【2023小升初】奇偶数问题（思维提高）-小升初数学思维拓展卷（通用版）

奇偶数问题

解答题(共30小题)

1.48、C三个同学爬香山，边爬边数台阶。爬了一会儿，三人拉开了距离。A爬得最快，

B次之，C最慢。C发微信问A、B当前的位置，A说自己当前爬过的台阶比剩余的台阶

多了37级，B说自己当前爬过台阶比剩余的台阶少4级。C马上说A、8中至少有一个

数错了。已知C正确地计算出自己当且爬过的台阶比剩余的台阶少34阶。问：C能肯定

A、B中谁一定数错了？请说明理由。

2.将自然数1,2,3,4,…，2020按照奇数、偶数分成两组，分别计算这两组数中的所有

数字的总和，哪组数的数字总和更大？大的比小的大多少？

3.如图是某一个浅湖泊的平面图，图中曲线都是湖岸.

(1)若P点在岸上，则A点在岸上还是水中？

(2)某人过这湖泊，他下水时脱鞋，上岸时穿鞋.若有一点B,他脱鞋的次数与穿鞋的

次数和是奇数，那么B点在岸上还是水中？说明理由.

4.在黑板上写出3个整数分别是1,3,5,然后擦去一个换成其它两数之和，这样操作下

去,最后能否得到57,64,108?为什么?

5.甲、乙两个哲人将正整数5至11分别写在7张卡片上.他们将卡片背面朝上，任意混合

之后，甲取走三张，乙取走两张.剩下的两张卡片•，他们谁也没看，就放到袋子里去了.甲

认真研究了自己手里的三张卡片后对乙说:“我知道你的两张卡片上的数的和是偶数”.试

问：甲的三张卡片上写了哪些数？答案是否唯一.请说明理由.

6.从IOO1,1002,1003,1004,1005,1006,1007,1008,1009中任意选出四个数，使它

们的和为偶数，则共有多少种不同的选法.

7.能否从0、1、2、…、13、14这15个数中选出10个不同的数，填入圆圈中，使每两个

用线相连的圆圈中的数所成的差(大减小)各不相同？如能，给出一种填法；如不能，

请说明理由.

8.我们都学过“猫吃老鼠”的问题:

(/)如果按照吃一个、留一个的顺序，那么当老鼠排成一直线时，最后留下的是其中最

大的形如2"的数.

(1)请问：现在有30只老鼠排成一直线，按照吃2个、留1个的顺序，最后留下哪一

只？

(2)如果有100只老鼠呢？

(3)你能得出什么结论吗？

(II)如果仍然吃一个、留一个，而老鼠排成圆周，那么我们知道，如果老鼠的数量恰

为2时，留下的老鼠就是最后一只，如果老鼠的数量不是2,那么我们先吃掉一部分，将

剩余数量变为2,那么此时的最后一只就是最后留下来的一只.

例如，如果50只老鼠围成一圈，那么我们先把数量变为32只，先吃掉50-32=18只，

分别是1、3、5、，,,,、35只，现在只剩32老鼠，新的第一只是第37号老鼠，最后一只

是第36号老鼠，于是，剩下的老鼠是第36号.

请问：如果有101只老鼠围成一圈，按照吃2个、留一个的顺序，最后留下哪一只？为

什么？

9.大雄家所在街道的每栋房子都有一个门牌号码，街道的一侧编号为奇数，另一侧编号为

偶数.编号的方式为：假设大雄家是占地一个单位面积的房子且编号为1号，他的隔壁

是占地两个单位面积的房子，编为3号，接下来的两栋都是占地一个单位面积的房子则

分别编为7号、9号，如图：

Ill3∣7∣9∣I

在大雄家所在这一侧有四分之一的房子是占地两个单位面积的房子.大雄的好友小安住

在这条街道的最后一栋房子，他的家占地两个单位面积，门牌号码为187.请问大雄家所

在的这一侧共有多少栋房子？

10.能否用540个图所示的1X2的小长方形拼成一个6X180的大长方形，使得6X180的

长方形的每一行、每一列都有奇数个星？请说明理由.

11.如图，甲、乙、丙三个大小相同的杯子在桌面上一次排列，其中甲杯中盛满水，乙和丙

是空杯.现把水全部倒入相邻(左或右)的空杯中，那么，经过55次倒水后，有水的是

杯.

甲乙丙

12.能否用500个如图所示的1X2的小长方形形成一个5×200的大长方形，使得5X200

的长方形的每一行、每一列都有偶数个星？请说明理由.

13.黑板上有多个5和7.现在进行如下操作：将黑板上任意两个数的和写在黑板上，问经

过若干次操作后，黑板上能否出现23?

14.设某年中有一个月里有三个星期日的日期为奇数，则这个月的21日可能是星期几？

15.如图，从0点起每隔3米种一棵树.如果把3块“爱护树木”的小木牌分别挂在3棵树

上，那么不管怎么挂，至少有两棵挂牌树之间的距离是偶数（以米为单位）.试说明理由.

03691215182124

16.有8盏灯，从1到8编号，开始时3、6、7编号的灯是亮的.如果一个小朋友按从1

到8,再从1到8,…的顺序拉开关，一共拉动500次，问此时哪几个编号的灯是亮的？

17.2009年元旦游园活动中，有一个游戏厅中亮着2009盏灯（每盏灯配一个开关，每触动

一次开关，灭或由灭变亮），现在2009个人参加一个游戏活动：规定第一个人只能触动1

个开关；第二个人只能触动2个开关，第3个人只能触动3个开关…第2009个人只能动

2009个开关.问：照此游戏规则，这2009个人能否将游戏厅中的灯全部关灭？请说明理

由.

18.l+2×3×4×5×6+7×8×9×10×ll+12×13×14×15×16+—+497×498×499×500×

501是奇数还是偶数，为什么？

19.我国在使用公元纪年的同时，也一直沿用我国古代创立的干支纪年法，如甲午战争的甲

午，辛亥革命中的辛亥就是年份的名称.干支中的干是天干的简称，是指：甲乙丙丁戊

己庚辛壬癸；支是地支的简称，是指：子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥.

在纪年时，干支同时分别从甲子开始，不改变各自的顺序，循环往复下去.一位叫“丁

寅”的同学想在“丁寅年”邀请同学聚会，他的愿望能实现吗？若能实现，说明是IW一

年？（2008年是“戊子年”）若不能实现，请说明理由.

20.200至U500之间的奇数，百位、十位和个位上的数字都不相同的有几个？

21.你能从1、3、5、7、9、…、2007、2009这1005个自然数中选出9个，使它们的和等

于2008吗?为什么?

22.在棋盘中，如果两个方格有公共点，就称为相邻的.如图中A有3个相邻的方格，而B

有8个相邻的方格.图中每一个奇数表示与它相邻的方格中偶数的个数（如3表示相邻

的方格中有3个偶数），每个偶数表示与它相邻的方格中奇数的个数（如4表示相邻的方

格中有4个奇数）.请在下面的4×4的棋盘中填数（至少有一个奇数），满足上面的要求.

23.将1,3,5,7,9填入等号左边的5个方框中，2,4,6,8填入等号右边的4个方框

中，使等式成立，且等号两边的计算结果都是自然数，这个结果最小为.

π÷π+π+ππ=π÷π+ππ

24.如图所示，在三个圆圈中各填入一个自然数，使每条线段两端的两个数之和均为奇数.请

问这样的填法存在吗？如不存在，请说明理由；如存在，请写出一种填法.

25.能将1,2,3,4,5,6,7,8,9填在3X3的方格表中（如图），使得横向与竖向任意

相邻两数之和都是质数吗？如果能，请给出一种填法：如果不能，请你说明理由.

26,将1999表示为两个质数之和：1999=口+口，在口中填入质数.共有多少种表示法？

27,小地球仪上赤道大圆与过南北极的某大圆相交于4、B两点.有黑、白二蚁从A点同时

出发分别沿着这两个大圆爬行.黑蚁爬赤道大圆一周要10秒钟，白蚁爬过南北极的大圆

一周要8秒钟.问：在10分钟内黑、白二蚁在B点相遇几次？为什么？

28.27名小运动员穿运动服的号码是1,2,3,…27这27个自然数.问这些小运动员能否

站才一个圆圈，使得任意相邻两个运动员号码数之和都是质数？说明理由.

29.现有11块铁，每块的重量都是整数，任取其中10块，都可以分成重量都等的两组，每

组有5块铁，试说明：这11块铁每块的重量都相等.

30.有30个贰分硬币和8个伍分硬币，用这些硬币不能构成1分到1元之间的币值有多少

种？

奇偶数问题

参考答案与试题解析

一.解答题（共30小题）

1.A、8、C三个同学爬香山，边爬边数台阶。爬了一会儿，三人拉开了距离。A爬得最快，

B次之，C最慢。C发微信问4、8当前的位置，4说自己当前爬过的台阶比剩余的台阶

多了37级，B说自己当前爬过台阶比剩余的台阶少4级。C马上说A、2中至少有一个

数错了。已知C正确地计算出自己当且爬过的台阶比剩余的台阶少34阶。问：C能肯定

A、8中谁一定数错了？请说明理由。

【分析】本题根据奇偶性进行判断，偶数+偶数=偶数，奇数+奇数=偶数，奇数+偶数=

奇数。因为C的计算是正确的，则总台阶数一定为偶数，从而可判断A的说法错误。

【解答】解：C爬过的台阶比剩余的台阶少34阶，所以总台阶数为：2XC剩余的台阶

数-34,

即总台阶数一定为偶数，

由奇偶性进行判断，

可得：每个人爬过的台阶数与剩余的台阶数之差一定为偶数，

所以A的说法是错误的。

答：C能肯定A数错了，因为A当前爬过的台阶比剩余的台阶多了37级是奇数，而实际

上多的一定为偶数。

【点评】本题考查奇偶性的判断，是比较简单的题型。

2.将自然数1,2,3,4,2020按照奇数、偶数分成两组，分别计算这两组数中的所有

数字的总和，哪组数的数字总和更大？大的比小的大多少？

【分析】本题先按照奇数组和偶数组对数列进行分组，然后用等差数列求和公式进行求

解，再比较大小。

【解答】解：自然数1,2,3,4,2020按照奇数、偶数分成两组，

则奇数组为：1,3,5,7,2019,共IoIO项，

偶数组为：2,4,6,8,…，2020,共IolO项，

奇数组的和为：（l+2019）2x1010=1020100,

偶数组的和为：（2+2020）2XIOio=1021no,

显然，偶数组数字总和更大，

大的比小的多：1021110-1020100=IOlOo

【点评】本题考查奇偶数及等差数列的求和公式：s=（首项）+末项2x项数=项数

X首项+项数义（项数-1）2X公差，两个公式可以相互转化。

3.如图是某一个浅湖泊的平面图，图中曲线都是湖岸.

(1)若P点在岸上，则A点在岸上还是水中？

(2)某人过这湖泊，他下水时脱鞋，上岸时穿鞋.若有一点8,他脱鞋的次数与穿鞋的

次数和是奇数，那么B点在岸上还是水中？说明理由.

【分析】(1)本题可据数的奇偶性进行分析，如图从P点到A点的空白处标上数字可发

现，奇数都处于岸上，偶数都处于水中，A点为6,是偶数，所以A点处于水中.

(2)某人进入水中时脱鞋，上岸时穿鞋，从每从水中到岸上，脱鞋与穿鞋次数和为2,

即脱鞋与穿鞋次数相加为偶数时，某人一定在岸上，脱鞋与穿鞋次数相加为奇数时，某

人一定在水中，在B点他脱鞋的次数与穿鞋的次数和是奇数，所以8点一定在水中.

【解答】解：(1)如图，由于点P处于岸上且为1,所以奇数都处于岸上，偶数都处于

水中，A点为6,是偶数，所以A点处于水中.

答：A点处于水中.

(2)由于从进入水中再到岸上，脱鞋与穿鞋次数和为2,

即脱鞋与穿鞋次数相加为偶数时，某人一定在岸上；

脱鞋与穿鞋次数相加为奇数时，某人一定在水中；

在B点他脱鞋的次数与穿鞋的次数和是奇数，

所以B点一定在水中.

答：B点一定在水中.

【点评】本题主要考查了通过数的奇偶性判断位置的能力.

4.在黑板上写出3个整数分别是1,3,5,然后擦去一个换成其它两数之和，这样操作下

去，最后能否得到57,64,108?为什么？

【分析】由于一开始是1、3、5,这三个均是奇数，擦去任意一个，改为剩下两个奇数之

和应是偶数，这样三个数是两个奇数一个偶数，以后如果擦掉是偶数，换上的是偶数，

擦去一个奇数，换上的必是奇数，因而永远是两个奇数一个偶数，但是57、64、108是

一个奇数两个偶数，所以无论如何无法得到这三个数.

【解答】解：由分析可知：如果擦掉是偶数，换上的是偶数，擦去一个奇数，换上的必

是奇数，因而永远是两个奇数一个偶数；

所以不能；

答：最后不能得到57,64,108这三个数.

【点评】此题应根据数的奇偶性特点进行分析、探究，进而得出问题结论.

5.甲、乙两个哲人将正整数5至11分别写在7张卡片上.他们将卡片背面朝上，任意混合

之后，甲取走三张，乙取走两张.剩下的两张卡片，他们谁也没看，就放到袋子里去了.甲

认真研究了自己手里的三张卡片后对乙说:“我知道你的两张卡片上的数的和是偶数”.试

问：甲的三张卡片上写了哪些数？答案是否唯一.请说明理由.

【分析】由题意，这4张卡片上所写的数的奇偶性相同，亦即或者都是偶数，或者都是

奇数.由于一共只有3张卡片上写的是偶数，所以它们不可能都是偶数，从而只能都是

奇数，可得3张写着偶数的卡片全都落入甲的手中.

【解答】解：甲手中的3张卡片上分别写了6,8和10.

甲知道其余4张卡片上分别写了哪些数，但不知道它们之中的哪两张落到了乙的手中.

因此，只有在它们之中任何两张卡片上的数的和都是偶数时，甲才能说出自己的断言.

而这就意味着，这4张卡片上所写的数的奇偶性相同，亦即或者都是偶数，或者都是奇

数.

但是由于一共只有3张卡片上写的是偶数，所以它们不可能都是偶数，从而只能都是奇

数.

于是3张写着偶数的卡片全都落入甲的手中.答案是唯一的.

【点评】本题考查奇偶性问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题.

6.从IoOI,1002,1003,1004,1005,1006,1007,1008,1009中任意选出四个数，使它

们的和为偶数，则共有多少种不同的选法.

【分析】首先分析如果结果是偶数可以分为0,2,4个奇数，把每一种结果加起来即可.

【解答】解：依题意可知：

根据四个数的结果是偶数.那么必定是0个奇数，2个奇数或者是4个奇数.

在IoOl,1002,1003,1004,1005,1006,1007,1008,1009奇数的个数为5个，偶数

的个数为4个.

当。个奇数时有一种情况.

当是2个奇数2个偶数时是C52C42=60种.

当选择4个奇数时有5种.

60+5+1=66(种)

答：共有66种选择方法.

【点评】本题考查对奇偶性的理解和综合运用，同时关键是分类中的排列组合.问题解

决.

7.能否从0、1、2、…、13、14这15个数中选出10个不同的数，填入圆圈中，使每两个

用线相连的圆圈中的数所成的差(大减小)各不相同？如能，给出一种填法；如不能，

请说明理由.

【分析】首先分析15个数字构成14个差而且不同那么差一定是1到14各一个数字.可

根据奇数偶数性质来判断即可.

【解答】解：依题意可知：

图中共有14个差的和S=1+2+3+4+5+6+…+14=105是一个奇数.

另一方面每个圆圈与偶数个圆相连，设填入的数字是。，那么“在S中出现偶数次，偶数

个“相加或相减结果为偶数，因此S是10个偶数的和，是偶数.

所以S即是奇数又是偶数矛盾.

综上所述：不存在.

【点评】本题是考察对奇偶性的理解和综合运用，关键是找出分析两次结果的对比的矛

盾一次是奇数一次是偶数矛盾.问题解决.

8.我们都学过“猫吃老鼠”的问题：

(/)如果按照吃一个、留一个的顺序，那么当老鼠排成一直线时，最后留下的是其中最

大的形如2/7的数.

(1)请问：现在有30只老鼠排成一直线，按照吃2个、留1个的顺序，最后留下哪一

只？

(2)如果有100只老鼠呢？

(3)你能得出什么结论吗？

(II)如果仍然吃一个、留一个，而老鼠排成圆周，那么我们知道，如果老鼠的数量恰

为2时，留下的老鼠就是最后一只，如果老鼠的数量不是2,那么我们先吃掉一部分，将

剩余数量变为2,那么此时的最后一只就是最后留下来的一只.

例如，如果50只老鼠围成一圈，那么我们先把数量变为32只，先吃掉50-32=18只，

分别是1、3、5、，,,,、35只，现在只剩32老鼠，新的第一只是第37号老鼠，最后一只

是第36号老鼠，于是，剩下的老鼠是第36号.

请问：如果有IOl只老鼠围成一圈，按照吃2个、留一个的顺序，最后留下哪一只？为

什么？

【分析】(/)如果按照吃一个、留一个的顺序，即吃1,留2,吃3,留4,….即留下

的都是2的倍数，中可知一圈后留下的人是2的倍数的号；两圈后留下的人分别是4的

倍数的号；三圈后留下的人是8的倍数的号；四圈后留下的人是16的倍数的号，…即只

有所以最后下的是开如2”的数.

(1)按照吃2个、留1个的顺序，即吃1、2,留3,吃4、5,留6,….在尝试中观察，

探索规律，即最后留下的是最大的形如3"的数.1-30中，则留下的是27号.

(2)如果有100只老鼠，如果按照吃一个、留一个的顺序，则最后剩下的是第64号老

鼠，按照吃2个、留1个的顺序，则最后留下的是81号老鼠.

(3)由此可发现，第一次留下的是N号老鼠，则最后留下的即是这些数中的形如"的

数.

(II)根据以上规律完成即可.

【解答】解：(1)按照吃2个、留1个的顺序，即吃1、2,留3,吃4、5,留6,….即

3X1、3X2、3X3、3X4、3X5、3×6∙∙∙,在尝试中观察，探索规律，最后留下的是最

大的形如3"的数.

1-30中，则留下的是27号.

(2)由I可知，按照吃一个、留一个的顺序，那么当老鼠排成一直线时，最后留下的是

其中最大的形如2n的数，1-100中，最大最大的形如2n的数是64,则留下的是64号.

(3)由此可发现，第一次留下的是N号老鼠，则最后留下的即是这些数中的形如M的

数.

(II)如果有101只老鼠围成一圈，按照吃2个、留一个的顺序，则留下的是其中最大

形如3”的数.

I-IOI中，最大形如3”的数是81,则最后留下是81号.

【点评】本题考查了学生总结并发现规律，并根据规律解决问题的能力.

9.大雄家所在街道的每栋房子都有一个门牌号码，街道的一侧编号为奇数，另一侧编号为

偶数.编号的方式为：假设大雄家是占地一个单位面积的房子且编号为1号，他的隔壁

是占地两个单位面积的房子，编为3号，接下来的两栋都是占地一个单位面积的房子则

分别编为7号、9号，如图：

1I3∣7∣9∣

在大雄家所在这一侧有四分之一的房子是占地两个单位面积的房子.大雄的好友小安住

在这条街道的最后一栋房子，他的家占地两个单位面积，门牌号码为187.请问大雄家所

在的这一侧共有多少栋房子？

【分析】在编号1、3、7、9中发现：因为3号占有2个单位面积，所以3号实际包含了

3和5两个奇数；又有四分之一的房子是占地两个单位面积的房子；所以每5个连续的奇

数中，就会

有1个编号占2个面积单位，编号时就只遍4个号，也就是参与编码的奇数和没有参加

编码的奇数的比是4：1；最后一栋房子门牌号码为187,所以一共有奇数(包括未编码

的奇数)就是(188+1)÷2=94(个)，最后一个编码占两个单位面积，所以一共就有

94+1=95个面积单位；把95按照4：1进行分配即可求出占有2个面积单位的房子有多

少栋，进而求出房子的总数.

【解答】解：如果一个面积单位对应一个编号，那么每4个编号中就会多出一个编号；

也就是参与编码的奇数和没有参加编码的奇数的比是4：1：

(187+1)÷2+l

=94+1

=95

95÷(4+1)

=95÷5

=19；

19×4=76(栋)

答：大雄家所在的这一侧共有76栋房子.

【点评】根据给出的1、3、7,9这几个编码的特点，找出规律，再利用规律求解.

10.能否用540个图所示的1X2的小长方形拼成一个6X180的大长方形，使得6X180的

长方形的每一行、每一列都有奇数个星？请说明理由.

Ψ

【分析】540个这样的小长方形就有540个小星星：540是偶数，因为奇数+奇数=偶数；

也就是说偶数可以分成偶数个奇数的和；由此求解.

【解答】解：540个这样的小长方形就有540个小星星；

540可以分成6个奇数的和；也可以分成180个奇数的和，所以每一行或者每一列都可以

是奇数个星；

如：前五行各有89个，第六行有95个；每列都是3个.

所以540个1X2能使得6×180的长方形的每一行、每一列都有奇数个星.

【点评】本题根据奇数+奇数=偶数，这一规律进行求解.

11.如图，甲、乙、丙三个大小相同的杯子在桌面上一次排列，其中甲杯中盛满水，乙和丙

是空杯.现把水全部倒入相邻（左或右）的空杯中，那么，经过55次倒水后，有水的是

乙_杯.

甲乙丙

【分析】由于乙处于中间，根据操作规则，甲杯中盛满水，乙和丙是空杯.现把水全部

倒入相邻（左或右）的空杯中，第一次：倒入乙中；此时水在乙中，如向左则第二次倒

入甲中，第三次再倒入乙中；（第二次入向右则坐倒入丙中，第三次只能倒入乙中）如此

循环，由此可以发现，当第奇数次倒入时，总是倒入乙中.55是奇数，因此，经过55

次倒水，有水的是乙杯.

【解答】解：由于乙处在中间，

根据操作规则可知，

当第奇数次倒入时，总是倒入乙中.

55是奇数，因此，经过55次倒水，有水的是乙杯.

故答案为：乙.

【点评】通过操作，发现其中的规律是完成本题的关键.

12.能否用500个如图所示的1X2的小长方形形成一个5X200的大长方形，使得5X200

的长方形的每一行、每一列都有偶数个星？请说明理由.

【分析】500个小长方形就有500个小星星，500个星星平均分成5行，每行就有100个，

是偶数；500÷200=2（个）…100（个）；再把余下的100个平均分给50歹∣J,每列分2

个，这50列每列就是2+2=4（个），剩下的150列每列是2个，都是偶数，由此可解.

【解答】解：可以使5X200的长方形的每一行、每一列都有偶数个星，因为；

500个小长方形就有500个小星星，

5OO÷5=1OO（个）,

每行100个是偶数；

500÷200=2（个）-100（个）；

再把余下的100个平均分给50歹∣J,每列分2个，这50列每列就是2+2=4（个），剩下

的150列每列是2个，都是偶数；

所以可以使5X200的长方形的每一行、每一列都有偶数个星.

【点评】本题关键是把按列分配时余下的小星星正确的分配，使每列都是偶数个.

13.黑板上有多个5和7.现在进行如下操作：将黑板上任意两个数的和写在黑板上，问经

过若干次操作后，黑板上能否出现23?

【分析】黑板上有多个5和7,将黑板上任意两个数的和写在黑板上，根据其操作规则可

知，每次操作后的结果应是干个5与若干个7的和，5+7=12,12+5=17,17+5=22,12+7

=19,19+5=24,即无论怎么操作都不会出现23.

【解答】解：因为每次黑板上出现的数都应该可以是若干个5与若干个7的和，

而23不是，所以不能出现.

【点评】由于本题中23数值较小，因此通过试算就能得出结果.

14.设某年中有一个月里有三个星期日的日期为奇数，则这个月的21日可能是星期几？

【分析】设这个月的第一个星期日是。日（IWaW7）,则这个月内星期日的日期是7A+α,

k是整数，7Hα≤31.要求有三个奇数.然后分当α=l时，当“=2时，当α=3时，4

WαW7时，进行讨论，作出解答.

【解答】解：设这个月的第一个星期日是。日（I≤a≤7）,则这个月内星期日的日期是

7k+a,k是整数，7H<J≤31.

当α=l时，要使7k+l是奇数，k为偶数，即k可取0,2,4三个值，此时，7k+α=7k+l,

分别为1,15,29,这时21号是星期六.

当α=2时，要使然+2是奇数，k为奇数，即k可取1,3两个值，7A+2不可能有三个

奇数.

当α=3时，要使7&+3是奇数，k为偶数，即k可取0,2,4三个值，此时1k+a=7k+3,

分别为3,17,31,这时21号是星期四.

当4≤α≤7B寸，7%+“不可能有三个奇数.

故答案为：4或6.

【点评】此题分情况进行讨论，根据数的奇偶性，解答即可.

15.如图，从0点起每隔3米种一棵树.如果把3块“爱护树木”的小木牌分别挂在3棵树

上，那么不管怎么挂，至少有两棵挂牌树之间的距离是偶数（以米为单位）.试说明理由.

03691215182124

【分析】相距最远的两块木牌的距离，等于它们分别与中间一块木牌的距离之和.如果

三块木牌间两两距离都是奇数，就会出现“奇+奇=奇”，这显然不成立，所以必有两块

木牌的距离是偶数.

【解答】解：相距最远的两块木牌的距离，等于它们分别与中间一块木牌的距离之和.如

果三块木牌间两两距离都是奇数，就会出现“奇+奇=奇”，这显然不成立，所以必有两

块木牌的距离是偶数.

答：不管怎么挂，至少有两棵挂牌树之间的距离是偶数.

【点评】此题属于奇偶性问题，考查了学生对奇偶性的判定能力.

16.有8盏灯，从1到8编号，开始时3、6、7编号的灯是亮的.如果一个小朋友按从1

到8,再从1到8,…的顺序拉开关，一共拉动500次，问此时哪几个编号的灯是亮的？

【分析】对于亮着的灯，只要拉动偶数次开关仍是亮的，拉动奇数次开关是灭的；对于

开始关闭的灯，只要拉动奇数次开关灯就亮，拉动偶数次开关仍是灭的；因为500÷8=

62余4,说明这8盏灯各拉动62次后，编号为1、2、3、4的灯又拉动一次，由于62是

偶数，所以原来亮的灯仍是亮的，灭的灯仍是灭的，即编号是3、6、7的灯各拉动62次

后仍是亮的，其余灯是灭的，接着编号是1、2、3、4的灯各拉动一次，编号1、2、4的

灯亮了，编号3的灯灭了，所以这8盏灯最后是1、2、4、6、7这五盏灯是亮的.

【解答】解:500÷8=62∙∙∙4,

即这8盏灯各拉动62次后，编号为1、2、3、4的灯又拉动一次，原来亮着的灯除3号

灯灭了，其余都亮着，又增加了1、2、4号灯；

所以这8盏灯最后是1、2、4、6、7这五盏灯是亮的.

答：1、2、4、6、7这五盏灯是亮的.

【点评】此题应结合实际，又根据奇数和偶数的特点，进行分析，即可得出结论.

17.2009年元旦游园活动中，有一个游戏厅中亮着2009盏灯（每盏灯配一个开关，每触动

一次开关，灭或由灭变亮），现在2009个人参加一个游戏活动：规定第一个人只能触动1

个开关；第二个人只能触动2个开关，第3个人只能触动3个开关…第2009个人只能动

2009个开关.问：照此游戏规则，这2009个人能否将游戏厅中的灯全部关灭？请说明理

由.

【分析】首先根据题意，可得这2009个人触动开关的总个数是：1+2+3+…+2009,再根

据等差数列的求和公式，求出这2009个人触动开关的总个数是多少；然后根据这2009

个人触动开关的总个数如果是2009的偶数倍，则游戏厅中的灯全部是亮着的；如果这

2009个人触动开关的总个数是2009的奇数倍，则游戏厅中的灯全部是关灭的，据此判断

即可.

【解答】解：这2009个人触动开关的总个数是：

1+2+3+—+2009

=（1+2009）×2009÷2

=2010×2009÷2

=1005X2009（个）

因为1005X2009是2009的奇数倍，而且游戏厅中的2009盏灯开始时全是亮着的，

所以这2009个人能将游戏厅中的灯全部关灭.

答：这2009个人能将游戏厅中的灯全部关灭.

【点评】此题主要考查了奇偶性问题的应用，解答此题的关键是要明确：这2009个人触

动开关的总个数如果是2009的偶数倍，则游戏厅中的灯全部是亮着的；如果这2009个

人触动开关的总个数是2009的奇数倍，则游戏厅中的灯全部是关灭的.

18.1+2×3×4×5×6+7×8×9×10X11+12×13×14×15×16+∙∙∙+497×498×499×500×

501是奇数还是偶数，为什么？

【分析】根据数的奇偶性可知，由于若干个奇数X若干个偶数=偶数，所以1+2X3X4

×5×6+7×8×9×10×ll+12×13×14×15×16+-+497×498×499×5OO×5O1=⅛¾+

偶数+偶数+…偶数，即在所有加数中的，只有一个是奇数，其它加数都是偶数，所以它

们的和只能是奇数.

【解答】解：由于1+2X3X4X5X6+7X8X9X10X11+12X13X14X15X16+…+497义

498×499X500X501=奇数+偶数+偶数+…偶数，

即在所有加数中的，只有一个是奇数，其它加数都是偶数，所以它们的和只能是奇数.

【点评】明确若干个奇数义若干个偶数=偶数是完成本题的关键.

19.我国在使用公元纪年的同时，也一直沿用我国古代创立的干支纪年法，如甲午战争的甲

午，辛亥革命中的辛亥就是年份的名称.干支中的干是天干的简称，是指：甲乙丙丁戊

己庚辛壬癸；支是地支的简称，是指：子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥.

在纪年时，干支同时分别从甲子开始，不改变各自的顺序，循环往复下去.一位叫“丁

寅”的同学想在“丁寅年”邀请同学聚会，他的愿望能实现吗？若能实现，说明是哪一

年？（2008年是“戊子年”）若不能实现，请说明理由.

【分析】据题意可知，天干共10个，地支共12个.天干和地支按顺序组合形成年份，

因此可通过给天干和地支编号进行组合分析，发现规律，得出丁寅的愿望是否能够实现.

【解答】解：若用Al,A2,A3…AlO表示10个天干，用Bl,82,…B12表示12个地

支，

则天干与地支的组合顺序如下：AlBl,A2B2,A3B3,A4B4,-AlOBlO,AlBll,A2B∖2,

A381,

由此可以发现，A和B的标号总是奇偶交替出现，且每个组合中的标号奇偶性相同，

因为丁对应A4,寅对应B3,它们的标号奇偶性不同，所以，两者是不会组合到一块，即

丁寅年是不存在的.

所以丁寅同学的愿望不能实现.

【点评】完成本题主要根据给题中在要素进行编号，借助数的奇偶性进行分析解答的.

20.200到500之间的奇数，百位、十位和个位上的数字都不相同的有几个？

【分析】因为三个数位上的数字都不同，且为奇数，所以，根据百位进行分类讨论即可。

【解答】解：当百位为2或4时，个位有5种选法，十位有8种选法，

共有2X5X8=80（个）

当百位为3时，个位有4种选法，十位有8种选法，

共有4X8=32（个）

当百位为5时一，没有符合条件的数。

共有：80+32=112（个）

答：百位、十位和个位上的数字都不相同的有112个。

【点评】明确奇数的含义：自然数中，不是2的倍数的数，是奇数，是解答此题的关键.

21.你能从1、3、5、7、9、…、2007、2009这1005个自然数中选出9个，使它们的和等

于2008吗？为什么?

【分析】由题意可知，1、3、5、7、9、…、2007,2009此数列中全是奇数，则从中选出

的9个数也一定是奇数，根据数和的奇偶性可知，奇数个奇数相加的和仍然是奇数，2008

是偶数，所以不能使它们的和是2008.

【解答】解：由于中选出的9个数也一定是奇数，

奇数个奇数相加的和仍然是奇数，

2008是偶数，

所以不能使它们的和是2008.

【点评】本题考查了学生根据数和的奇偶性解决问题的能力.

22.在棋盘中，如果两个方格有公共点，就称为相邻的.如图中A有3个相邻的方格，而8

有8个相邻的方格.图中每一个奇数表示与它相邻的方格中偶数的个数（如3表示相邻

的方格中有3个偶数），每个偶数表示与它相邻的方格中奇数的个数（如4表示相邻的方

格中有4个奇数）.请在下面的4X4的棋盘中填数（至少有一个奇数），满足上面的要求.

【分析】首先确定中间四个位置的数据全为4,由此可以确定与它相邻的方格中奇数的个

数为4个，则偶数的个数也是4个，而在顶角的数字为一个偶数2,其余两个只能为奇数

才能符合要求，得出第一种结论；同理首先确定中间四个位置的数据全为3得出另一种

【点评】解决此题注意奇数周围偶数的个数，偶数周围奇数的个数.

23.将1,3,5,7,9填入等号左边的5个方框中，2,4,6,8填入等号右边的4个方框

中，使等式成立，且等号两边的计算结果都是自然数，这个结果最小为51.

π÷π+π+ππ=π÷π+ππ

【分析】1,3,5,7,9全为奇数，根据数的奇偶性可知，则奇数米奇数为奇数，奇数个

奇数相加为奇数，左边的值必然为奇数；所以右边的结果也为奇数，而右边□口必为偶

数，奇数+偶数=奇数，所则口÷□只能为奇数，故只能是6÷2,又要求结果最小，所

以可得9÷l+5+37=6÷2+48=51.

【解答】解：由奇偶性可以知道，左边必然为奇数，

所以右边的结果也为奇数，而右边□口必为偶数，

故右边的□÷口中只能是6÷2,又要求结果最小，

所以可以得到：9÷l+5+37=6÷2+48=51.

故答案为：51.

【点评】本题主要考查了学生根据数的奇偶性解决问题的能力.

24.如图所示，在三个圆圈中各填入一个自然数，使每条线段两端的两个数之和均为奇数.请

问这样的填法存在吗？如不存在，请说明理由；如存在，请写出一种填法.

【分析】根据数和的奇偶性可知：奇数+(-)奇数=偶数，偶数+(-)偶数=偶数，

奇数+(-)偶数=奇数.设所填的分别数为a、b、c,如这种填法存在的话，则有：a+b

=奇数.α+c=奇数，

8+c=奇数.那么(a+⅛)+(.a+c)+(b+c)—2(α+⅛+c),(a+b)+(a+C)+(⅛+c)为

奇数+奇数+奇数=偶数+奇数=奇数；

2(α+6+c)为偶数，偶效W奇数,所以不存在这样的填法.

【解答】解：不存在这种填法，理由为：

设所填的数分别是α,4c,如图所示.

假设“+/?=奇数，α+C=奇数，6+c=奇数；

三式相加：Ca+b)+(a+c)+(b+c)=2(a+b+c),

左边=2(a+t>+c),是偶数，

右边=三个奇数相加，是奇数，

而偶效金奇数,

所以不存在这样的填法.

【点评】本题要在了解数和的奇偶性的基础上完成.

25.能将1,2,3,4,5,6,7,8,9填在3X3的方格表中（如图），使得横向与竖向任意

相邻两数之和都是质数吗？如果能，请给出一种填法：如果不能，请你说明理由.

ESH

0

HS

【分析】由于1,3,5,7,9中任意两个奇数的和都是合数，所以1,3,5,7,9只能

填在表的四角和中心，而偶数2,4,6,8填在★处，中间所填的奇数要与2,4,6,8

横向或竖向相邻，即中间所填的奇数与2,4,6,8之和都要是质数；再根据1+8=9是

合数，3+6=9,5+4=9,7+2=9,9+6=15,都是合数得出矛盾，从而得解.

【解答】解：奇数1,3,5,7,9中任两个之和都大于2的偶数，因而是合数，所以在

填入3X3的表格时它们中任两个横向、竖向都不能相邻.如果满足题设条件的3X3表

格的填法存在，那么奇数1,3,5,7,9只能填在表的四角和中心，而偶数2,4,6,8

填在★处，于是中间所填的奇数要与2,4,6,8横向或竖向相邻，即中间所填的奇数与

2,4,6,8之和都要是质数.然而，这是不可能的，原因是：

1+8=9是合数，3+6=9是合数，5+4=9是合数，7+2=9是合数，9+6=15是合数，

所以在3X3表格中满足题设要求的填法是不存在的.

【点评】先根据两个不同时是1的奇数相加的和是大于2偶数，也是合数，找出奇数和

偶数在图中的位置，再找出中间所填数与周围偶数的和都必须是质数，从而得出矛盾进

行求解.

26.将1999表示为两个质数之和：1999=口+口，在口中填入质数.共有多少种表示法？

【分析】利用奇数的性质：奇数=奇数+偶数，和质数的意义填空推断即可.

【解答】解：因为两个奇数的和是偶数，所以将1999表示成两个质数的和，这两个质数

中必有一个是偶数，

因而也就是2,另一个是1999-2=1997即1999=2+1997,只有一种填法（我们将2+1997

与1997+2作为同一种）.

所以共有--种表示法.

【点评】解答注意特殊的质数2,也是偶数.

27.小地球仪上赤道大圆与过南北极的某大圆相交于4、8两点.有黑、白二蚁从A点同时

出发分别沿着这两个大圆爬行.黑蚁爬赤道大圆一周要10秒钟，白蚁爬过南北极的大圆

一周要8秒钟.问：在10分钟内黑、白二蚁在B