高中数学选修二同步题型全归纳

1数数列的概念4.1【知识目录】1、数列概念2、简单的通项与递推Snan系4、累加法归类5、累积法归类6、周期数列归类7、数列的单调性和最值8、高中联赛题选。一、数列概念1.数列是特殊的函数，如可以把an=3n+1理解成f(n)=3n+12.数列可能具有函数的性质：单调性，周期性，最值等，如例题23.归纳猜想数列的通项公式。如例题3【典型例题】【例1】下面四个结论：①数列可以看作是一个定义在正整数集(或它的有限子集1,2,3,…,n})上的函数；②数列若用图像表示，从图像上看都是一群孤立的点；③数列的项数是无限的；④数列通项的表达式是唯一的．其中正确的是()．2【例2】若数列{an}满足an＝3n，则数列{an}是()A．递增数列B．递减数列C．常数列D．摆动数列【例3】根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式，并在横线上和括号中分别填上第5项的图形和点数．(1)(2)(3)【例4】写出下列数列的一个通项公式．12345 (3),,,,,…；25101726381524【对点实战】32.写出下列数列的一个通项公式．(3)0.8，0.88，0.888，…；3.图中由火柴棒拼成的一列图形中，第n个图形由n个正方形组成：通过观察可以发现：第n个图形中，火柴棒的根数为()AnB．3nCnD．3(n+1)4.下列有关数列的说法正确的是()④数列中的每一项都与它的序号有关．二、简单的通项与递推作为刚学习数列感念，要了解和认识一些简单的递推和通项关系，通过一项一41.三阶递推关系。如例题12.分式型递推关系，如例题23.奇偶常数型递推关系，如例题34.正负相间型递推关系，如例题45.分段型递推关系，如例题56.内外复合型递推关关系，如例题67.前n项和与通项型递推关系，如例题7【典型例题】a 22 29AB．3025C．3010D．3024【例4】在数列{an}中，a1＝，an＝(－1)n·2an－1(n≥2)，则a5等于()(2a,n为正奇数lann(2a,n为正奇数A．第8项B．第10项C12项D．第14项则b6的值是()AB．17CD．65annSnSanSnnN*，则a4=()5ABC．30D．36【对点实战】aaan-1aaaa=10(a=ABCD．64ABCD．-10设数列{an}满足an=〈，则a3=()ABC．7D．95.已知数列恳an}的前n项和Sn=n3，则a5+a6的值为()ABC．218D．271.授课时，要写出详细的如下关系，写到a7再跨越到an1111212221不a=221332不a=33263.注意处检验n=1的情况。如例题1.4.“再写一个作差”是处理sn与an的主要方法之一，如例题25.复杂的“和”数列，可以通过换元来理解，实质依旧是“再写一个作差”的类型，如例6.“前你项积”型，可类比“和”型，一个一个写几项增加理解，如例题4【典型例题】【例1】已知数列{an}的前n项和Sn=n2+n，则an等于()【例2】若Sn为数列{an}的前n项和，且Sn＝2an－2，则an与an－1的关系为()CananD．an＝－an－1D．b=2D．b=2()【对点实战】1.已知数列{an}的前n项和为Sn＝n2，则an等于()7AnB．n2CnD．2n－12.数列an}满足a1+2a2+22a3+…+2n一1an=，则an=()3.若Sn为数列{an}的前n项和，且Sn＝2an－2，则an与an－1的关系为()CananD．an＝－an－1四、累加法：an+1-an=f(n)1.f(n)是常数型。实质是即将学习的等差数列型，如例题15.f(n)是对数型。如例题5，这道题实质也可以裂项。6.换元型累加法，如例题67.更复杂的换元型累加法，如例题7.此题实质是把例题4题换元而来，授课时可以利用更多的更复杂型的数列换元变型，以加深对数列累加法等的例题。【典型例题】【例1】已知a1＝1，an＝an－1＋3(n≥2，n∈N*)，则数列的通项公式为()A．an＝3n＋1B．an＝3nC．an＝3n－2D．an＝3(n－1)例2】已知数列an}满足a1=0,an+1=an+2n，那么a2019的值是()A．20232B．2023×2023C．2023×2023D．2023×2023A．510B．512C．1022D．10248n2nn2nan___________.【对点实战】n2n2得an>t2+mt成立，则实数t的取值范围是________.9((：2.f(n)是分数型，这是累积法的标配型。如例题2。3.反解型型，如例题3。4.隐藏在sn与an关系中的累积法，如例题4【典型例题】)14n2-1111项公式为()Bann【对点实战】式为___________.六、周期数列周期数列一般是递推公式比较复杂，且不在教学和考试范围之内的。1.最常见的是二阶分式型递推，如例题1和2题，两种分式周期2.三阶递推，无常数，一般情况下可能是周期数列，如例题33.分段数列，也可能会有周期性，如例题4【典型例题】 aaAABCD2【例2】数列恳an}满足a1=2，an+1=1-a，其前n项积为Tn，则T10等于()34215555【对点实战】2.已知数列{an}满足a1＝x，a2＝y，且an＋1＝an－an－1(n≥2)，则a2007＝()A．xB．yC．y－xD．－x七、数列单调性和最值数列单调性的判断：2.可以用“差比法”或者“商比法”进行判断，如例题13.也可以用将来学的数学归纳法进行判断4.数列最值，大多数可以归结为函数型来求解。但是要注意它是离散函数。如5.因为数列是离散型函数，所以对于分段数列，要注意两段连接处的关系，如6.当数列通项是各种对应的“函数”时。在离散的基础上寻找函数最值关系，如例题4和5题7.数列通项公式含参，又通过单调西和最值求参，依旧是在“离散”处设置了坑，解题时候要注意这些地方，如例题68.【典型例题】A．递增数列B．递减数列C．摇摆数列D．先增后减数列A．此数列没有最大项B．此数列的最大项是a3C．此数列没有最小项D．此数列的最小项是a2则实数k的取值范围为()．A．第1项B．第3项、第4项C．第4项D．第2项、第3项【对点实战】1.下列数列是递增数列的是()3.在数列恳an}中，an=-2n2+29n+3，则此数列最大项的值是()ABCD．108围是()5.设a∈R，数列{(n－a)2}，(n∈N＋)是递增数列，则a的取值范围是()八、高中联赛、竞赛与自主招生题选1,501,5045,4445,44取值范围是()AB4.1数列的概念(时间：120分钟，分值：150分)选项中，只有一项是符合题目要求的.A．是递增数列B．是递减数列C．是常数列D．单调性与p的值有关an=3n-2，则数列恳an}的图象是()A．一条直线B．一条抛物线C．一个圆D．一群孤立的点a2018+a2019等于()A．14项B．15项C．16项D．17项6.若数列{an}的前n项和Sn＝n2－10n(n∈N*)，则数列{nan}中数值最小的项是()A．第2项B．第3项C项D．第5项2345n2345n242有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列四个选项中，不正确的是()3456nn+1A．数列,3456nn+1B．数列的图象是一群孤立的点111D．数列,，…，是递增数列242n10.数列{an}的通项公式为an＝n＋，则()A．当a＝2时，数列{an}的最小值是a1＝a2＝3B．当a＝－1时，数列{an}的最小值是a1＝0C．当0<a<4时，a不是数列{an}中的项D．当a<2时，{an}为递增数列能的取值为()AB．5CD．32()n2n_1n3，33，333，3333，…的一个通项公式为___________.增数列，则实数a的取值范围是________．a=na=演算步骤.17(10分)(1)求a2、a3，a4；(2)猜想出通项公式an，不需要证明．18.(12分)(1)已知数列{an}满足a1＝－1，an＋1＝an＋，n∈N*，求通项公式an；)设数列{an}中，a1＝1，an＝(1一)an－1(n≥2)，求通项公式an.19.(12分)(1)求a3，a5的值；20.(12分)(1)求这个数列的第10项；(2)是不是该数列中的项，为什么？(3)求证：该数列是递增数列；(4)在区间，))|内有无数列中的项？若有，有几项？若没有，请说明理由．21.(12分)2 在数列{an}中，an＝n2+1.(1)求数列的第7项；(2)求证：此数列的各项都在区间(0,1)内； (3)区间(1,2)内有没有数列中的项？若有，有几项？3322.(12分)等差数等差数列4.2.1【知识目录】1.等差数列的判定与定义2.等差数列的性质及计算3.递推公式之等差数列4.等差数列的函数性质和最值范围5.实际应用题6.等差数列综合应用7.高中联赛、竞赛与自主招生题选一、等差数列的判定与定义1.等差数列判定，可以用定义法an+1an=d。如例题12.等差数列的结构性变化，是否依旧具有等差性质，否定很简单，可以代指否定，否则依旧要用定义来确认。如例题23.判断难点是类似例题3这一类递推型，需要通过构造求出通项公式。通项公式是关于n的一次函数形式，即为等差数列。4.注意多个等差数列的“加减乘除”是否具有等差性质，如例题4和5。一般情况下，以下几条推论成立：(2)若{an}是等差数列，则每隔k项取出一项，am,am+k,am+2k,am+3k,am+4k...依旧是等差数列(跳棋性质)若{an}是等差数列且公差为d，则{a2n}也是等差数列，公差为2d．若{an}是等差数列且公差为d，则{a2n－1＋a2n}也是等差数列，公差为4d．类似这样的规律，可以多举例子(实际授课时，用跳棋来打比方)增加理解，但不要求学生记忆。5.稍微复杂的递推公式，要在鉴别出“累加法”“累积法”以及“周期数列”的特征基础上，可以推导出等差数列的定义形式，如例题6及本专题对点实战中的题。【典型例题】【例1】已知数列{an}是公差不为零的等差数列，则由下列关系确定的数列{bn}也一定是等差数列的是()A．bn=a+1aB．bn=a+1a.1aaC．bn=D．bn=a1aan+1n【例2】下列说法中正确的是()A．若a，b，c成等差数列，则a2,b2,c2成等差数列B．若a，b，c成等差数列，则log2a,log2b,log2c成等差数列Cabc则a+2，b+2，c+2成等差数列，D．若a，b，c成等差数列，则2a,2b,2c成等差数列annA．等差数列B．等比数列C．既是等差数列又是等比数列D．既非等差数列又非等比数列等差数列，则()BhkC．h，k可以是任何实数D．不存在满足条件的实数h和k()AB．-78CD．-82【对点实战】1.下列命题中正确的个数是①若a，b，c成等差数列，则a2，b2，c2一定成等差数列；②若a，b，c成等差数列，则2a，2b，2c可能成等差数列；③若a，b，c成等差数列，则ka+2，kb+2，kc+2一定成等差数列；A．1个B．2个C．3个D．4个A．公差为d的等差数列B．公差为cd+k的等差数列C．非等差数列D．公差为cd的等差数列3.已知数列{an}，c为常数，那么下列说法正确的是Aan数列时，{can}不一定是等差数列B．若{an}不是等差数列时，{can}一定不是等差数列anan20Dcan差数列时，{an}一定不是等差数列n-1n+1nn-1n+1nAB．362C．364D．366二、等差数列的性质及计算1.等差中项既可以作为等差定义用，也可以计算中化简，如例题12.“高斯技巧”：(类比高斯的5050数计算原理，也就是“倒序求和”)若{an}是等差数列，且k＋l＝m＋n(k、l、m、n∈N*)，则__ak＋al＝am＋an_授课时，要讲清：(1)可以三项对三项；(2)可以是相同项。“高斯技巧”实质是广义的等差中项。使用“高斯技巧”，可以快速找出数量关系，避免列方程计算，如例题2和3。3.等差数列可推得如下通项公式及推论：an=am+(n-m)d一d=。此性质，有经典题型，例题4.此处建议授课时，用直线斜率解释。an=kn+b即点(n，an)在直线y=kx+b上。故斜率k满足上式4.等差数列满足等式，既可以设首项和公差列方程计算，也可以通过“高斯技巧”简化来计算，如例题55.等差数列，结合定义，可得经验口诀：“等差数列相同结构式子可作差，等比数列可做【典型例题】【例1】设x是a与b的等差中项，x2是a2与-b2的等差中项，则a，b的关系是()．abA．无实根B．有两个不等实根C．有两个相等实根D．不能确定有无实根ABC．6D．4的值为()aaAB．12CD．4821AB．4041C．4040D．4039【对点实战】1.在等差数列{an}中，a2018＝log27，a2022＝log2，则a2023＝()ABC．1D．492.已知恳an}是等差数列，且a2，a4038是函数f(x)=x2-16x-2020的两个零点，则a2020=()A．14B．15C．16D．174.方程(x2-2x-m)(x2-2x-n)=0有4个不等的实根，且组成一个公差为1的等差数列，则mn的值为()ABCD．4三、递推公式之等差数列许多复杂的递推公式，经过化简构造后，发现是等差数列，实际上，这个递推公式源于等差数列定义式子an+1-an=d，可以通过换元，得到更复杂的式子。以下总结了一些常见的递推公式，蕴含了“二级形式”的等差数列。授课时要讲清楚，这是经验性递推总结。1.根号型换元，如例题12.系数配凑型，如例题2。这个系数。既可以是乘nan。也可以是除。3.指数凑配型，如例题3.实质上是例题2的换元扩展。4.倒数型。复杂分式，可以适当分离取倒数，得到等差数列，如例题45.奇偶等差型。对于这类an+an+1=f(n)“和”型，有时候可推出奇数项和偶数项各自独立的成等差数列。在授课时要讲清通项公式推导过程。如例题56.结构型，如例题6，这道题具有明显的等差形状，但是如果去分母，这个等差式子隐藏的就比较深了，如后边的高中数学联赛选题，就有这个特征。7.消常数同除型。如例题78.配方型，如例题8.9.双数列纠缠迭代型，如例题9.【典型例题】22项公式为___________.anaanannanan_.an+1-anan-an-1a=9a=a=na=a【对点实战】annNaaaan)卜是等差数列，则a6=______lanJaaaan-1naaaa于___________.a>an成立，则实数入的最小值是_________.233anan一1an=______________．式是bn=_____.四、等差数列的函数性质和最值范围1.最常见的最值题型，就是把数列通项化归为对应的各种函数求最值，需要注意此时是离散型函数。如例题1。2.等差数列中比较常见的最值范围，是以首项或者公差为变量，构造不等式(组)求范围，3.对于首项和公差的双变量，可利用三角换元求最值。如例题34.等差数列是关于n的一次型，就是存在正负项的分界点，利用正负分界研究范围最值，5.借助于“高斯技巧”和均值不等式求最值，如例题66.借助于等差数列的“斜率性质”求最值，如例题7，是比较好的关于等差数列最值范围的一道类型题。7.与函数结合，运用函数的图像，值域，以及等差数列的定义等，如例题8，是一道等差数列和函数的综合题型。【典型例题】n的一项是()【例2】已知等差数列的首项为，且从第10项开始均比1大，则公差d的取值范围为()A．有最大项，有最小项B．有最大项，无最小项C．无最大项，有最小项D．无最大项，无最小项24n的值为()【例6】等差数列{an}满足an>0，且a3+a4+a5+a6=8，则a2a7的最大值为()ABC．8D．10正确的是()数列.则a1的取值范围是___________.【对点实战】则Sp-Sq的最小值为()为()的值是()AB．226C．75D．76ABC．5D．4ana恳bn}满足bn=．若对任意的n=N*,都有bn>b8成立,则实数a的取值范围是数列恳an}中，a1a2=-2，则a3的()A．最大值为－4B．最小值为4C．最小值为－4D．最大值为4aa25annSnaa，若S5<10，则a2的取值范围是五、实际应用题【典型例题】【例1】图①是程阳永济桥又名“风雨桥”，因为行人过往能够躲避风雨而得名．已知程阳永济桥上的塔从上往下看，其边界构成的曲线可以看作正六边形结构，如图②所示，且各层的六边形的边长均为整数，从内往外依次成等差数列，若这四层六边形的周长之和为156，且图②中阴影部分的面积为，则最外层六边形的周长为()ABCD．54【例2】我国古代的天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气晷(guǐ)长损益相同(晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度)．二十四节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长的变化量相同，周而复始．若冬至晷长一丈三尺五寸，夏至晷长一尺五寸(一丈等于十尺，一尺等于十寸)，则夏至之后第三个节气(立秋)晷长是()A．三尺B．三尺五寸C．四尺D．四尺五寸【例3】数学著作《孙子算经》中有这样一个问题：“今有物不知其数，三三数之剩二(除以3余2)，五五数之剩三(除以5余3)，问物几何？”现将同时满足“三三数之剩二，五五数之数列恳an}，则满足an>2021的正整数n的最小值为()26AB．135C．136D．138【例4】“苏州码子”发源于苏州，在明清至民国时期，作为一种民间的数字符号曾经流行一时，广泛应用于各种商业场合.110多年前，詹天佑主持修建京张铁路，首次将“苏州码子”0．为了防止混淆，有时要将“〡”“〢”“〣”横过来写.已知某铁路的里程碑所刻数字代表距离始发车站的里程，每隔2公里摆放一个里程碑，若在A点处里程碑上刻着“〣〤”，在B点处里程碑刻着“〩〢”，则从A点到B点里程碑的个数应为()【例5】．“中国剩余定理”又称“孙子定理”，讲的是一个关于整除的问题．现有这样一个整除问题：将1到2023这2023个数中，能被3除余2且被5整除余2的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列an}，则此数列所有项中，中间项的值为()A．992B．1022C．1007D．1037【例6】单分数(分子为1，分母为正整数的分数)的广泛使用成为埃及数学重要而有趣的特色，埃及人将所有的真分数都表示为一些单分数的和．例如=+特色，埃及人将所有的真分数都表示为一些单分数的和．例如=+，53157111112 =+++7111112296245887232101 =++ =+++，其中x，y，z是以101为首项的等差数列，则y+z的值为()101606xyzAB．404C．303D．202【对点实战】1.(多选题)《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”(“钱”是古代的一种重量单位)．关于这个问题，下列说法正确的是()A．甲得钱是戊得钱的2倍B．乙得钱比丁得钱多钱C．甲、丙得钱的和是乙得钱的2倍D．丁、戊得钱的和比甲得钱多钱2.如图数表，它的第一行数由正整数从小到大排列得到，此后下一行数由前一行每两个相邻的数的和写在这两个数正中间下方得到.依次类推，则该数表中，第n行第n个数是______________.273.日晷是我国古代按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度.我国天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气的晷长损益相同.二十四节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长减少或增加的量相同，如此周而复始.已知每年冬至的晷长为一丈三尺五寸，夏至的晷长为一尺五寸(一丈等于十尺，一尺等于十寸)，则下列说法不正确的是()A．白露比立秋的晷长长两尺B．大寒的晷长为一丈五寸28C．处暑和谷雨两个节气的晷长相同D．立春的晷长比立秋的晷长长六、等差数列综合应用利用等差数列的定义，性质等等来解决问题。以下是几个不同的综合应用，可以借助研究学习，增加做题积累。1.双数列相同项，如例题1，一般新数列的公差，是两个条件数列公差的最小公倍数。2.新定义数列之“等积数列”，如例题2，本题也涉及到了奇偶项研究。3.裂项相消是求和测常用技巧之一，如例题3，初步涉及到裂项相消的技巧方法。4.和三角函数结合，具有周期数据变化特征，如例题4和5题，是从不同角度与三角函数结合。.5.递推换元型，如例题66.插入数构造型，如例题7.7.恒成立裂项型，如例题8.【典型例题】的个数为()ABCD．26【例2】在一个数列中，若每一项与它的后一项的乘积都同为一个常数(有限数列最后一项an积数列，且a6=2，公积为6，则a1.a5.a9.....a2005.a2009的值是()【例3】等差数列{an}中，a1＝1，an，an＋1是方程x2－(2n＋1)x＋＝0的两个根，则数列{bn}前n项和Sn＝()【例4】在等差数列{an}中，a3＋a5＝a4＋7，a10＝19，则数列{ancosnπ}的前2023项的和为()AB．1010C．2023D．2023wUwA．当a1=a2=a时，存在一个实数a和正整数m，使得am，am+1，am+2成等差数列B．当a1=a2=2a时，存在一个实数a和正整数m，使得am，am+1，am+2成等差数列29【例7】在等差数列恳an}中每相邻两项之间都插入k(k=N*)个数，使它们和原数列的数一bnbank七、高中联赛、竞赛与自主招生题选公式为an=______.n【例4】已知{an}是公差为d(d＞0)的等差数列，若存在实数x1，x2，x3，…，x9满足方程组〈，则d的最小值为()98895445304.2.1等差数列(时间：120分钟，分值：150分)选项中，只有一项是符合题目要求的.()ABCD2.若a1－a4－a8－a12＋a15＝，则sin(a2＋a14)的值()A．0B．1C．－1D．不存在an递增，则a的取值范围为()2222 6.设正项数列{an}满足a5=3,an+1=，则a1,a2,...,a1000这1000项中所有为整数的项的和为ABCD．5nn1n-1nnn1n-1n时，n=()ABCD4有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.(1)9.已知数列恳an}是公差为d的等差数列，若存在实数d，使得数列〈lanJ卜满足：可以从中取出无限多项，并按原来的先后次序排成一个等差数列，则下列结论正确的是()A列恳an}有无数多个B．符合题意的实数d有无数多个C．符合题意的数列恳an}仅有一个D．符合题意的实数d仅有一个314a1a5bn)AbBb=27A．T5=T6B．有最大项T4C．无最大项D．无最小项an10nnnnnan10nnnnnan15.将1~2021这2023个整数中能被2整除余1且被3整除余2的数按从小到大的顺序构成一个数列，则该数列的项数为______.最小的一项是第___________项.演算步骤.已知a3=一2，d=3，求an的值； n18.(12分)已知数列{an}满足an＋1＝an+2，且a1＝3(n∈N*).(1) (1)证明：数列〈卜是等差数列；(2)求数列{an}的通项公式.19.(12分)数列{an}满足a1＝2，an＋1＝(λ－3)an＋2n(n∈N*). (1)当a2＝－1时，求λ及a3的值；(2)是否存在λ，使数列{an}为等差数列？若存在，求其通项公式；若不存在，说明理由.3220.(12分)下表给出一个“等差数阵”：47()()()…a1j…7()()()…a2j…()()()()()…a3j…()()()()()…a4j………ai1ai2ai3ai4ai5…aij………其中每行、每列都是等差数列，aij表示位于第i行第j列的数．(1)写出a45的值；(2)写出aij的计算公式，以及2017这个数在等差数阵中所在的一个位置．是，是第几项？(1) (1)证明：数列〈卜是等差数列；lanJan33(3)若入an+>入对任意的n>2,nN*恒成立，求实数入的取值范围.344.2.2【知识目录】9、求和公式基础Snan11、前n项和性质与技巧12、等差数列与裂项求和13、前n项和中阻止与范围14、等差数列奇偶项和与奇偶各自等差类型15、等差求和应用题。16、高中数学联赛一、求和公式基础等差数列前n项和公式由三个，注意适用范围。1.俗称梯形面积公式:sn=，上底加下底，乘高除以二n12sn=na中=nan+122.n12sn=na中=nan+123.等差中项型：【典型例题】的值为()35【例4】已知等差数列{an}满足：a2＝2，Sn－Sn－3＝54(n>3)，Sn＝100，则n＝()ABC．9D．10【例5】设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＋a2＋a3＝a4＋a5，S5＝60，则a5＝()AB．20CD．26ABCD．18【例7】一个n边形的周长等于158，所有各边的长成等差数列，最大边的长等于44，公差等于3，则n=()【对点实战】aannSnSaa()22ABC．6D．81210SSS1210AB．2023C．1011D．2023m为()ABC．14D．16ABCD．35ABC．10D．117.三角形数构成数列1,3,6,10， 则这个数列的第10项为()368.要检验第一项是否成立。9.一个结论：若Sn＝an2＋bn，则数列{an}是等差数列．反之亦然。其中a=0.5d。10.利用结论，可判定那些形式的前n项和时等差数列【典型例题】【例1】正项等差数列an}的前n项和为Sn，已知a2+a8=a，则S9=()【例2】设Sn是数列an}的前n项和，若Sn=n2+2n，则a2021=()．AB．4042C．4041D．2023【例3】已知数列{an}的通项公式为an=2n2-5n+2，则数列{an}的最小值是()AB．0C．1D．2【例4】已知数列an}的前n项和为Sn，若an+an+1=2n，则S20的值为()AB．200C．400D．800为()【对点实战】1.已知数列an}的前n项和为Sn，且Sn=2n2-n，则a4的值为()ABC．28D．362.各项均为正数的数列an},a1=1且a-2an-a-1-4an-1-3=0则其前n项和为Sn=()2222bn是公差不为0的等差数列，且b-4b12=b010-4b2010，则数列bn}的前2023项和为()ABCD．4042三、前n项和性质与技巧n1.若数列{an}是公差为d的等差数列，则数列n也是等差数列，且公差为d/2.－Sm，S3m－S2m也成等差数列．37【典型例题】【例1】设等差数列an}的前n项和为Sn，若S10=10，S20=20，则S30=()AB．10CD．30Snann＝，则等于()ABC．2D．【例4】已知一个有限项的等差数列{an}，前4项的和是40，最后4项的和是80，所有项的和是210，则此数列的项数为()AB．14CD．18【例5】在a和b之间插入10个数，使之成为等差数列，则插入的10个数的和为()anbnanbnnSnTn3，则b=()【例7】已知数列【例7】已知数列an}是等差数列，公差d=4，前n项和为Sn，则S2021-S2020的值()A．等于4B．不确定，与a1有关C．等于D．等于26720569【对点实战】1.已知等差数列an}的前n项为Sn，S2n=6，S3n=12，则Sn的值为()ABC．3D．43811111annSnaamS11111ABC．6D．104.在公差不为零的等差数列{an}中，Sn是其前n项和，且S2011＝S2016，Sk＝S2008，则正整数k为()AB．2018CD．2020是常数的是()ASBSCSD．S15四、等差数列与裂项求和等差数列及其前n项和是常规型裂项相消基础 pqq-ppq2根44-224 pqq-ppq2根44-224 11「11]3.公式Sn＝an2＋bn取倒数时候，也复合上边模型。4.要求(避免掉坑)：(3)求和化简时，要写到“前三后二”，每项加括号。剩余的是首尾正负对应。【典型例题】391210012100nn111nnn+1n+nnn+1n+1【对点实战】()和为Sn，则S2020=()五、前n项和中最值与范围1.在等差数列{an}中SnSnnan若d≠0，则从二次函数的角度看：当d>0时，Sn有【典型例题】【例1】设数列恳an}是等差数列，公差为d>0，且Sn为其前n项和，若S10=9a1+40d，则Sn取最小值时，n等()ABCD40【例2】设等差数列{an}的前n项和为Sn，n∈N*.若S12>0，S13<0，则数列{|an|}的最小项是()A．第6项B．第7项C12项D．第13项【例3】已知{an}是等差数列，a1＝－26，a8＋a13＝5，当{an}的前n项和Sn取最小值时，n的值为()ABC．10D．11若对任意正整数n，恒有Tn试Tk，则正整数k的值是()ABC．4D．7【例5】设Sn为等差数列恳an}的前n项和，且a6>8，S5=5，则S7的取值范围是()③S12<0；④数列{Sn}中的最大项为S11，其中正确命题的序号是()ASn的最大值是S8B．Sn的最小值是S8CSnSD．Sn的最小值是S7【例8】设恳an}是递减的等差数列，前三项的和是15，前三项的积是105，当该数列的前n项和最大时，n=()ABC．6D．7【对点实战】SCSDS2.等差数列恳an}的前n项和为Sn，S7=49,a3=3a6，则Sn取最大值时的n为()3.已知数列恳an}中，前n项和Sn=n2-15n，则Sn的最小值是()BCD4.已知等差数列{an}是无穷数列，若a1<a2<0，则数列{an}的前n项和Sn()A．无最大值，有最小值B．有最大值，无最小值41C．有最大值，有最小值D．无最大值，无最小值误的是()C．S5和S6均为Sn的最大值D．S8>S46.已知数列{an}的前n项和Sn=n2一9n，第k项满足5＜ak＜8，则k=ABC．7D．67.设数列恳an}为等差数列，其前n项和为Sn，已知a4和a5是方程x2一20x+99=0的两个根.若对任意n仁N*都有Sn共Sk成立，则k的值为()ABC．10D．11Sn一1.Sn想0(n>1)的正整数n的值为()ABCD9六、等差数列的奇偶项和与奇偶各自成等差的数列等差数列奇数项和与偶数项和有以下关系1..n为偶数时，s偶-s奇=d2.n为奇数时，s奇-s偶=an+12偶sn-1偶【典型例题】为()为()AB．2600C．2550D．2450【例3】已知等差数列{an}共有10项，其偶数项之和为20，奇数项之和为5，则该数列的公差为()．【例4】一个等差数列共有2n+1项，其奇数项的和为512，偶数项的和为480，则中间项的值为()42ABCD．33的值为ABC．7D．9【对点实战】1.含2n+1项的等差数列，其奇数项的和与偶数项的和之比为()nnn2nnn的前n项和为Sn，则S2020=()A．1010B．－1010C．2023D．－20233.在项数为2n＋1的等差数列中，所有奇数项的和为165，所有偶数项的和为150，则n等于()AB．10CD．12七、数列求和应用题【典型例题】【例1】一百零八塔，位于宁夏吴忠青铜峡市，是始建于西夏时期的喇嘛式实心塔群，是中国现存最大且排列最整齐的喇嘛塔群之一．一百零八塔，因塔群的塔数而得名，塔群随山势凿石分阶而建，由下而上逐层增高，依山势自上而下各层的塔数分别为1，3，3，5，5，7，…，若该数列从第5项开始成等差数列，则该塔群共有()．A．10层B．11层C．12层D．13层【例2】《九章算术》是中国古代张苍，耿寿昌所撰写的一部数学专著，全书总结了战国，秦，汉时期的数学成就.其中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何？”其意思为：“今有5人分5钱，各人所得钱数依次为等差数列，其中前2人所得之和与后3人所得之和相等，问各得多少钱？”.则第4人所得钱数为()【例3】《九章算术》中有这样一个问题：今有女子善织，日增等尺，七日共织二十八尺，43第二日、第五日、第八日所织之和为十五尺，则该女子前六日共织()尺布.AB．21CD．25【对点实战】1.某研究所计划建设n个实验室，从第1实验室到第n实验室的建设费用依次构成等差数列，已知第7实验室比第2实验室的建设费用多15万元，第3实验室和第6实验室的建设费用共为61万元.现在总共有建设费用438万元，则该研究所最多可以建设的实验室个数是 ()ABCD．132.《算法统宗》是我国中国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对中国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用.在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，如“九儿问甲歌”就是其中一首：一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推.在这个问题中，记这位公公的第n个儿子的年龄为an，则a3=()3.在中国古代诗词中，有一道“八子分绵”的名题：“九百九十六斤绵，赠分八子做盘缠，次第每人分十七，要作第八数做来言”.题意是把996斤绵分给8个儿子做盘缠，按照年龄从大到小的顺序依次分绵，年龄小的比年龄大的多分17斤绵，则年龄最大的儿子分到的绵是 ()八、高中联赛、竞赛与自主招生题选aaan(n>3,nN*)，满足则()nDn例2】已知等差数列{an}的公差d≠0，且a+a+16d=a+a1，则{an}的前15项之和S15等于()ABCD．32444.2.2等差数列前n项和(时间：120分钟，分值：150分)选项中，只有一项是符合题目要求的.AB．4040C．2023D．4038aABCD．19n则这样不同的等差数列最多有()公差为-4的等差数列，记恳an}的各项之和为S2k一1，则S2k一1的最大值为()AB．624C．626D．628AB．406C．403D．3938、有一个三人报数游戏：首先A报数字1，然后B报两个数字2、3，接下来C报三个数字4、5、6，然后轮到A报四个数字7、8、9、10，依次循环，直到报出10000，则A报出的第2023个数字为()AB．5980C．5981D．以上都不对有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.《张丘建算经》是中国古代众多数学名著之一.书中有如下问题：“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月日织九匹三丈，问日益几何？”其大意为：“有一女子擅长织布，织布的速度一天比一天快，从第二天起，每天比前一天多织相同数量的布，第一天织5尺，一个45尺，若这个月有30天，记该女子这个月中第n天所织布的尺数为an，bn=2a，则()AbbB．数列恳bn}是等比数列246246得为整数的正整数n可能是()12.已知数列{an}满足a1＝1，nan+1﹣(n+1)an＝1，n∈N*，其前n项和为Sn，则下列选项中正确的是()A．数列{an}是公差为2的等差数列B．满足Sn＜100的n的最大值是9Snnan()14.已知正项数列恳an}满足2an+1=an+an+2，且S=a，其中Sn为数列an的前n项和，若实数入使得不等式(n+)a≥n恒成立，则实数入的最大值是________.16.首项为正数的