2023-2024学年江苏省苏州市部分高中高三年级上册12月联考数学试卷含详解

苏州市部分高中2023-2024学年第一学期高三年级12月联考

数学

注意事项：

L本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷.

2.本试卷中所有试卷必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分.

3.答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上.

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每题只有一项符合要求.

1,已知集合4={1，与，5={削/一3%<0”"若4"=&则6的值为（）

A.0B.1C.2D.1或2

2.甲、乙、丙、丁四人在一次比赛中只有一人得奖.在问到谁得奖时，四人的回答如下：甲：乙得奖.乙：丙得奖.

丙：乙说错了.丁：我没得奖.四人之中只有一人说的与事实相符，则得奖的是（）

A.甲B.乙C.丙D.T

3.设2=。+历（a,Z?wR）（i为虚数单位）为复数，则下列说法正确的是（）

A.若Z是纯虚数，则〃=0或

B.复数z模长的平方值等于复数z的平方值

C.若Z的模长为1，则|z+i|的最大值为2

D.若|z—1|=1,则0<|z|W2

4.江南的周庄、同里、角直、西塘、鸟镇、南涪古镇，并称为“江南六大古镇”，是中国江南水乡风貌最具代表的

城镇，它们以其深邃的历史文化底蕴、清丽婉约的水乡古镇风貌、古朴的吴侬软语民俗风情，在世界上独树一

帜，驰名中外.这六大古镇中，其中在苏州境内的有3处.某家庭计划今年暑假从这6个古镇中挑选2个去旅游，则

只选一个苏州古镇的概率为（）

2314

A-B.-C.-D.-

5555

5.英国数学家哈利奥特最先使用“〈”和符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深

远.对于任意实数b、c、d,下列命题是真命题的是（）

A.若</,则。B.若a<6,则ac

C.若c<d,则D.若a<b,c<d,则a+c<Z?+d

6.已知A、B、C是半径为3的球。的球面上的三个点，且NACfi=120，AB=5AC+BC=2,则三棱

锥O—A5c的体积为（）

A.逅B.—C.—D.76

1263

22।

7.在平面直角坐标系尤Oy中，椭圆工+与=l（a〉6〉0）和抛物线/=—以交于点A,8,点P为椭圆的右顶

ab4

点.若0、A、P、3四点共圆，则椭圆离心率为（）

A币R2s„3^/7n4s

7777

8.已知函数〃x）=sin（27u）+,，则直线y=x-2与图象的所有交点的横坐标之和为（）

x—2

A.0B.8C.12D.16

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.已知内角A,B,C的对边分别为a,b,c,面积为S,满足S=g（/—/卜皿。，则下列说法正确的有

（）

A.2〃+Z?wO

B.2a+b-0

C.存在左=1使得tanA:2tanC=l:2左

D.存在根=1使得c=2成？

10.18世纪30年代，数学家棣莫弗发现，如果随机变量X服从二项分布6（〃0）,那么当〃比较大时，可视为X

服从正态分布其密度函数以0（xhTLe-g,尤eR任意正态分布X~5（〃,b2）,可通过变

换z=±上转化为标准正态分布（〃=0且b=l）.当zN（0,l）时，对任意实数X,记*x）=P（Z<x）,

（T

则（）

B.当％>0时，尸（Z<x）=l—2/（x）

C.随机变量X当〃减小，b增大时，概率尸（|x—”<可保持不变

D.随机变量XN.d）,当〃，0都增大时，概率P（|X-4<cr）单调增大

11.已知抛物线C：>2=4%,圆s：（X—37+/=2,点尸在x=上，则（）

A.圆上一点到C上一点的距离最小值为0或2夜

B.圆心S到C上一点T的距离ST最小值为J5

C.过P作圆的两条切线与C的四个交点纵坐标乘积一定为112

D.过户作圆的两条切线与C的四个交点纵坐标乘积不一定为112

12.定义在R上的函数〃%)同时满足：@/(x+l)-/(x)=2x+2,XGR；②xe[O,l],则下列结

论正确的是()

A./(0)=-1

B.为偶函数

C.存在〃eN*，使得/(«)>2023〃

D.任意尤eR,有闫x|+^+3

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在答题卡规定位置处.

13.已知向量a=(l,2),b=(4,3),则a-(2a-b)=

14.己知lga+lgZ?=l,则。+2办的最小值为

JT兀

15.已知函数/0)=-/+6*+根，g(x)=2sin(2x+§).对任意/e0,—,存在w[T3],使得

/(x,)<g(x°)</(%)，则实数用的取值范围是.

16.若数列｛4｝满足耳=玛=1,£=£I+£-2(〃23且〃为正整数)，则称数列为斐波那契数列.该数列是由

意大利科学家列昂纳多•斐波那契于1202年提出，此数列在如今多种领域都有着广泛的应用.若记玛023=加，则

数列｛£｝的前2021项和为；若此数列各项除以3的余数构成一个新数列｛4｝，则数列｛4｝的前2022项

和为.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.如图，正方体ABC。—A4GR边长为I，P是4。上的一个动点.求：

(1)直线A3与平面所成角的余弦值;

(2)B4+PC的最小值.

18.已知正项数列｛4｝前"项和为S“，现在有以下2个条件:

①数列｛明的前〃项和为7；="("+1)；②4=1,%=34

从上述2个条件中任选一个，完成以下问题：

(1)求数列｛%｝的通项公式；

⑵设数列也｝满足仇=1,bn=an-an^(7：>2),试问也｝中否存在连续三项外,bk+l,bk+2,使得*，

11

—,「构成等差数列？请说明理由.

4+14+2

19.已知函数〃x)=x+sinx.

(1)若光«0,2兀］,则讨论函数八%)的单调性；

(2)若尤eR,则曲线y=/(x)上是否存在三个不同的点A、B、C,使得曲线y=/(x)在A、B、C三点处的

切线互相重合？若存在，求出所有符合要求的切线的方程；若不存在，请说明理由.

20.为不断改进劳动教育，进一步深化劳动教育改革，现从某单位全体员工中随机抽取3人做问卷调查.已知某单

23

位有N名员工，其中1是男性，，是女性.

(1)当N=20时，求出3人中男性员工人数x的分布列和数学期望；

(2)我们知道，当总量N足够大而抽出的个体足够小时，超几何分布近似为二项分布.现在全市范围内考虑.从N

名员工(男女比例不变)中随机抽取3人，在超几何分布中男性员工恰有2人的概率记作耳；有二项分布中(即

男性员工的人数XBl3,1j)男性员工恰有2人的概率记作鸟.那么当N至少为多少时，我们可以在误差不超过

0.001(即《一640.001)的前提下认为超几何分布近似为二项分布.(参考

苏州市部分高中2023-2024学年第一学期高三年级12月联考

数学

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每题只有一项符合要求.

1,已知集合人={1'坊*={削％2-3%<O”Z},若4B=A,则6的值为（）

A.OB.1C.2D.1或2

【答案】C

【分析】求出集合2,再根据交集结果可得A。3,即可求出.

【详解】由f―3x<0解得0<x<3,所以3={1,2},

因为AiB=A,所以AgB,所以〃=2.

故选：C.

2.甲、乙、丙、丁四人在一次比赛中只有一人得奖.在问到谁得奖时，四人的回答如下：甲：乙得奖.乙：丙得奖.

丙：乙说错了.丁：我没得奖.四人之中只有一人说的与事实相符，则得奖的是（）

A.甲B.乙C.丙D.T

【答案】D

【分析】根据各人的说法，讨论四人得奖分析是否只有一人说法与事实相符，即可确定得奖的人.

【详解】

甲乙丙T

甲得奖

乙得奖

丙没得奖

T没得奖

由上表知：

若甲得奖，丙、丁说法与事实相符，则与题设矛盾；

若乙得奖，丙、丁说法与事实相符，则与题设矛盾；

若丙得奖，乙、丁说法与事实相符，则与题设矛盾；

所以丁得奖，只有丙说法与事实相符.

故选：D

3.设2=。+历（a,beR）（i为虚数单位）为复数，则下列说法正确的是（）

A.若z是纯虚数，则。=0或匕W0

B.复数z模长的平方值等于复数z的平方值

C.若z的模长为1，则|z+i|的最大值为2

D若|z—1=1,则0<卜区2

【答案】C

【分析】利用复数的概念可判断A选项；利用特殊值法可判断B选项；利用复数模的三角不等式可判断C选项；设

z—1=cos6»+isin6»,利用复数的模长公式可判断D选项.

【详解】对于A选项，若z是纯虚数，则。=0且bwO,A错；

对于B选项，取z=l+i，则，=1+1=2,z2=（l+i）2=2i,则忖B错;

对于C选项，因为同=1,则|z+i以z|+|i|=2,

当且仅当z=i时，等号成立，即|z+i|的最大值为2,C对；

对于D选项，因为任一1|=1,设z-l=cos8+isine,则z=l+cos8+isin。，

所以，目=J（1+cos+si。，=逝+2cos£e[0,21D错.

故选：C.

4.江南的周庄、同里、用直、西塘、鸟镇、南涪古镇，并称为“江南六大古镇”，是中国江南水乡风貌最具代表的

城镇，它们以其深邃的历史文化底蕴、清丽婉约的水乡古镇风貌、古朴的吴侬软语民俗风情，在世界上独树一

帜，驰名中外.这六大古镇中，其中在苏州境内的有3处.某家庭计划今年暑假从这6个古镇中挑选2个去旅游，则

只选一个苏州古镇的概率为（）

2314

A.—B.-C.—D.一

5555

【答案】B

【分析】应用组合数求出所有可能情况数，应用古典概型的概率求法求概率即可.

【详解】从这6个古镇中挑选2个去旅游可能情况有Cl=15种情况，

1

只选一个苏州古镇的概率为P=4C'Ca=-3.

155

故选：B

5.英国数学家哈利奥特最先使用“〈”和“>”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深

远.对于任意实数。、b、c、d,下列命题是真命题的是（）

人.若储<62,则。<6B.若。<6,则ac<Z?c

C.若a<b,c<d,则D.若a<b,c<d,则a+c<》+d

【答案】D

【分析】借助不等式的性质判断即可.

【详解】对A：因为"<〃，可能bvavo,故错误；

对B：当cvO时，若a〈b,贝故错误；

对C：当Q</?VO,cvd<0时，则仇7,故错误；

对D：若a<b,c<d,则a+cvh+d,故正确.

故选：D.

6.已知A、B、C是半径为3的球。的球面上的三个点，且NACfi=120，AB=5AC+BC=2,则三棱

锥O—A4c的体积为（）

A.逅B.逅C.逅D.V6

1263

【答案】B

【分析】计算出的外接圆半径，可计算得出三棱锥O-ABC的高，利用余弦定理可求得AC3C,可计算

得出的面积，再利用锥体的体积公式可求得结果.

【详解】因为A3=G，NACfi=120,所以，ABC的外接圆半径为厂=一走一=1,

2sin120

所以，三棱锥O—A5c的高为人=疗二7=2血，

在，ABC中，由余弦定理可得

3=AB2=AC2+BC2-2AC-BCcos120=AC2+BC2+AC-BC=（AC+BC）2-ACBC,

2

所以，ACBC=（AC+BC）-3=1,所以，SAABC=|AC-BCsin120=^-，

因为%—ABC=~SAABC'h=~X~^~x2^=^7~-

334o

故选：B.

r221

7.在平面直角坐标系xOy中，椭圆二+方=l（a〉6〉0）和抛物线V=z奴交于点A,B,点尸为椭圆的右顶

点.若。、A、P、8四点共圆，则椭圆离心率为（）

A.且B.至…

7777

【答案】B

【分析】分别求出。、A、尸坐标，利用四点共圆可以得到。4,PA，解方程即可.

【详解】如图所示，0（0,0）,P（a,0）,A（x,y）,所以Q4=（羽y）,PA=（x-a,y）,

因为0、A、P、B四点共圆，所以OA，PA，

I3

所以。4•PA=—〃%+>2=0,将y2=—av代入得，x2—ctx-0,

44

aq22

由尤>0解得X=>2=—/,代入椭圆方程二+与=1,

416a2b2

93〃212Q

所以二+±•勺=1,整理得勺=2,所以e2=l—

1616b2a277-

，则直线y=x-2与/（%）的图象的所有交点的横坐标之和为（

C.12D.16

【答案】C

【分析】由/（x）=x-2可得sin（2兀x）=x—2-------,令g（x）=sin（2n：x）,/z（x）=x-2--------,分析可

x—2x—2

知，函数g（%）、M%）的图象都关于点（2,0）对称，数形结合可得出结果.

【详解】由/（%）=X—2可得sin（2m:）=%—2.....-,

x—2

令g（x）=sin（2m）,/z（x）=x-2-------,

x—2

27r

则函数g（尤）=sin（2而）的定义域为R,其最小正周期为T=J=1,

2兀

g（4—x）=sin[2兀（4—x）]=sin（8^-2m）=—sin（2xv）=—g（x）,

所以，函数g（x）的图象关于点（2,0）对称，

函数/z（x）=x-2-的定义域为{尤,#2},

x2

对任意的xe{x|xw2},A（4-x）=（4-x）-2-^_^_2=2-x-^-=-/?（%）,

所以，函数可了）的图象也关于点（2,0）对称，

因为函数y=x-2、y=——1在（2,+8）上均为增函数，

x-2

则函数〃（x）在（2,+8）上也为增函数，如下图所示：

Vk

yA（x）

由图可知，函数g(x)、/(%)的图象共有六个交点，其中这六个点满足三对点关于点(2,0)对称，

因此，直线y=x-2与"％)的图象的所有交点的横坐标之和为4x3=12.

故选：C.

【点睛】关键点点睛：本题函数图象交点横坐标之和，解题的关键在于利用函数的对称性，利用数形结合思想结

合对称性求解.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得。分.

9.已知内角A,B,。的对边分别为〃，b,c,面积为S,满足S=g(〃—/卜山。，则下列说法正确的有

()

A.2〃+Z?wO

B.2a+b-0

C.存在k=1使得tanA:2tanC=l:2左

D.存在根=1使得c=2成？

【答案】ACD

【分析】根据正弦定理的面积公式可得24—2〃=0,因式分解即可得出A、B答案；通过假设法即可判断

出C、D选项.

【详解】因为s=g(4—/卜inC=gabsinC,sinC>0,则2a?—3"—2^=0，

即(a—2Z?)(2a+3=。，因为a>0且〃>。，所以a—2b=0,2a+b^0,A正确，B错误；

假设存在k=1使得tanA:2tanC=l:2左，则tanA=tanC,即A=C,与题意不冲突，假设成立，C正确;

当A=C时，a=c=2b,即存在加=1使得。=24?，D正确.

故选：ACD.

10.18世纪30年代，数学家棣莫弗发现，如果随机变量X服从二项分布5(〃,。)，那么当〃比较大时，可视为X

服从正态分布NJ,"),其密度函数=,丹区任意正态分布乂〜可〃,^),可通过变

'7211(7

换Z=±上转化为标准正态分布(〃=0且0=1).当2N(0,l)时，对任意实数X,记《x)=P(Z<x),

(7

则()

A.z(-x)=1-?(%)

B.当％>0时，尸(ZV%)=1—2,(%)

C.随机变量XN.d),当〃减小，b增大时，概率P(|x—4<。)保持不变

D.随机变量XN.d),当〃，b都增大时，概率P(|X—”<0)单调增大

【答案】AC

【分析】根据*%)=P(Z<尤)结合正态曲线的对称性，可判断A;由定义即可判断B;根据正态分布的3b准则可判

断C,D.

【详解】对于A,根据正态曲线的对称性可得：/(—x)=P(Z<—x)=P(Z2x)=1—P(Z<x)=l—/(x),故A正

确；

对于B,当尤>0时，r(x)=P(Z<x),故B错误；

对于C,D,根据正态分布的3b准则，在正态分布中b代表标准差，〃代表均值，

x=〃即为图象的对称轴，根据3b原则可知X数值分布在(〃—cr,〃+cr)中的概率为0.6826,是常数，

故由P(|X-〃|<cr)=尸(〃一cr<X<〃+cr)可知，C正确，D错误，

故选：AC

11.已知抛物线C：V=4x,圆s：(%-3)2+/=2,点尸在x=上，则()

A.圆上一点到C上一点的距离最小值为④或20

B.圆心S到C上一点T的距离ST最小值为，£

C.过P作圆的两条切线与C的四个交点纵坐标乘积一定为112

D.过尸作圆的两条切线与C的四个交点纵坐标乘积不一定为112

【答案】AC

【分析】根据题意，圆上一点到C上一点距离转化为圆心到抛物线的距离问题，再用两点间距离公式来求最小

值，从而可判断AB选项；

根据题意，设切线方程为y-%=k（x+J^），由直线与圆相切列出方程，结合韦达定理，代入计算，即可得到

%%%%为定值，从而判断CD选项•

【详解】设抛物线上的点T（x，x）,则父=4%又S（3,0）,r=J5,

所以片（『+，

|ST|=J_2/+9=JX]_l8>2A/2

当且仅当X1=1时取等号.

所以ST的最小值2四.

因此，圆S上的点到抛物线上的点距离最小值为2行-厂=2夜-夜=夜.

设尸卜近,为），因为过尸作圆的两条切线与C的四个交点，所以为w士夜，且这两条切线的斜率均存在且非

令l=t=r.

设切线方程为y—%=左1+即位—丁+卜（）+四人）=0.

又圆S：（%-3）-+/=2,由相切得J----；°~।=J2.

整理得：（14+6V7）F+2（3+S）x#+（y；—2）=0,

2Mzi

*V1I/V?I

-14+6V17

依题意知4〉。，所以<

k1k,=y°'~2

14+6V7

=小+⑺，得%+与+4新皿

联立

y2-2pxkk

依题意知4〉0，设点A，B,R,。的纵坐标为%,%，为，为，

贝®=*+4疗，y3y，二黄的手.

所以X%%%=詈&+16疗为-+—L112=16%[为+S(K+&)]"J2

th左2,k，2

16%[为+«—2(3+J^%]

16y；[14+6j7—(6J7+14)]

——,14+6疗+U2=+112=112.

♦-2

14+6A/7

故C正确，D错误.

故选：AC.

12.定义在R上的函数同时满足：©/(x+l)-/(x)=2x+2,XGR；②XC[0,1],则下列结

论正确的是()

A./(O)=-l

B.7(%)为偶函数

C.存在〃eN*，使得/(")>2023〃

D.任意％eR,有〃(%)|三国+公+3

【答案】ACD

【分析】对于A：根据题意令x=0分析运算即可；对于B：根据题意求了(-1),/。)，结合偶函数的定义分析判

断；对于C：利用累加法分析判断；对于D：设g(x)=/(x)—%,分析可知g(x)是以1为周期的周期函数,

且|g(x)|W3,结合绝对值的性质分析求解.

【详解】对于选项A：因为〃x+l)—〃x)=2x+2,

令％=0,则/(I)—/(0)=2,即/(1)=/(。)+2,

又因为xe[0,l],[〃尤)⑷，gp-1</(X)<1,

可矢唱即⑼W1'解得"0)一故A正确I

对于选项B：由选项A可得/。)=/(0)+2=1

令x=_i,则y(o)_/(_i)=o,即/(_g=/(o)=_i,

可知所以/(%)不为偶函数，故B错误；

对于选项C：因为/(x+l)—/(x)=2x+2,且〃eN*，

当22时，则/(〃)=[/(")—/(〃一1)]+[/("—1)一/("—2)]+…+[/(2)—/(1)]+/(1)

(2〃+4)(〃一1)

=2〃+2〃一2d---1-4+1=-----------+1=/9+〃一1,

2

且/(1)=1符合上式，

所以/(〃)="2+〃一1,〃cN*，

令n=2023，贝U/(2023)=20232+2022>2023x2023,

即存在zieN*，使得〃")>2023”，故C正确；

对于选项D：令g(x)=/(x)—x2—x,

贝Ijg(x+1)-g(x)=/(x+l)-(x+l)2-(x+1)-[/(x)-x2-x]=/(x+l)-/(x)-2x-2=o,

即g(x+l)=g(x),即g(x)是以1为周期的周期函数，

因为当xe[o,l],|/(尤)归1,则|g(x)|=|/(x)-一尤闫/(到+,2+耳43,

结合周期性可知对任意尤eR,均有|g(x)怕3,

所以|7(x)|=|g(x)+x2+x闫8⑸+三+国VW+V+3,故D正确；

故选：ACD.

【点睛】关键点睛：对于选项D：构建g(x)=/(%)—£—%,结合题中条件分析可知g(x)是以1为周期的周期

函数，且|g(x)|43,进而可得结论.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在答题卡规定位置处.

13.己知向量a=(1,2),b=(4,3),则a,(2d-Z?)=

【答案】0

【分析】根据向量的坐标运算求解即可.

【详解】V47=(1,2),〃=(4,3),；.2a—匕=(—2,1),

a-(2a-Z?)=lx(-2)+2xl=0.

故答案为：0.

14.已知lga+lgZ?=l,则。+2)的最小值为

【答案】46

【分析】根据对数运算求得。*的关系，利用基本不等式求得正确答案.

【详解】依题意，lg〃+lgb=lgab=l,

所以〃Z?=10且〃>。力>。，

所以〃+26>2yja-2b=4A/5,

当。=2匕=2旨时等号成立.

故答案为：475

兀71

15.已知函数/0)=-f+6尤+机，g(x)=2sin(2x+—).对任意x()e0,—,存在e,使得

/(西)<g(x0)</(X2),则实数加的取值范围是.

【答案】[-7,8]

【分析】根据/(X)和g(x)的值域以及恒成立、存在性等知识求得加的取值范围.

【详解】0KxKq,042xK火，qK2x+火K型，

42336

所以g(x)=2sin12+|^e[L2].

/(•0=--+6%+机的开口向下，对称轴为1=3,

所以了(%)在区间[T3]上单调递增，/(-l)=m-7,/(3)=m+9,

所以〃龙)«加一7,m+9],

JT

由于任意Xoe0,-,存在Xj,x2e[-1,3]，使得/(%)<g(x0)</(x2),

m-7<1「i

所以r机+9>2,解得—7WmW8,所以加的取值范围是[—7,8].

故答案为：[—7,8]

16.若数列｛耳｝满足片=g=1,小尺—一(〃23且九为正整数)，则称数列为斐波那契数列.该数列是由

意大利科学家列昂纳多•斐波那契于1202年提出，此数列在如今多种领域都有着广泛的应用.若记工023=相，则

数列｛£｝的前2021项和为；若此数列各项除以3的余数构成一个新数列｛?｝,则数列｛4｝的前2022项

和为.

【答案】①.②.2276

【分析】由已知可得出F吁2=—月_1+月（"之3,"eN*）,利用裂项相消法可求得数列｛用｝的前2021项和；写出数

列｛4｝的前若干项，推导出数列｛4｝是以8为周期的周期数列，即可求得数列｛%｝的前2022项和.

【详解】当〃23且“为正整数，由工=E1T+乙-2可得工.2=—%.1+%，

所以，数列｛4｝前2021项和为4+鸟+玛++F202l

=（一片+招）+（一骂+耳）+（-玛+片）++（一私22+/23）=耳023-g=加一1,

因为数列｛凡｝满足耳=£=1，月!=£T+£.2（〃23且"为正整数），

数列｛4｝为：1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144、233、377、610、987、L,

数列｛4,｝各项除以3的余数构成一个新数列｛%｝,

数列｛%｝为：1、1、2、0、2、2、1、0、1、1、2、0、2、2、1、0、L,

观察可得数列｛4｝是以8为周期的周期数列，故4=4+8，

又因为2022=252x8+6,

所以，数列｛4｝的前2022项和为252x^1+1+2+0+2+2+1+0）+1+1+2+0+2+2=2276.

故答案为：m-1；2276.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.如图，正方体ABC。—A4G2边长为1,p是上的一个动点.求：

（1）直线A3与平面所成角的余弦值；

（2）Z4+PC的最小值.

【答案】（1）0

②曲+上

【分析】（1）利用线面角的定义可得结果；

（2）将△441。和矩形ABC，延展为一个平面，分析可知，当点A、尸、。共线时，B4+PC取最小值，在qACD

中，利用余弦定理求出AC的长，即为所求.

【小问1详解】

解：在正方体ABC。—4/。口中，A31平面BBC，

所以，直线A3与平面所成角为直角，其余弦值为0.

【小问2详解】

解：将△A&D和矩形ABC，延展为一个平面，如下图所示:

由图可知，当点A、尸、。共线时，B4+PC取最小值，

在.ACD中，AD=1,CD=l,ZADC=90°+45°=135°，

由余弦定理可得AC=［AD?+CD?—2AD•CDcosl35=J1+1—2义心义［—曰］=J2+&,

因此，B4+PC的最小值为52+J5-

18.已知正项数列｛%｝的前〃项和为5“，现在有以下2个条件：

①数列｛%的前n项和为Tn=〃("+D；②％=1,an+l=J—a„

2丫〃

从上述2个条件中任选一个，完成以下问题：

(1)求数列｛%｝的通项公式；

(2)设数列也｝满足々=1,bn=an-an^(n>2),试问也｝中是否存在连续三项外,bk+l,&2,使得:，

1一，构成等差数列？请说明理由.

4+14+2

【答案】(1)an—yfn

(2)不存在，理由见解析

【分析】(1)选①，结合。；=<-1-求得%；选②，通过构造常数列的方法求得巩.

(2)先假设存在符合题意的仇，仇M，仇+2,结合等差中项的知识推出矛盾，从而作出判断.

【小问1详解】

选①：因为数列｛d｝的前〃项和为<=妁13,

所以当〃=1时，a；=l；

当“21T〃(〃+1)(〃T)〃

当”》2时，an=Tn-Tn_x=--------------=

经检验〃=1时，。；=1符合上式，所以wN*,

故正项数列｛叫的通项公式为例=a,

1必。“，所以

选②：因为q=1,%+1

n

为常数列，即隼=%=1,

所以

7H

所以正项数列｛«„｝的通项公式4=6.

【小问2详解】

,、111

数列｛4｝中不存在连续三项4,4+1，d+2，使得丁，厂，厂构成等差数列.

理由如下：由(1)知当“22时，bn=an—an_x=4n-y/n—1,

11=y/n+\/n-l.

所以a=而_而二1

，、111

假设数列｛〃｝中存在连续三项4,d+1，4+2，使得万，厂，厂构成等差数列.

当％=1时，1,&+1,6+&，显然不成等差数列，假设不成立；

当上22时，则2（jm+JI）=（JI+jnj+（jm+仄门），

两边同时平方，^k+1+k+24k+i-4k=k-l+k+2+2y/k^l-4k+2，

所以a+1)左=(k-1)/+2),整理得/+%=/+左一2,

所以0=-2,矛盾，故假设不成立.

111

综上所述，数列也｝中不存在连续三项bk,bk+l,bk+2使得了一，工—构成等差数列.

4+1"k+2

19.已知函数/(x)=x+sinx.

(1)若xe［0,2可，则讨论函数7(%)的单调性；

⑵若尤eR,则曲线y=/(x)上是否存在三个不同的点A、B、C,使得曲线y=/(x)在A、B、C三点处的

切线互相重合？若存在，求出所有符合要求的切线的方程；若不存在，请说明理由.

【答案】⑴函数＞=/(尤)在［0,2兀］上是增函数

(2)存在，满足条件的切线方程为y=x±l

【分析】⑴利用导数判断出"%)在区间［0,2兀］上的单调性.

(2)先设出切线方程，然后根据切线重合列方程，由此进行分类讨论来求得切线方程.

【小问1详解】

因为/'(%)=l+cosx»0,当且仅当在％=兀时，/(%)=0,

所以函数＞=/(尤)在［0,2兀］上是增函数.

【小问2详解】

因为/r(x)=l+cosx,

设A(%1，%)、8(%，%)、。(%3，％)，则曲线在ASC三点处的切线分别为直线

6:y=(1+cosxJx-Xjcosxj+sinxx,

4：y=(1+cosx2)x-x2cosx2+sinx2,

4:y=(l+cosx3)x-x3cosx3+sinx3.

因为直线小LA互相重合，所以COS%=COSZ=COS%3，

且一为cos再+sin玉=-x2cosx2+sinx2=-x3cosx3+sinx3.

因为COS%1=COSx2=COS%3,

所以sin西=±sinx2,sinx2=±sinx3,sinx3=±sin再.

①若sin占=-sinx2,sinx2=-sinx3,sinx3=-sin玉.

则sin玉=0,sinx2=0,sinx3=0,

于是一芭cosxl=-x2cosx2=-x3cosx3,

因为COS%1=cosx2=COS%3=±1w0,

所以王=犬2=%3，与ASC三点互不重合矛盾.

②若sin再=sinx2,sinx2=sinx3,sinx3=sin中至少一个成立,

不妨设sin再=sinx2成立，贝！J再cosxx=x2cosx2，

若cos%=cos%2，贝！Jx=%2，矛盾，舍去，

于是cos=cosx2=0,sin玉=sinx2=±1,

所以满足要求的切线方程为y=x+l或y=x-1

【点睛】方法点睛：求解函数单调区间的步骤：⑴确定“X）的定义域；⑵计算导数尸（龙）；⑶求出

/'（%）=0的根；（4）用/'（尤）=0的根将"％）的定义域分成若干个区间，考查这若干个区间内/'（尤）的符号，

进而确定了（%）的单调区间：f^x）＞0,则/（%）在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；尸（耳＜0,则

了（%）在对应区间上是减函数，对应区间为减区间.如果导函数含有参数，则需要对参数进行分类讨论，分类讨论

要做到不重不漏.

20.为不断改进劳动教育，进一步深化劳动教育改革，现从某单位全体员工中随机抽取3人做问卷调查.已知某单

23

位有N名员工，其中1是男性，，是女性.

（1）当N=20时，求出3人中男性员工人数X的分布列和数学期望；

（2）我们知道，当总量N足够大而抽出的个体足够小时，超几何分布近似为二项分布.现在全市范围内考虑.从N

名员工（男女比例不变）中随机抽取3人，在超几何分布中男性员工恰有2人的概率记作耳；有二项分布中（即

男性员工的人数X男性员工恰有2人的概率记作鸟.那么当N至少为多少时，我们可以在误差不超过

0.001（即4-0.001）的前提下认为超几何分布近似为二项分布.（参考数据：V578»24.04）

【答案】⑴分布列见解析，数学期望为之

（2）N至少为145时，我们可以在误差不超过0.001（即片-6W0.001）的前提下认为超几何分布近似为二项分

布

【分析】（1）利用超几何分布概率模型求出概率，即可列出分布列和求数学期望；

（2）利用二项分布概率模型和超几何分布概率模型即可求解.

【小问1详解】

当N=20时，男性员工有8人，女性员工有12人.

X服从超几何分布，X=0,l,2,3,

528_44

TT40-95

心子晋啮啜尸叱）备盖14

285

X的分布列为

X0123

11442814

r

579595285

114428146

数学期望为石（X）=0x—+lx—+2x—+3x——=-

5795952855

【小问2详解】

13

C；C；-A^-l|x-A^N1|N—1

-N-N

P二^~55518

19g"1）（N—2）=石.（NT）-2）'

2

£=砥I工至0.288，

15125

N[|N—1

由于《—£<0.001,则18

-0.288<o.oor

25（N-l）（N-2）

N[|N—1

即18289,

<0.289=

25（N—l）（N—2）1000

N[|N—1

即<28925289,

X——--------

（N-1）（N-2）100018720

由题意易知（N—1）（N—2）＞0,

从而720N1|N—1）W289（N—1）（N—2）,

化简得2-141N+57820，

S7K

又N〉0,于是N+—>147.

N

578

由于函数丁=%+——在工=，乖々24.04处有极小值,

X

578

从而y=N+——当NN25时单调递增,

S7X578

X142+—«146.07<147,143+—®147.04>147.

142143

因此当N2143时，符合题意,

23

而又考虑到gN和都是整数，则N一定是5的整数倍，于是N=145.

即N至少为145,

我们可以在误差不超过0.001（即《一鸟40.001）的前提下认为超几何分布近似为二项分布.

21.如图，两射线4、，2均与直线/垂直，垂足分别为。、E且DE=1.点A在直线/上，点8、C在射线上.

（1）若尸为线段8c的中点（未画出），求A/.AD的最小值;

（2）若一A5C为等边三角形，求面积的范围.

【答案】（1）一々

16

⑵匹6

4

【分析】（1）建