考研数学：32天零基础小课堂

32(1)有界性设函数f(x)的定义域为D，数集X⊆D.若存在正数M，使得|f(x)|≤M对任一x∈X都成立，则称函数f(x)在X上有界.::::(2)单调性设函数f(x)的定义域为D，区间I⊆D.若对于区间I上的任意两点x及1x，当x<x时，恒有f(x)<f(x)，则称函数f(x)在区间I上是单调增加21212:::::::::的；当x<x时，恒有f(x)>f(x)，则称函数f(x)在区间I上是单调减少1212:::::::::的.(3)奇偶性设函数f(x)的定义域D关于原点对称.若对于任一x∈D，f(−x)=f(x)恒成立，则称f(x)为偶函数.若对于任一x∈D，f(−x)=−f(x)恒成立，则称:::::::f(x)为奇函数.:::::::(4)周期性设函数f(x)的定义域为D.若存在一个正数l，使得对于任一x∈D有x±l∈D，且f(x+l)=f(x)恒成立，则称f(x)为周期函数，l称为f(x)的周:::::::::::期.通常我们所说的周期函数的周期是指最小正周期.:::::::::::::•••••幂函数：y=xa(a是常数).指数函数：y=ax(a>0且=对数函数：y=logx(a>0且aa̸1).=1).̸a三角函数：y=sinx,y=cosx,y=tanx,y=cotx,y=secx,y=cscx.反三角函数：y=arcsinx,y=arccosx,y=arctanx.定义设{x}为一数列，若存在常数a，对于任意给定的ε>0(不论它多么小)，总存在n正整数N，使得当n>N时，不等式|x−a|<ε都成立，则称常数a为数n:::::::列{x}的极限，或者称数列{x}收敛于a，记为limx=a，或x→a(n→∞).n::::::::::::n::::::::::::::::nn:ε−N定义：im∞xn=a等价于∀ε>0，∃正整数N，当n>N时，有|xn−a|<ε.(1)唯一性若数列{xn}收敛，则该极限唯一.(2)有界性若数列{xn}收敛，则该数列有界.(3)保号性若limx=a，且a>0(或a<0)，则存在正整数N，当n>N时，有nx>0(或x<0).nn推论如果数列{x}从某项起有x≥0(或x≤0)，且limx=a，那么a≥0(或nnnna≤0).(4)收敛数列与其子数列之间的关系如果数列{x}收敛于a，那么它的任一子数列也收敛，且极限也是a.n由以上性质可知：如果数列{x}有两个子数列收敛于不同的极限，那么数n列{x}是发散的.nꢀꢁꢀꢁꢂꢃꢄꢅꢆꢇꢈꢉꢀ:::::::::ꢆꢇꢁꢂꢃꢀ→ꢀꢈꢅꢁꢂꢃꢄꢊꢋꢀꢁꢁ(ꢀ)ꢌꢍꢀꢎꢏꢐꢑꢒꢓꢔꢕꢖꢗꢘꢀꢙꢚꢌꢛ00ꢁꢂꢜꢝꢞꢟꢠꢡꢗꢎε>0ꢁꢢꢣꢤꢥꢦꢧꢃꢜꢨꢚꢌδ>0ꢜꢩꢪꢫꢀꢬꢭꢢꢮꢯ0<|ꢀ−ꢀ|<δꢰꢜꢝꢱꢎꢀꢁꢲꢁ(ꢀ)ꢳꢬꢭꢢꢮꢯ|ꢁ(ꢀ)−ꢂ|<εꢜꢴꢵꢛꢁꢂꢅ0ꢀꢁꢁ(ꢀ)ꢫꢀ→ꢀꢰꢎꢂꢃꢜꢶꢷꢀꢁꢂꢁ(ꢀ)=ꢂꢜꢸꢁ(ꢀ)→ꢂꢁꢀ→ꢀꢃꢀ00ꢀ0ε−δꢆꢇꢊꢀꢁꢂꢁ(ꢀ)=ꢂꢮꢹꢞ∀ε>0ꢜ∃δ>0ꢜꢫ0<|ꢀ−ꢀ|<δꢰꢜꢖ0ꢀꢀ0|ꢁ(ꢀ)−ꢂ|<εꢀꢁꢆꢇꢁꢄꢃꢀ→∞ꢈꢅꢁꢂꢃꢄꢊꢋꢀꢁꢁ(ꢀ)ꢫ|ꢀ|ꢺꢞꢏꢐꢻꢁꢰꢖꢗꢘꢀꢙꢚꢌꢛꢁꢂꢜꢝꢞꢟꢠꢡꢗꢎε>0ꢁꢢꢣꢤꢥꢦꢧꢃꢜꢨꢚꢌꢃ>0ꢜꢩꢪꢫꢀꢬꢭꢢꢮꢯ|ꢀ|>ꢃꢰꢜꢝꢱꢎꢀꢁꢲꢁ(ꢀ)ꢳꢬꢭꢢꢮꢯ|ꢁ(ꢀ)−ꢂ|<εꢜꢴꢵꢛꢁꢂꢅꢀꢁꢁ(ꢀ)ꢫꢀ→∞ꢰꢎꢂꢃꢜꢶꢷꢀꢁꢂꢁ(ꢀ)=ꢂꢜꢸꢁ(ꢀ)→ꢂꢁꢀ→∞ꢃꢀꢀε−ꢃꢆꢇꢊꢀꢁꢂꢁ(ꢀ)=ꢂꢮꢹꢞ∀ε>0ꢜ∃ꢃ>0ꢜꢫ|ꢀ|>ꢃꢰꢜꢖ|ꢁ(ꢀ)−ꢂ|<εꢀꢀꢉꢃꢄꢌꢀꢁꢂꢁ(ꢀ)=ꢂꢎꢗꢘꢼꢜꢽ0<|ꢀ−ꢀ|<δꢾꢿꢀ−δ<ꢀ<ꢀꢜꣀꢦ000ꢀꢀ0ꢂꣁꣂꣃꢀꢁꢁ(ꢀ)ꢫꢀ→ꢀꢰꢎ꣄ꢂꢃꢜꢶꢷꢀꢁꢂꢁ(ꢀ)=ꢂꢸꢁ(ꢀ)=ꢂꢀ−00:::::::ꢀꢀ−→00ꢋꢃꢄꢌꢀꢁꢂꢁ(ꢀ)=ꢂꢎꢗꢘꢼꢜꢽ0<|ꢀ−ꢀ|<δꢾꢿꢀ<ꢀ<ꢀ+δꢜꣀꢦ00ꢀ0ꢂꣁꣂꣃꢀꢁꢁ(ꢀ)ꢫꢀ→ꢀꢰꢎꣅꢂꢃꢜꢶꢷꢀꢁꢂꢁ(ꢀ)=ꢂꢸꢁ(ꢀ)=ꢂꢀ+00:::::::ꢀꢀ+0→ꢀꢁꢁ(ꢀ)ꢌꢀ→ꢀꢰꢂꢃꢚꢌꢎ꣆ꢄ꣇꣈꣉꣊꣋ꢊ꣄ꢂꢃ꣌ꣅꢂꢃ꣍꣎ꢚ0ꢌ꣏꣐꣑ꢮꢜ꣒ꢀꢁꢂꢁ(ꢀ)=ꢀꢁꢂꢁ(ꢀ)ꢀꢀ−+00ꢀ0ꢀ−1,ꢀ<0,ꢀ=0,꣓꣔꣕ꢋꢁ(ꢀ)=꣖꣗ꢊꢫꢀ→0ꢰꢁ(ꢀ)ꢎꢂꢃꢢꢚꢌꢀ,+1,ꢀ>0.ꢀꢁꢁꢂꢃꢎꢏꢌ꣘ꢀꢁꢂꢁ(ꢀ)ꢅ꣔ꢊ꣙꣚ꢀꢁꢂꢁ(ꢀ)ꢚꢌꢜꣀꢦ꣛ꢂꢃ꣜ꢐꢀꢀꢀ00ꢁꢄꢃꢁꢐꢑꢃꢒꢓꢌ꣘ꢀꢁꢂꢁ(ꢀ)ꢅ꣔ꢊꢙꢀꢁꢂꢁ(ꢀ)=ꢂꢜꢴꢚꢌꢛꢁꢄ>0꣝δ>0ꢜꢩꢪꢫꢀꢀ000<|ꢀ−ꢀ|<δꢰꢜꢖ|ꢁ(ꢀ)|≤ꢄꢀ0ꢁꢅꢃꢁꢐꢑꢃꢔꢕꢌ꣘ꢀꢁꢂꢁ(ꢀ)ꢅ꣔ꢊꢙꢀꢁꢂꢁ(ꢀ)=ꢂꢜ꣐ꢂ>0ꢁꢸꢂ<0ꢃꢜꢴꢚꢌꢛꢁꢀꢀ00δ>0ꢜꢩꢪꢫ0<|ꢀ−ꢀ|<δꢰꢜꢖꢁ(ꢀ)>0ꢁꢸꢁ(ꢀ)<0ꢃꢀ0ꢀꢆꢇꢀꢖꢗꢘꢛꢁꢙꢀꢁꢁ(ꢀ)ꢫꢀ→ꢀꢁꢸꢀ→∞ꢃꢰꢎꢂꢃꢅ꣞ꢜꢴꢵꢀꢁꢁ(ꢀ)ꢅꢫꢀ→ꢀꢁꢸ00ꢀ→∞ꢃꢰꢎ꣟꣠ꢧ꣡ꢀ::::::::ꢆꢇꢀꢖꢗꢚꢛꢁꢋꢀꢁꢁ(ꢀ)ꢌꢀꢎꢏꢐꢑꢒꢓꢔꢕꢖꢗꢘꢁꢸ|ꢀ|ꢺꢞꢏꢐꢻꢁꢰꢖꢗꢘꢃꢀꢙꢝꢞꢟ0ꢠꢡꢗꢎꢻꢁꢄꢁꢢꢣꢤꢥꢦꢺꢃꢜꢨꢚꢌꢻꢁδꢁꢸꢻꢁꢃꢃꢜ꣢꣈ꢀ꣣꣤ꢢꢮꢯ0<|ꢀ−ꢀ|<δꢁꢸ|ꢀ|>ꢃꢃꢜꢝꢱꢎꢀꢁꢲꢁ(ꢀ)ꢨꢬꢭꢢꢮꢯ|ꢁ(ꢀ)|>ꢄꢜꢴꢵꢀꢁ0ꢁ(ꢀ)ꢅꢫꢀ→ꢀꢁꢸꢀ→∞ꢃꢰꢎ꣟꣠ꢺ꣡ꢀ0:::::::::ꢆꢜꢌ꣎꣥꣡ꢎ꣦ꢐ꣥꣧꣨꣩ꢼꢜ꣙꣚ꢁ(ꢀ)ꢅ꣟꣠ꢺꢜꣀꢦ1ꢅ꣟꣠ꢧ꣪꣫꣬ꢜ꣙꣚ꢁ)ꢁ(ꢀ)ꢅ꣟꣠ꢧꢜ꣐ꢁ(ꢀ)=0ꢜꣀꢦꢅ꣟꣠ꢺꢀ1ꢁ)••有界函数与无穷小的乘积是无穷小.如果limf(x)=A，limg(x)=B，那么(1)lim[f(x)±g(x)]=limf(x)±limg(x)=A±B；(2)lim[f(x)·g(x)]=limf(x)·limg(x)=A·B；))))A(3)若又有B̸==.B•设有数列{x}和{y}.如果limx=A,limy=B,那么nnn(1)lim(x±y)=A±B；n(2)lim(x·y)=A·B；nn(3)当y̸̸0时，limx=A.nnnyB【【例1】求limxx.例2】求lim3.2x12,定理(单调有界准则)单调有界数列必有极限.具体地说，单调增加且有上界或者单调减少且有下界的数列必有极限.定理(夹逼准则)对于数列{x}，{y}，{z}，若存在正整数n，当n>n时，有x≤y≤z，nnn00nnn且limx=limz=a，则limy存在且等于a.nnn对于函数极限，也有类似的准则.x••lim=1；x0()xlim1+=e.1x−x.【例】求lim1x02()x【例2】求lim1−1.x=0，lim为这个变化过βα记α和β为同一个自变量的变化过程中的无穷小量，且α程中的极限.12345.若lim=0，则称β是比α高阶的无穷小量，记作β=o(α).βα.若lim=∞，则称β是比α低阶的无穷小量.βα.若lim=c≠0，称β与α是同阶无穷小量.βα.若lim=c≠0，k>0，则称β是关于α的k阶无穷小量.βαk.若lim=1，则称β与α是等价穷小量，记作α∼β.同阶无穷小量不一定βα是等价无穷小量.当x→0时，•••••sinx∼x.tanx∼x.arcsinx∼x.1−cosx∼x.122(1+x)α−1∼αx(α=0).̸【例1】求limx.xx031x)3−.1例2】求lim2【10定义(连续)设函数y=f(x)在点x的某一邻域内有定义，若limf(x)=f(x)，则称函数f(x)在00x0点x连续.0::::ε−δ定义：f(x)在点x连续等价于∀ε>0，∃δ>0，当|x−x|<δ时，有00|f(x)−f(x)|<ε.0若limf(x)=f(x)存在且等于f(x)，即f(x)=f(x)，则称函数f(x)在点x左连−−00000−::::0续；若limf(x)=f(x)存在且等于f(x)，即f(x)=f(x)，则称函数f(x)在点+0+000::xx+0→x右连续.0::::::定义(间断)设函数f(x)在点x0的去心邻域内有定义.若f(x)满足下列情形之一：••在x=x0没有定义；在x=x有定义，limf(x)不存在或者limf(x)存在但limf(x)=f(x0)，̸0xxx000则称f(x)在x=x不连续，x为f(x)的间断点.00第一类间断点：f(x)与f(x)均存在.−+00f(x).例如：f(x)=x1.x=1为f(x)的可去间断点.可去间断点满足f(x)=−+02••10x1,≤0,x=0为f(x)的跳跃间跳跃间断点满足f(x)̸f(x).例如：f(x)=−+002,x>0.断点.第二类间断点：f(x)，f(x)至少有一个不存在.−+00−+0π2•无穷间断点满足f(x)，f(x)至少有一个为∞.例如：f(x)=tanx.x=±为0f(x)的无穷间断点.注意：tanx在x=±的左、右极限不相等.π2limtanx=+∞，limtanx=−∞.→ꢀ)−→ꢀ)+(π2(π2•振荡间断点满足在该间断点附近，函数值在某两个有限的数值之间变动无限多次.例如：f(x)=sinx.x=0为f(x)的振荡间断点.定理设函数y=f[g(x)]是由函数u=g(x)与函数y=f(u)复合而成，U(x)⊂D.若函g0数u=g(x)在x=x连续，且u=g(x)，而函数y=f(u)在u=u连续，则复合0000函数y=f[g(x)]在x=x0也连续.【例】讨论函数y=sinx的连续性.若两者中存在不连续者，则复合函数的连续性不能确定.下面给出连续的例子.•••内层不连续，外层连续，复合函数连续.内层连续，外层不连续，复合函数连续.内层不连续，外层不连续，复合函数连续.定义(最大值、最小值)对于在区间I上有定义的函数f(x)，若存在x∈I，使得对于任一x∈I都有0f(x)≤f(x)(f(x)≥f(x))，则称f(x)是函数f(x)在区间I上的最大值(最小值).000::::::::::::::::定理(有界性与最值定理)在闭区间上连续的函数在该区间上有界且一定能取得它的最大值和最小值.定理(零点定理)设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且f(a)与f(b)异号(即f(a)·f(b)<0)，则在开区间(a,b)内至少有一点ξ，使f(ξ)=0.定理(介值定理)设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且在这区间的端点取不同的函数值f(a)=A，f(b)=B，则对于A与B之间的任意一个数C，在开区间(a,b)内至少有一点ξ，使得f(ξ)=C(a<ξ<b).推论在闭区间[a,b]上连续的函数f(x)的值域为闭区间[m,M]，其中m与M依次为f(x)在[a,b]上的最小值与最大值.【例】证明方程x3−4x2+1=0在区间(0,1)内至少有一个根.定义(导数)设函数y=f(x)在点x的某个邻域内有定义，当自变量x在x处取得增量∆x00(点x+∆x仍在该邻域内)时，相应地，因变量取得增量∆y=f(x+∆x)−f(x)；000若当∆x→0时，∆y与∆x之比的极限存在，则称函数y=f(x)在点x处可导，0::::并称这个极限为函数y=f(x)在点x处的导数，记为f′(x)，即00::::∆∆xyf(x+∆x)−f(x)0,f(x)=lim=lim0′0∆x∆0∆0xꢀꢀyfx也可以写成y′|x，或()ꢀ.ꢀxxxxxx0==00(2)(xµ)′=µx1(1)(C)′=0cosxsec2x(4)(cosx)=−sinx(3)(sinx)′=(5)(tanx)′=(7)(secx)′=′(6)(cotx)=−cscx′2secxtanx(8)(cscx)=−cscxcotx′(9)(a)=x′(>0,axlnaaa̸(10)()=exex′(11)(logx)=′(>0,=1)(12)(lnx)′=a11axax(13)(arcsinx)′=1(15)(arctanx)′=(14)((16)(arccosx)=−′1√222arccotx)=−1′112xx)左导数f′(x)=lim；00h−00−xx)右导数f′(x)=lim.00+0h0+函数f(x)在点x处可导的充分必要条件是左导数与右导数都存在且相等.0【例】设f(x)可导，F(x)=f(x)(1+|sinx|)，则f(0)=0是F(x)在x=0处可导的()(A)充分必要条件.(B)充分条件但非必要条件.(C)必要条件但非充分条件.(D)既非充分条件又非必要条件.函数y=f(x)在点x处的导数f′(x)在几何上表示曲线y=f(x)在点00M(x,f(x))处的切线斜率，即00f(x)=tanα,′0其中α是切线的倾角.3.【例】求曲线y=x的通过点(0,−4)的切线方程2定理如果函数u=u(x)及v=v(x)都在点x具有导数，那么它们的和、差、积、商(除分母为零的点外)都在点x具有导数，且(1)(u±v)=u±v，′′′(2)(uv)=uv+uv，(3)u′=u′v′(v′′′()=0).−vv2【例】证明：(uv)′=u′v+uv′.ꢀꢁꢉꢊꢁꢂꢀ=ꢁ(ꢂ)ꢃꢄꢅꢃꢆꢇꢈꢉꢊꢋꢌꢁ!(ꢂ)=0ꢍꢎꢏꢐꢑꢁꢂꢂ=ꢁ(ꢀ)ꢃ−1ꢀꢀꢄꢅꢃ={ꢀ|ꢀ=ꢁ(ꢂ),ꢂ∈ꢃ}ꢆꢒꢊꢋꢍꢓꢌꢁꢀ1ꢀꢂ1ꢁꢀ)]!=ꢔ=.−1[ꢁ(ꢂ)ꢀꢀꢁ!ꢀꢀꢕꢖꢗꢘꢂ=ꢁꢂꢃꢀꢍꢀ∈[−π,π]ꢙꢚꢛꢁꢂꢍꢎꢀ=ꢄꢅꢆꢁꢂꢃꢂꢜꢏꢐꢑꢁꢂꢀꢝꢞꢟ22(ꢄꢅꢆꢁꢂꢃꢂ)=√ꢀ!112ꢀꢀꢉꢊꢀꢁꢀ=ꢁ(ꢂ)ꢂꢃꢂꢄꢅꢆꢇꢃ=ꢄ(ꢀ)ꢂꢃꢀ=ꢁ(ꢂ)ꢄꢅꢆꢈꢉꢊꢋꢌꢍꢃ=ꢄ[ꢁ(ꢂ)]ꢂꢃꢂꢄꢅꢆꢎꢏꢅꢍꢐꢀꢀꢃꢂꢀꢃꢀꢂꢀꢃꢀꢀꢀꢀꢀꢂ=ꢄ!(ꢀ)·ꢁ!(ꢂ)ꢑ=·.ꢀꢁꢕꢖꢁꢗꢘꢀ=ꢇꢃꢁꢂꢃꢂꢍꢠꢀꢀꢀꢕꢖꢂꢗꢘꢀ=ꢈꢍꢠꢁꢀ1ꢀꢀꢀꢀꢃꢁꢄꢡꢢꢠꢋꢣꢎꢤꢥꢠꢋꢍꢃꢤꢥꢠꢋꢐꢦꢧꢨꢩꢪꢫꢬꢭꢐꢮꢯꢍꢰꢱꢲꢳꢴꢵꢶꢷꢋꢂꢐꢫꢬꢭꢸꢕꢖꢁꢗꢠꢀ=ꢁꢂꢃꢂꢐꢄꢷꢋꢂꢀꢃꢂꢄꢹꢁꢂꢙꢺꢻꢼꢭꢽꢍꢊꢾꢿꢢꣀꣁꣂꣃ꣄ꢭꢸꣀꣁꣂꣃ꣄ꢭꢟꢀꢁ=ꢅꢆꢍꢎꢂ!ꢁ=(ꢅꢆ))=ꢉꢅꢃ))ꢆ.()ꢂꢕꢖꢂꢗꢀ=ꢂ2ꢈꢀꢍꢠꢀ(20)ꢀꢀꢠꣅ꣆ꢧꢇ(ꢂ,ꢀ)=0꣇꣈ꢐꢁꢂꢀ(ꢂ)ꢐꢋꢂꢐ꣆ꢣꢟ꣉꣊꣋꣆ꢧ꣌꣍꣎ꢽ꣏꣐ꢂꢠꢋꢸꢀꢁꢕꢖꢗꢠꣅ꣆ꢧꢈꢁ+ꢂꢀ−ꢈ=0꣑꣇꣈ꢐ꣒ꢁꢂꢐꢋꢂꢀꢀꢀꢀ"ꢂ=ϕ(ꢈ),ꢀꢁꢂꣅ꣓ꢂ꣆ꢧ꣇꣈ꢍϕ(ꢈ)ꢍψ(ꢈ)꣔꣕ꢷꢊꢋꢍꢌϕ!(ꢈ)=0ꢍꢎꢀ=ψ(ꢈ)%&ꢀꢁ#$ꢀꢀꢀꢀꢂꢀꢀꢀꢂꢀꢈꢀꢈψ!(ꢈ)ϕ!(ꢈ)ꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢂ/.ꢀꢈ2ꢀ=/=,==ꢀꢂ2ꢀꢂꢀꢂꢀꢈꢀꢁ2꣖꣗꣘ꢍꢊꢴ2#$'(ꢀ2ꢀꢀꢀꢀꢀψ(ꢈ)ꢀꢈϕ(ꢈ)ꢀꢈꢀꢂψ(ꢈ)ϕ(ꢈ)−ψ(ꢈ)ϕ(ꢈ)1!!!!2===·=·ꢀꢂ2ꢀꢂꢀꢂϕ!(ꢈ)ϕ(ꢈ)]![ψ(ꢈ)ϕ(ꢈ)−ψ(ꢈ)ϕ(ꢈ)!!!!.ϕ(ꢈ)]3![ꢂꢀ=ꢉꢈꢁꢂꢃꢈ),(−ꢕꢖꢗ꣙꣚ꣅ꣛꣜ꢐ꣓ꢂ꣆ꢧ꣑꣇꣈ꢐꢁꢂꢀ=ꢀ(ꢂ)ꢐ꣕ꢷ=ꢉ(1−ꢆꢊꢁꢈ)ꢋꢂꢀꢀꢉꢜꢘꢂ=ꢂ(ꢈ)꣝ꢀ=ꢀ(ꢈ)꣞ꢜꢊꢋꢁꢂꢍꢱ꣟꣠ꢂ꣝ꢀ꣡ꢅ꣢ꢃ꣣꣤꣏꣥ꢍ꣦ꢱ꣟꣧ꢀꢀꢁꢀꢀ꣨꣝ꢅꢒ꣢ꢃ꣩꣈꣏꣥꣪꣌꣫꣬꣭꣮꣯ꢐ꣟꣧꣨꣰ꢙ꣬꣏꣟꣧꣨ꢀꢄꢄ:::::::::::꣬꣩꣏꣟꣧꣨꣱ꣲꣳꢜꣴꣵ꣪꣌꣫꣟꣧꣨꣡ꢅꢐ꣏꣥ꢍꢾꣶ꣦ꣷꢨ꣩꣫꣟꣧꣨ꢠꢵ꣸꣫꣟꣧꣨ꢀꢕꢖꢗ꣩꣹꣺꣦ꣻ꣘꣼ꣽꣾꢅꢆꢆꢇꣿꣻ꤀꤁꤂ꢚ꤃꤄ꢍꢹ꣹꣺ꢶ꤅ꢙꢅꢆꢆꢇꢽꢍꣷ꣨ꢙ140ꢇꢈꢇꢉꢊꢃ꤇ꢄꢀꢠ꤈ꢽ꣼ꣽꣾ꤉ꤊꢐꤋꤊꤌꤍꢐ꤆꣨ꢜꤎꤏꤐ꤆ꢀꢉꢜꢀꢟꢝꢁꢘꢁꢂꢀ=ꢁ(ꢂ)ꢃ꣣ꢄꢅꢆꤑ꣈ꤒꢍꢂꤓꢂ+∆ꢂ꣞ꢃꤔꢄꢅꢆꢍꢀꢁꢂꢐꤌ꣠00∆ꢀ=ꢁ(ꢂ+∆ꢂ)−ꢁ(ꢂ)00ꢊꢫꤕꢙ∆ꢀ=ꢊ∆ꢂ+ꢋ(∆ꢂ),ꣷꢨꢊꢜꤖ꣮꣯꣐∆ꢂꢐꤗꢂꢍꢎ꣰ꢁꢂꢀ=ꢁ(ꢂ)ꢃꤘꢂꢜꢊꤙꢐꢍꢱꢊ∆ꢂꤚ0::::ꤛꢁꢂꢀ=ꢁ(ꢂ)ꢃꤘꢂ꣬ꤜ꣐ꤝ꣟꣠ꤌ꣠∆ꢂꢐꤙ꤇ꢍꤞꤟꢀꢀꢍꤠꢀꢀ=ꢊ∆ꢂꢀ0:::::ꢁꢂꢀ=ꢁ(ꢂ)ꢃꤡ꣩ꤘꢂꢐꤙ꤇ꢍ꣰ꢙꢁꢂꢐꤙ꤇ꢍꤞꤟꢀꢀꢍꤠꢀꢀ=:::::::::::ꢁ!(ꢂ)∆ꢂꢀꤢꤗꤝ꣟꣠ꢂꢐꤌ꣠∆ꢂ꣰ꢙꤝ꣟꣠ꢐꤙ꤇ꢍꤞꤟꢀꢂꢍꤠꢀꢂ=∆ꢂꢀ꣐ꢜ::::::::::::::ꢁꢂꢀ=ꢁ(ꢂ)ꢐꤙ꤇ꤣꢊꤞꤟꢀꢀ=ꢁ!(ꢂ)ꢀꢂ.ꢕꢖꢗꢠꢁꢂꢀ=ꢂ3ꢹꢂ=2ꢍ∆ꢂ=0.02ꢽꢐꤙ꤇ꢀꢀ꣉꣐ꢊꤙꢁꢂꢀ=ꢁ(ꢂ)ꢍꤤ꣜꤃ꤑ꣩꣇꣈ꤘꢌ(ꢂ,ꢀ)ꢍꢹꤝ꣟꣠ꢂꤑꤙꤥꤌ꣠∆ꢂ00ꢽꢍꣳꢴꤦꤤ꣜꤃꣸꣩ꤘꢍ(ꢂ+∆ꢂ,ꢀ+∆ꢀ)ꢀꤧꤨꤙ꤇ꢐ꣈ꤒꢍꤑ00ꢂ)∆ꢂ+ꢋ(∆ꢂ)ꢍꢀꢀ=ꢁ(ꢂ)∆ꢂꢀꢀ=ꢁ!(!∆00ꢀꢉꢜꤩꤪꢹꢂ→ꢉꢃꢔꢂ→∞ꢄꢽꢍ꣌꣫ꢁꢂꢁ(ꢂ)꣝ꢇ(ꢂ)꣞꤫꣐꤬ꢔ꣞꤫꣐꤭꤮꤯ꢍꤰ)ꤱꤲꤳꢇꢂꢋꢊꤴ꣢ꢃꢉꢒꢊꤴꤖ꣢ꢃꢀꤢꤗꤵ꣪꣤ꤲꤳꤚꤛꤶ꣈ꢭꢍꢓ꤇ꤷ:::::)ꢀ→ꢁ:(ꢀ→∞)ꤸꤞꢙ0ꢔ∞∞ꢀ꣉꣐꣪ꤹꤲꤳꢍꤔꤩꤺ꣇꣈ꣷꤲꤳꤻꤐꢉꢊꢀ0ꢨꢦꢉꢧꢄꢩꢪꢁꢘꢃꢁꢄꢹꢂ→ꢉꢽꢍꢁꢂꢁ(ꢂ)ꤓꢇ(ꢂ)꣞꤫꣐꤬ꤼꢃꢂꢄꢃꤘꢉꢐ꣣ꤽꤾꤿꥀꢆꢍꢁ(ꢂ)ꤓꢇ(ꢂ)꣞꣢ꢃꢌꢇ(ꢂ)=0ꤼ!!!ꢅ)#ꢃꢋꢄꢇꢂꢋ#꣢ꢃꢃꢔꢙ꤭꤮꤯ꢄꢍꢆ)ꢀꢇꢎꢁ(ꢂ)ꢁ!(ꢂ)ꢇ!(ꢂ)ꢇꢂꢋ=ꢇꢂꢋ.ꢇ(ꢂ)ꢀꢇꢇꢫꢀꢉꢊꢾꥁ∞ꢀꢉꢊꢀ∞ꢨꢦꢉꢧꢄꢩꢪꢁꢘꢃꢁꢄꢇꢂꢋꢁ(ꢂ)=∞ꢌꢇꢂꢋꢇ(ꢂ)=∞ꤼꢀꢇꢇꢃꢂꢄꢃꤘꢉꢐ꣣ꤽꤾꤿꥀꢆꢍꢁ(ꢂ)ꤓꢇ(ꢂ)꣞꣢ꢃꢌꢇ(ꢂ)=0ꤼ!!!ꢅ)#ꢃꢋꢄꢇꢂꢋ#꣢ꢃ(ꢔꢙ꤭꤮꤯)ꢍꢆ)ꢀꢇꢎꢁ(ꢂ)ꢁ!(ꢂ)ꢇ!(ꢂ)ꢇꢂꢋ=ꢇꢂꢋ.ꢇ(ꢂ)ꢇꢇꢫꢀxꢉꢊꢾꥁ∞ꢀꢇꢂꢋꢁ(ꢂ)=∞ꢀ∗y꣉꣐ꥂꤶ꣈ꢭꢍꢒꢊꢾꢿꢢꥃꥄꢬꢣꢎꢍꤠꢊꢾꤖꥅꢠ∞ꢀꢇ→ꢕꢖꢁꢗꢠꢇꢂꢋꢀꢀꢀꢀ30ꢕꢖꢂꢗꢠꢀꢇꢂꢋꢀ(ꢄ>0)ꢀꢀꢂ∞ꢀꢉꢊꢀꢱꢲꢳꢴꢵꢶꢄꢬꢭꢮꢧꢁꢀꢁꢂꢁ(ꢂ)ꢃꢂꣿꥆꤑꢄꢷꢋꢂꢍꢎ꣢ꢃꢂꢐ꣩꣫ꤿꥀꢍ꣉꣐ꤔꤿꥀꢆꢐꤡ꣩00ꢂꢍꤑꢁ(ꢂ)!!ꢁ(ꢂ)=ꢁ(ꢂ)+ꢁ(ꢂ)(ꢂ−ꢂ)+0(ꢂ−ꢂ)+···!200002!()ꢁ(ꢂ0)ꢂ+(−)+ꢂ(),ꢂꢂꢎꢂꢄ!0ꢂꣷꢨꢎ(ꢂ)=ꢋ((ꢂ−ꢂ))ꢀꢂ0ꢉꢊꢀꢱꢷꢸꢹꢺꢵꢶꢄꢬꢭꢮꢧꢁꢀꢁꢂꢁ(ꢂ)ꢃꢂꢐ꣣꣫ꤿꥀꢏ(ꢂ)ꢆꥆꤑꢄ+1ꢷꢋꢂꢍꢎ꣉ꤡ−ꢂ∈ꢏ(ꢂ)ꢍꤑ000ꢁ(ꢂ)!!ꢁ(ꢂ)=ꢁ(ꢂ)+ꢁ(ꢂ)(ꢂ−ꢂ)+0(ꢂ−ꢂ)+···!200002!()ꢁ(ꢂ0)ꢂ+(−)+ꢂ(),ꢂꢂꢎꢂꢄ!0ꢅꢂξ)ꣷꢨꢎꢂ(ꢂ)=(+1)ꢂꢂ(−)1ꢍξꢙ+ꢂ0꣝ꢂ꣡ꢅꢐ꣣꣫ꤻꢀ0ꢻꢀ=0ꢃꥇꥈ꣄ꢭꢨꢍꤩꤪꥁꢂ0=0ꢍꤰꤱꢊꢴꤦꥉꥊꥋꥌ꣄ꢭꢁ!!(0)ꢁ(0)()ꢂꢁ(ꢂ)=ꢁ(0)+ꢁ!(0)ꢂ+···+ꢂ2+···+ꢂ+ꢎ(ꢂ).ꢂ2!ꢄ!ꤗꥍꢁꢂꢐꥉꥊꥋꥌ꣄ꢭꢌꢂ2ꢂꢂ!ꢈꢀ=1+ꢂ++···++ꢋ(ꢂ).2!3(1)ꢂꢄ+(1)ꢂ,-ꢁꢂꢃꢂ=ꢂ−+···+ꢂꢂ+ꢋꢂꢂ.223!ꢂ2,-ꢂ=1−+···+ꢂꢂ+ꢋꢂꢂ.222!(2)!23(1)ꢂ1ꢇꢃ(1+)=ꢂ−(1+)ꢃ=1+++−···+ꢂ+ꢋ(ꢂ).23ꢄ(ꢐ−+().(ꢐ−··ꢐ−ꢄ+1)ꢂꢂꢋꢂꢂꢂ2+···+2!ꢁꢀꢀꢀꢕꢖꢗꢡꢢꥎꤑꥏꥐꥑꥒ꥓ꢐꥉꥊꥋꥌ꣄ꢭꢍꢠꤲꤳꢇꢂꢋꢁꢀ30ꢀꢉꢊꢀꢿꣀꣁꣂꣃꢎꢆꢃꢄꢘ꣄ꢁꢘꢁꢂꢁ(ꢂ)ꢃ[ꢉ,ꢑ]꤃꥔꥕ꢍꢃ(ꢉ,ꢑ)ꢆꢊꢋꢀꢀꢃ(ꢉ,ꢑ)ꢆꢁ!(ꢂ)≥0ꢍꢌ꥖꥗꥘ꢃꤑꤳ꣫ꤘꣿ꥙꥚ꢍꢎꢁ(ꢂ)ꢃ[ꢉ,ꢑ]꤃ꢇꢈꤌꤍꢃꢇꢈ꥛ꤏꢐ꥜꥝꣉ꤜ꣐ꢁ!(ꢂ)≤0ꢐ꥜꥝ꢄꢀꢫꢟ꥞꥟ꢁꢂꢐꢇꢈꥠ꣝꣩ꢷꢋꢂꢐꥡ꥗ꤑ꣏ꢍꥢꢁꢂꢁ(ꢂ)ꢃ꣣꣩ꤘꣿꢐꢋꢂꥡ꥗ꢓꤖꤴ꣇꣈ꢁ(ꢂ)ꢃꤔꤘꤿꥀꢆꢐꢇꢈꥠꢀꢕꢖꢗ꣇꣈ꢁꢂꢁ(ꢂ)=2ꢂ3−9ꢂ2+12ꢂ−3ꢐꢇꢈꢄꢅꢀꢀꣅꤤ꣜ꢃ꤃꤄ꢔꥣꥤꥥꢐꢦꢧꢨꢍꤑ꣩꣫ꥦꤤ꣆ꥧꢃꥧ꤃ꥨꢔꥣꥧ꤃ꥩꢄꢀꤤ꣜ꢐꥨꥩꥠꢊꢾꢢꥪꥫꤤ꣜ꥬ꤃ꤡꥭ꣌ꤘꢐꥮꢐꢨꤘ꣝ꤤ꣜ꥬ꤃꣬ꤜꤘꢃꤠꥆꤑ꣬꣎ꥯꥰꥱꢐꤘꢄꢐꥲꥳ꣏꣥ꥴꥵꥶꢀꣅꢉꢜꢀꣅ꣆ꢄ꣇꣈ꣁꢁꢘꢁꢂꢁ(ꢂ)ꢃꢄꢅꢃ꤃꥔꥕ꢍꢂꢍꢂꢙꢃꢨꤡꥭ꣌ꤘꢀꤖꥷꢘꢂ<ꢂꢀ1212,-122ꢅꢀꢅꢀꢍꢎ꣰ꤤ꣜=()ꢃꢄꢅ꤃ꥨꢍꤩꥹꤼꢁꢂꢃꢄꢁꢂꢃꢄꢀꢍꢎ꣰ꤤ꣜=()ꢃꢄꢅ꤃ꥩꢍꤩꥹꢀꥸꤑꢁꥸꤑꢁ<>(1(2)2(2)2ꢀꢀꢃꢃꢄꢌ,-1ꢀ(ꢅꢀꢅꢀꢀ122ꣅꢉꢊꢀ꣇꣈ꣁꣂ꣌ꢎꢆꢄꢘ꣄ꢁꢘꢁꢂꢁ(ꢂ)ꢃ[ꢉ,ꢑ]꤃꥔꥕ꢍꢃ(ꢉ,ꢑ)ꢆ꣕ꢷꢊꢋꢀꢀꢃ(ꢉ,ꢑ)ꢆꢁ!!(ꢂ)>0ꢍꢎꤤ꣜ꢀ=ꢁ(ꢂ)ꢃ[ꢉ,ꢑ]꤃ꥨꤼꢃ(ꢉ,ꢑ)ꢆꢁ!!(ꢂ)<0ꢍꢎꤤ꣜ꢀ=ꢁ(ꢂ)ꢃ[ꢉ,ꢑ]꤃ꥩꢀꢀꢕꢖꢗꥺ꣈ꤤ꣜ꢀ=ꢇꢃꢂꢐꥨꥩꥠꢀꢀꣅꢉꢜꢘꢀ=ꢁ(ꢂ)ꢃꢄꢅꢃ꤃꥔꥕ꢍꢂꢜꢃꢆꢐꤘꢀꢀꤤ꣜ꢀ=ꢁ(ꢂ)ꢃꥻꢦꤘ(ꢂ,ꢁ(ꢂ))000ꢽꢍꤤ꣜ꢐꥨꥩꥠꥼ꣟꥽ꢍꢎ꣰ꤘ(ꢂ,ꢁ(ꢂ))ꢙꤔꤤ꣜ꢐ꥾ꤘꢀ00꣍ꢉꢊꢀ꣍꣎ꢄꢤ꣏꣐꣑ꢁꢀꢁꢂꢁ(ꢂ)ꢃꢄꢅꢃꢆ꣕ꢷꢊꢋꢍꢂꢜꢃꢆꢐꤘꢍꢌꤘ(ꢂ,ꢁ(ꢂ))ꢜꤤ꣜ꢀ=ꢁ(ꢂ)000ꢐ꥾ꤘꢍꢎꢁ(ꢂ0)=0ꢀ꣋ꢉꢊꢃꢁꢄ꥿꣩ꦀ꤇ꦁꦂꢟꢘꢁꢂꢁ(ꢂ)ꢃꤘꢂꢐ꣣ꤽꤾꤿꥀꢆ꣕ꢷꢊꢋꢀꢀꢁ(ꢂ)ꢃꤘꢂ!!00꣌ꦃꦄ꥗ꢍꢎꤘ(ꢂ,ꢁ(ꢂ))ꢜꢀ=ꢁ(ꢂ)ꢐ꥾ꤘꤼꢀꢁ!!(ꢂ)ꢃꤘꢂ꣌ꦃ꣎꥗ꢍꢎꤘ000(ꢂ,ꢁ(ꢂ))ꤖꢜꢀ=ꢁ(ꢂ)ꢐ꥾ꤘꢀ00ꢃꢂꢄ꥿꣕ꦀ꤇ꦁꦂꢟꢀꢀ=ꢁ(ꢂ)ꢃꤘꢂꣿꥆꤑꦅꢷꢋꢂꢍꢌꢁ(ꢂ)=0ꢍ!!00ꢁ(ꢂ)=0ꢍꢎꤘ(ꢂ,ꢁ(ꢂ))ꢜꢀ=ꢁ(ꢂ)ꢐ꥾ꤘꢀ!000ꢫꢢꢀ꥿꣩ꦀ꤇ꦁꦂꢓꦆꥅꢠꢁ(ꢂ)ꢃꢂ0ꣿ꣕ꢷꢊꢋꢀ꣓ꢃꢁꢄꢠꢁ(ꢂ)ꤼ!!ꢃꢂꢄꦇꢁ(ꢂ)=0ꢍꦈꢵ꣪꣆ꢧꢃꢄꢅꢃꢆꢐꦉꤧꢍꢓꢠꢵꢃꢄꢅꢃꢆꢐ!!ꢁ!!(ꢂ)ꤖ꣢ꢃꢐꤘꤼꢃꢋꢄ꣉꣐ꢃꢂꢄꢨꢠꢵꢐꦊ꣩꣫ꦉꤧꢔꥣ꣕ꢷꢋꢂꤖ꣢ꢃꢐꤘꢂꢍꦋꦌꢁ(ꢂ)!!0ꢃꢂꦍꢉꦎ꣌ꦃꤿꦏꢐꥡ꥗ꢍꤰꤱꢹ꣌ꦃꢐꥡ꥗꣬ꢑꢽꢍꤘ(ꢂ,ꢁ(ꢂ))ꢜ000꥾ꤘꢍꢹ꣌ꦃꢐꥡ꥗꣬꣎ꢽꢍꤘ(ꢂ,ꢁ(ꢂ))ꤖꢜ꥾ꤘꢀ00ꢕꢖꢗ꣱ꤤ꣜ꢀ=ꢂ4ꢜꦐꤑ꥾ꤘꤐꢀꢉꢜ◦ꢘꢁꢂꢁ(ꢂ)ꢃꤘꢂꢐ꣣ꤿꥀꢏ(ꢂ)ꢆꤑ꣈ꤒꢀꢀ꣉ꤽꤾꤿꥀꢏ(ꢂ)ꢆꢐꤡ꣩ꢍꢂ000꣞ꤑ,-ꢁ(ꢂ)<ꢁ(ꢂ)ꢔꢁ(ꢂ)>ꢁ(ꢂ),00ꢎ꣰ꢁ(ꢂ)ꢜꢁꢂꢁ(ꢂ)ꢐ꣩꣫ꤲ꤯ꤻꢃꢔꤲꤥꤻꢄꢀꢁꢂꢐꤲ꤯ꤻ꣝ꤲꤥꤻꦑ꣰ꢙꢁ0::::::::::::ꢂꢐꤲꤻꢍꢿꢁꢂꥁꢴꤲꤻꢐꤘ꣰ꢙꤲꤻꤘꢀ:::::::::::꣗ꢉꢊꢘꢁꢂꢁ(ꢂ)ꢃꢂꣿꢊꢋꢍꢌꢃꢂꣿꥁꢴꤲꤻꢍꢎꢁ!(ꢂ)=0.000ꤔꦁꦂꤗꢢ꣐ꥺꤷꤖꢜꤲꤻꤘꢐꤘꢀ꣗ꢉꢊꢀ꣗ꢰꢄ꣘ꣃ꣒ꢞ꣐꣑ꢁꢘꢁꢂꢁ(ꢂ)ꢃꢂꣿ꥔꥕ꢍꢌꢃꢂꢐ꣣ꤽꤾꤿꥀꢏ(ꢂ,δ)ꢆꢊꢋꢀ000ꢃꢁꢄꢀꢂ∈(ꢂ−,ꢂ)ꢽꢍꢁ(ꢂ)>0ꢍꢱꢂ∈(ꢂ,ꢂ+δ)ꢽꢍꢁ(ꢂ)<0ꢍꢎꢁ(ꢂ)ꢃ!!0000ꢂꣿꥁꢴꤲ꤯ꤻꢀ0ꢃꢂꢄꢀꢂ∈(ꢂ−,ꢂ)ꢽꢍꢁ(ꢂ)<0ꢍꢱꢂ∈(ꢂ,ꢂ+δ)ꢽꢍꢁ(ꢂ)>0ꢍꢎꢁ(ꢂ)ꢃ!!0000ꢂꣿꥁꢴꤲꤥꤻꢀ0◦ꢃꢋꢄꢀꢂ∈(ꢂ,δ)ꢽꢍꢁ(ꢂ)ꢐꥡ꥗ꦒꦓꤖ꣟ꢍꢎꢂꤖꢜꢁ(ꢂ)ꢐꤲꤻꤘꢀꢏ!00ꤲꤻꢐ꥿꣩ꦀ꤇ꦁꦂꦔꥅꢢ꣐ꥺꦕꦖꤘꣿꢔꤖꢊꢋꤘꣿꢜꦐ꣢ꢃꤲꤻꢀ꣗ꢉꢊꢀ꣗ꢰꢄ꣘꣌꣒ꢞ꣐꣑ꢁꢘꢁꢂꢁ(ꢂ