2023国家开放大学《高数基础形考》1-4答案

未知驱动探索，专注成就专业国家开放大学《高数基础形考》1-4答案1.题目：求下列函数的导数：$$(1)\\quady=(x^2+4x-1)^3$$$$(2)\\quady=\\frac{2x}{x+1}$$$$(3)\\quady=\\sqrt[3]{x^4}$$$$(4)\\quady=\\sin^3x$$2.解答：根据求导法则，我们可以分别对给定的函数进行求导。(1)题目：求函数y=(解答：为了求这个函数的导数，我们可以使用链式法则。首先，令u=x2+4x−1进行求导的过程如下：$$\\begin{align*}u&=x^2+4x-1\\\\\\frac{du}{dx}&=2x+4\\\\\\frac{dy}{du}&=3u^2\\\\\\frac{dy}{dx}&=\\frac{dy}{du}\\cdot\\frac{du}{dx}=3u^2\\cdot(2x+4)=3(x^2+4x-1)^2\\cdot(2x+4)\\end{align*}$$所以，函数y=(x2+(2)题目：求函数$y=\\frac{2x}{x+1}$的导数。解答：为了求这个函数的导数，我们可以使用求商的导数法则。首先，令u=2x和v=x+1，然后计算进行求导的过程如下：$$\\begin{align*}u&=2x\\\\\\frac{du}{dx}&=2\\\\v&=x+1\\\\\\frac{dv}{dx}&=1\\\\\\frac{dy}{dx}&=\\frac{d}{dx}\\left(\\frac{u}{v}\\right)=\\frac{u'v-uv'}{v^2}=\\frac{(2)(x+1)-(2x)(1)}{(x+1)^2}=\\frac{2}{(x+1)^2}\\end{align*}$$所以，函数$y=\\frac{2x}{x+1}$的导数为$\\frac{2}{(x+1)^2}$。(3)题目：求函数$y=\\sqrt[3]{x^4}$的导数。解答：为了求这个函数的导数，我们可以使用求幂的导数法则。首先，令u=x4，然后计算进行求导的过程如下：$$\\begin{align*}u&=x^4\\\\\\frac{du}{dx}&=4x^3\\\\\\frac{dy}{dx}&=\\frac{d}{dx}\\left(\\sqrt[3]{u}\\right)=\\frac{1}{3}u^{-\\frac{2}{3}}\\frac{du}{dx}=\\frac{1}{3}(x^4)^{-\\frac{2}{3}}(4x^3)=\\frac{4x^3}{3x^2}=\\frac{4x}{3}\\end{align*}$$所以，函数$y=\\sqrt[3]{x^4}$的导数为$\\frac{4x}{3}$。(4)题目：求函数$y=\\sin^3x$的导数。解答：为了求这个函数的导数，我们可以使用求复合函数的导数法则。首先，令$u=\\sinx$，然后计算$\\frac{du}{dx}$。最后，我们将求得的导数结果与幂函数的导数法则进行结合。进行求导的过程如下：$$\\begin{align*}u&=\\sinx\\\\\\frac{du}{dx}&=\\cosx\\\\\\frac{dy}{dx}&=\\frac{d}{dx}(u^3)=\\frac{d}{dx}(u^2\\cdotu)=2u\\cdot\\frac{du}{dx}=2(\\sinx)\\cdot\\cosx=2\\sinx\\cosx\\end{align*}$$所以，函数$y=\\sin^3x$的导数为$2\\sinx\\cosx$。总结：通过以上的解答，我们成功地求得了给定函数的导数。在求导的过程中，我们运用了不同的求导法则，并通过简化和合并得到了最终