计数原理习题课 高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

计数原理习题课

教学目标：1.了解两个计数原理，会用两个原理解决简单的计数问题；2.能正确区分排列与组合，通过对实际问题的分析，比较排列与组合的异同；3.通过对排列组合常见题型的梳理，初步形成解决计数问题的意识，发展直观抽象和求解运算能力。题型一、两个计数原理的应用例1（1）用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为（）

A．324B.328C.360D.648解析：“0”是特殊元素，分0在末位和0不在末位两类.当0排在末位时，有9×8=72种；当0不排在末位时，有4×8×8=256种，由分类计数原理，符合题意得偶数共有72+256=328种，选B.02,4,6,8例1.

（2）现有彩电3台冰箱2台，从中任选3件电器，要求彩电冰箱至少各1台，有多少种不同的选法？解析：此题最典型的错误就是按照分布计数原理，先从3台彩电中任选1台有3种方法，再从2件冰箱中任选1件有2种方法，最后再从剩下的3件电器中任选1件有3种方法，由分步计数原理有3×2×3=18种.此方法的错误在于前后步骤之间不相互独立，出现重复计算.假设彩电标记为A,B,C；冰箱标记为a,b，则按此方法可得AaB和BaA为两种不同的选法，导致重复计算。正确解法应该是先分类后分步，即第一类是选择2台彩电1件冰箱有3×2=6种，第二类是选择1台彩电2件冰箱有3×1=3种，由分类计数原理共有6+3=9种.方法规律1.应用两个计数原理的关键在于明确分类还是分步.在处理具体的应用问题时，首先必须弄清楚“分类”与“分步”的具体标准是什么，选择合理的标准处理事情，可以避免计数的重复或遗漏.2.(1)分类要做到“不重不漏”，分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数.(2)分步要做到“步骤完整”，完成了所有步骤，恰好完成任务，当然步与步之间要相互独立，分步后再计算每一步的方法数，最后根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘，得到总数.3.混合问题一般是先分类再分步.题型二、排列问题例2（教材38页习题）

某种产品的加工需要经过5道工序.（1）如果其中某道工序不能放在最后，那么有多少种加工顺序？（2）如果其中某2道工序不能放在最前，也不能放在最后，那么有多少种加工顺序？（3）如果其中某2道工序必须相邻，那么有多少种加工顺序？（4）如果其中某2道工序不能相邻，那么有多少种加工顺序？（5）如果A工序必须排在B工序的前面，那么有多少种加工顺序？

例2（教材38页习题）

某种产品的加工需要经过5道工序.（1）如果其中某道工序不能放在最后，那么有多少种加工顺序？（2）如果其中某2道工序不能放在最前，也不能放在最后，那么有多少种加工顺序？例2（教材38页习题）

某种产品的加工需要经过5道工序.（3）如果其中某2道工序必须相邻，那么有多少种加工顺序？（4）如果其中某2道工序不能相邻，那么有多少种加工顺序？

例2（教材38页习题）

某种产品的加工需要经过5道工序.（5）如果A工序必须排在B工序的前面，那么有多少种加工顺序？

规律方法

排列应用问题的分类与解法(1)对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分析法、元素分析法，在实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类过多的问题可以采用间接法.(2)对相邻问题采用捆绑法、不相邻问题采用插空法、定序问题采用倍缩法是解决有限制条件的排列问题的常用方法.题型三、组合问题例3（教材27页13题）

从5名男生和4名女生中选出4人去参加一项创新大赛.（1）如果4人中男生女生各选2人，那么有多少种选法？（2）如果男生中的甲和女生中的乙必须在内，那么有多少种选法？（3）如果男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在内，那么有多少种选法？（4）如果4人中必须既有男生又有女生，那么有多少种选法？解析：本题考查组合问题，注意组合与排列的区别与联系，直接法和间接法的应用.例3（教材27页13题）

从5名男生和4名女生中选出4人去参加一项创新大赛.（1）如果4人中男生女生各选2人，那么有多少种选法？（2）如果男生中的甲和女生中的乙必须在内，那么有多少种选法？

例3（教材27页13题）

从5名男生和4名女生中选出4人去参加一项创新大赛.（3）如果男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在内，那么有多少种选法？

例3（教材27页13题）

从5名男生和4名女生中选出4人去参加一项创新大赛.（4）如果4人中必须既有男生又有女生，那么有多少种选法？

规律方法：

组合问题常有以下两类题型变化

(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取.(2)“至少”或“至多”含有几个元素的组合题型：解这类题必须十分重视“至少”与“至多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解.用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理.题型四、分组分配问题例4.教育部为发展平困地区教育，在全国重点师范大学免费培养教育专业师范生，毕业后要分配到相应的地区任教。现有6个免费培养的教育专业师范毕业生要分配都3所学校去任教。（1）如果每所学校2名，有多少种不同的分配方法；（2）如果两所学校各1名，另一所学校4名，有多少种不同的分配方法；（3）如果一所学校1名，一所学校2名，一所学校3名，有多少种不同的分配方法；（4）如果甲校1名，乙校2名，丙校3名，有多少种不同的分配方法.例4.教育部为发展平困地区教育，在全国重点师范大学免费培养教育专业师范生，毕业后要分配到相应的地区任教。现有6个免费培养的教育专业师范毕业生要分配都3所学校去任教。（1）如果每所学校2名，有多少种不同的分配方法；

AB

CD

EFABEFCDCDABEFCDEFABEFABCDEFCDAB例4.教育部为发展平困地区教育，在全国重点师范大学免费培养教育专业师范生，毕业后要分配到相应的地区任教。现有6个免费培养的教育专业师范毕业生要分配都3所学校去任教。（2）如果两所学校各1名，另一所学校4名，有多少种不同的分配方法；

ABCDEFBACDEF例4.教育部为发展平困地区教育，在全国重点师范大学免费培养教育专业师范生，毕业后要分配到相应的地区任教。现有6个免费培养的教育专业师范毕业生要分配都3所学校去任教。（3）如果一所学校1名，一所学校2名，一所学校3名，有多少种不同的分配方法；

例4.教育部为发展平困地区教育，在全国重点师范大学免费培养教育专业师范生，毕业后要分配到相应的地区任教。现有6个免费培养的教育专业师范毕业生要分配都3所学校去任教。（4）如果甲校1名，乙校2名，丙校3名，有多少种不同的分配方法.

2.对于部分均分问题，解题时要注意重复的次数是均匀分组的阶乘数，即若有m组元素个数相等，则分组时应除以m！.3.对于不等分问题，首先要对分配数量的可能情形进行一一列举，然后再对每一种情形分类讨论.在每一类的计数中，又要考虑是分步计数还是分类计数，是排列问题还是组合问题.课堂小结：1.对于有附加条件的排列、组合应用题，通常从三个途径考虑(1)以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素.(2)以位置为主考虑，即先