第20讲 导数的综合应用【秋季讲义】（人教A版2019选择性必修第二册）（原卷版）

第20讲导数的综合应用【人教A版2019】·模块一导数中的函数零点（方程根）问题·模块二导数中的不等式证明·模块三导数中的恒成立、存在性问题·模块四导数在解决实际问题中的应用·模块五课后作业模块一模块一导数中的函数零点（方程根）问题1．导数中的函数零点（方程根）问题利用导数研究含参函数的零点（方程的根）主要有两种方法：(1)利用导数研究函数f(x)的最值，转化为f(x)图象与x轴的交点问题，主要是应用分类讨论思想解决.(2)分离参变量，即由f(x)=0分离参变量，得a=g(x)，研究y=a与y=g(x)图象的交点问题.【考点1利用导数研究函数的零点（方程的根）】【例1.1】（2023上·辽宁大连·高三校考期中）已知函数fx=x2+A．-1 B．0 C．1 D．2【例1.2】（2023上·重庆渝中·高三统考期中）已知函数fx=12x,x≥0-xA．0,12e B．12e,+【变式1.1】（2023上·安徽·高三校联考期中）已知函数fx=(lnx)2-a2A．-1e2-e,0 B．-【变式1.2】（2023·四川泸州·四川省校考模拟预测）已知函数f(x)=x2,0≤x≤1|ln(x-1)|,x>1，若方程A．12 B．1 C．2 D．模块二模块二导数中的不等式证明1．导数中的不等式证明(1)一般地，要证f(x)>g(x)在区间(a，b)上成立，需构造辅助函数F(x)＝f(x)－g(x)，通过分析F(x)在端点处的函数值来证明不等式．若F(a)＝0，只需证明F(x)在(a，b)上单调递增即可；若F(b)＝0，只需证明F(x)在(a，b)上单调递减即可.(2)在证明不等式中，若无法转化为一个函数的最值问题，可考虑转化为两个函数的最值问题．【考点2利用导数证明不等式】【例2.1】（2023上·山东青岛·高三统考期中）已知函数fx=lnx-(1)当a=1时，讨论函数fx(2)当a>1时，证明：fx【例2.2】（2023·四川宜宾·统考一模）已知f(x)=x-xlnx-1，记f(x)在x=1(1)证明：g(x)≥f(x)；(2)若方程f(x)=m有两个不相等的实根x1,x【变式2.1】（2023·全国·模拟预测）已知函数fx(1)求函数fx在x=1(2)若x1+x2+⋯+【变式2.2】（2023上·天津滨海新·高三校考开学考试）已知函数fx=e(1)若函数hx在x=1处的切线与直线y=12(2)设a>0，当x∈0,（i）证明：函数fx存在唯一的极大值点x（ii）证明：fx模块三模块三导数中的恒成立、存在性问题1．导数中的恒成立、存在性问题解决不等式恒（能）成立问题有两种思路：(1)分离参数法解决恒（能）成立问题，根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题，即可解决问题．(2)分类讨论法解决恒（能）成立问题，将恒成立问题转化为最值问题，此类问题关键是对参数进行分类讨论，在参数的每一段上求函数的最值，并判断是否满足题意，据此进行求解即可.【考点3利用导数研究不等式恒成立问题】【例3.1】（2023上·湖北·高三襄阳五中校联考期中）关于x的不等式exx-a≤x在-1,1恒成立，则实数aA．1-1e,+∞ B．e-1,+∞【例3.2】（2023·全国·模拟预测）已知fx=ax3+b-2x2+A．62+9 B．92+9 C．【变式3.1】（2023上·河南·高三校联考期中）已知函数fx(1)若fx在区间0,+∞上无零点，求实数(2)若对任意x∈0,+∞，不等式fx【变式3.2】（2023上·北京东城·高三校考阶段练习）已知函数fx(1)求曲线y=fx在点0,f(2)求fx在区间-(3)设实数a使得fx+2x>ae2x对【考点4利用导数研究存在性问题】【例4.1】（2023下·北京·高二校考期末）已知函数fx=lnx-x+m，若存在x∈1e,A．-∞,1 BC．-∞,e【例4.2】（2023·全国·高三专题练习）已知函数fx=x2-2ex+a，gx=lnxA．2e-1,+∞C．e2,+∞【变式4.1】（2023上·黑龙江·高三校联考阶段练习）已知函数fx=ex+1，若函数y=fx的图象上任意一点P(1)求函数g(x)的解析式；(2)若存在x∈0,1，使fx+g(x)≥m【变式4.2】（2023·全国·高三专题练习）已知函数f(x)=a+1x+a(1)求函数fx(2)设函数gx=2x2f'x【考点5利用导数研究双变量问题】【例5.1】（2023上·广东广州·高三校考阶段练习）设函数f(x)=xlnx-x-12a(1)求实数a的取值范围；(2)若不等式eλx1<x【例5.2】（2023上·海南海口·高三校考阶段练习）已知函数fx(1)当m>0时，讨论函数fx(2)若函数gx=fx-12mx2有两个零点x1，【变式5.1】（2023上·广东深圳·高三校考阶段练习）已知函数fx(1)若a=0，求fx(2)若fx有两个极值点，分别为x1和x2x【变式5.2】（2023·四川攀枝花·统考模拟预测）已知函数fx(1)当a=1时，求fx(2)设函数gx=x2-1ex-x-fx模块四模块四导数在解决实际问题中的应用1．导数在解决实际问题中的应用(1)利用导数解决实际问题时，常常涉及用料最省、成本(费用)最低、利润最大、效率最高等问题，求解时需要分析问题中各个变量之间的关系，抓主元，找主线，把“问题情境"翻译为数学语言，抽象成数学问题，再选择合适的数学方法求解，最后经过检验得到实际问题的解.

(2)解决优化问题的方法并不单一，运用导数求最值是解决这类问题的有效方法，有时与判别式、基本不等式及二次函数的性质等结合，多举并用，达到最佳效果.

(3)利用导数解决实际问题的一般步骤【考点6导数在实际问题中的应用】【例6.1】（2023上·山东济宁·高三统考期中）某市城郊由3条公路围成的不规则的一块土地（其平面图形为图1所示）．市政府为积极落实“全民健身”国家战略，准备在此地块上规划一个体育馆．建立图2所示的平面直角坐标系，函数fx的图象由曲线段OA和直线段AB构成，已知曲线段OA可看成函数fx=kx2的一部分，直线段OB=6（百米），体育馆平面图形为直角梯形BCDE（如图2所示），∠BCD=

(1)求函数fx(2)在线段OB上是否存在点C，使体育馆平面图形面积最大？若存在，求出该点C到原点O的距离；若不存在，请说明理由．【例6.2】（2023上·上海浦东新·高三校考期中）图①是高桥中学的校门，它由上部屋顶，和下部两根立柱组成，如图②，屋顶由四坡屋面构成，其中前后两坡屋面ABFE和CDEF是全等的等腰梯形，左右两坡屋面EAD和FBC是全等的三角形.点F在平面ABCD和BC上的射影分别为H、M，已知HM=2m，BC=2m，梯形ABFE的面积是△FBC面积的4倍，设

(1)求屋顶面积S关于θ的函数关系式；(2)已知上部屋顶造价与屋顶面积成正比，比例系数为k（k为正的常数），下部两根立柱的总造价与其单根的高度成正比，比例系数为2k，假设校门的总高度为3m，试问，当θ为何值时，校门的总造价（上部屋顶和下部两根立柱）最低?【变式6.1】（2023上·山东日照·高三统考期中）某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召，因地制宜地将该镇打造成“生态水果特色小镇”．经调研发现：某水果树的单株产量W（单位：千克）与施用肥料x（单位：千克）满足如下关系：W(x)=5x2+3,0≤x≤250x1+x,2<x≤5，肥料成本投入为10x元，其他成本投入（如培育管理(1)求单株利润fx（元）关于施用肥料x(2)当施用肥料的成本投入为多少元时，该水果单株利润最大？最大利润是多少？【变式6.2】（2023·福建泉州·高三阶段练习）如图，某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD的顶点A，B以及CD的中点P处，Q为AB的中点.已知AB=20km，CB=10km，为了处理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD内(含边界)，且与A，B等距离的一点O处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道AO，BO，OP，设排污管道的总长为ykm．(I)设∠BAO=θ，将y表示成θ的函数关系式；(II)确定污水处理厂的位置，使三条排污管道的总长度最短，并求出最短值．模块五模块五课后作业1．（2023上·河南·高三校联考阶段练习）已知函数fx=1-ax-lnxA．0,1 B．0,e C．1,+∞ D2．（2023上·江苏无锡·高三校考阶段练习）设函数fx，gx在R上的导函数存在，且f'x>A．fx>gxC．fx+ga3．（2023下·吉林长春·高二校考开学考试）某莲藕种植塘每年的固定成本是1万元，每年最大规模的种植量是8万斤，每种植一斤藕，成本增加0.5元.已知销售额函数是f(x)=-18x3+916ax2+A．6万斤 B．8万斤 C．3万斤 D．5万斤4．（2023上·陕西商洛·高三校联考阶段练习）已知函数fx=eax-1-1aA．e,+∞ B．e,+∞ C．5．（2023上·湖北·高三校联考期中）已知函数fx=xexx≤0lnxxx>0，若关于A．-∞,-1C．0,1e D6．（2023·四川乐山·统考二模）若存在x0∈-1,2，使不等式x0+A．12e,e2 B．1e7．（2023上·江西赣州·高三校考阶段练习）设函数fx在a,b上的导函数为f'x，f'x在a,b上的导函数记为f″x，若在a,b上f″x<0恒成立，则称函数fx在a,b上为“凸函数”，已知fA．3,+∞ B．C．518,+∞8．（2023下·四川眉山·高二校考阶段练习）已知函数fx=ex+ax有两个零点xA．a<-e B．C．x1x2>19．（2023上·福建厦门·高三校考阶段练习）已知直线y=a与曲线y=xex相交于A，B两点，与曲线y=lnxx相交于B，C两点，A，B，C的横坐标分别为x1A．x2=aeC．x3=e10．（2023上·黑龙江大庆·高三校考期中）已知函数fx=exA．f(lnx)在B．若不等式me2x+lnC．若gx=t有两个根xD．若fx1=gx2=t(t>2)11．（2023·全国·模拟预测）已知函数fx(1)当a=2时，求函数fx(2)函数fx在1,+∞上是否存在两个零点？若存在，求实数12．（2023上·安徽·高三校联考期中）南京玄武湖号称“金陵明珠”，是我国仅存的皇家园林湖泊．在玄武湖的一角有大片的荷花，每到夏季，荷花飘香，令人陶醉．夏天的一个傍晚，小胡和朋友游玄武湖，发现观赏荷花只能在岸边，无法深入其中，影响观赏荷花的乐趣，于是他便有了一个愿景：若在玄武湖一个盛开荷花的一角（该处岸边近似半圆形，如图所示）设计一些栈道和一个观景台，观景台P