2023年中考第一次模拟考试卷数学（江苏扬州）（全解全析）

2023年中考数学第一次模拟考试卷

数学•全解全析

第I卷

12345678

CBDCADAD

选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）

1.（3分）-√J的倒数是（）

A.—B.C.—D.—

【分析】根据倒数定义可知，一√2的倒数是一号.

【解答】解：Y的倒数是-亨.

故选：c.

【点评】主要考查倒数的定义，解决本题的关键是要求熟练掌握倒数的性质：负数的倒数是负数，正数

的倒数是正数，0没有倒数；倒数的定义：若两个数的乘积是1,我们就称这两个数互为倒数.

2.（3分）已知点A（x,X-2）,不论X取何值，点A不会在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【分析】根据各象限的坐标特点得到四个不等式组「,τ>0

(r<O(x<0然后

LC-2KIx-2<tΛ--2<0

分别解不等式组，通过解集的情况进行判断.

【解答】解：因为（Cx的解集为Q2,所以点A可能在第一象限;

因为无解，所以点A不可能在第二象限;

Ix-2X

因为r*ι°的解集为χ<o,所以点A可能在第三象限；

lx-2‹0

因为「X的解集为O<x<2,所以点A可能在第四象限.

U-2‹0

故选：B.

【点评】本题考查了点的坐标：在直角坐标系中，有序实数对与点一•对应.

3.（3分）为响应“创新驱动发展”的战略号召，某学校计划成立创客实验室，现需购买航拍无人机和编程

机器人.己知购买2架航拍无人机和3个编程机器人所需费用相同，购买4架航拍无人机和7个编程机

器人共需39000元.设购买1架航拍无人机需X元，购买1个编程机器人需y元，则可列方程组为（）

A声=2yC3x=2y

I7x+2y=39000l4x+7y=39000

x3

c[2x=3yDP=V

I7x+4y=39000Wx+7y=3900（1

【分析】根据“购买2架航拍无人机和3个编程机器人所需费用相同，购买4架航拍无人机和7个编程

机器人共需39000元”，即可得出关于X,y的二元一次方程组，解之即可得出结论.

【解答】解：购买2架航拍无人机和3个编程机器人所需费用相同，

.∙.2x=3y;

Y购买4架航拍无人机和7个编程机器人共需39000元，

.∙.4Λ+7y=39OOO.

可列方程组为&二∙τwoo∙

故选：D.

【点评】本题考查J'由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解

题的关键.

4.（3分）下列事件中，随机事件的个数为（）

①连续两次抛掷一枚骰子，两次都出现2点向上；②13个人中至少有两个人生肖相同；③某人买彩票中

奖；④任意买一张电影票，座位号是2的倍数.

A.1个B.2个C.3个D.4个

【分析】事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能

事件，必然事件和不可能事件都是确定的.

【解答】解：①连续两次抛掷一枚骰子，两次都出现2点向上，是随机事件:

②13个人中至少有两个人生肖相同，是必然事件；

③某人买彩票中奖，是随机事件；

④任意买一张电影票，座位号是2的倍数，是随机事件.

故选：C.

【点评】本题主要考查了随机事件，在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件.

5.（3分）一个几何体的正视图如图所示，则这个几何体可能为（）

【分析】根据正视图是从正面看到的直接写出结论即可.

【解答】解：∙；三视图为矩形,

只有圆柱符合要求,

故选：A.

【点评】考查了由三视图判断几何体的知识，解题的关键是了解圆柱的正视图是矩形，比较简单.

6.（3分）一块三角形玻璃不慎碰破，成了四片完整碎片（如图所示），假如只带其中的两块碎片去玻璃店

)

A.带其中的任意两块去都可以

B.带1、4或2、3去就可以

C.带1、3或3、4去就可以

D.带1、4或2、4去就可以

【分析】带2、4虽没有原三角形完整的边，又没有角，但延长可得出原三角形的形状；带1、4可以用

“角边角”确定三角形；带3、4也可以用“角边角”确定三角形.

【解答】解：带3、4可以用“角边角”确定三角形，

带1、4可以用“角边角”确定三角形，

带2、4可以延长还原出原三角形，

故选：D.

【点评】本题考查了全等三角形判定的应用：确定一个三角形的大小、形状，可以用全等三角形的几种

判定方法.做题时要根据实际问题找条件.

7.（3分）如图，点P为NMON的平分线上一点，NAPB的两边分别与射线OM,ON交于A,B两点，

NAPB绕点P旋转时始终满足0A∙0B=0p2,若∕MON=54°,则/APB的度数为（）

【分析】通过证明^A0PsZ∖P0B可得NoAP=/OPB,即可解决问题.

【解答】解：:OP平分/M0N,

NAOP=/BOP=27°,

VOA-OB=OP2,即生=竺，

OPBO

Λ∆AOP^∆POB,

ΛZOAP=ZOPB,

,.∙ZAOP+ZOAP+ZAPO=180o,

ΛZOAP+ZAPO=153o,

ΛZOPB+ZAPO=153o,即NAPB=I53°,

故选：A.

【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，旋转的性质，掌握相似三角形的判定方法是本题的关键.

8.（3分）如图，在平面直角坐标系中，NAe）B=90°,Nc）AB=30°,反比例函数yι=?的图象经过点A,

反比例函数”=羡的图象经过点B,若"=-1,则优的值是（）

【分析】根据∕AOB=90°,ZOAB=30°,可求出OA与OB的比，设出点B的坐标，再根据相似三

角形的性质，求出点A的坐标，进而求出,"的值.

【解答】解：过A、B分别作AMJ_x轴，BN_LX轴，垂足为M、N,

VZAOB=90°,NoAB=30°,

.,.∕αn30o=g⅞/g,

QT3

；AM_LX轴，BN_Lr轴，垂足为M、N,

.∙.NONB=NAMO=90°,

ΛZAOM+ZOAM=90°.

VZAOB=90o,

NAOM+/Be)N=90°,

.∙.AOM=NBON,

Λ∆BON^ΔOAM,

.OBMBN√3

仇一MA~OM3

设C)N=〃，BN=/?,则MA=√>z,OM=√]0,

f

.∙.B(-a,b)fA(内〃，V丞),

Y反比例函数”=2的图象经过点B,〃=-1,

.∙.反比例函数*=已的解析式为V2=-A,

XX

∙∖ab=z1,

；点A在反比例函数Vi=1的图象上,

.'.m=^a∙^t>-3ab-3,

故选：D.

【点评】考查反比例函数的图象和性质，直角三角形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，求出反

比例函数图象上点的坐标是解答此题的关键.

二.填空题（共10小题，满分30分，每小题3分）

9.（3分）比-5小6的数是-11.

【分析】计算-5-6,即可.

【解答】解:-5-6=-11.

故答案为：-11.

【点评】本题考查了有理数的减法，掌握有理数的减法法则是关键.

10.（3分）已知4√3=7+2√i=3+2.那么X=3.

【分析】根据二次根式被开方数是非负数求得x=3.

【解答】解：根据题意知，3-x20且X-320.

所以x=3.

故答案是：3.

【点评】考查了二次根式的意义和性质.概念：式子√5（〃20）叫二次根式.性质：二次根式中的被开

方数必须是非负数，否则二次根式无意义.

11.（3分）分解因式：TOV2-4,“x+4,"=（χ-2）2.

【分析】原式提取公因式，”，再利用完全平方公式分解即可.

【解答】解：原式=，”（X2-4X+4）

=W（X-2）2.

故答案为：，〃（χ-2）2.

【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键.

12.（3分）已知关于X的方程/=〃?有两个相等的实数根，则,*=0.

【分析】将原方程变形为一般式，由根的判别式A=O可得出关于"?的一元一次方程，解之即可求出

的值.

【解答】解：原方程可变形为/-，〃=（）.

；该方程有两个相等的实数根，

Λʌ=O2-4×1×（-»?）=0,

Λrn=0.

故答案为：0.

【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当A=O时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键.

13.（3分）已知：在同一个平面直角坐标系中，一次函数y∖^kx+b（⅛≠0）和一次函数*=-Λ+3,若yι

=kx+b（⅛≠0）的图象经过点（-1,2）,当-2Wx≤0时，WWe都成立，则人的取值范围是-3Wk

≤-1.

【分析】求得X=-2时中的函数值，然后利用待定系数法求得出的值，根据图象即可求得当-2WXWO

时∙，yι≤"都成立，人的取值范围.

【解答］解:把X=-2代入"=-x+3得，y=2+3=5,

；・直线｝2=-x+3过得（-2,5）,

∖,y↑=kx+b（Jt≠O）的图象经过点（-1,2）,

.∙.若yι=fcr+6（⅛≠0）的图象经过点（-2,5）时:满足当-2<xW0时，yiW”成立，

把（-2,5）、（-1,2）代入V=AX+6得厂3解得仁_3,

.∙.当-2WXWo时，WWy2都成立，则上的取值范围是-3WkW-1,

故答案为：-3WkW-1.

【点评】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式，结合图象解答此题的关键.

14.(3分)掌握地震知识，提升防震意识.根据里氏震级的定义，地震所释放出的能量E与震级〃的关系

为E=%X1O∣∙5"(其中4为大于0的常数)，那么震级为8级的地震所释放的能量是震级为6级的地震所

释放能量的1000倍.

【分析】由题意列出算式：——,进行计算即可得出答案.

<rχlθ15"β

1∙∙;ιo∙ιε''fli'oɪ'-

【解答】解：由题意得：——®--1000,

fc∙⅛ιoi,βx∙io,

故答案为：1000.

【点评】本题考查了科学记数法，理解能量E与震级〃的关系，掌握同底数辕的除法法则是解决问题的

关键.

15.(3分)已知一组数据Xi,X2,X3,…X"的方差是3,则另一组数据2xι+3,2x2+3,2x3+3,…2x”+3的方

差是12.

【分析】先设这组数据加，X2,X3,必，X5的平均数为M，由方差S2=3,则另一组新数据2X∣+3,2X2+3,

2JG+3,…2%+3的平均数为2£+3,方差为S'2,代入公式S?=∖(x-Q)2+(x2-χ)2+-+(x，Tp2]

计算即可.

【解答】解：设这组数据XI,X2,X3,…物的平均数为G，则另一组新数据2n+3,2x2+3,2x3+3,∙∙∙2x,,+3

的平均数为2f+3,

2222

VS=⅛[(Xi-5)+(%2-χ)+∙∙∙+(χn-χ)]

=3,

...方差为S'2=1[(2Λ-∣+3-2i-3)2+(2x2+3-2j-3)2+∙∙→(2x,,+3-2χ-3)2]

=∣[4(XlY)2+4(Λ2-χ)2+-+4(Xn~i)2J

=4X3

=12,

故答案为12.

【点评】本题考查方差，当数据都加上一个数(或减去一个数)时，平均数也加或减这个数，方差不变,

即数据的波动情况不变；当数据都乘以一个数(或除以一个数)时，平均数也乘以或除以这个数，方差

变为这个数的平方倍.

16.(3分)在AABC中，AB=AC=4,S^ABC=4√J,则tan/ACB=

【分析】过点B作BDlAC,先利用三角形的面积求出BD,再利用直角三角形的边角关系求出三角形

顶角的正切，求出顶角的度数，最后利用等腰三角形的性质求出NACB的度数和其正切值.

【解答】解：如图所示：过点B作BDLAC,垂足为D.

VAB=AC=4,

ΛZB=ZC.

VSAABC=aACXBD,SΔABC=4∖G

ΛBD=2√3∙

在Rt∆ABD中,

ΛZA=60o.

ΛZC=ɪ(180°-60°)=60°.

ΛtanZACB=tan60o=3

如图所示：过点B作BDj_AC,垂足为D.

.,.ZABC=ZC.

YSZXABC=ɪAC×BD,SAABC=4∖4'

.∙.BD=2√3∙

在Rt∆ABD中,

VsinZDAB-⅛-⅛,

,432

ΛZDAB=60°.

/.ZACB=30°.

ΛtanZACB=tan30o=γ.

故答案为：√3或U∙

3

【点评】本题主要考查了解直角三角形，掌握宜角三角形的边角间关系、等腰三角形的性质及三角形的

面积公式是解决本题的关键.

17.（3分）如图，AD〃BC,ZADC=120o,NBAD=3NCAD,E为AC上一点，且NABE=2/CBE,

在直线AC上取一点P,使NABP=NDCA,则NCBP：NABP的值为2或4.

【分析】分两种情况进行解答，分别画出图形，结合图形，利用三角形内角和、平行线的性质，等量代

换，得出各个角之间的倍数关系.

【解答】解：如图，①当NABPl=NDCA时，即N1=N2,

VZD=120°,

ΛZl+Z3=180o-120°=60°,

∖∙∕BAD=3∕CAD,NABE=2NCBE,AD〃BC,

3N3+3/EBC=I80°,

ΛZ3+ZEBC=60o,

.∙./EBC=/1=/2=ZPiBE,

ΛZCBPi：NABPl的值为2,

②当NABP2=NDCA时，.∙.NCBP2:NABP2的值为4,

【点评】考查三角形内角和定理、平行线的性质，以及分类讨论思想的应用等知识，画出相应图形，利

用等量代换得出各个角之间的关系是解决问题的关键.

18.（3分）在AABC中，ZB=60o,BC=3,D,E分别为AB,AC的中点，沿DE折叠aABC,使点A

落在直线BC上，点A的对应点为A',若A'C=I,则AB的长为4或8.

【分析】分NC为锐角和钝角两种情形，分别画出图形，利用含30°角的直角三角形的性质可解决问题.

【解答】解：①如图，当A的对称点A'在线段BC上时，

VD,E分别为AB,AC的中点，

.∙.DE为AABC的中位线，

ΛDEZzBC,

ΛAA,XBC,

,.∙BC=3,

,BA'=BC-A,C=3-1=2,

在RfAABA'中，ZB=60o,

ZBAA,=30°,

在RfAABA'中，

AB=2A'B=2X2=4;

②如图，当A的对称点A'在线段BC的延长线上时,

由对称性知AA'±DE,

VVD,E分别为AB,AC的中点，

,DE为aABC的中位线，

ΛDE/7BC,

XVDE±AA',

.∙.AA,±BC,A'B=BC+CA,=3+1=4,

在RfaAA'B中，ZB=60°,

.∙.NBAA'=3O°,

ΛAB=2A,B=2×4=8,

综上，AB的长为：4或8,

故答案为：4或8.

【点评】本题主要考查了翻折变换，三角形中位线定理等知识，含30°角的直角三角形的性质等知识，

运用分类思想是解题的关键.

≡.解答题（共10小题，满分96分）

19.（8分）（1）计算：∣√5-2∣+2010°-（V）-∙l+3fα,ι3（Γ∙

（2）先化简，再求值：（咚1一4）+言其中X=-L

【分析】（1）此小题为有理数的混合运算，只需按混合运算的运算顺序计算即可：

（2）此小题为求代数式值的题目，不应考虑把X的值直接代入，通常做法是先把代数式化简，然后再代

入求值.

【解答】解：（I）卜3-2-2010o-l-∣）--÷3tΛnSQS

=2-√J+l-（-3）+3渭，

=2-√5+l+3⅜√3,

=6；

（2）f⅛i-+r*⅛⅛'

（＞-2）2.Vt÷2）

*（*+2乂£-2）’

=X-2；

当x=-1时，原式=X-2=-1-2=-3.

【点评】本题考查了有理数的混合运算及分式的化简求值，比较基础，属于中考中常见题型，同学们要

牢固掌握.

20.（8分）解不等式组：（5"+2>3（*区，并写出这个不等式组的所有整数解.

【分析】根据解不等式组的方法可以求得原不等式组的解集，从而可以求得满足不等式组的整数解.

【解答】解：解不等式①得：尤>-2.5,

解不等式②得：x≤4,

不等式组的解集为：-2.5<xW4,

这个不等式组的所有整数解为：-2,-1,0,I,2,3,4.

【点评】本题考查一元一次不等式组的整数解，解答本题的关键是明确解一元一次不等式组的方法.

21.（8分）为了解学生寒假阅读情况，某学校进行了问卷调查，对部分学生假期的阅读总时间作了随机抽

样分析.设被抽样的每位同学寒假阅读的总时间为f（小时），阅读总时间分为四个类别：A（0<r<12）,

B（12≤∕<24）,C（24≤r<36）,D（r≥36）,将分类结果制成如下两幅统计图（尚不完整）.

根据以上信息，回答下列问题：

（1）本次抽样的样本容量为60；

（2）补全条形统计图；

（3）扇形统计图中ɑ的值为20,圆心角β的度数为144°:

（4）若该校有2000名学生，估计寒假阅读的总时间少于24小时的学生有多少名？

四种类别的人数条形统计图四种类别的扇形统计图

【分析】（1）根据D组的人数和百分比即可求出样本容量；

（2）根据C组所占的百分比即可求出C组的人数；

（3）根据A组的人数即可求出A组所占的百分比，根据C组所占的百分比即可求出对应的圆心角;

（4）先算出低于24小时的学生的百分比，再估算出全校低于24小时的学生的人数.

【解答】解：（I）本次抽样的人数上-=60（人），

ιo%

.∙.样本容量为60,

故答案为：60；

(2)C组的人数为40%X60=24(人),

(3)A组所占的百分比为一xIOO%≈2O%,

♦a的值为20,

β=40%×360°=144°,

故答案为：20,144°；

(4)总时间少于24小时的学生的百分比为J归xi∞%=50%,

6Q

估计寒假阅读的总时间少于24小时的学生有2000×50%=1000(名)，

答：估计寒假阅读的总时间少于24小时的学生有I(X)O名.

【点评】本题主要考查统计图形的应用，能看懂统计图是关键，一般求总量所用的公式是一个已知分量

除以它所占的百分比，第・问基本都是求总量，所以要记住，估算的公式是总人数乘以满足要求的人数

所占的百分比，这两种问题中考比较爱考，记住公式，平时要多加练习.

22.(8分)刘芳和李琴周末相约到某植物园晨练，这个植物园有A,B,C,D四个入口，她们可随机选择

一个人口进入植物园，假设选择每个入口的可能性相同.

(1)她们其中一人进入植物园时，从B入口处进入的概率为-；

(2)用树状图或列表法，求她们两人选择不同入口进入植物园的概率.

【分析】(1)直接由概率公式求解即可；

(2)画树状图，共有16种等可能的结果，其中刘芳和李琴两人选择不同入口进入植物园的结果有12种,

再由概率公式求解即可.

【解答】ft?：(1)从B入口处进入的概率为一,

故答案为：-；

4

(2)画树状图如下：

开始

ABCD

×√∖χ/Aχx√V∖/√∖x

ABCDABCDABCDABCD

共有16种等可能的结果，其中刘芳和李琴两人选择不同入口进入植物园的结果有12种，

她们两人选择不同入口进入植物园的概率为三=--

164

【点评】本题考查的是用树状图法求概率.树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两

步或两步以上完成的事件.用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.

23.(10分)市政府计划对城区道路进行改造，现安排甲、乙两个工程队共同完成.已知甲队的工作效率是

乙队工作效率的1.5倍，甲队改造240米的道路比乙队改造同样长的道路少用2天.

(1)甲、乙两个工程队每天能改造道路的长度分别是多少米？

(2)若甲队工作一天的改造费用为7万元，乙队工作一天的改造费用为5万元，如需改造的道路全长为

1800米，求安排甲、乙两个工程队同时开工，并一起完成这项城区道路改造的总费用？

【分析】(1)设乙工程队每天能改造道路的长度为X米，则甲工程队每天能改造道路的长度为l∙5x米，

由题意：甲队改造240米的道路比乙队改造同样长的道路少用2天.列出分式方程，解方程即可；

(2)设安排甲、乙两个工程队同时开工需要加天完成，由题意：需改造的道路全长为1800米，安排甲、

乙两个工程队同时开工，列出一元一次方程，解得加=18,再求出总费用即可.

【解答】解：(I)设乙工程队每天能改造道路的长度为X米，则甲工程队每天能改造道路的长度为1.5x

米，

根据题意得：———■二2,

*1.5*

解得：x=40,

经检验，x=40是所列分式方程的解，且符合题意，

二1.5x=60.

答：甲工程队每天能改造道路的长度为60米，乙工程队每天能改造道路的长度为40米.

(2)设安排甲、乙两个工程队同时开工需要加天完成，

由题意得：60,“+40”?=1800,

解得："7=18,

则18×7+18×5=216（万元），

答：甲、乙两个工程队一起完成这项城区道路改造的总费用为216万元.

【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正

确列出分式方程：（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程.

24.（10分）如图，平行四边形ABCD中，AE平分NBAD交BC于E,DF平分NBAD交BC于E,DF平

分NADC交BC于F.

（1）求证：BF=EC;

（2）若E为BC的三等分点（靠近C点），AE=2√J,DF=2,求直线AB与CD之间的距离.

【分析】（1）根据平行四边形的性质和等腰上角形的判定即可得结论；

（2）过点B作BG_LAE于G,过点C作CH_LDF于H,由AE平分/BAD,DF平分/ADC,可证得

AElDF,再证aBGE丝Z∖FHC,根据平行四边形的面积和三角形面积之间的关系即可得结论.

【解答】（1）证明：；四边形ABCD是平行四边形，

ΛAB√CD,AD∕7BC,AB=CD,

ΛZDAE=ZAEB,

乂：AE平分/BAD交BC于E,

ΛZDAE=ZBAE,

ΛZAEB=ZBAE,

ΛAB=BE,

同理，CD=FC,

，BE=FC,BF=EC;

（2）如图，过点B作BG_LAE于G,过点C作CHJ_DF于H,

：AE平分/BAD,DF平分/ADC,

：•ZEAD=1/BAD,ZFDA=∣NADC,

VAB/7CD,

ΛZBAD+ZADC=l80o,

.∖ZEAD+ZFDA=90o,

ΛAEIDF,

ΛCH√AE,

ΛZHCF=ZGEB,

VZBGE=ZFHC=90o,

VBE=FC,

Λ∆BGE^∆FHC(AAS),

ΛBE=DC,

VBE=FC,

JFC=DC,

VCH±DF,

ΛFH=∣DF=1

同理CH=EG=∣AE=√1

ΛFC=2,

.*.SΔDFC=：∏2χv(J=R,

YE为BC的三等分点，

.■■■

∙*∙SΔBCDZZɜSΔDFC=—ɪ-,

∙*∙S四边形ABCD=2S∕∖BCD=3∖Z3

设直线AB与CD的距离为/7,

VCD=FC=2,

.*.2Λ=3、3，

【点评】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形

的面积，解决本题的关键是综合运用以上知识.

25.(10分)如图，已知：以RfAABC的边AB为直径作aABC的外接圆。O,/B的平分线BE交AC于

D,交。O于E,过E作EF〃AC交BA的延长线于F.AF=5,EF=IO,

(1)求证：EF是。O切线；

(2)求。。的半径长；

(3)求s%∕CBE的值.

【分析】(I)连接OE,证明OELEF.

(2)通过证明^EFAS∕∖BFE,得出EF2=AF-FB,求出半径.

(3)求si"∕CBE,即求si“NABE,由AEFAs∕∖BFE,得出AE：BE=EF:BF=2,在AABE中由勾

股定理求出AE,从而得出结果.

【解答】(本题满分7分)

(1)证明：连接OE,

YBE是NB的平分线，

ΛZABE=ZCBE.(1分)

ΛOElAC.(2分)

VEF//AC,

ΛOE±EF.

；E在。0上，

.∙.EF是。。的切线.(3分)

(2)解：VEF/7AC,

ΛZFEA=ZEAC.

VZEAC=ZEBC,

乂；NABE=NCBE,

/FEA=/ABE.

又∙.∙∕F=∕F,

Λ∆EFA^∆BFE.（5分）

"λKIEF∙

ΛEF2=AfFB=15.

二。0的半径长7.5.（6分）

（3）解：VΔEFA<^∆BFE,

----=-AEBE.

^BE2

设AE=k,BE=2K,

VZAEB=90o,

ΛAE2+BE2=AB2ΛJ12+4⅛2=15⅛≈3√5.

.∙.AE=3√S.

.,.SinZABE=京

AsznZCBE=WnZABE=ɪ.（7分）

【点评】（1）连接半径是证明切线常用的辅助线的作法.

（2）求三角函数值，经常是根据定义，放在直角三角形中去求.

26.（10分）小颖复习尺规作图时，将RrAABC（ZACB=90o）进行如下操作（如图）：

①以点B为圆心，适当长为半径画弧，交BA于点Q,交BC于点P,再分别以点P,Q为圆心，大于LPQ

2

的长为半径画弧，两弧交于点H,作射线BH；

②以点A为圆心，适当长为半径画弧，交AB于点M,交AC于点N,再分别以点M,N为圆心，大于

LMN的长为半径画弧，两弧交于点G,作射线AG,交射线BH于点0；

2

③作射线CO交AB于点D,且NCDA=90°,以点O为圆心，OD为半径作。0,交AC于点E,交

BC于点F,构成如图所示的阴影部分.

(I)求证：RfAABC是等腰直角三角形;

(2)若AC=2,求图中阴影部分的面积.

【分析】(1)证明CA=CB,可得结论；

(2)利用面积法求出OD,可得结论.

【解答】(1)证明：由作图可知，OA,OB是NCAB,NCBA的角平分线,

.,.0C平分NACB,

/ACD=/BCD=LACB=45°,

VZCDA=90°.

ΛZCAB=ZCBA=45

ΛCA=CB,

Λ∆ABC是等腰直角三角形;

(2)解：VAC=CB=2,NACB=90°,

∙*∙AB=2γ^2,

由题意，点O是AABC的内心，

ΛSΔABC=∣∙AC∙BC=i∙(AC+BC+AB)∙OD,

.∙.OD=2-√2,

2

.∙.SW=SΔABC-S^o=⅛χ2×2-π∙(2-S∕2)=2-(6-4调)π.

【点评】本题考查作图-复杂作图，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题.

27.(12分)如图1,在Rfz^ABC中，ZACB=90°,CD_LAB于点D,—=∏.

AC

(1)求丝；

BD

(2)当”=√3时，E为边AB上一点，连接CE,F为CE上一点，且”=若NEFB=60°,AC=4,

BF2

求BE的长;

(3)如图，延长CA到点G,使AG=CA,连接GD,则3NGDA=事.

【分析】(1)如图1,利用直角三角形两内角互余，可以证得NA=NDCB,又S"NA=,=H,所以"z

NA=器=n,S"NDCB=∣^=",设AD=JG则DC=a，BD=π2x,代入到所求式子中，化筒即可求

得;

(2)如图2,由(1)可得，当"=√g时，/A=/DCB=60°,由/EFB=NDCB=60",可以证得/

DCE=ZFCB,过F作FN_LBC于N,可以证得ADCEsZiNBF,由于直角AABC中，NA=60°,AC

=4,利用勾股定理或三角函数，可以解直角AABC,直角AADC,直角ABCD,利用它=士可以证

EF2

得aCFNs^CEQ,且相似比为1：3,从而可以用X表示出FN和BN长，利用aDCEs∕∖NBF,列出

比例式，即可求解;

(3)由于AG=AC,且题目要求的是S"NGDA,故可以构造一个“中线倍长”模型，即过G点作AB

CD

的垂线于H,先证明aGHAgaCDA,再利用(1)中结论一=/?,设AD=x,接着分别表示出GH和

AD

DH长度，即可求解.

【解答】ft?：(1)如图1,VZACB=90°,

ΛZACD+ZBCD=90o,

VCD±AB,

・•・NADC=NCDB=90°，

ΛZACD+ZA=90o,

又NACD+NBCD=90°,

JNA=NBCD,

同理，ZB=ZACD,

*/tanNA=H,

，tanZBCD=n,

.CD

•∙=Hr="，

4。CD

设AD=JG贝IJCD=∕ιx,BD=∕χ,

.4£>Jr1

BDκ2ι⅛,n∙

（2）如图2,分别过E,F作BC的垂线，垂足分别为N,Q,

过C作CDJ_AB于D,

ZA=60o,

ΛZB=90o-ZB=30o,

过C作CDAB于D,

ΛZACD=90o-ZA=30o,

VAC=4,

∙*∙AD=ɪʌɛ≡ɪ,AB—2AC-8>

ΛBD=AB-AD=6,

BC=iARz-.AC'=

・・S=加=2"

设DE=X,则BE=6r,

VFNlBC,EQlBC,

ΛZCNF=ZCQE=90o,

ΛFN√EQ,

Λ∆CFN<×>∆CEQ,

..Cf1

•=—>

SF2

•竺『竺―竺1

“CE一较—CQ-2,

在直角AEQB中，NB=30°,BE=6-χ,

，EQ=：$5E=3"

∙∙E=JB&：JEQ：=3√J-⅛.

.∙.CQ=BC-BQ≡∖，］∙+M1,

FIfT那≡l-∣a)

∙,∙GV=眄=ST

JBN=BC-CNE

∙.∙NDCB=90°-NB=60°,

VZEFB=60°,

ΛZDCB=ZEFB,

：•ZDCE÷ZECB=NECB+NNBF,

.,.ZDCE=ZNBF,

YNCDE=NBNF=90°,

Λ∆CDE^∆BNF,

.DEEN

•-=»

CDBΛ?

,1

Vl-7x

・•・・^?.=一e・_，

2、室

解得X=I2±2、疔3，

YDE=XV6,

.*∙DE=X=I2—2^/33,

ΛBE=6-X=2√3I-6;

(3)如图3,过G作GHLBA交其延长线TH,

ΛZGHA=ZCDA=90o,

在AGHAVaCDA中，

fZGH4=ZCDJJ

}diAU≈^CAD,

UG=AC

ΛΔGHA^ΔCDA(AAS),

ΛAH=AD,GH=CD,

由(1)可得，—=”，

AD

二设AD=y,则CD=zιy,

ΛGH=CD=ny,

DH=2AD=2y,

故答案为一.

2

【点评】本题是一道三角形综合题目，注意利用己知条件去构造相似三角形，或者全等三角形是解决本

题的关键，比如(2)中的线段比为1：2,可以利用此条件去构造相似，(3)中的中点条件，构造“中

线”倍长模型，此题对学生的运算能力也有一定要求.

28.(12分)如图，抛物线)，=OX2+⅛X+6(<a≠0)与X轴交于A(-1,O),B(3,0)两点，与y轴交于点

C,顶点为D.

(1)求抛物线的解析式；

(2)若在线段BC上存在一点M,使得NBMo=45°,过点O作OHLOM交BC的延长线于点H,求

点M的坐标；

(3)点P是)，轴上一动点，点Q