中考数学二轮复习几何模型重点突破讲练专题12 全等三角形中的手拉手模型（原卷版）

专题12全等三角形中的手拉手模型【模型1】等腰三角形中的手拉手全等模型如图，△ABC与△ADE均为等腰三角形，且∠BAC＝∠DAE，连接BD、CE，则△ABD≌△ACE。【证明】SKIPIF1<0∠BAC＝∠DAESKIPIF1<0又SKIPIF1<0△ABC与△ADE均为等腰三角形SKIPIF1<0在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0中SKIPIF1<0SKIPIF1<0△ABD≌△ACE【模型2】等边三角形中的手拉手全等模型如图，△ABC与△CDE均为等边三角形，点B、C、E三点共线，连接AE、BD，则△BCD≌△ACE。【模型3】一般三角形中的手拉手全等模型如图，在任意△ABC中，以AB为边作等边△ADB，以AC为边作等边△ACE，连接DC、BE，则△ADC≌△ACE.【模型4】正方形中的手拉手全等模型如图，在任意△ABC中，以AB为边作正方形ABDE，以AC为边作正方形ACFG，连接EC、BG，则△AEC≌△ABG.【例1】如图，C为线段AE上一动点（不与点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0重合），在AE同侧分别作等边三角形ABC和等边三角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连结PQ．以下结论错误的是（

）A．∠AOB=60° B．AP=BQC．PQ∥AE D．DE=DP【例2】如图，SKIPIF1<0是边长为5的等边三角形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．E、F分别在AB、AC上，且SKIPIF1<0，则三角形AEF的周长为______．【例3】如图1，B、C、D三点在一条直线上，AD与BE交于点O，△ABC和△ECD是等边三角形．(1)求证：△ACD≌△BCE；(2)求∠BOD的度数；(3)如图2，若B、C、D三点不在一条直线上，∠BOD的度数是否发生改变？（填“改变”或“不改变”）一、单选题1．如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，连接CE交AD于点F，连接BD交CE于点G，连接BE．下列结论中，正确的结论有（）①CE＝BD；②△ADC是等腰直角三角形；③∠ADB＝∠AEB；④S四边形BCDE＝SKIPIF1<0BD•CE；⑤BC2+DE2＝BE2+CD2．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2．如图，正SKIPIF1<0和正SKIPIF1<0中，B、C、D共线，且SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0和SKIPIF1<0相交于点F，以下结论中正确的有（

）个①SKIPIF1<0

②连接SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0平分SKIPIF1<0

③SKIPIF1<0

④SKIPIF1<0A．4 B．3 C．2 D．13．如图，在直线AC的同一侧作两个等边三角形△ABD和△BCE，连接AE与CD交于点H，AE与DB交于点G，BE与CD交于点F，下列结论：①AE＝CD；②∠AHD＝60°；③△AGB≌△DFB；④BH平分∠GBF；⑤GF∥AC；⑥点H是线段DC的中点．正确的有（）A．6个 B．5个 C．4个 D．3个4．如图，点C是线段AE上一动点（不与A，E重合），在AE同侧分别作等边三角形ABC和等边三角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ，有以下5个结论：①AD=BE；②PQ∥AE；③AP=BQ；④DE=DP；⑤∠AOB=60°．其中一定成立的结论有（

）个A．1 B．2 C．3 D．45．如图，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，点D、F是射线BC上两点，且SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；则下列结论中正确的有（）①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0；④SKIPIF1<0A．1个 B．2个 C．3个 D．4个6．如图，在△OAB和△OCD中，OA=OB，OC=OD，OA＞OC，∠AOB=∠COD=40°，连接AC，BD交于点M，连接OM，下列结论：①△AOC≌△BOD；②AC=BD；③∠AMB=40°；④MO平分∠BMC．其中正确的个数为（）A．4 B．3 C．2 D．1二、填空题7．如图，在正方形ABCD中，E是对角线BD上一点SKIPIF1<0，将线段CE绕点C按顺时针方向旋转SKIPIF1<0得到线段SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．下列结论：①若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0；③若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0；④若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．其中正确的结论有___________（填正确的序号）8．如图，SKIPIF1<0是正SKIPIF1<0内一点，SKIPIF1<0，将线段SKIPIF1<0以点SKIPIF1<0为旋转中心逆时针旋转SKIPIF1<0得到线段SKIPIF1<0，下列结论：①点SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的距离为4；②SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0；④SKIPIF1<0其中正确的结论是____________．（只填序号）9．在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，点D是直线BC上一动点，连接AD，在直线AD的右恻作等边SKIPIF1<0，连接CE，当线段CE的长度最小时，则线段CD的长度为__________．10．如图，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0．SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，将SKIPIF1<0沿直线SKIPIF1<0翻折至SKIPIF1<0所在的平面，得SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0．过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，则四边形SKIPIF1<0的周长为________．11．如图SKIPIF1<0和SKIPIF1<0是SKIPIF1<0外两个等腰直角三角形，SKIPIF1<0，下列说法正确的是：________．①SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0平分SKIPIF1<0；④取SKIPIF1<0的中点SKIPIF1<0，连SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．12．（1）如图（1），在四边形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，E，F分别是SKIPIF1<0上的动点，且SKIPIF1<0，求证：SKIPIF1<0．（2）如图（2），在（1）的条件下，当点E，F分别运动到SKIPIF1<0的延长线上时，SKIPIF1<0之间的数量关系是______．三、解答题13．如图，若SKIPIF1<0和SKIPIF1<0都是等边三角形，求SKIPIF1<0的度数．14．如图，SKIPIF1<0和SKIPIF1<0都是等腰直角三角形，SKIPIF1<0的顶点A在SKIPIF1<0的斜边SKIPIF1<0上，连接SKIPIF1<0．（1）求证：SKIPIF1<0．（2）若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的长．15．如图，△ACB和△DCE均为等腰三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点A，D，E在同一条直线上，连接BE．（1）求证：AD=BE；（2）若∠CAE=15°，AD=4，求AB的长．16．如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝120°，点D在边AC上，且线段BD绕着点B按逆时针方向旋转120°能与BE重合，点F是ED与AB的交点．（1）求证：AE＝CD；（2）若∠DBC＝45°，求∠BFE的度数．17．SKIPIF1<0和SKIPIF1<0如图所示，其中SKIPIF1<0．(1)如图①，连接SKIPIF1<0，求证：SKIPIF1<0；(2)如图②，连接SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的长．18．问题：如图1，在等边三角形ABC内，点P到顶点A、B、C的距离分别是3，4，5，求∠APB的度数？探究：由于PA、PB、PC不在同一个三角形中，为了解决本题，我们可以将△ABP绕点A逆时针旋转60°到△ACP′处，连结PP′，这样就将三条线段转化到一个三角形中，从而利用全等的知识，求出∠APB的度数．请你写出解答过程：应用：请你利用上面的方法解答：如图2，△ABC中，∠CAB=90°，AB=AC，E、F为BC上的点，且∠EAF=45°，求证：SKIPIF1<019．【探究发现】（1）如图1，在四边形SKIPIF1<0中，对角线SKIPIF1<0，垂足是O，求证：SKIPIF1<0．【拓展迁移】（2）如图2．以三角形SKIPIF1<0的边SKIPIF1<0、SKIPIF1<0为边向外作正方形SKIPIF1<0和正方形SKIPIF1<0，求证：SKIPIF1<0．（3）如图3，在（2）小题条件不变的情况下，连接SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的长_____________．（直接填写答案）20．△ACB和△DCE是共顶点C的两个大小不一样的等边三角形．(1)问题发现：如图1，若点A，D，E在同一直线上，连接AE，BE．①求证：△ACD≌△BCE；②求∠AEB的度数．(2)类比探究：如图2，点B、D、E在同一直线上，连接AE，AD，BE，CM为△DCE中DE边上的高，请求∠ADB的度数及线段DB，AD，DM之间的数量关系，并说明理由．(3)拓展延伸：如图3，若设AD（或其延长线）与BE的所夹锐角为α，则你认为α为多少度，并证明．21．定义：我们把两条对角线互相垂直的四边形称为“垂美四边形”．(1)特例感知：如图1，四边形ABCD是“垂美四边形”，如果SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0______，SKIPIF1<0______．(2)猜想论证：如图1，如果四边形ABCD是“垂美四边形”，猜想它的两组对边AB，CD与BC，AD之间的数量关系并给予证明．(3)拓展应用：如图2，分别以SKIPIF1<0的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接CE，BG，GE，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求GE长．22．在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，点D是射线CB上的动点（点D不与点B、C重合），连接AD，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，连接DE，过点D作SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，连接CF．(1)如图1，当点D是BC中点时，DE与CF的数量关系是，位置关系是