2024年1月上海市春季高考数学真题试卷含详解

2024上海春考数学试卷完整回忆版

一、填空题(本大题共12题,满分54分,第1-6题每题4分，第7-12题每题5

分)

1.log2%的定义域.

2.直线x-y+l=。的倾斜角.

3.已知二=i,则Z=

1+1

4.(%-I)6展开式中x4的系数为.

5.三角形ABC中，BC=2,4=£,贝IJ4B=.

34

6.已知ab=1,4a2+9b2的最小值为.

7.数列｛%｝，=n+c,S7<0,c的取值范围为.

8.三角形三边长为5,6,7,则以边长为6的两个顶点为焦点,过另外一个顶点的双

曲线的离心率为.

9.已知/(%)=x2,g(x)=n，求g(%)<2-%的％的取值范围

10.已知四棱柱Z3CD底面ABCD为平行四边形，AAt=3,BD=4且

AB^-BC-AD1-~DC=S,求异面直线A4i与BD的夹角.

11.正方形草地ZBCD边长1.2,E到48,4。距离为0.2,尸到8。CD距离为0.4,有个

圆形通道经过E,F,且经过4。上一点,求圆形通道的周长.（精确到0.01）

12.a1=2,a2=4,。3=8,。4=16,任意61,82,83,84eR,满足{%+aj\l<i<

j<4]={bt+bj\l<i<y<4},求有序数列{%，%，/小J有对・

二、选择题（本大题共4题,满分18分,第13-14题每题4分，第15-16题每题

5分）

13.a,b,ceR,b>c,下列不等式恒成立的是（）

k.a+b2>a+c2B.a2+b>a2+cC.ab2>ac2D.a2b>。2c

14.空间中有两个不同的平面a,£和两条不同的直线Hl,M,则下列说法中正确的是

（）

A.若馥团6,m^a,n团6,贝（Jm•0MB.若馥团6,m^\a,m^\n,则it团6

C.若馥〃6,m//a,n//p,则D.若馥〃6,m//a,m//n,则n〃6

15.有四种礼盒，前三种里面分别仅装有中国结、记本本、笔袋，第四个礼盒里面

三种礼品都有，现从中任选一个盒子,设事件A：所选盒中有中国结，事件B：所

选盒中有记事本，事件C：所选盒中有笔袋，则（）

A.事件A与事件B互斥B.事件A与事件B相互独立

C.事件A与事件BUG互斥D.事件A与事件Bn。相互独立

16.现定义如下：当比G(n>n+1)时5eN),若/。+1)=，⑺,则称/")为延

展函数.

现有，当尢e(0,1)时,g{x}=e"与九(%)=炉。均为延展函数,则以下结论()

(1)存在y=kx+b(k，beR,k>b0)与y=。(化)有无穷个交点

(2)存在y=kx+b(k>bERkb0)与y=九(尢)有无穷个交点

A.(1)(2)都成立B.(1)(2)都不成立C.(1)成立⑵不成立D.(1)

不成立⑵成立.

三、解答题(本大题共5题，共14+14+14+18+18=78分)

17.已知/(%)=sin(cox+co>0

(1)设co=1,求解:y=/(%),%e[8出的值域；

(2)a>7r(ae/?),/(%)的最小正周期为兀,若在％e[ma]上恰有3个零点,求a的取

值范围.

18.如图,PZ、PB、PC为圆锥三条母线,ZB=ZC.

⑴证明：PZ团BC；

(2)若圆锥侧面积为g7r,BC为底面直径,BC=2,

求二面角B-PA-。的大小.

19.水果分为一级果和二级果,共136箱,其中一级果102箱,二级果34箱。

⑴随机挑选两箱水果,求恰好一级果和二级果各一箱的概率；

⑵进行分层抽样,共抽8箱水果,求一级果和二级果各几箱；

⑶抽取若干箱水果,其中一级果共120个,单果质量平均数为303.45克,方差为

603.46;二级果48个,单果质量平均数为240.41克,方差为648.21;求168个水

果的方差和平均数,并预估果园中单果的质量.

Y2

20.在平面直角坐标系％Oy中，已知点4为椭圆厂:^+囚

6

5=1上一点,&、F2分别为椭圆的左、右焦点。

⑴若点4的横坐标为2,求的长；------

(2)设厂的上、下顶点分别为M]、M2,记2M0F2的面积为

SL41MlM2的面积为S2,若Si>S2,求的取值范围'

(3)若点4在％轴上方,设直线NF2与广交于点B,与y轴交于点K,K0延长线与「交于

点C,是否存在％轴上方的点C,使得耳1+F^B+F^C=2(0+F^B+刀)(2e

R)成立?若存在，请求出点。的坐标;若不存在,请说明理由.

21.记M(a)={t|t=/(%)—f{d}>x>a},L(a)=[t\t=/(%)—f(d)>x<a]

(1)若/(%)=%2+1,求M(l)和L(l);

(2)若/(%)=%3-3x2,求证:对于任意aeR,都有M(a)G[-4^+°°),且存在a,

使得-4€M(a).

(3)已知定义在R上/(%)有最小值,求证〃/(%)是偶函数〃的充要条件是“对于任意

正实数c,均有M(—c)=L(c)”.

2024上海春考数学试卷解析

一、填空题（本大题共12题,满分54分,第1-6题每题4分，第7-12题每题5

分）

1.10g2%的定义域.

【考点】函数定义域

【答案】（0,+8）

2.直线x-y+l=。的倾斜角.

【考点】直线的倾斜角

【答案】£

【解析】k=tana=1

3.已知二=i,则Z=

1+1

【考点】夏数

【答案】-1-i

4.（%—1）6展开式中X4的系数为.

【考点】二项式展开

【答案】15

【解析】《x（—1/=15

5.三角形ABC中，BC=2,4=巴乃=刍则ZB=____.

34

【考点】解三角形

【答案】注幽

【解析】在三角形中4+3+。=为。=工

由正弦定理壬二名,解得ZB=吟^

sm4sinC3

6.已知ab=1,4a2+9b2的最小值为.

【考点】基本不等式

【答案】12

【解析】由ab=1,4a2+9b2>2-2a-3b=12当且仅当2a=3b,

即。==与或a-S,b—时取最小值12.

7.数列｛%｝,即=n+c,S7<0,c的取值范围为.

【考点】等差数列

【答案](­—4)

【解析】由即=ri+c,知数列｛%｝为等差数歹/$7=型普=等=7a4V

0,。4=4+cV0,cV-4.故c的取值范围为(一如一4).

8.三角形三边长为5,6,7,则以边长为6的两个顶点为焦点,过另外一个顶点的双

曲线的离心率为.

【考点】双曲线的定义、离心率

【答案】3

【解析】由双曲线的定义,2c=6,2a=2,e=2=3

a

9.已知/(%)=%2,g(%)=｛—J，，；求g(%)<2-％的％的取值范围

【考点】分段函数运算

【答案】％e(―8,1]

【解析】根据题意知g(%)=｛：?广-°

xfx<U

所以当%>。时,g(%)<2—x=^x2+x—2<0,解得%e[0,1]

同理当％<。时,g(%)<2-%-%2+%-2<0,解得％e(-8,o)

综上所述:%e(-血1］

10.已知四棱柱ABCD底面ABCD为平行四边形，AA1=3,BD=4且

福•前-丽］反=5,求异面直线44］与的夹角______

【考点】立体几何线线角

【答案】arccos—

【解析】AB.=AB+AAAD7=AD+AA

（AB+汨）•AD-（AD+西）.虎=5

=AAi-BD=3x4xcos6

11.正方形草地ZBCD边长1.2,E到48,4。距离为0.2,尸到8。,CD距离为0.4,有个

圆形通道经过民凡且经过4D上一点,求圆形通道的周长D

.(精确到0.01)一

【考点】解析几何、数学建模

【答案】2.73

【解析】以4为原点建系，易知E(0.2,0.2),F(0.8,0.8),不妨“

设EF中点为M(050.5)直线EF中垂线所在直线方程为y-0.5=—(%-0.5),化

简得y=-x+1

所以圆心为(a，—a+1),半径为a,且经过E,F点

即(a—0.2)2_|_(—0+1—0.2)2-Q2

化简得a?-2a+0.68=0。=27m«2.73

12.a1—2,a?=4,。3=8,=16,彳壬后、b],Z)2，^3>力4CR,1两足{%+a,114iV

；<4}={^+b7-|l<i<;<4},求有序数列{瓦，4，匕3,匕J有____对.

【考点】数列

【答案】48

【解析】以题易知{4+%•I6,10,12,18,20,24},

满足{的_+cij\l<ij<4}={瓦+bj\l<i<.j<4],

不妨设瓦<b2<b3<匕4由单调性则必有比+。2=6,瓦+匕3=10,力2+。4=

20,b3+b4=24

(1)b2+^3—12,瓦+Z)4=18,解得瓦=2,b2=4,b3=8,b4=16

(2)b2+b3=18,b±+b4=12,解得比=-l,b2=7,b3=11,b4=13

所以2种.

综上共有2Pf=48对

二、选择题(本大题共4题,满分18分,第13-14题每题4分，第15-16题每题5

分)

13.a,b,ceR,b>c,下列不等式恒成立的是()

k.a+b2>a+c2B.a2+b>a2+cC.ab2>ac2D.a2b>a2c

【考点】不等式的性质

【答案】B

【解析】对于4若网V©，则炉＜。2,选项不成立，故人错误；

对于C、D,若a=0,则选项不成立，故C、D错误;故答案选B.

14.空间中有两个不同的平面a,0和两条不同的直线孙出则下列说法中正确的是

()

A.若仇团/?,刀1团a,ri团0,则m团?1B.若a团0,刀1团a,刀1团九，则九团/?

C.若仇〃0,m//a,n“则租〃nD.若仇〃0,m//a,m//n,则九〃0

【考点】立体儿何

【答案】A

【解析】对于A若打耶,?71团a,则m〃。或mu/?,又几耶，所以租团凡故A正确；

对于B,若a团/?,m团a,则租〃0或mu0,由m团几则ri与0斜交、垂直、平行均有可

能，故B错误;

对于C,若口〃6,771〃口,则TH〃。或THU/?,由九〃/?,则TH与九相交、平行、异面均有

可能,故C错误；

对于D,若0〃6，加〃口,则粗〃6或muB，又m"n,则九〃0或九u0,故D错误.故

答案选A.

15.有四种礼盒，前三种里面分别仅装有中国结、记本本、笔袋，第四个礼盒里面

三种礼品都有，现从中任选一个盒子,设事件A：所选盒中有中国结，事件B：所

选盒中有记事本，事件C：所选盒中有笔袋，则()

A.事件4与事件B互斥B.事件A与事件B相互独立

C.事件4与事件BUC互斥D.事件4与事件BnC相互独立

【考点】事件的关系

【答案】B

【解析】对于A,事件A和事件B可以同时发生，即第四个礼盒中既有中国结,又

有记事本,所以A与B互斥,故A错误；

对于B,PQ4)=：,P(B)=；,PQ4nB)=；,符合P(AnB)=PQ4)•P(B),B正确；

224

对于c,事件4与事件BU。可以同时发生,所以C错误；

对于D,P(Z)=3P(BnC)=I，而P(4n(BnC))=：HPQ4)•P(BnC),所以A

与Bnc不独立,故。错误。

故答案选B.

16.现定义如下：当％e(wn+1)时(九eN),若/(%+1)=/(%),则称/(%)为延

展函数.

现有，当％e(0,1)时,9(%)=靖与(%)=炉。均为延展函数,则以下结论(

)

(1)存在y=kx+b(k，bER；k>b0)与y=g(%)有无穷个交点

(2)存在y=kx+b(k>beR>k>bH0)与y=(%)有无穷个交点

A.(1)(2)都成立B.(1)(2)都不成立C.(1)成立⑵不成立D.(1)

不成立⑵成立.

【考点】图像与导数

【答案】D

【解析】根据题目所给条件，画出g(%)与(%)图像即可，

因为kW0,所以(1)错；当k=10!时,存在b使得直线y=kx+b可以与(%)在区

间(9,10)的函数部分重合，因而有无穷个交点,所以(2)正确，故选D

三、解答题(本大题共5题，共14+14+14+18+18=78分)

17.已知/(%)=sin(3%+；)，to>0

(1)设3=1,求解:y=/(%),%e[0，兀]的值域；

(2)a>7r(ae/?),/(%)的最小正周期为兀,若在％e[ma]上恰有3个零点,求a的取

值范围.

【考点】三角函数周期与零点

【答案】(l)ye[—;

⑵aeK芳)

【解析】(1)3=1,/(%)=sin(%+§.因为%e[0，兀],所以令t=x+^,tE

一71f-4兀一

.33.

所以y=/Q)在再用上单调递增,在臣裔上单调递减

所以％nax-/Q)-Iymin=f~因此J7[-乎1

(2)由题知T=复=7，所以3=2,f(%)=sin(2%+

当/(%)=0时，2%+g=kn,kEZ,即％=—£+4,忆EZ.

当k=3时,％=把>几,所以如+T4aV空十三7,即卫4aV因止匕,ae

333236

[?-)•

18.如图,P4、PB、PC为圆锥三条母线,ZB=ZC.

⑴证明：PZ团BC；

(2)若圆锥侧面积为g7r,BC为底面直径,BC=2,

求二面角B-PA-。的大小.

【考点】圆锥体中的线面关系

【答案】（1）证明见解析（2）兀—arccos：

【解析】（1）取BC中点。，连接4。、P0,

因为AB=AC,PB=PC,所以4。团BC,P。团BC,

又因为P。u面PAO,Z。u面PAO,P。dAO=0,

所以BC团面尸4。，因为PZu面PZ。，所以P4团BC.

（2）如图建立空间直角坐标系

因为圆锥侧面积为g7r,BC为底面直径,BC=2,

所以底面半径为1,母线长为VX所以P。=WM2—402=

V2,

则可得P（S0,或）,4（0,1，0）,B（L0,0）,。（一1，0,0）,

故可=（0,］，-闻,而=（］，0，-&），丽=（-L0^-V2）,

设方=（%/%2）为面PZB的法向量,则但,上=°今

•乃尸Zi0令％1=72,则-=y/2,z1=1,所以居=

山-&zi=0'

（筋筋1）.

设五=（%2少2立2）为面24。的法向量,

则隹%=。=

y2-V2Z2=o

(n;-PC=0

、_%2_V2Z2—0

令%2=-V2,则丫2=V2,Z2-1，所以五=（一夜，企，1）.

则五底〉=瑞=京器1

设二面角B-PA-。为仇所以二面角B-PA-。的大小为7T-arccosj.

19.水果分为一级果和二级果,共136箱,其中一级果102箱，二级果34箱。

⑴随机挑选两箱水果,求恰好一级果和二级果各一箱的概率；

⑵进行分层抽样,共抽8箱水果,求一级果和二级果各几箱；

⑶抽取若干箱水果,其中一级果共120个,单果质量平均数为303.45克,方差为

603.46;二级果48个,单果质量平均数为240.41克,方差为648.21;求168个水

果的方差和平均数,并预估果园中单果的质量.

【考点】概率、统计

【答案】⑴£(2)一级果抽取6箱，二级果抽取2箱；

45

(3)平均数:285.44,方差:1426.46,预估平均287.69

【解析】

(1)古典概型:设4事件为恰好选到一级果和二级果各一箱，⑷=盘°?•废4=

3468,

IQ=』6=9180,P(Z)=W

⑵一级果箱数:二级果箱数=3:1,因此一级果抽取6箱,二级果抽取2箱.

(3)设一级果平均质量为冗二级果质量为y,总体样本平均质量为2

平均值：

11

x=而=303.45,y=品=240.21

z=—(£/+£力)=萼+4]=285.44

168J1311168

方差：

11

s*=诉£(阳一元尸=—-CO?0E>=120®+(%)2)

11

sj=就£(%-y)2=-(刃20=48⑶+(夕)2)

,4o48

Sz=高=⑵一习2=焉次一（习2=焉。*+£*）-⑵2=1426.46

预估:平均质量=I。?元+34夕=7.69

13628

22

20.在平面直角坐标系％Oy中，已知点4为椭圆八^+一=1上一点,&、P2分别为

6Z

椭圆的左、右焦点。

(1)若点4的横坐标为2,求|40|的长；

(2)设厂的上、下顶点分别为Mi、M2,记44F/2的面积为Si，44MlM2的面积为S2,

若SiNS2,求|。4|的取值范围

(3)若点4在％轴上方,设直线NF2与广交于点B,与y轴交于点K,K0延长线与「交于

点C,是否存在％轴上方的点C,使得用7+F^B+F^C=2(0+F^B+短)(2e

R)成立?若存在，请求出点。的坐标;若不存在,请说明理由.

【考点】解析几何

【答案】⑴"(2)(V2^](3)C(—?亨)

【解析】(1)设4(2，y),因为点4为椭圆八]+<=1上一点，则3+(=L得

626L

22

y，。

又&(—2,0),所以[4川=J(2—(―2))2+(y—0)2=第

(2)设Z(%，y),%yH0,则S[=211yl=2\y\,S2=^\MrM2\\x\=V2|%|

因为Si>S2,即21yl>V2|%|,即2y2>

又总+[=1,所以2y2>6-3y2,得：<<2

所以I。川=J%2+y2-J(6-3y2)+y2-,6-2y2,所以|。4|的范围是

K)

(3)设＞0,3(%2，乃)，由图像对称性,得从C

关于y轴对称,所以C(—%，%),又&(—2,0),尸2(2,0),所

二一一一】

FM=+2，%),&8=(%2+2)2)，？1。=>

(一/+2，%),

所以FM+F1B+F1c=(x2+6，、2+2y1)；

同理方+F^B+F^C=(到-6,了2+2%)

因为冗彳+F\B+F\C=2(可+印+版)9eR),所以及了+F\B+

版/取+印+跖

向+6)(y2+2%)=(①2—6)(沙2+2勿)

所以为+2%=0,或｛%：，乏：°6(无解)

22

设直线NF2:%=my+2,与椭圆八二+—=1联立得，(租？+3)y2+4my—2=0

62

y/2=-2yf=

m2+3得4日V54得曰】=V—5,

则,4m7n=y,J/

Vi+y?=-Vi-2z

-71)/八m+3

由％i=Tny1+2,得%i=['所以CB日)

21.记M(a)=(t\t=/(%)—f(a)>x>a],L{a)=(t\t=/(%)—f{a}>x<a}

(1)若/(%)=x2+1,求M(l)和L(l);

(2)若/(%)=%3-3x2,求证:对于任意aeR,都有M(a)([-4^+°°),且存在a,

使得—4GM(a).

⑶已知定义在R上/(%)有最小值,求证〃/(%)是偶函数〃的充要条件是“对于任意

正实数c,均有M(—c)=L(c)”.

【考点】导数

【答案】见解析

【解析】(1)由题意得：

M⑴=(t\t=x2+1—2>x>1}=[0>+R)；L(l)=

{t\t=x2+1—2>x<1]=[—!>+°°);

(2)证明:由题意知M(a)=(t\t=x3—3x2—a3+3a2>x>a],

2

记g(%)=/—3/—。3+3a2,有°(%)_2x-6%=00％=。或2

X(一°°f0)0(0,2)2(2,+8)

g(%)正0负0正

g(%)7极大值、极小值7

现对a分类讨论：

32

(1)当a之2,有t=炉一3/-a+3a,%>a为严格增函数，因为g(a)=0,

所以此时M(a)—[0,+―)G[—4，+―)符合条件；

32

(2)当0<a<2时，t=炉—3/—a+3a,x>a先增后减，。1M=g(2)=

—o?+3a2一4

因为—+3a2=a2(3—a)>0(a=。取等号)，所以兀仇=°(2)——a3+3a2—

4之一4,

则此时M(a)=[-a3+3a2-4,+8)。[-4^+8)也符合条件；

(3)当a<0时,t=小一3八一+3a2,%>a,在[a，0)严格增,在[0,2]严格减,在

[2,+8)严格增,如皿=min{g(a)，g(2)}=min{0^-a3+3a2-4),

因为(a)=—a3+3a2—4,当a<。时，(a)=-3a2+6a>0,则(a)>

(0)=-4

则此时M(a)=[tmin>+°°)G[-4,+8)成立;

综上可知,对于任意aeR,都有M(a)C[-4,+且存在a=0,使得一4e

M(a).

⑶证明：

⑴必要性:若/(%)为偶函数，

则M(-c)={t\t=f(%)-f(-c)，x>-c],L(c)={t==/(%)-f(c)，x<c}

当%>-c,t=/(%)-f(-c)=/(-%)-/(c),因为一％<c故M(—c)=L(c);

(2)充分性：若对于任意正实数c,均有M(-c)=£(c),

其中M(-c)={t\t=/(%)-f(-c)，x>-c},L(c)={t\t=/(%)-f(c),x<c]

因为/(%)有最小值，不妨设/(a)=fm