2022-2023学年山西省太原重点中学高一（上）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年山西省太原重点中学高一(上)期末数学试卷

一、单选题(本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项)

1.集合力={%∣-1<%≤5},B={-1,2,3,6},则4CB等于()

A.{-l,2,3}B.[2,3}C.{0,1,2,3,4}D.(-1,5]

2∙已知函数出=优l⅛只。，财(T)=()

A.5B.3C.2D.-2

3.stnl5°cos45°+sinl05osinl35o=()

A.ɪB.CC.—D.1

222

4.在△4BC中，已知。是边AB上的一点，若丽=2而，CD=^CA+λCB,则4=()

A.ɪB.IC.ɪD.I

5.通过实验数据可知，某液体的蒸发速度y(单位：升/小时)与液体所处环境的温度x(单位：

OC)近似地满足函数关系y=eαx+∕e为自然对数的底数，α,b为常数).若该液体在10。C的蒸发

速度是0.2升/小时，在20。C的蒸发速度是0.4升/小时，则该液体在30。C的蒸发速度为()

A.0.5升/小时B.0.6升/小时C.0.7升/小时D.0.8升/小时

6.已知函数/(x)与g(x)的部分图象如图1,则图2可能是下列哪个函数的部分图象()

7.已知函数/(x)=sin(3%+力(XeR,3>0)的最小正周期为兀，将y=/Q)的图象向左平

移|0个单位长度，所得图象关于y轴对称，则3的一个值是()

cA∙-2B—8jC-4D-8

45

8.已知己V73Il<7,设α=log47,b=log7ll,c=log81243,则（）

A.a<b<cB.b<a<cC.b<c<aD.c<a<b

二、多选题(本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求)

9.下列说法正确的有()

A.若Q>b,贝IJQC?>bc2B.若£>g则Q>b

C.若Q>b,则α—Ob—cD.若Q>b,则M>fo2

10.设向量五,B满足闷=I瓦=1，且历—2日|=，弓，则以下结论正确的是()

A.ɑɪhB.∣α÷6∣=2

C.∣α-h∣=√-2D.<α,b>=60°

11.已知函数/(%)是定义在R上的偶函数，当％≥0时，/(x)=M一2%,则()

A./(%)的最小值为一1

B./(%)在(-2,0)上单调递减

C./(x)>O的解集为(—8,-2)U(2,+8)

D.存在实数X满足/(X+2)+/(-X)=O

12.已知函数f(%)=Acos(ωx+W)(4>O,ω>O,∣<p∣<方的部分图象如图所示，则下列说法

正确的是()

AA.9=一TT5

B.f(χ)图象的对称中心为暗+:,0),kez

C.直线X=褪/(χ)图象的一条对称轴

D.y=/(x)的图象与y=的图象有3个交点

三、填空题(本大题共4小题，共20.0分)

13.函数y=就短大的定义域是•

14.若命题“比0€R,+x0-a=0”为假命题，则实数a的取值范围为

15.仇章算术/是中国古代的数学名著，其中彷•田》一章涉及

到了弧田面积的计算问题，如图所示，弧田是由弧AB和弦AB所围成Ay

、,

的图中阴影部分.若弧田所在圆的半径为1,圆心角为竽，则此弧田的°

面积为.

16.已知函数f(x)=X2-2x+m∙3∣XTl有唯一零点，则m=,/(x)<3τπ的解集为

四、解答题(本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17.(本小题10.0分)

已知d,a乙是同一平面内的三个向量，其中d=(i,2).

⑴若El=2√-5.且益〃3，求B的坐标;

(2)若m=√R,且2五+F与43一3睡直,求五与,的夹角仇

18.(本小题12.0分)

已知2sinα=2sin21-1.

(1)求si∏2a+COS2a的值；

(2)已知ae(0,兀)，β∈3tαn2β-2tanβ=1,求a+0的值.

19.(本小题12.0分)

某游泳馆拟建一座占地面积为200平方米的矩形泳池，其平面图形如图所示，池深1米，四周

的池壁造价为400元/米，泳池中间设置一条隔离墙，其造价为100元/米，泳池底面造价为60

元/平方米(池壁厚忽略不计)，设泳池的长为X米，写出泳池的总造价f(x),问泳池的长为多

少米时，可使总造价f(x)最低，并求出泳池的最低造价.

20.(本小题12.0分)

在△4BC中，a、b、C分别为内角A、B、C的对边，且2asin4=(2b+c)siτιB+(2c+b)sinC

(I)求A的大小；

(H)若sinB+SinC=1,试判断△4BC的形状.

21.(本小题12.0分)

设函数/(%)是定义在R上的增函数，对于任意X,丫6/?都有/0+丫)=/(乃+/3).

(1)证明/(x)是奇函数；

(2)解不等式:/(χ2)-f(X)>l∕(3x).

22.(本小题12.0分)

已知函数/(x)=cosx(2√-3sinx-CoSX)-∣cos2x+ɪ,x∈/?.

(1)求/(x)的最小正周期和单调递增区间；

(2)求方程/(x)=ɑ(-l<a<0)在［0,2利内的所有实数根之和.

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：由题意发现集合B中元素2€4,364,

所以AnB={2,3},3正确.

故选：B.

从集合A中找出集合B的元素即可.

本题主要考查了集合的基本运算，属于基础题.

2.【答案】A

【解析】解：•；函数f(x)=瑟<0-则f(-1)=/(2)=4+l=5,

故选：A.

由题意，利用分段函数，分类讨论，求得/(1)的值.

本题主要考查分段函数的应用，求函数的值，属于基础题.

3.【答案】C

【解析】解：sinl50cos450+sinl05osml35o

=SiMl5。CoS45。+sin(90o+15o)sin(180o-45°)

=sinl5ocos45o+cosl5osin450

=sin(15o+450)=sin60o=

故选：C.

利用诱导公式及两角和的正弦公式计算可得.

本题主要考查了诱导公式及和差角公式在三角化简求值中的应用，属于基础题.

4.【答案】B

【解析】解：••・在AABC中，己知。是边AB上的一点，AD=2DB，CD=^CA+λCB,

而由题意可得方=E7+而=百+'屈=方+号(函4-CA)=^CA+^CB,

故有a=|,

故选B.

本题要求字母系数，办法是把而表示出来，表示时所用的基底要和题目中所给的一致，即用刀和

而表示，画图观察，从要求向量的起点出发，沿着三角形的边走到终点，把求出的结果和给的条

件比较，写出人

本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，经历平面向量分解定理的探求过程，

培养观察能力、抽象概括能力、体会化归思想，基底给定时，分解形式唯一，字母系数是被基底

唯一确定的数量，属于基础题.

5.【答案】D

+匕_A

【解析】解：由题意得/(Qαloa+b]9j

两式相除得ei°a=2,所以e∙=0.1,

当X=30时,e30a+b=(e10α)3∙eb=0.8,

所以该液体在30。C的蒸发速度为0.8升/小时.

故选：D.

10a+b_∩9

eo-θ∙J,求出a,b,再将X=30代入即可得解.

{e20a+b

本题主要考查函数在实际问题中的应用，考查运算求解能力，属于基础题.

6.【答案】B

【解析】

【分析】

本题考查函数的图象与性质，熟练掌握复合函数奇偶性的判断方法是解题的关键，考查逻辑推理

能力和运算能力，属于基础题.

由图1知，f(x)为偶函数，g(x)为奇函数，图2中的函数为奇函数，然后采用排除法，用函数的奇

偶性可排除选项4和C,从函数的定义域可排除选项D.

【解答】

解：由图1知，函数/(x)为偶函数，函数g(x)为奇函数，图2中的函数为奇函数，

选项A,令∕ι(x)=f(g(x)),

则九(一x)=f(g(-χ))=f(-g(χ))=f(g(X))=九(X)，

所以函数y=f(g(χ))为偶函数，不符合题意；

选项C,令F(X)=g(MX)),

则F(T)=g(f(TC))=g(f(X))=F(X),

所以函数y=g(f(χ))为偶函数，不符合题意：

选项O,g(χ)作为分母，不能为0,与图1不符，

故选B.

7.【答案】D

【解析】解：由已知，周期为兀=2,3=2,

ω

则结合平移公式和诱导公式可知平移后是偶函数，

sin[2(x+W)+?=±cos2x,

故选。

先根据函数/^(x)=sin(ωx+J)(x∈R,3>0)的最小正周期为兀求出3的值，再由平移后得到y=

sin[2(x+w)+g为偶函数可知sin[2(x+¢)+?=±cos2x,即可确定答案.

本试题考查了三角函数的周期性和三角函数的平移公式运用以及诱导公式的运用.

5

4<4<5

I7

器

蛇55

>-<-

44

⅛4

55⅛35

>6<C=5-z=

Q-4⅛3-4-

4,IL4/

选

故C

5端55

求

条

出

艮据

件

得出

可h

5-7>_<b<C=

「l

444-

.94

得出α,b,C的大小关系.

本题考查了对数的运算性质，对数的换底公式，考查了计算能力，属于基础题.

9.【答案】BC

【解析】解：对于4当α=3,6=1,C=O时，满足α>b,故加2=儿2,故A错误;

对于B,若故。2>0,不等式两边同乘以c2,得到α>b,故8正确；

对于C,若α>b,不等式两边同减去C得：a-c>b—c,C正确；

对于0,当α=O,b=—1时，满足α>b,此时α2<b2,。错误.

故选：BC.

AD可举出反例，BC可通过不等式基本性质得到求解.

本题主要考查不等式的性质，属于基础题.

10.【答案】AC

【解析】

【分析】

本题主要考查了向量数量积的性质的简单应用.

由已知结合向量数量积的性质对各选项进行检验即可.

【解答】

解：因为Ml=Bl=1，且由一2回=，百

所以中一4五・3+4彦=5，

所以di=O,故,"L3,选项A正确；

因为(d+ð)2=a2+2a-b+b2=

所以M+3∣=q,8错误；

因为(2—b)2=dz-2d∙b+b2=2>

所以—b∣=λ∕~∑,C正确；

因为dɪa

所以<a,ι>=*。错误;

故选：AC.

11.【答案】ACD

【解析】解：函数/(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，/(X)=X2-2X=(X-1)2-1,

可得fQ)=—

KX+2%,X<0

可得X>0时，/(X)在X=1时取得最小值-1,由偶函数的图象关于y轴对称，可得/(X)在R上取得

最小值一1,故A正确；

/(X)在(一8,-1)递减,在(一LO)递增，故8错误;

由｛1"2x>0或心；02χ>(Γ解得4>2或“<-2,故C正确；

由/(0)=0,f(—2)=/(2)=0,即存在实数X满足f(x+2)+f(-x)=0,故。正确：

故选：ACD.

由偶函数的定义可得/(x)的解析式，由二次函数的最值求法和单调性的判断、二次不等式的解法

和/(0)=/(2)=/(—2)=0,可得结论.

本题考查函数的奇偶性和单调性的性质和运用，考查转化思想、运算能力，属于中档题.

12.【答案】ABD

【解析】解：根据函数/^(x)=ACOS(3x+0)(A>0,3>0,∣w∣∕)的部分图象，

7τr4日12TTIITr5TTɔ

可咦X^T=五一运∙j=2.

再根据五点法作图，可得2*得+0=：二8=-£故A正确；

IZZɔ

再根据图象经过点(0,-2),可得4cos(冶)=2,

函数令则％="+工,

•••4=4,/(x)=4cos(2xT),2xT=kττ+MkeZ,∕c∈z,

所以函数/(X)图象的对称中心为(招+:,0)M∈Z,故选项B正确；

令2x—三=E,kWZ,则χ="+g,kez,

所以函数f(X)图象的对称轴为X=⅞+≡⅛∈z.

所以直线X=］不是/(%)图象的一条对称轴，故选项C错误；

在同一坐标系内作出函数y=/Q)与y=∕ogqχ的图象，根据函数的图像可知：

点C(与,4),4年』09小生F(等,4),。(ʃ,ɪIog2等)，

因为当X=今时，y—∕05√-2y=2log2^-<2log24=4,

所以函数y=/^(χ)的图象与y=log/7x的图象在X=曾附近有两个交点，

又2的2笔>2的24=4,所以函数y=/(x)的图象与y=，电厘的图象在X=与附近没有交点,

结合图象可知：函数y=f(x)的图象与y=bg尸X的图象有3个交点，故选项。正确，

故选:ABD.

首先根据函数的图象可得IX杯=等-招，由此可得3的值,根据五点法求得0的值，即可判断力；

进一步计算可求出函数的解析式，根据正弦函数的对称轴和对称中心计算可判断B、C；在同一坐

标系内作出函数y=/(X)与y=/。。二方的图象，数形结合可判断。.

本题考查了三角函数的图象与性质，考查了数形结合的思想，属于中档题.

13.【答案】弓,l)u(1,+8)

【解析】解：由题意可得｛篇：(；；一°1)≠0'解得X>；且%≠1.

11

因此，函数y=,0%(2厂1)的定义域是(号1)U(I,+8).

1

故答案为：G，1)U(I,+8).

根据题意可得出工所满足的不等式组，进而可得函数的定义域.

本题主要考查分式函数、对数函数的性质，求函数的定义域，属于基础题.

14.【答案】(—8,—；)

【解析】解：由题意可知，命题VXeR,/+χ一。κO为真命题，

∙∙.Zl=1+4α<O>

解得a<—%

即实数a的取值范围为(-8,—1).

故答案为：(―∞,—ɪ).

由题意可知，原命题的否定为真命题，再结合二次函数的性质求解即可.

本题主要考查了特称命题的应用，考查了命题的否定，属于基础题.

15.【答案】∣-≤3

【解析】解：∙∙∙OA=OB=1,∆AOB=y,

∙∙∙SAAOB=^OA-OB-Siny=∣×1×1×^=

又••・扇形4。B的面积S=i×^×l2=≡,

・••弧田的面积为S-SXAOB=>?.

故答案为：J一孕.

34

先求出AaoB的面积，再求出扇形4。B的面积，进而求出弧田的面积即可.

本题主要考查了扇形的面积公式，属于基础题.

16.【答案】1(0,2)

【解析】解：/(x)=X2—2x+m∙3∣XTl=(X-I)2+m-3∣x-1∣—11

令X—1=t,则g(t)=t2+m∙3罔—1,

而g(t)=g(τ),可得函数g(t)为偶函数,

••・函数/(χ)的图象关于X=1对称，

要使函数f(χ)有唯一零点，则/(i)=o,

即m—1=0,解得m—1；

则/(x)=χ2-2χ+3∣xT,

/(x)<3m,即——2x+3∣XTl<3,.,.(x—I)2+3∣XTl<4,

令X-I=3则r+3∣t∣<I2+31,

令九(t)=t2+3用，则仅同)<九(1),

可得∣t∣<1,即IX-Il<1,解得0<x<2.

.∙.f(x)<3m的解集为(0,2).

故答案为：1；(0,2).

先对函数/(%)整理，以x-1为整体设为3转化为新函数g(t),证明其为偶函数，则可得原函数/(%)

关于X=1对称,又由函数有唯一零点可得/(1)=0,进而可以求出m的值;把巾=1代入f(x)<3m,

再由换元法结合函数的奇偶性得关于X的不等式求解.

本题考查了函数的零点与方程根的关系，考查了函数的奇偶性，是中档题.

17.【答案】解:⑴设B=(x,y),则由的=2仁,可得/+y2=(2√^T,由用/B，可得2x—y=0,

联立岸2尸°，解得「谶：二%

.∙.b=(2,4)或3=(-2,-4);

(2)∙∙∙2Z+下与4五一31垂直，

ʌ(2α+c),(4α-3c)=0,B∏802-2α∙c-3c2=0>

又Idl=√^5,∣c∣=√-Io,

ʌ8×5—2×V-5XVIOcos<α,c>-3×10=0-

ʌcos<a,c>=?，

又<a,c>∈[O,π],

.∙.N与^的夹角。=I

【解析】(1)设B=(X,y)，根据题意建立关于X,y的方程组，解出即可；

(2)依题意,(2d+c)(4α-3c)=0,展开后化简即可得到答案.

本题主要考查平面向量的数量积以及坐标运算，考查运算求解能力，属于中档题.

18.【答案】解：⑴由2s讥α=2si∏25一1,得2siτια=-COSa,∙"cmα=-g

r∏∣.Cc.,C2sιnacosa+cosza-s∖nza

Wl1Jsmnza+cos∆a=Isinacosa+cos2a=------------------;--------

sinα÷coszα

2tαnα+l-tan2a1

tan2α+l5

(2)由3tα∏20—2tanβ=1,可得tan/3=-E或txuι0=1,

vβ∈(?,兀),ʌtanβ=-ɪ,

tana+tanβ(∙⅛+(T)

则tan(α+/?)=

1—tanatan∕?ι-(-∣)×(-∣)

a∈(O,τr),tana=-ɪ<0,・•・α∈(果")，

z乙

则α+0∈(π,2τr),：.a+β=—.

【解析】本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数的基本关系式、倍角公式及两角和的

正切，考查运算求解能力，是基础题.

(1)由已知求得tana,再由倍角公式、同角三角函数基本关系式化弦为切求解S讥2α+cos2α的值；

(2)求解一元二次方程可得tαn0,由两角和的正切求tan(α+S),结合角的范围可得α+口的值.

19.【答案】解：因为泳池的长为X米，则宽为3米.

X

则总造价f(x)=400X(2x+2X竽)+1OOX-+60X200(x∈(0,+∞)),

整理得到/(x)=800×(x+ɪ)+12000≥1600×15+12000=36000(x∈(0,+∞)),

当且仅当X=15时等号成立.

故泳池的长设计为15米时，可使总造价最低，最低总造价为36000元.

【解析】根据矩形面积公式列出函数表达式，结合基本不等式即可求解.

本题主要考查根据实际问题选择合适的函数模型，属于中档题.

20.【答案】解：(I)由已知，根据正弦定理得2彦=(2b+c)b+(2c+匕)c,

即M=ft2+C2+be,

由余弦定理得a2=ð2÷C2-IbccosA

故CoSA=-ɪ,

-AE((U80。),

・・・A=120°；

222o

(11)由(I)得Q2=ZJ2+c÷be,所以SiMa=sinB+sinC+SinBSinC,A=120,

变形得q=(SinB+sinC)2—SinBsinC,

又S讥B+SinC=I'得S讥BS汾C=

上述两式联立得S讥B=sinC=ɪ,

因为0。<B<60°,0°<C<60°,

故B=C=30°,

所以△ABC是等腰的钝角三角形.

【解析】本题考查正弦定理和余弦定理的应用.在解三角形问题中一般借助正弦定理和余弦定理

边化角，角化边达到解题的目的，属于中档题.

(I)利用正弦定理角化边，求得α,b和C关系式，代入余弦定理中求得cos4的值，进而求得4

(H)把(I)中α,b和C关系式利用正弦定理转化成角的正弦，与SEB+sinC=1联立求得SinB和

SinC的值，进而根据C,B的范围推断出B=C,可知△力BC是等腰的钝角三角形.

21.【答案】解:(1)证明：令X=0,则由/(x+y)=/(X)+f(y),

得/(y)=f(0)+f(y),即f(0)=0；

令y=τ,则由f(%+y)=f(%)+/(y),得f(0)=0=f(%)+/(-%)，

即得f(-x)=-/(x),

故/Q)是奇函数；

(2)i∕(x2)-∕(x)>∣∕(3x),

所以f(χ2)—