第22讲　两角和与差的正弦、余弦和正切公式（原卷版）

第22讲两角和与差的正弦、余弦和正切公式基础知识1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)公式S(α±β):sin(α±β)=.

(2)公式C(α±β):cos(α±β)=.

(3)公式T(α±β):tan(α±β)=.

2.两角和与差的正切公式的变形tanα±tanβ=tan(α±β)(1∓tanαtanβ).3.二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)公式S2α:sin2α=.

(2)公式C2α:cos2α===.

(3)公式T2α:tan2α=.

分类探究探究点一和、差、倍角公式的简单应用例1(1)已知α为锐角,sin（π3-α）=33,则cosα= (A.66-32 B.6C.66+12 D.6(2)设α,β满足tan（α+3π4）=3,tan（β+π4）=2,则tan(α+β)= (A.-1 B.-1C.17 (3)已知α∈(0,π),且3cos2α-8cosα=5,则sinα= ()A.53 B.23 C.13 [总结反思]两角和与差的三角函数公式可看作是诱导公式的推广,可用α,β的三角函数表示α±β的三角函数,在使用两角和与差的三角函数公式时,首先要记住公式的结构特征和符号变化规律,特别要注意角与角之间的关系,完成统一角和角与角之间互相转换的目的.变式题(1)已知角α的终边在直线y=43x上,则tan(π4-α)= (A.17 B.-17 C.7 (2)已知2tanθ-tan(θ+π4)=7,则tanθ= (A.-2 B.-1 C.1 D.2(3)若sin(45°+α)=55,则sin2α=探究点二和、差、倍角公式的逆用与变形例2(1)cos42°cos18°-cos72°sin42°=()A.32 B.1C.-12 D.-(2)在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C所对的边,且a=4,b+c=5,tanA+tanB+3=3tanA·tanB,则△ABC的面积为 ()A.32 B.33C.332 (3)已知sinα+cosβ=1,cosα+sinβ=0,则sin(α+β)=.

[总结反思]在利用两角和与差的三角函数公式或二倍角的三角函数公式进行恒等变形时,记住一些常见变形可起到事半功倍的效果.变式题(1)若cosα=-45,α是第三象限角,则1-tanα21+tanαA.2 B.12C.-2 D.-1(2)(1+tan19°)·(1+tan26°)=.

探究点三角的变换问题例3(1)已知sinα=255,sin(β-α)=-1010,α,β均为锐角,则β= A.5π12 B.π3 C.π4 (2)已知sin(π5-α)=14,则cos(2α+3π5)= A.-78 B.C.18 D.-[总结反思]常见的角的变换:π2±2α=2(π4±α),2α=(α+β)+(α-β),α=α+β2+α-β2,π3+α=π2-(π6-α),α=(α+β)-β=(α-β)+β,(变式题(1)若tan(α+β)=3,tanβ=2,则sin(32π-α)sin(π+α)=A.17 B.7 C.-17(2)若sin(α+π4)=35,且α∈(-π4,π4),则cosα的值为A.210 B.C.5210 同步作业1.若sinα=-13,α∈(-π2,0),则sin2α= (A.-429 C.89 D.-2.cos70°sin50°-cos200°sin40°的值为 ()A.-32 B.-C.12 D.3.已知角α的顶点与坐标原点重合,始边与x轴的非负半轴重合,若点P(2,-1)在角α的终边上,则sin(π2-2α)= (A.-45 B.4C.-35 D.4.若tanα=3,tan(2α-β)=-1,则tan(α-β)= ()A.2 B.-2 C.3 D.-35.设a=sin18°cos44°+cos18°sin44°,b=2sin29°cos29°,c=cos30°,则有 ()A.c<a<b B.b<c<aC.a<b<c D.b<a<c6.已知θ∈(0,π),cos2θ+cos22θ=1,则θ= ()A.π6,5π6 B.πC.π6,π3,π2 D.π67.1-tan105°8.已知sin(α+π2)=-13,则cos2α= (A.-79 B.C.-89 D.9.已知α为锐角,且sin(3π8-α)=255,则tan(3π4-2α)的值为A.34 B.-C.-43 D.-34或10.设sin2α-sinα=0,α∈(-π2,0),则tan2α的值是 (A.3 B.-3C.33 D.-11.若sin(θ-π6)=2sin(θ+π3),则tanθ= (A.-33 B.8-53C.8+53 D.-8-5312.设α为第二象限角,若tan(α-π4)=2,则sin2α=.13.若tanα+tanβ=-tan(α+β)=3,则tanαtanβ=.

14.已知sinα=513,α∈(π2,3π2),则tan(π4+α)=,15.如图K22-1,已知点A(1,0),P1(cosα,sinα),P2(cosβ,-sinβ),P(cos(α+β),sin(α+β)).(1)证明:cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ;(2)利用(1)的结果证明cosαcosβ=12[cos(α+β)+cos(α-β)],并计算cos37.5°cos37.5°的值图K22-116.已