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文档简介
江苏省南通市如东县2024届高三第二次诊断性检测数学试卷注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知函数,若函数的极大值点从小到大依次记为,并记相应的极大值为,则的值为()A. B. C. D.2.函数在上的大致图象是()A. B.C. D.3.如图所示的程序框图输出的是126,则①应为()A. B. C. D.4.已知三点A(1,0),B(0,),C(2,),则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为()A. B.C. D.5.已知函数的部分图象如图所示,则()A. B. C. D.6.在中,,则=()A. B.C. D.7.数列{an},满足对任意的n∈N+,均有an+an+1+an+2为定值.若a7=2,a9=3,a98=4,则数列{an}的前100项的和S100=()A.132 B.299 C.68 D.998.台球是一项国际上广泛流行的高雅室内体育运动,也叫桌球(中国粤港澳地区的叫法)、撞球(中国地区的叫法)控制撞球点、球的旋转等控制母球走位是击球的一项重要技术,一次台球技术表演节目中,在台球桌上,画出如图正方形ABCD,在点E,F处各放一个目标球,表演者先将母球放在点A处,通过击打母球,使其依次撞击点E,F处的目标球,最后停在点C处,若AE=50cm.EF=40cm.FC=30cm,∠AEF=∠CFE=60°,则该正方形的边长为()A.50cm B.40cm C.50cm D.20cm9.复数满足(为虚数单位),则的值是()A. B. C. D.10.已知抛物线的焦点为,对称轴与准线的交点为,为上任意一点,若,则()A.30° B.45° C.60° D.75°11.已知四棱锥中,平面,底面是边长为2的正方形,,为的中点,则异面直线与所成角的余弦值为()A. B. C. D.12.已知正方体的棱长为2,点为棱的中点,则平面截该正方体的内切球所得截面面积为()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.在中,、的坐标分别为,,且满足,为坐标原点,若点的坐标为,则的取值范围为__________.14.已知曲线,点,在曲线上,且以为直径的圆的方程是.则_______.15.己知函数,若关于的不等式对任意的恒成立,则实数的取值范围是______.16.(5分)已知,且,则的值是____________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)某商场举行有奖促销活动,顾客购买每满元的商品即可抽奖一次.抽奖规则如下:抽奖者掷各面标有点数的正方体骰子次,若掷得点数大于,则可继续在抽奖箱中抽奖;否则获得三等奖,结束抽奖,已知抽奖箱中装有个红球与个白球,抽奖者从箱中任意摸出个球,若个球均为红球,则获得一等奖,若个球为个红球和个白球,则获得二等奖,否则,获得三等奖(抽奖箱中的所有小球,除颜色外均相同).若,求顾客参加一次抽奖活动获得三等奖的概率;若一等奖可获奖金元,二等奖可获奖金元,三等奖可获奖金元,记顾客一次抽奖所获得的奖金为,若商场希望的数学期望不超过元,求的最小值.18.(12分)等差数列中,,,分别是下表第一、二、三行中的某一个数,且其中的任何两个数不在下表的同一列.第一列第二列第三列第一行582第二行4312第三行1669(1)请选择一个可能的组合,并求数列的通项公式;(2)记(1)中您选择的的前项和为,判断是否存在正整数,使得,,成等比数列,若有,请求出的值;若没有,请说明理由.19.(12分)已知函数.(1)讨论的零点个数;(2)证明:当时,.20.(12分)平面直角坐标系中,曲线:.直线经过点,且倾斜角为,以为极点,轴正半轴为极轴,建立极坐标系.(1)写出曲线的极坐标方程与直线的参数方程;(2)若直线与曲线相交于,两点,且,求实数的值.21.(12分)已知函数,直线为曲线的切线(为自然对数的底数).(1)求实数的值;(2)用表示中的最小值,设函数,若函数为增函数,求实数的取值范围.22.(10分)已知函数.(Ⅰ)当时,求不等式的解集;(Ⅱ)若存在满足不等式,求实数的取值范围.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】
对此分段函数的第一部分进行求导分析可知,当时有极大值,而后一部分是前一部分的定义域的循环,而值域则是每一次前面两个单位长度定义域的值域的2倍,故此得到极大值点的通项公式,且相应极大值,分组求和即得【详解】当时,,显然当时有,,∴经单调性分析知为的第一个极值点又∵时,∴,,,…,均为其极值点∵函数不能在端点处取得极值∴,,∴对应极值,,∴故选:C【点睛】本题考查基本函数极值的求解,从函数表达式中抽离出相应的等差数列和等比数列,最后分组求和,要求学生对数列和函数的熟悉程度高,为中档题2、D【解析】
讨论的取值范围,然后对函数进行求导,利用导数的几何意义即可判断.【详解】当时,,则,所以函数在上单调递增,令,则,根据三角函数的性质,当时,,故切线的斜率变小,当时,,故切线的斜率变大,可排除A、B;当时,,则,所以函数在上单调递增,令,,当时,,故切线的斜率变大,当时,,故切线的斜率变小,可排除C,故选:D【点睛】本题考查了识别函数的图像,考查了导数与函数单调性的关系以及导数的几何意义,属于中档题.3、B【解析】试题分析:分析程序中各变量、各语句的作用,再根据流程图所示的顺序,可知:该程序的作用是累加S=2+22+…+2n的值,并输出满足循环的条件.解:分析程序中各变量、各语句的作用,再根据流程图所示的顺序,可知:该程序的作用是累加S=2+22+…+2n的值,并输出满足循环的条件.∵S=2+22+…+21=121,故①中应填n≤1.故选B点评:算法是新课程中的新增加的内容,也必然是新高考中的一个热点,应高度重视.程序填空也是重要的考试题型,这种题考试的重点有:①分支的条件②循环的条件③变量的赋值④变量的输出.其中前两点考试的概率更大.此种题型的易忽略点是:不能准确理解流程图的含义而导致错误.4、B【解析】
选B.考点:圆心坐标5、A【解析】
先利用最高点纵坐标求出A,再根据求出周期,再将代入求出φ的值.最后将代入解析式即可.【详解】由图象可知A=1,∵,所以T=π,∴.∴f(x)=sin(2x+φ),将代入得φ)=1,∴φ,结合0<φ,∴φ.∴.∴sin.故选:A.【点睛】本题考查三角函数的据图求式问题以及三角函数的公式变换.据图求式问题要注意结合五点法作图求解.属于中档题.6、B【解析】
在上分别取点,使得,可知为平行四边形,从而可得到,即可得到答案.【详解】如下图,,在上分别取点,使得,则为平行四边形,故,故答案为B.【点睛】本题考查了平面向量的线性运算,考查了学生逻辑推理能力,属于基础题.7、B【解析】
由为定值,可得,则是以3为周期的数列,求出,即求.【详解】对任意的,均有为定值,,故,是以3为周期的数列,故,.故选:.【点睛】本题考查周期数列求和,属于中档题.8、D【解析】
过点做正方形边的垂线,如图,设,利用直线三角形中的边角关系,将用表示出来,根据,列方程求出,进而可得正方形的边长.【详解】过点做正方形边的垂线,如图,设,则,,则,因为,则,整理化简得,又,得,.即该正方形的边长为.故选:D.【点睛】本题考查直角三角形中的边角关系,关键是要构造直角三角形,是中档题.9、C【解析】
直接利用复数的除法的运算法则化简求解即可.【详解】由得:本题正确选项:【点睛】本题考查复数的除法的运算法则的应用,考查计算能力.10、C【解析】
如图所示:作垂直于准线交准线于,则,故,得到答案.【详解】如图所示:作垂直于准线交准线于,则,在中,,故,即.故选:.【点睛】本题考查了抛物线中角度的计算,意在考查学生的计算能力和转化能力.11、B【解析】
由题意建立空间直角坐标系,表示出各点坐标后,利用即可得解.【详解】平面,底面是边长为2的正方形,如图建立空间直角坐标系,由题意:,,,,,为的中点,.,,,异面直线与所成角的余弦值为即为.故选:B.【点睛】本题考查了空间向量的应用,考查了空间想象能力,属于基础题.12、A【解析】
根据球的特点可知截面是一个圆,根据等体积法计算出球心到平面的距离,由此求解出截面圆的半径,从而截面面积可求.【详解】如图所示:设内切球球心为,到平面的距离为,截面圆的半径为,因为内切球的半径等于正方体棱长的一半,所以球的半径为,又因为,所以,又因为,所以,所以,所以截面圆的半径,所以截面圆的面积为.故选:A.【点睛】本题考查正方体的内切球的特点以及球的截面面积的计算,难度一般.任何一个平面去截球,得到的截面一定是圆面,截面圆的半径可通过球的半径以及球心到截面的距离去计算.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】
由正弦定理可得点在曲线上,设,则,将代入可得,利用二次函数的性质可得范围.【详解】解:由正弦定理得,则点在曲线上,设,则,,又,,因为,则,即的取值范围为.故答案为:.【点睛】本题考查双曲线的定义,考查向量数量积的坐标运算,考查学生计算能力,有一定的综合性,但难度不大.14、【解析】
设所在直线方程为设、点坐标分别为,,都在上,代入曲线方程,两式作差可得,从而可得直线的斜率,联立直线与的方程,由,利用弦长公式即可求解.【详解】因为是圆的直径,必过圆心点,设所在直线方程为设、点坐标分别为,,都在上,故两式相减,可得(因为是的中点),即联立直线与的方程:又,即,即又因为,则有即∴.故答案为:【点睛】本题考查了直线与圆锥曲线的位置关系、弦长公式,考查了学生的计算能力,综合性比较强,属于中档题.15、【解析】
首先判断出函数为定义在上的奇函数,且在定义域上单调递增,由此不等式对任意的恒成立,可转化为在上恒成立,进而建立不等式组,解出即可得到答案.【详解】解:函数的定义域为,且,函数为奇函数,当时,函数,显然此时函数为增函数,函数为定义在上的增函数,不等式即为,在上恒成立,,解得.故答案为.【点睛】本题考查函数单调性及奇偶性的综合运用,考查不等式的恒成立问题,属于常规题目.16、【解析】
由于,且,则,得,则.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、;.【解析】
设顾客获得三等奖为事件,因为顾客掷得点数大于的概率为,顾客掷得点数小于,然后抽将得三等奖的概率为,求出;由题意可知,随机变量的可能取值为,,,相应求出概率,求出期望,化简得,由题意可知,,即,求出的最小值.【详解】设顾客获得三等奖为事件,因为顾客掷得点数大于的概率为,顾客掷得点数小于,然后抽将得三等奖的概率为,所以;由题意可知,随机变量的可能取值为,,,且,,,所以随机变量的数学期望,,化简得,由题意可知,,即,化简得,因为,解得,即的最小值为.【点睛】本题主要考查概率和期望的求法,属于常考题.18、(1)见解析,或;(2)存在,.【解析】
(1)满足题意有两种组合:①,,,②,,,分别计算即可;(2)由(1)分别讨论两种情况,假设存在正整数,使得,,成等比数列,即,解方程是否存在正整数解即可.【详解】(1)由题意可知:有两种组合满足条件:①,,,此时等差数列,,,所以其通项公式为.②,,,此时等差数列,,,所以其通项公式为.(2)若选择①,.则.若,,成等比数列,则,即,整理,得,即,此方程无正整数解,故不存在正整数,使,,成等比数列.若选则②,,则,若,,成等比数列,则,即,整理得,因为为正整数,所以.故存在正整数,使,,成等比数列.【点睛】本题考查等差数列的通项公式及前n项和,涉及到等比数列的性质,是一道中档题.19、(1)见解析(2)见解析【解析】
(1)求出,分别以当,,时,结合函数的单调性和最值判断零点的个数.(2)令,结合导数求出;同理可求出满足,从而可得,进而证明.【详解】解析:(1),,当时,,单调递减,,,此时有1个零点;当时,无零点;当时,由得,由得,∴在单调递减,在单调递增,∴在处取得最小值,若,则,此时没有零点;若,则,此时有1个零点;若,则,,求导易得,此时在,上各有1个零点.综上可得时,没有零点,或时,有1个零点,时,有2个零点.(2)令,则,当时,;当时,,∴.令,则,当时,,当时,,∴,∴,,∴,即.【点睛】本题考查了导数判断函数零点问题,考查了运用导数证明不等式问题,考查了分类的数学思想.本题的难点在于第二问不等式的证明中,合理设出函数,通过比较最值证明.20、(Ⅰ)(t为参数);(Ⅱ)或或.【解析】
试题分析:本题主要考查极坐标方程、参数方程与直角方程的相互转化、直线与抛物线的位置关系等基础知识,考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问,用,化简表达式,得到曲线的极坐标方程,由已知点和倾斜角得到直线的参数方程;第二问,直线方程与曲线方程联立,消参,解出的值.试题解析:(1)即,.(2),符合题意考点:本题主要考查:1.极坐标方程,参数方程与直角方程的相互转化;2.直线与抛物线的位置关系.21、(1);(2).【解析】
试题分析:(1)先求导,然后利用导数等于求出切点的横坐标,代入两个曲线的方程,解方程组,可求得;(2)设与交点的横坐标为,利用导数求得,从而,然后利用求得的取值范围为.试
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