坐标为（1，4），且开口向下，所以当﹣1＜x＜2时，0＜y≤4；（3）G1先向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到新二次函数G2，则函数G2的解析式是y＝﹣（x﹣1﹣3）2+4﹣2，即y＝﹣（x﹣4）2+2，故答案为y＝﹣（x﹣4）2+2；（4）解﹣（x﹣4）2+2═﹣（x﹣1）2+4得x＝，代入y＝﹣（x﹣1）2+4求得y＝，由图象可知当直线y＝n与G1、G2的图象共有4个公共点时，n的取值范围为＜n＜2或n＜．【详解】解：（1）根据题意得解得，所以二次函数G1的解析式为y＝﹣x2+2x+3；（2）因为y＝﹣（x﹣1）2+4，所以抛物线的顶点坐标为（1，4）；当x＝﹣1时，y＝0；x＝2时，y＝3；而抛物线的顶点坐标为（1，4），且开口向下，所以当﹣1＜x＜2时，0＜y≤4；（3）G1先向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到新二次函数G2，则函数G2的解析式是y＝﹣（x﹣1﹣3）2+4﹣2，即y＝﹣（x﹣4）2+2，故答案为y＝﹣（x﹣4）2+2．（4）解﹣（x﹣4）2+2═﹣（x﹣1）2+4得x＝，代入y＝﹣（x﹣1）2+4求得y＝，由图象可知当直线y＝n与G1、G2的图象共有4个公共点时，n的取值范围为＜n＜2或n＜．【点睛】本题的考点是二次函数的综合应用.方法是根据题意及二次函数图像的性质解题.