中考数学一轮复习考点（精讲精练）复习专题09 二次函数（教师版）

第第页专题09二次函数考点1：二次函数的图象和性质1．二次函数y＝ax2+bx+c，若ab＜0，a﹣b2＞0，点A（x1，y1），B（x2，y2）在该二次函数的图象上，其中x1＜x2，x1+x2＝0，则（）A．y1＝﹣y2 B．y1＞y2 C．y1＜y2 D．y1、y2的大小无法确定【分析】首先分析出a，b，x1的取值范围，然后用含有代数式表示y1，y2，再作差法比较y1，y2的大小．【解析】∵a﹣b2＞0，b2≥0，∴a＞0．又∵ab＜0，∴b＜0，∵x1＜x2，x1+x2＝0，∴x2＝﹣x1，x1＜0．∵点A（x1，y1），B（x2，y2）在该二次函数y＝ax2+bx+c的图象上，∴y1=ax∴y1﹣y2＝2bx1＞0．∴y1＞y2．故选：B．2．二次函数的图象与一次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A．B．C． D．【答案】A【分析】先分析二次函数的图像的开口方向即对称轴位置，而一次函数的图像恒过定点，即可得出正确选项．【详解】二次函数的对称轴为，一次函数的图像恒过定点，所以一次函数的图像与二次函数的对称轴的交点为，只有A选项符合题意．故选A．3．如图是抛物线的部分图象，图象过点，对称轴为直线，有下列四个结论：①；②；③y的最大值为3；④方程有实数根．其中正确的为________（将所有正确结论的序号都填入）．【答案】②④【分析】根据二次函数的图象与性质对各项进行判断即可．【详解】解：∵抛物线的开口向下，与y轴的交点在y轴的正半轴，∴a＜0，c＞0，∵抛物线的对称轴为直线x=1，∴﹣=1，即b=﹣2a＞0∴abc＜0，故①错误；∵抛物线与x轴的一个交点坐标为（3，0），∴根据对称性，与x轴的另一个交点坐标为（﹣1，0），∴a﹣b+c=0，故②正确；根据图象，y是有最大值，但不一定是3，故③错误；由得，根据图象，抛物线与直线y=﹣1有交点，∴有实数根，故④正确，综上，正确的为②④，故答案为：②④．4．在平面直角坐标系SKIPIF1<0中，点SKIPIF1<0和点SKIPIF1<0在抛物线SKIPIF1<0上．（1）若SKIPIF1<0，求该抛物线的对称轴；（2）已知点SKIPIF1<0在该抛物线上．若SKIPIF1<0，比较SKIPIF1<0的大小，并说明理由．【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0，理由见解析【分析】（1）由题意易得点SKIPIF1<0和点SKIPIF1<0，然后代入抛物线解析式进行求解，最后根据对称轴公式进行求解即可；（2）由题意可分当SKIPIF1<0时和当SKIPIF1<0时，然后根据二次函数的性质进行分类求解即可．【详解】解：（1）当SKIPIF1<0时，则有点SKIPIF1<0和点SKIPIF1<0，代入二次函数SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，∴抛物线解析式为SKIPIF1<0，∴抛物线的对称轴为SKIPIF1<0；（2）由题意得：抛物线SKIPIF1<0始终过定点SKIPIF1<0，则由SKIPIF1<0可得：①当SKIPIF1<0时，由抛物线SKIPIF1<0始终过定点SKIPIF1<0可得此时的抛物线开口向下，即SKIPIF1<0，与SKIPIF1<0矛盾；②当SKIPIF1<0时，∵抛物线SKIPIF1<0始终过定点SKIPIF1<0，∴此时抛物线的对称轴的范围为SKIPIF1<0，∵点SKIPIF1<0在该抛物线上，∴它们离抛物线对称轴的距离的范围分别为SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，开口向上，∴由抛物线的性质可知离对称轴越近越小，∴SKIPIF1<0．考点2：二次函数的平移5．已知抛物线SKIPIF1<0的对称轴在SKIPIF1<0轴右侧，现将该抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度后，得到的抛物线正好经过坐标原点，则SKIPIF1<0的值是（）A．SKIPIF1<0或2 B．SKIPIF1<0 C．2 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行解答即可．【详解】解：函数SKIPIF1<0向右平移3个单位，得：SKIPIF1<0；再向上平移1个单位，得：SKIPIF1<0+1，∵得到的抛物线正好经过坐标原点∴SKIPIF1<0+1即SKIPIF1<0解得：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0∵抛物线SKIPIF1<0的对称轴在SKIPIF1<0轴右侧∴SKIPIF1<0＞0∴SKIPIF1<0＜0∴SKIPIF1<0故选：B．6．抛物线的函数表达式为SKIPIF1<0，若将SKIPIF1<0轴向上平移2个单位长度，将SKIPIF1<0轴向左平移3个单位长度，则该抛物线在新的平面直角坐标系中的函数表达式为（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】将题意中的平移方式转换成函数图像的平移，再求解析式即可．【详解】解：若将SKIPIF1<0轴向上平移2个单位长度，相当于将函数图像向下平移2个单位长度，将SKIPIF1<0轴向左平移3个单位长度，相当于将函数图像向右平移3个单位长度，则平移以后的函数解析式为：化简得：，故选：C．考点3：二次函数与方程、不等式的关系7．已知抛物线SKIPIF1<0（SKIPIF1<0是常数，SKIPIF1<0）经过点SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，与其对应的函数值SKIPIF1<0．有下列结论：①SKIPIF1<0；②关于x的方程SKIPIF1<0有两个不等的实数根；③SKIPIF1<0．其中，正确结论的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【分析】根据函数与点的关系,一元二次方程根的判别式,不等式的性质，逐一计算判断即可【详解】∵抛物线SKIPIF1<0（SKIPIF1<0是常数，SKIPIF1<0）经过点SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，与其对应的函数值SKIPIF1<0．∴c=1＞0，a-b+c=-1,4a-2b+c＞1，∴a-b=-2,2a-b＞0，∴2a-a-2＞0，∴a＞2＞0，∴b=a+2＞0，∴abc＞0，∵SKIPIF1<0,∴△=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0＞0,∴SKIPIF1<0有两个不等的实数根；∵b=a+2，a＞2，c=1，∴a+b+c=a+a+2+1=2a+3，∵a＞2，∴2a＞4，∴2a+3＞4+3＞7，故选D．8．已知二次函数SKIPIF1<0的图像如图所示，有下列结论：①；②＞0；③；④不等式＜0的解集为1≤＜3，正确的结论个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】根据抛物线的开口方向、于x轴的交点情况、对称轴的知识可判①②③的正误，再根据函数图象的特征确定出函数的解析式，进而确定不等式，最后求解不等式即可判定④．【详解】解：∵抛物线的开口向上，∴a＞0，故①正确；∵抛物线与x轴没有交点∴＜0，故②错误∵由抛物线可知图象过（1,1），且过点（3,3）∴8a+2b=2∴4a+b=1，故③错误；由抛物线可知顶点坐标为（1,1），且过点（3,3）则抛物线与直线y=x交于这两点∴＜0可化为，根据图象，解得：1＜x＜3故④错误．故选A．考点4：求二次函数的解析式9．如图，二次函数SKIPIF1<0（a为常数）的图象的对称轴为直线．（1）求a的值．（2）向下平移该二次函数的图象，使其经过原点，求平移后图象所对应的二次函数的表达式．【答案】（1）；（2）【分析】（1）把二次函数化为一般式，再利用对称轴：，列方程解方程即可得到答案；（2）由（1）得：二次函数的解析式为：，再结合平移后抛物线过原点，则从而可得平移方式及平移后的解析式．【详解】解：（1）．∵图象的对称轴为直线，∴，∴．（2）∵，∴二次函数的表达式为，∴抛物线向下平移3个单位后经过原点，∴平移后图象所对应的二次函数的表达式为．考点5：二次函数的最值10．定义：为二次函数（）的特征数，下面给出特征数为的二次函数的一些结论：①当时，函数图象的对称轴是轴；②当时，函数图象过原点；③当时，函数有最小值；④如果，当时，随的增大而减小，其中所有正确结论的序号是______．【答案】①②③．【分析】利用二次函数的性质根据特征数，以及的取值，逐一代入函数关系式，然判断后即可确定正确的答案．【详解】解：当时，把代入，可得特征数为∴，，，∴函数解析式为，函数图象的对称轴是轴，故①正确；当时，把代入，可得特征数为∴，，，∴函数解析式为，当时，，函数图象过原点，故②正确；函数当时，函数图像开口向上，有最小值，故③正确；当时，函数图像开口向下，对称轴为：∴时，可能在函数对称轴的左侧，也可能在对称轴的右侧，故不能判断其增减性，故④错误；综上所述，正确的是①②③，故答案是：①②③．11．以初速度v（单位：m/s）从地面竖直向上抛出小球，从抛出到落地的过程中，小球的高度h（单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系式是h＝vt4.9t2，现将某弹性小球从地面竖直向上抛出，初速度为v1，经过时间t1落回地面，运动过程中小球的最大高度为h1（如图1）；小球落地后，竖直向上弹起，初速度为v2，经过时间t2落回地面，运动过程中小球的最大高度为h2（如图2）．若h1＝2h2，则t1：t2＝_____．【答案】【分析】根据函数图像分别求出两个函数解析式，表示出，，，，结合h1＝2h2，即可求解．【详解】解：由题意得，图1中的函数图像解析式为：h＝v1t4.9t2，令h=0，或（舍去），，图2中的函数解析式为：h＝v2t4.9t2，或（舍去），，∵h1＝2h2，∴=2，即：=或=-（舍去），∴t1：t2=：=，故答案是：．12．已知抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点在抛物线上，E是该抛物线对称轴上一动点．当的值最小时，的面积为__________．【答案】4【分析】根据题意画出函数图像，要使的值最小，需运用对称相关知识求出点E的坐标，然后求的面积即可．【详解】解：根据题意可求出，抛物线的对称轴为：，根据函数对称关系，点B关于的对称点为点A，连接AD与交于点E，此时的值最小，过D点作x轴垂线，垂足为F，设抛物线对称轴与x轴交点为G，∵，∴，∴，∴，过点C作的垂线，垂足为H，所以四边形ACHE的面积等于与梯形ACHG的面积和，即，则S四边形ACHE-，故答案为：4．13．已知二次函数的图像经过两点．（1）求b的值．（2）当时，该函数的图像的顶点的纵坐标的最小值是________．（3）设是该函数的图像与x轴的一个公共点，当时，结合函数的图像，直接写出a的取值范围．【答案】（1）；（2）1；（3）或．【分析】（1）将点代入求解即可得；（2）先求出二次函数的顶点的纵坐标，再利用完全平方公式、不等式的性质求解即可得；（3）分和两种情况，再画出函数图象，结合图象建立不等式组，解不等式组即可得．【详解】解：（1）将点代入得：，两式相减得：，解得；（2）由题意得：，由（1）得：，则此函数的顶点的纵坐标为，将点代入得：，解得，则，下面证明对于任意的两个正数，都有，，（当且仅当时，等号成立），当时，，则（当且仅当，即时，等号成立），即，故当时，该函数的图像的顶点的纵坐标的最小值是1；（3）由得：，则二次函数的解析式为，由题意，分以下两种情况：①如图，当时，则当时，；当时，，即，解得；②如图，当时，当时，，当时，，解得，综上，的取值范围为或．考点6：二次函数的应用14．某快餐店销售A、B两种快餐，每份利润分别为12元、8元，每天卖出份数分别为40份、80份．该店为了增加利润，准备降低每份A种快餐的利润，同时提高每份B种快餐的利润．售卖时发现，在一定范围内，每份A种快餐利润每降1元可多卖2份，每份B种快餐利润每提高1元就少卖2份．如果这两种快餐每天销售总份数不变，那么这两种快餐一天的总利润最多是______元．【答案】1264【分析】根据题意，总利润=快餐的总利润＋快餐的总利润，而每种快餐的利润=单件利润×对应总数量，分别对两份快餐前后利润和数量分析，代入求解即可．【详解】解：设种快餐的总利润为，种快餐的总利润为，两种快餐的总利润为，设快餐的份数为份，则B种快餐的份数为份．据题意：∴∵∴当的时候，W取到最大值1264，故最大利润为1264元故答案为：126415．某游乐场的圆形喷水池中心O有一雕塑OA，从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以水平方向为x轴，点O为原点建立直角坐标系，点A在y轴上，x轴上的点C，D为水柱的落水点，水柱所在抛物线第一象限部分的函数表达式为．（1）求雕塑高OA．（2）求落水点C，D之间的距离．（3）若需要在OD上的点E处竖立雕塑EF，，．问：顶部F是否会碰到水柱？请通过计算说明．【答案】（1）；（2）22米；（3）不会【分析】（1）求雕塑高,直接令，代入求解可得；（2）可先求出的距离，再根据对称性求的长；（3）利用，计算出的函数值，再与的长进行比较可得结论．【详解】解：（1）由题意得，A点在图象上．当时，．（2）由题意得，D点在图象上．令，得．解得：（不合题意，舍去）．（3）当时，，∴不会碰到水柱．16．红星公司销售一种成本为40元/件的产品，若月销售单价不高于50元/件．一个月可售出5万件；月