第15讲 余弦定理、正弦定理的应用（六大题型）（原卷版）

第15讲余弦定理、正弦定理的应用【题型归纳目录】【知识点梳理】知识点一、测量中的常用角名称定义示例方位角从指北方向线顺时针转到目标方向线的角点A的方位角为225°方向角正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角点A的方向角为南偏西45°（或称西南方向）知识点二、常见问题的测量方案1、距离问题类型简图测量两点A，B均可达先选定适当的位置C，用测角器测出角α，再分别测出AC，BC的长b，a，则可求出A，B两点间的距离，即两点A，B可视，但有一点不可达在A所在的岸边选定一点C，可以测出AC的距离m，再借助仪器，测出，，那么在△ABC中，已知两角及一边，运用正弦定理就可以求出AB两点A，B可视，均不可达测量者可以在河岸选定两点C，D，测得，同时在C，D两点分别测得，，，．在和中，由正弦定理计算出AC和BC后，再在中，应用余弦定理计算出A，B两点间的距离2、高度问题类型简图测量方案底部可达测得，，底部不可达点B与C，D共线测得及C与的度数先由正弦定理求出AC或AD，再解直角三角形得AB的值．点B与C，D不共线测得及∠BCD，∠BDC，∠ACB的度数．在△BCD中由正弦定理求得BC，再解直角三角形得AB的值【典型例题】题型一：距离问题【例1】（2024·四川资阳·高一统考期末）为捍卫国家南海主权，我海军在南海海域进行例行巡逻.某天，一艘巡逻舰从海岛出发，沿南偏东的方向航行40海里后到达海岛，然后再从海岛出发，沿北偏东的方向航行了海里到达海岛，若巡逻舰从海岛出发沿直线到达海岛，则航行的方向和路程（单位：海里）分别为（

）A．北偏东 B．北偏东C．北偏东 D．北偏东【变式1-1】（2024·黑龙江齐齐哈尔·高一齐齐哈尔中学校考期末）已知飞机的飞行航线AB和地面目标C在同一铅直平面内，在A处测得目标C的俯角为30°，飞行26到达B处，测得目标C的俯角为75°，此时B处与地面目标C的距离为（

）

A． B． C．5 D．【变式1-2】（2024·云南曲靖·高一校考期末）如图所示，为了测量湖中两处亭子间的距离，湖岸边现有相距100米的甲､乙两位测量人员，甲测量员在处测量发现亭子位于北偏西亭子位于东北方向，乙测量员在处测量发现亭子位于正北方向，亭子位于北偏西方向，则两亭子间的距离为（

）

A．米 B．米 C．米 D．米题型二：高度问题【例2】（2024·陕西商洛·高一校考期末）如图，八卦桥（图1）是洛南县地标性建筑之一，它是一个八边形人行天桥，桥的中心处建有一座五层高的宝塔（图2），晚上宝塔上的霓虹灯流光溢彩非常美丽.某同学为了测量宝塔的高度，在塔底部同一水平线上选取了C，D两点，测得塔的仰角分别为和，C，D间的距离是12米.则宝塔的高度AB是（

）米.（结果保留根号）

A． B．C． D．【变式2-1】（2024·辽宁鞍山·高一校考期末）如图，小明想测量自己家所在楼对面的电视塔的高度，他在自己家阳台M处，M到楼地面底部点N的距离为，假设电视塔底部为E点，塔顶为F点，在自己家所在的楼与电视塔之间选一点P，且E，N，P三点共处同一水平线，在P处测得阳台M处、电视塔顶处的仰角分别是和，在阳台M处测得电视塔顶F处的仰角，假设，和点P在同一平面内，则小明测得的电视塔的高为（

）

A． B． C． D．【变式2-2】（2024·四川绵阳·高一四川省绵阳南山中学校考期末）中国历史文化名楼之一的越王楼，位于四川省绵阳市游仙区涪江畔，更因历代诗人登楼作诗而流芳后世.如图，某同学为测量越王楼的高度，在越王楼的正东方向找到一座建筑物，高约为49m，在地面上点处（B，C，N三点共线）测得建筑物顶部A，越王楼顶部的仰角分别为和，在A处测得楼顶部的仰角为，则越王楼的高度约为（

）

A．69m B．95m C．98m D．99m题型三：角度问题【例3】（2024·重庆·高一重庆市大学城第一中学校校考期末）一艘游轮航行到处时看灯塔在的北偏东，距离为海里，灯塔在的北偏西，距离为海里，该游轮由沿正北方向继续航行到处时再看灯塔在其南偏东方向，则此时灯塔位于游轮的（）A．正西方向 B．南偏西方向 C．南偏西方向 D．南偏西方向【变式3-1】（2024·湖北武汉·高一校联考阶段练习）已知甲船在海岛的正南A处，海里，甲船以每小时4海里的速度向正北航行，同时乙船自海岛出发以每小时6海里的速度向北偏东60°的方向驶去，当航行一小时后，甲船在乙船的（

）A．北偏东30°方向 B．北偏东15°方向C．南偏西30°方向 D．南偏西15°方向【变式3-2】（2024·山东临沂·高一统考期末）一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A处测得水柱顶端的仰角为45°，沿点A向北偏东30°前进60m到达点B，在点B处测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是（

）A．25m B．30m C．35m D．40m【变式3-3】（2024·高一课时练习）一艘客船上午9：30在A处测得灯塔S在它的北偏东方向，之后它以每小时32海里的速度继续沿正北方向匀速航行，上午10：00到达B处，此时测得船与灯塔S相距海里，则灯塔S在B处的（

）A．北偏东 B．北偏东或南偏东C．南偏东 D．以上方位都不对题型四：物理问题【例4】（2024·山东菏泽·高一期末）如图，一条河两岸平行，河的宽度，一艘船从河边的A点出发到达对岸的B点，船只在河内行驶的路程，行驶时间为0.2.已知船在静水中的速度的大小为，水流的速度的大小为.求：(1)；(2)船在静水中速度与水流速度夹角的余弦值.【变式4-1】（2024·全国·高二课时练习）解决本节开始时的问题：在如图的天平中，左、右两个秤盘均被3根细绳均匀地固定在横梁上.在其中一个秤盘中放入质量为1kg的物品，在另一个秤盘中放入质量为1kg的砝码，天平平衡.3根细绳通过秤盘分担对物品的拉力（拉力分别为，，），若3根细绳两两之间的夹角均为，不考虑秤盘和细绳本身的质量，则，，的大小分别是多少？【变式4-2】（2024·湖南·高一课时练习）已知两个力（单位：N）与的夹角为60°，其中，某质点在这两个力的共同作用下，由点移动到点（单位：m）．(1)求；(2)求与的合力对质点所做的功．题型五：三角形边长、面积、周长最值与范围问题【例5】（2024·河北张家口·高一河北省尚义县第一中学校考阶段练习）已知的内角的对边分别为，.(1)求；(2)求面积的最大值.【变式5-1】（2024·福建莆田·高一莆田第二十五中学校考期末）的内角的对边分别为，已知.(1)若，求的值；(2)若，求周长的最大值.【变式5-2】（2024·河南周口·高一校考阶段练习）在锐角△中角所对的边分别为，且.(1)求角的大小；(2)若△面积为，求边的最小值.【变式5-3】（2024·全国·高一假期作业）已知的内角的对边分别为，且.(1)求边长和角A；(2)求的周长的取值范围.【变式5-4】（2024·湖南益阳·高一统考期末）在中，角，，所对的边分别为，，，且，.(1)求外接圆的半径；(2)求的取值范围.题型六：三角形中的图形类问题【例6】（2024·广东东莞·高一东莞市东华高级中学校考期末）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．(1)求B；(2)已知，D为边上的一点，若，，求的长．【变式6-1】（2024·四川遂宁·高一四川省蓬溪中学校校考阶段练习）如图，的内角、、的对边分别为、、，且.(1)求角B的大小；(2)若，.（i）求的值；（ii）求的角平分线的长.【变式6-2】（2024·海南省直辖县级单位·高一校考期末）如图，是等边三角形，是等腰直角三角形，，交于，.

(1)求的度数；(2)求的面积.【变式6-3】（2024·福建福州·高一校联考期末）如图所示，在中，已知点在边上，且，，.

(1)若，求线段的长；(2)若点是的中点，，求线段的长.【过关测试】一、单选题1．（2024·辽宁铁岭·高一校考期末）如图，某景区欲在两山顶A，C之间建缆车，需要测量两山顶间的距离.已知山高，，在水平面上E处测得山顶A的仰角为30°，山顶C的仰角为60°，，则两山顶A，C之间的距离为（

）

A． B． C． D．2．（2024·云南楚雄·高一统考期末）“近水亭台草木欣，朱楼百尺回波濆”，位于济南大明湖畔的超然楼始建于元代，历代因战火及灾涝等原因，屡毁屡建.今天我们所看到的超然楼是2008年重建而成的，共有七层，站在楼上观光，可俯视整个大明湖的风景.如图，为测量超然楼的高度，选择C和一个楼房DE的楼顶为观测点，已知在水平地面上，超然楼和楼房都垂直于地面.已知，在点处测得点的仰角为，在点处测得点的仰角为，则超然楼的高度（

）

A． B．C． D．3．（2024·辽宁大连·高一统考期末）某校学生为测量操场上的旗杆高度，在与旗杆底端位于同一水平高度的共线三点，，处，测得旗杆顶端处的仰角分别为，，，且，则旗杆的高度为（

）

A． B． C． D．4．（2024·江西上饶·高一统考期末）双塔公园，位于上饶市信州区信江北岸.“双塔”指五桂塔和奎文塔，始建于明清年间，是上饶市历史文化遗存的宝贵财富.某校开展数学建模活动，有建模课题组的学生选择测量五桂塔的高度，为此，他们设计了测量方案.如图，五桂塔垂直于水平面，他们选取了与王桂塔底部在同一水平面上的，两点，测得米，在，两点观察塔顶点，仰角分别为和，，则五桂塔的高度是（

）

A．10米 B．17米 C．25米 D．34米5．（2024·四川成都·高一统考期末）在中，若，，则的形状为（

）A．等边三角形 B．等腰直角三角形C．钝角三角形 D．有一个内角为的直角三角形6．（2024·河南商丘·高一商丘市第一高级中学校联考期末）如图，为测量河对岸建筑物AB的高度，选取与建筑物底部点A在同一水平面上的C，D两点，测得，，，，则建筑物的高度为（

）

A． B． C．20 D．107．（2024·湖南邵阳·高一统考期末）如图，为测量河对岸A，B两点间的距离，沿河岸选取相距的C，D两点，测得，，，，A，B两点的距离为（

）

A． B． C． D．8．（2024·甘肃酒泉·高一统考期末）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，则下列结论正确的是（

）A．B．为锐角三角形C．若，则的面积是D．若外接圆半径是R，内切圆半径为r，则二、多选题9．（2024·甘肃金昌·高一永昌县第一高级中学校考期末）在中，内角的对边分别为，且满足，则（

）A．一定为直角三角形B．可能为等腰三角形C．角A可能为直角D．角A可能为钝角10．（2024·江西·高一校联考期末）一货轮在A处，测得灯塔S在它的北偏东方向，之后它以每小时24的速度继续沿正北方向匀速航行，40分钟后到达处，此时测得货轮与灯塔S相距，则灯塔S可能在处的（

）A．北偏东方向 B．南偏东方向C．北偏东方向 D．南偏东方向11．（2024·浙江宁波·高一统考期末）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列结论正确的是（

）A．若，则为锐角三角形B．若，则C．若，则此三角形有2解D．若，则为等腰三角形12．（2024·四川成都·高一成都外国语学校校考期末）在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且、、，下面说法错误的是（

）A． B．是锐角三角形C．的最大内角是最小内角的2倍 D．内切圆半径为三、填空题13．（2024·北京大兴·高一校考期末）在中，分别为内角的对边，且满足，则.14．（2024·福建福州·高一校考期末）已知轮船A和轮船B同时离开C岛，A船沿北偏东的方向航行，B船沿正北方向航行（如图）．若A船的航行速