北京沙岭中学高二数学理月考试题含解析

北京沙岭中学高二数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知双曲线方程为，过P（1，0）的直线L与双曲线只有一个公共点，则L的条数共有

（

）A．4条

B．3条

C．2条

D．1条参考答案：B略2.已知数列{an}中，.若对于任意的，不等式恒成立，则实数a的取值范围为（

）.A.(3,+∞)

B.(－∞,3)

C.[3,+∞)D.(－∞,3]参考答案：C3.一条线段长为，其侧视图长这，俯视图长为，则其正视图长为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B4.在区间[0，6]上随机取一个数x，的值介于0到2之间的概率为

(

).A.

B.

C.

D.

参考答案：C5.已知集合A={x|–1<x<2}，B={x|x>1}，则A∪B=A.（–1，1） B.（1，2） C.（–1，+∞） D.（1，+∞）参考答案：C【分析】根据并集的求法直接求出结果.【详解】∵，∴，故选C.【点睛】考查并集的求法，属于基础题.6.已知函数f(x)＝sinx＋lnx，则f′(1)的值为（

） A．1－cos1

B．1＋cos1

C．cos1－1

D．－1－cos1参考答案：B7.若复数是虚数单位）是纯虚数，则复数的共轭复数是

A．

B．

C．

D．

参考答案：C8.如图，M是抛物线y2=4x上一点（M在x轴上方），F是抛物线的焦点，若|FM|=4，则∠xFM=（）A．30° B．45° C．60° D．75°参考答案：C【考点】抛物线的简单性质．【分析】利用抛物线的性质求出M的坐标，求出FM的斜率，即可求解∠xFM．【解答】解：由题意抛物线y2=4x得F（1，0），M是抛物线y2=4x上一点（M在x轴上方），|FM|=4，可得M（3，2）．∴MF的斜率为：=，tan∠xFM=．∠xFM=60°．故选：C．9.在复平面内，复数对应的点位于

（

）

A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限参考答案：B略10.已知复数z满足(i为虚数单位)，则z的虚部为（

）A．i

B．－1

C．－i

D．1参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.方程表示的直线可能是__________．(填序号)参考答案：略12.两条平行直线l1：x+2y+5=0和l2：4x+8y+15=0的距离为

．参考答案：【考点】两条平行直线间的距离．【分析】先把x、y的系数化为相同的值，再利用两条平行直线间的距离公式计算求的结果．【解答】解：条平行直线l1：x+2y+5=0和l2：4x+8y+15=0，即直线l1：4x+8y+20=0和l2：4x+8y+15=0故它们之间的距离为d==，故答案为：．13.如图所示，EFGH是以O为圆心，半径为1的圆的内接正方形，将一粒豆子随机地扔到该圆内，用A表示事件“豆子落在正方形EFGH内”，B表示事件“豆子落在扇形OHE（阴影部分）内”，则P（B|A）=．参考答案：【考点】CM：条件概率与独立事件．【分析】根据几何概型计算公式，分别算出P（AB）与P（A），再由条件概率计算公式即可算出P（B|A）的值．【解答】解：根据题意，得P（AB）===，∵P（A）===，∴P（B|A）==故答案为：【点评】本题给出圆内接正方形，求条件概率P（B|A），着重考查了几何概型和条件概率计算公式等知识，属于中档题．14.给出下列四个结论：①“若则”的逆命题为真；②函数（x）有3个零点；③对于任意实数x，有且x>0时,，则x<0时其中正确结论的序号是

.（填上所有正确结论的序号）参考答案：③15.设函数f（x）=x3+（1+a）x2+ax有两个不同的极值点x1，x2，且对不等式f（x1）+f（x2）≤0恒成立，则实数a的取值范围是．参考答案：≤a≤2或a≤﹣1【考点】6D：利用导数研究函数的极值．【分析】把x1，x2代入到f（x）中求出函数值代入不等式f（x1）+f（x2）≤0中，在利用根与系数的关系化简得到关于a的不等式，求出解集即可．【解答】解：因f（x1）+f（x2）≤0，故得不等式x13+x23+（1+a）（x12+x22）+a（x1+x2）≤0．即（x1+x2）[（x1+x2）2﹣3x1x2]+（1+a）[（x1+x2）2﹣2x1x2]+a（x1+x2）≤0．由于f′（x）=3x2+2（1+a）x+a．令f′（x）=0得方程3x2+2（1+a）x+a=0．△=4（a2﹣a+1）≥4a＞0，x1+x2=﹣（1+a），x1x2=，代入前面不等式，并化简得（1+a）（2a2﹣5a+2）≥0．解不等式得≤a≤2或a≤﹣1，因此，实数a的取值范围是≤a≤2或a≤﹣1．故答案为：≤a≤2或a≤﹣1．【点评】本题考查学生求导数及利用导数研究函数极值的能力，灵活运用一元二次方程根与系数的关系解决数学问题的能力．16.椭圆的左、右顶点分别为A1，A2，点P在C上,且直线PA2斜率的取值范围是[－2,－1]，那么直线PA1斜率的取值范围是___________.参考答案：

17.若恒成立，则a的范围是____________参考答案：a≤-1略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.用分析法证明：若a＞0，则参考答案：证明：要证－≥a＋－2，只需证＋2≥a＋＋.∵a＞0，∴两边均大于零，因此只需证（＋2）2≥（a＋＋）2，只需证a2＋＋4＋4≥a2＋＋2＋2（a＋），只需证≥（a＋），只需证a2＋≥（a2＋＋2），即证a2＋≥2，它显然是成立，∴原不等式成立.

略19.（本小题满分10分）选修4-4:坐标系与参数方程

在平面直角坐标系中，以原点为极点，x轴为极轴建立极坐标系，曲线的方程为

（为参数），曲线的极坐标方程为，若曲线

与相交于A、B两点

(1)求的值；

(2)求点M(-1，2)到A、B两点的距离之积参考答案：20.（本小题满分12分）过轴上动点引抛物线的两条切线、，、为切点．（1）若切线，的斜率分别为和，求证：为定值，并求出定值；（2）求证：直线恒过定点，并求出定点坐标；

（3）当最小时，求的值．参考答案：（1），，即，即，同理，所以。联立PQ的直线方程和抛物线方程可得：，所以，所以……6分（2）因为，所以直线恒过定点…………8分（3），所以，设，所以，当且仅当取等号，即。因为因为所以…………12分21.已知函数f（x）=|x﹣1|．（Ⅰ）解不等式f（x﹣1）+f（x+3）≥6；（Ⅱ）若|a|＜1，|b|＜1，且a≠0，求证：f（ab）＞|a|f（）．参考答案：【考点】绝对值不等式的解法．【分析】（Ⅰ）易求f（x﹣1）+f（x+3）=，利用一次函数的单调性可求f（x﹣1）+f（x+3）≥6的解集；（Ⅱ）利用分析法，要证f（ab）＞|a|f（），只需证证（ab﹣1）2＞（b﹣a）2，再作差证明即可．【解答】解：（Ⅰ）f（x﹣1）+f（x+3）=|x﹣2|+|x+2|=，当x＜﹣2时，由﹣2x≥6，解得x≤﹣3；当﹣2≤x≤2时，f（x）=4≥6不成立；当x＞2时，由2x≥6，解得x≥3．∴不等式f（x﹣1）+f（x+3）≥6的解集为{x|x≤﹣3，或x≥3}．

（Ⅱ）证明：∵|a|＜1，|b|＜1，且a≠0，∴要证f（ab）＞|a|f（），只需证|ab﹣1|＞|b﹣a|，只需证（ab﹣1）2＞（b﹣a）2，b2﹣1）＞0显然成立，22.（本小题满分9分）已知椭圆：的右顶点为，过的焦点且垂直长轴的弦长为．（I）求椭圆的方程；（II）设抛物线：的焦点为F，过F点的直线交抛物线与A、B两点，过A、B两点分别作抛物线的切线交于Q点，且Q点在椭圆上，求面积的最值，并求出取得最值时的抛物线的方程。参考答案：（I）由题意得所求的椭圆方程为----------3分（