中考数学一轮复习考点（精讲精练）复习专题37 几何最值之胡不归问题（原卷版）

专题37几何最值之胡不归问题专题37几何最值之胡不归问题方法技巧方法技巧问题分析从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家．根据“两点之间线段最短”，虽然从他此刻位置A到家B之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当赶到家时，老人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭．邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？看到这里很多人都会有一个疑问，少年究竟能不能提前到家呢？假设可以提早到家，那么他该选择怎样的一条路线呢？这就是今天要讲的“胡不归”问题.模型展示：如图，一动点P在直线MN外的运动速度为V1，在直线MN上运动的速度为V2，且V1<V2，A、B为定点，点C在直线MN上，确定点C的位置使SKIPIF1<0的值最小．SKIPIF1<0，记SKIPIF1<0，即求BC+kAC的最小值．构造射线AD使得sin∠DAN=k，CH/AC=k，CH=kAC．将问题转化为求BC+CH最小值，过B点作BH⊥AD交MN于点C，交AD于H点，此时BC+CH取到最小值，即BC+kAC最小．最值解法：在求形如“PA+kPB”的式子的最值问题中，关键是构造与kPB相等的线段，将“PA+kPB”型问题转化为“PA+PC”型．题型精讲题型精讲【例1】如图，平行四边形ABCD中，∠DAB=60°，AB=6，BC=2，P为边CD上的一动点，则SKIPIF1<0的最小值等于________．【例2】在等边SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，垂足为D，点E为AB边上一点，点F为直线BD上一点，连接EF．图1图2图3（1）将线段EF绕点E逆时针旋转60°得到线段EG，连接FG．①如图1，当点E与点B重合，且GF的延长线过点C时，连接DG，求线段DG的长；②如图2，点E不与点A，B重合，GF的延长线交BC边于点H，连接EH，求证：SKIPIF1<0；（2）如图3，当点E为AB中点时，点M为BE中点，点N在边AC上，且SKIPIF1<0，点F从BD中点Q沿射线QD运动，将线段EF绕点E顺时针旋转60°得到线段EP，连接FP，当SKIPIF1<0最小时，直接写出SKIPIF1<0的面积．【例3】已知抛物线SKIPIF1<0过点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点，与y轴交于点C，SKIPIF1<0．（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）过点A作SKIPIF1<0，垂足为M，求证：四边形ADBM为正方形；（3）点P为抛物线在直线BC下方图形上的一动点，当SKIPIF1<0面积最大时，求点P的坐标；（4）若点Q为线段OC上的一动点，问：SKIPIF1<0是否存在最小值？若存在，求岀这个最小值；若不存在，请说明理由．提分作业提分作业1．如图，△ABC中，AB＝AC＝10，tanA＝2，BE⊥AC于点E，D是线段BE上的一个动点，则SKIPIF1<0的最小值是______.2．在平面直角坐标系中，将二次函数SKIPIF1<0的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到如图所示的抛物线，该抛物线与SKIPIF1<0轴交于点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0(点SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0的左侧)，SKIPIF1<0，经过点SKIPIF1<0的一次函数SKIPIF1<0的图象与SKIPIF1<0轴正半轴交于点SKIPIF1<0，且与抛物线的另一个交点为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的面积为5．（1）求抛物线和一次函数的解析式；（2）抛物线上的动点SKIPIF1<0在一次函数的图象下方，求SKIPIF1<0面积的最大值，并求出此时点E的坐标；（3）若点SKIPIF1<0为SKIPIF1<0轴上任意一点，在(2)的结论下，求SKIPIF1<0的最小值．3．已知抛物线SKIPIF1<0（SKIPIF1<0为常数，SKIPIF1<0）经过点SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0是SKIPIF1<0轴正半轴上的动点．（Ⅰ）当SKIPIF1<0时，求抛物线的顶点坐标；（Ⅱ）点SKIPIF1<0在抛物线上，当SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时，求SKIPIF1<0的值；（Ⅲ）点SKIPIF1<0在抛物线上，当SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0时，求SKIPIF1<0的值．4．如图，已知抛物线y＝SKIPIF1<0（x＋2）（x﹣4）（k为常数，且k＞0）与x轴从左至右依次交于A，B两点，与y轴交于点C，经过点B的直线y＝－SKIPIF1<0x＋b与抛物线的另一交点为D．（1）若点D的横坐标为﹣5，求抛物线的函数表达式；（2）若在第一象限内的抛物线上有点P，