第五章 向量空间

PAGE1第五章向量空间计划课时:24学时(P221-257)§5.1向量空间的定义(4学时)教学目的及要求：掌握向量空间的定义及简单性质教学重点、难点：向量空间的定义本节内容可分为下面三个问题讲授：一．先给出几个例子(P221-222例1,例2,例3)，从中抽象出它们的共性,就可得到向量空间的概念.二．向量空间的定义(P221定义1)注意：1.通过这个定义让学生逐步学会从具体例子抽象出一般概念的方法。2.让学生体会公理化定义的特点。三．再通过几个例子P223-224)，进一步加深学生对向量空间的理解.四．向量空间的一些简单性质(P224-225命题5.1.1-5.1.4)作业：P2531，2，3，4.§5.2向量的线性相关性(6学时)教学目的及要求：理解线性组合、线性相关、线性无关、向量组的等价、极大无关组、向量组的秩的定义及相关理论教学重点、难点：线性相关,线性无关、极大无关组的定义；线性相关、线性无关的判定，极大无关组的求法。本节内容可分为下面七个问题讲授：一．线性组合,线性表示(P225定义1)及举例(P225-226例1--例4)二．线性相关,线性无关(P226定义2)及举例(P226-229例5--例9)注意：1.线性相关、线性无关的定义是线性代数部分最重要的概念之一，也是本节的一个难点。2.等式中的。3.V中同一组向量可能会因为数域F的改变，线性相关性也发生改变。三．线性组合与线性相关的几个结果(P228-229定理5.2.1-5.2.3)四．向量组的线性表示(P229定义3)及性质(P231推论5.2.5,定理5.2.6,推论5.2.7)注意：替换定理“定理5.2.6”及其推论5.2.7在后面多处地方被用到。定理5.2.6的证明是本节的一个难点。五．向量组的等价及性质(P232-233推论5.28,定理5.2.9)六．极大无关组(P233定义4)、性质(P233定理5.2.10,推论5.2.11,推论5.2.12)及求法(P236例15)注意：1.极大无关组的概念是本章的重要概念之一。零向量组没有极大无关组。2.一般来说，一个向量组的极大无关组不唯一。但它所含向量的个数却唯一。七．向量组的秩(P234定义5及定理5.2.14).定理5.2.14设向量组线性无关，A是一个矩阵，令，则。注意：1.这个定理是本书的最重要的定理之一。在后面多处地方用到此定理的结论。2.当已知一组线性无关的向量时,这个定理告诉我们，每给一个n阶可逆矩阵A，就可得到n个线性无关的向量。因此定理5.2.14告诉了我们构造线性无关的向量组的方法。作业：P2545，6，7，8，9，10（1），11，13，15。§5.3基、维数、坐标(4学时)教学目的及要求：理解基、维数、坐标、过渡矩阵的定义及相关性质教学重点、难点：基、维数、坐标的定义及性质本节内容可分为下面四个问题讲授：一.基的定义(P237定义1)及举例(P237例1,例2).注意：基与极大无关组这两个概念十分相似。所不同的是，它们所依赖的对象不同。即，基针对的是“向量空间这个集合”，而极大无关组针对的是“有限个向量构成的向量组这个集合”。例子：1.的标准基{}。2.的一个基，其中是第（i,j）位置元素为1其余位置元素为0的矩阵。二.维数的定义(P237定义2)及其结论(P237定理5.3.3,推论5.3.2,定理5.3.3)注意：“定理5.3.3有限维向量空间的任意一组线性无关的向量都可扩充为此向量空间的一个基。”是本节的重点之一。三.有限维向量空间中向量的坐标(P238定义3)、向量坐标的求法(P238例4-例6)及其过渡矩阵的定义、性质.注意：一般来说,同一个向量关于不同基的坐标一般是不同的,但有一定的关系(P240定理5.3.5)四.求过渡矩阵、向量坐标的几个例子(P240例7-例9).作业：P25517，18，19，20，22，23，24，25.§5.4子空间(4学时)教学目的及要求：理解子空间、生成子空间、子空间的和、子空间的直和的定义，掌握维数公式及直和的判定教学重点、难点：子空间直和的概念及维数公式本节内容可分为下面六个问题讲授：子空间的定义(P242定义1及定理5.4.1)及举例(P242例1-例4).生成子空间及其基(P242定理5.4.2)子空间的交与和(P243定义2)注意：向量空间V的两个子空间为,则,仍是V的子空间(P243定理5.4.3),但是子空间的并未必是V的子空间.是V的子空间的充要条件是包含或包含(P245定理5.4.4).维数公式(P245定理5.4.5)设是向量空间V的两个有限维子空间,那么dim()+dim()=dim+dim注意:1.维数公式(P245定理5.4.5)的证明是本节的难点。2.维数公式中必须是向量空间V的有限维子空间.子空间的直和(P247定义3)及几个充要条件(P247定理5.4.6-定理5.4.9).多个子空间的直和(P249定义4).作业：P25526，27，28，29，30．§5.5向量空间的同构(2学时)教学目的及要求：理解向量空间同构的定义及性质，掌握有限维向量空间同构的判定教学重点、难点：向量空间同构的定义，有限维向量空间同构的判定本节内容可分为下面四个问题讲授：一．映射、满射、单射、双射的定义(P250-251定义1-定义4).及例子（P250例3-例8）．二．同构映射，向量空间的同构（P251定义5）．注意：1.同构概念是高等代数的基本概念之一，也是本节的难点。2.“任何一个数域上的维向量空间都与同构（P251定理5.5.1）．”，这样从理论上就把研究一个抽象的有限维向量空间的问题转化为研究一个具体的向量空间的问题。三．同构映射的性质（P252定理5.5.2）．四．数域上两个有限维向量空间同构的充要条件是它们有相同的维数（P253定理5.5.3）．作业：P25631，32．习题课（４学时）例１．习题五的第３题（P254）例２．习题五的第13题例３．证明：如果是向量空间中三个互素多项式，但是其中任意两个却不互素，那么它们线性相关．例４．习题五的第14题例５．习题五的第15题例６．设是数域上的全体阶对称矩阵组成的向量空间，求的基和维数．例７．习题五的第22题例８．习题五的第24题例９．