圆解答题（解析版）-三年（2020-2022）中考数学真题汇编（湖北）

专题21圆解答题

1.（2022•荆门）如图，已知扇形AOB中,ZAOB=60",半径R=3.

（1）求扇形AOB的面积S及图中阴影部分的面积S明;

（2）在扇形AOB的内部，。01与0A,OB都相切，且与通只有一个交点C,此时我们称

试求OOi的面积S-

【分析】（1）根据扇形的面积公式就可以求出，阴影的面积用扇形的面积减去三角形的

面积;

（2）设。0∣与OA相切于点E,连接0Q,O1E,通过解三角形就可以求出半径，再利用圆

的面积进行计算.

【解答】解：（1）∙.∙∕A0B=60°,半径R=3,

60π×32_3n

'.S=360=丁，

VOA=OB,ZAOB=60°,

∙,.ΔOΛB是等边二角形,

9√3

•∙SAOAB=-4~,

阴影部分的面积S阴=孚一季.

Z4∙

（2）设。0∣与OA相切于点E,连接0Q,O1E,

;相切两圆的连心线必过切点，

.∙.0>01、C三点共线,

在RtAOO]E中，

VZEOO1=30°,

Λ001=20ιE,

ΛO1E=1,

的半径OIE=L

・C2

•∙sɪ—九r—五.

【点评】本题考查了相切两圆的性质.构造直角三角形是常用的方法，本题的关键是求

得圆的半径.

2.(2022•十堰)如图，^ABC中，ΛB=ΛC,D为AC上一点，以CD为直径的。。与AB相切

于点E,交BC于点F,FG±ΛB,垂足为G.

(1)求证：FG是C)O的切线；

(2)若BG=1,BF=3,求CF的长.

【分析】(1)由等腰三角形的性质可证∕B=∕C=∕OFC,可证OF〃AB,可得结论；

(2)由切线的性质可证四边形GFoE是矩形，可得OE=GF=2√Σ,由锐角三角函数可求

解.

【解答】(1)证明：如图，连接0F,

ΛZB=ZC,

VOF=OC,

ΛZC=ZOFC,

ΛZOFC=ZB,

Λ0F√AB,

VFG±ΛB,

ΛFG±OF,

又YOF是半径，

.∙.GF是。。的切线；

(2)解：如图，连接OE,过点0作OluCF于H,

VBG=1,BF=3,ZBGF=90o,

ΛFG=√BF2-BG2=√9τrI=2√2,

与AB相切于点E,

ΛOElAB,

XVAB1GF,OFJLGF,

四边形GFOE是矩形，

Λ0E=GF=2√2,

.∙.OF=OC=2√Σ,

XV0H±CF,

ΛCH=FH,

・・_CHBG

.COSrC-COSdD=玩=而，

.1CH

ʌɜ=2√∑,

•_2>∕⅞

•∙rCnll=3，

.E4√2

•*CF=—∙

【点评】本题考查切线的性质和判定，勾股定理，等腰三角形的性质，矩形的判定和性

质，锐角三角函数等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键.

3.（2022•宜昌）石拱桥是我国古代人民勤劳和智慧的结晶（如图1）,隋代建造的赵州桥距

今约有1400年历史，是我国古代石拱桥的代表.如图2是根据某石拱桥的实物图画出的

几何图形，桥的主桥拱是圆弧形，表示为靠.桥的跨度（弧所对的弦长）AB=26m,设第

所在圆的圆心为0,半径OCLAB,垂足为D.拱高（弧的中点到弦的距离）CD=5m.连接

0B.

（1）直接判断AD与BD的数量关系；

（2）求这座石拱桥主桥拱的半径（精确到1m）.

【分析】（1）根据垂径定理便可得出结论；

（2）设主桥拱半径为R,在RtaOBD中，根据勾股定理列出R的方程便可求得结果.

【解答】解：（1）V0C±ΛB,

ΛAD=BD;

（2）设主桥拱半径为R,由题意可知AB=26,CD=5,

1

ΛBD=^AB=13,

OD=OC-CD=R-5,

VZODB=90°,

ΛOD2+BD2=OB2,

：.（R-5）2+132=R2,

解得R=I9.4QI9,

答：这座石拱桥主桥拱的半径约为19m.

【点评】此题考查了垂径定理，勾股定理.此题难度不大，解题的关键是方程思想的应

用.

4.(2021•十堰)如图，已知AB是。。的直径，C为。。上一点，/0CB的角平分线交。。于

点D,F在直线AB上，且DFLBC,垂足为E,连接AD、BD.

(1)求证：DF是。O的切线；

(2)若tan∕A=4,G)O的半径为3,求EF的长.

【分析】(1)连接0D,贝IJNODC=NOCD,CD平分NOCB,则/0CD=NBCD=NODC,所以

0D〃CE,又CEJ_DF,贝IJODJ_DF,所以DF是。0的切线；

(2)在RtZ∖ABD中，tan/A=黑=会则AD=2BD,由勾股定理可得，BD2+AD2=AB2,即

BD2+(2BD)2=62,解得BD=竽，在RtABDE中，BD=缥，由勾股定理可得，BE2+DE2

6V5612EFBE

=BD92,BPBE92+(2BE)9=(—)92,解得BE=M贝IJDE=容，由(1)知BE〃0D,­=一，

5ɔɔDFOD

PP—6Q

即诵----=£，解得EF=q.

-+EF3ɔ

【解答】解：(1)如图，连接0D,

VOC=OD,

ΛZODC=ZOCD,

YCD平分NOCB,

ΛZOCD=ZBCD,

ΛZODC=ZBCD,

Λ0D∕7CE,

.∙.ZCEF=ZODE,

VCElDF,

ΛZCEF=90o,

ΛZ0DE=90o,即OD_LDF,

∙∙∙DF是。。的切线；

(2)YAB是。。的直径，

ΛZADB=90°,

DΓ)-1

.∙.tanNA=曙=京贝IJAD=2BD,

在RtZ∖ABD中，ZADB=90o,ΛB=2r=6,

ΛBD2+ΛD2=ΛB2,即BD2+(2BD)2=62,

解得BD=誓，

由(1)知DF是。0的切线，

ΛZBDF=ZA,

VBElDF,

ΛZBEF=90o,

AtanZBDF==1,则DE=2BE,

在RtZ^BDE中，BD=第，

由勾股定理可得，BE2+DE2=BD2,BPBE2+(2BE)2=(W)2,

解得BE=S则DE=S

由(1)知BE/70D,

6

EFBEEF7

BP12------=解得EF=

DF—OD,≡+EF3

【点评】本题主要考查切线的性质和判定，三角函数，勾股定理，平行线分线段成比例

等内容，要判定切线需证明垂直，作出正确的辅助线是解题关键.

5.(2021•孝感)如图，在RtZ∖ABC中，ZACB=90o,。。与BC,AC分别相切于点E,F,

Bo平分NABC,连接OA.

(1)求证：AB是。。的切线;

（2）若BE=AC=3,。。的半径是1,求图中阴影部分的面积.

【分析】（1）有切点则连圆心，证明垂直关系；无切点则作垂线，证明等于半径;

（2）将不规则图形转化为规则图形间的换算.

【解答】（1）证明：

连接OE,0F,过点0作ODJ_AB于点D,

IBC与。0相切于点E,

Λ0E±BC,

；BO是NABC的平分线，

Λ0D=0E,OD是圆的一条半径，

.∙.AB是。0的切线，

故：AB是G）O的切线.

（2）VBC,AC与圆分别相切于点E、点F,

Λ0E±BC,0F±AC,

.∙.四边形OECF是正方形，

...OE=OF=EC=FC=I,

.∙.BC=BE+EC=4,又AC=3,

∙,∙S阴极=④（SZiABC-S正方形OECF-优弧所对的S匐形KOF）

_53π

=2--8^∙

53π

故图中阴影部分的面积是：--一.

28

【点评】本题考查了圆切线的判定以及图形面积之间的转化，不规则图形面积的算法一

般将它转化为若干个基本规则图形的组合，分析整体与部分的和差关系.

6.(2020•十堰)如图，AB为半圆0的直径，C为半圆0上一点，AD与过点C的切线垂直,

垂足为D,AD交半圆0于点E.

(1)求证：AC平分/DAB；

(2)若AE=2DE,试判断以0,ʌ,E,C为顶点的四边形的形状，并说明理由.

【分析】(1)连接03由切线的性质可知NOCD+ND=180°,进而得到OC〃AD,得到N

DAC=ZACO,再由OC=OA得到NACO=NoAC,进而得到NDAC=NOAC即可证明：

(2)连接EC、BC、E0,过C点作CHJ_AB于H点，先证明ZDCE=NCAE,进而得到ADCE

^ΔDΛC,再由AE=2DE结合三角函数求出NEAC=30°,最后证明AEAO和aECO均为等

边三角形即可求解.

【解答】解：(1)证明：连接0C,如下图所示：

；CD为圆0的切线，

ΛZOCD=90°，

ΛZD+ZOCD=180°,

ΛOC√AD,

ΛZDAC=ZACO,

又OC=OA,

ΛZACO=ZOAC,

NDAC=∕OAC,

.∙.AC平分NDAB.

(2)四边形EAoC为菱形，理由如下:

连接EC、OC,OE如下图所示，

由圆内接四边形对角互补可知，NB+NAEC=180°,

又/AEC+/DEC=I80°,

ΛZDEC=ZB,

又NB+NCAB=90°,

ZDEC+ZDCE=90o,

ΛZCAB=ZDCE,

又NCAB=NCAE,

ΛZDCE=ZCΛE,且ND=∕D,

ΛΔDCE^ΔDΛC,

设DE=x,则AE=2x,AD=AE+DE=3x,

CDDE

••—,

ADCD

99

ΛCD"=AD∙DE=3x,

CD=√3x,

在RtAACD中,tanZDAC==ɪ=ɪ,

ΛZDAC=30°,

DAO=2NDAC=60°,且OA=OE,

AOAE为等边三角形，

由同弧所对的圆周角等于圆心角的一半可知：ZE0C=2ZEAC=60o,

ZXEOC为等边三角形，

...EA=AO=OE=EC=CO,

BPEA=AO=OC=CE,

.∙.四边形EAOC为菱形.

另解：连接EC,过点0作OF,AD于点F,

1

AAF=EF=抑=DE,

VZOCD=ZCDF=Z0FD=90o,

・・・四边形OCDF是矩形，

Λ0C=DF=DE+EF=2DE,

ΛOC√AE,OC=AE,

.∙.四边形OCEA是平行四边形，

VOA=OC,

.∙.四边形OCEA是菱形.

另解二：连接BE、EC交OC于F,

IAB为OO的直径，OC/7AD,

ΛZΛEB=ZCFE=90o,

四边形DEFC为矩形，

ΛCF=DE=∣AE,

VZDAC=ZCAB,

ΛCE=CD,

.∙.EF=FB,OF为ZkABF中位线，

OF=CF=∣AE,

ΛOC√AE,OC=AE,

.∙.四边形AOCE为平行四边形，

VOA=OC,

.∙.四边形AOCE为菱形.

OB

【点评】本题考查了圆周角定理、相似三角形的判定和性质、三角函数、菱形的判定等

知识点，属于综合题，熟练掌握其性质和定理是解决本题的关键.

7.(2020•荆门)如图，AC为。。的直径，AP为。O的切线，M是AP上一点，过点M的直线

与。O交于点B,D两点，与AC交于点E,连接AB,AD,AB=BE.

(1)求证：AB=BM;

(2)若AB=3,AD=ɪ,求。。的半径.

【分析】(1)根据切线的性质以及等腰三角形的性质即可求出答案.

(2)连接BC,先求出EM与AE的长度，再证明AMAES^CBA,根据相似三角形的性质即

可求出答案.

【解答】解：(1)；AP为。。的切线，AC为。。的直径，

ΛAP±AC,

ΛZCAB+ZPAB=90°,

NAMD+NAEB=90°,

VAB=BE,

ΛZAEB=ZCAB,

ΛZAMD=ZPAB,

ΛAB=BM.

(2)连接BC,

：AC为直径，

.∖∕ABC=90°,

,.ZC+ZCΛB=90o,

.,NCAB+NPAB=90°

,.ZC=ZPAB,

.βZAMD=ZMAB,ZC=ZD,

∙.ZAMD=ZD=ZC,

24

∖AM=AD=g,

.∙AB=3,AB=BM=BE,

∖EM=6,

_______________1o

∙.由勾股定理可知：AE=VEM2-AM2=苛,

・・NAMD=NC,ZEAM=ZABC=90o,

・・ΔMAE^ΔCBA,

.MEAE

'CA=AB,

18

,_L_ɪ

'CA一3"

∙.CΛ=5,

的半径为2.5.

【点评】本题考查圆的综合问题，解题的关键是熟练运用切线的性质，相似三角形的性

质与判定，勾股定理以及等腰三角形的性质.

8.（2020•宜昌）如图，在四边形ABCD中，ΛD/7BC,ΛB=2√3a,ZABC=60°,过点B的（D

0与边AB,BC分别交于E,F两点.OG±BC,垂足为G,0G=a.连接OB,0E,0F.

D

(1)若BF=2a,试判断ABOF的形状，并说明理由；

(2)若BE=BF,求证：。。与AD相切于点A.

【分析】(1)由垂径定理得到BG=FG=a,则BG=OG,FG=OG,所以4BOG和aOFG都是

等腰直角三角形，则∕B0F=90°,从而可判断ABOF为等腰直角三角形.

(2)连接EF,如图，先证明aBEF为等边三角形，再证明点E、0、G共线，即EGJ_BF,

接着计算出BE=2BG=2√5a=AB,则可判断点A与点E重合，然后证明AG1.AD,从而得

到。0与ΛD相切于点ʌ.

【解答】(1)解：Z∖BOF为等腰直角三角形.

理由如下：VOG±BC,

ΛBG=FG=iBF=a,

V0G=a,

ΛBG=OG,FG=OG,

Λ∆B0G和AOFG都是等腰直角三角形，

・・・NBOG=NFOG=45°,

ΛZB0F=90o,

而OB=OF,

・・・4BOF为等腰直角三角形.

(2)证明：连接EF,如图，

VZEBF=60o,BF=BE,

ΛΔBEF为等边三角形，

ΛEB=EF,

TOG垂直平分BF,

・・・点E、0、G共线，

即EG±BF,

V0G=a,Z0BG=30o,

.,.BG=√30G=√3a,

ΛBE=2BG=2√3a,

而AB≈2√3a,

点A与点E重合,

VAD√BC,AG±BF,

ΛAG±AD,

【点评】本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的

切线.也考查了等边三角形的判定与性质和垂径定理.

9.(2020•咸宁)如图，在RtZ∖ABC中，NC=90°,点0在AC上，以OA为半径的半圆0

交AB于点D,交AC于点E,过点D作半圆0的切线DF,交BC于点F.

(1)求证：BF=DF;

(2)若AC=4,BC=3,CF=I,求半圆0的半径长.

【分析】(l)连接0D,由切线性质得N0DF=90°,进而证明NBDF+NA=NA+NB=90°,

得NB=NBDF,便可得BF=DF；

(2)设半径为r,连接0D,0F,则0C=4-r,求得DF,再由勾股定理，利用OF为中间

变量列出r的方程便可求得结果.

【解答】解:(1)连接0D,如图1,

；过点D作半圆0的切线DF,交BC于点F,

ΛZ0DF=90o,

/AI)0+/BDF=90°,

VOA=OD,

.∙.ZOAD=ZODA,

ΛZ0AD+ZBDF=90o,

VZC=90o,

ΛZ0AD+ZB=90o,

ΛZB=ZBDF,

ΛBF=DF;

(2)连接OF,OD,如图2,

设圆的半径为r,则OD=OE=r,

VAC=4,BC=3,CF=I,

.∙.0C=4-r,DF=BF=3-1=2,

B

Λr2+22=(4-r)2+l2,

._13

,∙r^"8"∙

13

故圆的半径为∙∙

τ8

【点评】本题主要考查了切线的性质，等腰三角形的性质与判定，勾股定理，已知切线,

往往连接半径为辅助线，第（2）题关键是由勾股定理列出方程.

10.（2022•荆门）如图，AB为。。的直径，点C在直径AB上（点C与A,B两点不重合）,

OC=3,点D在（Do上且满足AC=AD,连接DC并延长到E点，使BE=BD.

（1）求证：BE是。。的切线；

（2）若BE=6,试求COSNCDA的值.

【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角可得∕ADB=90°,从而可得NBDE+NADC=

90°,根据等腰三角形的性质以及对顶角相等可得/ECB=/ADC,然后根据等腰三角形

的性质可得NE=∕BDE,从而可得NE+NBCE=90°,最后利用三角形内角和定理可得N

EBC=90o,即可解答;

（2）设OO的半径为r,则AC=AD=3+r,在RtAABD中，利用勾股定理可求出r=5,

从而求出BC=2,然后在RtAEBC中，根据勾股定理可求出EC的长，从而利用锐角三角

函数的定义进行计算即可解答.

【解答】（1）证明：：AB为（DO的直径，

.∙.∕ADB=90°,

ΛZBDE+ZADC=90o,

VAC=AD,

.∙.ZACD=ZADC,

VZACD=ZECB,

ΛZECB≈ZADC,

VEB=DB,

.∙.ZE=ZBDE,

ΛZE+ZBCE=90o,

ΛZEBC=180o-(ZE+ZECB)=90o,

TOB是。。的半径，

JBE是。O的切线；

(2)解：设。。的半径为r,

V0C=3,

ΛΛC=ΛD=A0+0C=3+r,

VBE=6,

ΛBD=BE=6,

在RtZ∖ABD中，BD2+AD2=AB2,

Λ36+(r+3)2=(2r)2,

Λrι=5,r2=-3(舍去),

,BC=OB-OC=5-3=2,

在RtZ∖EBC中，EC=√EB2+BC2=√62÷22=2√10,

・BC2√10

∙∙c°sNzErrCnB=反=近=河,

ΛcosZCDΛ=cosZECB=ɪ,

√io

.".cosZCDA的值为---.

10

【点评】本题考查了切线的判定与性质，解直角三角形，熟练掌握切线的判定与性质，

以及锐角三角函数的定义是解题的关键.

11.(2022•恩施州)如图，P为。。外一点，PA、PB为。。的切线，切点分别为A、B,直线

Po交。0于点D、E,交AB于点C.

(1)求证：ZΛDE=ZPAE.

(2)若∕ADE=30°,求证：AE=PE.

(3)若PE=4,CD=6,求CE的长.

【分析】（I）连接OA,利用切线的性质定理，圆周角定理，同圆的半径相等，等腰三角

形的性质和等角的余角相等解答即可；

（2）利用（1）的结论，直径所对的圆周角为直角，三角形的外角的性质和等腰三角形

的判定定理解答即可；

A-UyA—V144-X

（3）CE=x,则DE=CD+CE=6+x,OA=OE=詈，OC=OE-CE=ɪ,0P=0E+PE=上尹，

利用相似三角形的判定与性质得出比例式即可求得结论.

【解答】（1）证明：连接0A,如图，

;PA为。0的切线，

ΛA01PA,

ΛZ0AE+ZPAE=90o.

TDE是。。的直径，

ΛZDAE=90o,

ΛZADE+ZAED=90o.

VOA=OE,

ΛZOAE=ZAED,

ΛZADE=ZPAE；

(2)证明：由(1)知：NADE=NPAE=30°,

VZDAE=90o,

ΛZΛED=90o-ZADE=60°.

「NAED=NPAE+NAPE,

・・・NAPE=NPAE=30°,

ΛAE=PE;

(3)解：设CE=x,则DE=CD+CE=6+x,

ΛOA=OE=ɪ,

,OC=OE-CE=亍，

1A-4-Y

OP=OE+PE=上尹.

〈PA、PB为。。的切线，

ΛPA=PB,Po平分NAPB,

ΛP01AB.

YPA为。。的切线，

ΛΛ01PA,

ΛΔOΛC^ΔOPΛ,

.OAOP

•.=，

OCOA

6+X14+X

・2_2

•∙6-X—6+X'

22

即：χ2+10x-24=0.

解得：x=2或-12(不合题意，舍去)，

.∙.CE=2.

【点评】本题主要考查了圆的切线的性质，切线长定理，等腰三角形的判定与性质，圆

周角定理，垂径定理，相似三角形的判定与性质，连接OA是解决此类问题常添加的辅助

线.

12.(2022•湖北)如图，正方形ABCD内接于。0,点E为AB的中点，连接CE交BD于点F,

延长CE交G)O于点G,连接BG.

2

(1)求证：FB=FE∙FGi

(2)若AB=6,求FB和EG的长.

【分析】(1)利用相似三角形的判定与性质解答即可；

(2)连接OE,利用平行线分线段成比例定理求得FB；利用相交弦定理求EG即可.

【解答】（1）证明：・・•四边形ABCD是正方形,

.∖AD=BC,

.∙.AD=BC.

.-.ZDBA=ZG.

VZEFB=ZBFG,

Λ∆EFB^ΔBFG,

•FB__E_F_

••_=，

FGFB

.∙.FB2=FE∙FG;

(2)解：连接OE,如图,

.∙AB=AI)=6,NA=90°,

∖BD=√AD2+AB2=6√2.

,.0B=∣BD=3√2.

.♦点E为AB的中点，

∙.OE±AB,

.•四边形ABCD是正方形，

∙.BC±AB,ZDBA=45o,AB=BC,

∙.OE√BC,OE=BE=；AB.

.OFOE1

"FB-BC-2，

.OB-BF1

BF=2"

.3√2-BF1

"-BF-=2,

,.BF=2√2;

.•点E为AB的中点,

ΛΛE=BE=3,

ΛEC=√BE2+BC2=3√5.

VAE∙BE=EG∙EC,

•3>∕5

..ErGr=—ʒ-.

【点评】本题主要考查了正方形的性质，圆周角定理，垂径定理及其推论，相似三角形

的判定与性质，平行线的性质，勾股定理，相交弦定理，灵活运用上述定理及性质是解

题的关键.

13.（2022•鄂州）如图，ΔABC内接于。0,P是。0的直径AB延长线上一点,NPCB=20AC,

过点0作BC的平行线交PC的延长线于点D.

（1）试判断PC与。0的位置关系，并说明理由；

1

⑵若PC=4,tanA=ɪ,求ZkOCD的面积.

【分析】（1）由圆周角定理得出NACB=90°,进而得出∕OAC+NOBC=90°,由等腰三

角形的性质得出/OBC=NOCB,结合已知得出/PCB+/OCB=90°,得出OCLPC,即可得

出PC是。0的切线；

、I1,口1BC1,.,PBPCBC1,,ɪ

（2）由tanA=*,得出芯=一，由4PCBsaPAC,得α出芯=芯=k=一，进而f求出t

乙AC2PCPAAC2

PCPR

PB=2,PA=8,0C=3,由平行线分线段成比例定理得出左=而，进而求出CD=6,即

可求出AOCD的面积.

【解答】解：（I）PC是。。的切线，理由如下：

TAB是。。的直径，

ΛZACB=90o,

ΛZ0AC+Z0BC=90o,

VOB=OC,

ΛZOBC=ZOCB,

VZPCB=ZOΛC,

ΛZPCB+Z0CB=90o,

ΛZPC0=90",BPOC±PC,

∙.∙0C是半径，

.∙.PC是。。的切线；

(2)在Rtz∖ACB中，tanA=器

tanA=ɪ,

BC_1

•β∙~——，

AC2

VZPCB=ZOAC,ZP=ZP,

ΛΔPCB^ΔPAC,

φPB_PC_BC_1

,ΦPC-PA^AC-2,

VPC=4,

ΛPB=2,PΛ=8,

JAB=PA-PB=8-2=6,

Λ0C=0B=0A=3,

・.,BC〃OD,

PCPB「42

.∙.—=—，rBIP—=—,

CDOBCD3

ΛCD=6,

VOClCD,

11

ΛSΔ0CD=∙OCCDɪʌ×3×6=9.

【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，解直角三角形，掌握圆周角定理，切线的判

定与性质，解直角三角形，相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例定理，三角

形面积的计算公式是解决问题的关键.

14.(2022•武汉)如图，以AB为直径的。。经过aABC的顶点C,AE,BE分别平分NBAC和

ZABC,AE的延长线交。0于点D,连接BD.

(1)判断aBDE的形状，并证明你的结论；

(2)若AB=I0,BE=2√Iθ,求BC的长.

D

【分析】(1)由角平分线的定义可知，ZBΛE=ZCΛD=ZCBD,ZΛBE=ZEBC,所以NBED

=ZDBE,所以BD=ED,因为AB为直径，所以NADB=90°,所以aBDE是等腰直角三角

形.

(2)连接0C、CD,OD,OD交BC于点F.因为NDBC=NCAD=NBAD=/BCD.所以BD=

DC.因为OB=OC.所以OD垂直平分BC.由aBDE是等腰直角三角形，BE=2√10,可得

BD=2√5.因为OB=OD=5.设OF=t,则DF=5-t.在RtABOF和RtABDF中，52-√

=(2√5)2-(5-t)2,解出t的值即可.

【解答】(1)解：ABDE为等腰直角三角形.

证明：VAE平分NBAC,BE平分NABC,

/BAE=NCAD=∕CBD,ZABE=ZEBC.

VZBED=ZBAE+ZABE,ZDBE=ZDBC+ZCBE,

ΛZBED=ZDBE.

ΛBD=ED.

∙.∙AB为直径，

ΛZADB=90°,

ΛΔBDE是等腰直角三角形.

另解：计算NAEB=I35°也可以得证.

(2)解：连接0C、CD、0D,OD交BC于点F.

,.∙NDBC=NCAD=/BAD=ZBCD.

ΛBD=DC.

VOB=OC.

Λ0D垂直平分BC.

「△BDE是等腰直角三角形，BE=2√10,

ΛBD=2√5.

：AB=10,

.∙.0B=0D=5.

设OF=t,则DF=5-t.

在RtaBOF和RtZXBDF中，52-t2=(2√5)2-(5-t)2,

解得t=3,

.∙.BF=4.

ΛBC=8.

另解：分别延长AC,BD相交于点G.则AABG为等腰三角形，先计算AG=I0,BG=4√5,

AD=4√5,再根据面积相等求得BC

【点评】此题是圆的综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识，证

明aBDE是等腰直角三角形是解题关键.

15.(2022•随州)如图，已知D为G)O上一点，点C在直径BA的延长线上，BE与OO相切，

交CD的延长线于点E,且BE=DE.

(1)判断CD与。0的位置关系，并说明理由；

(2)若AC=4,SinC=

①求。0的半径；

【分析】(1)结论：CD是OO的切线；只要证明ODLCD即可;

（2）①根据SinC=寺，构建方程求解即可；

ADAC4yj2

②证明^CDAsΔCBD,推出=777=-F=—，设AD=V∑k,BD=2k,利用勾股定

iBDCD4√22

理求解即可.

【解答】解：（1）结论：CD是。。的切线；

理由：如图，连接OD.

VEB=ED,OB=OD,

ΛZEBD=ZEDB,ZOBD=ZODB,

TBE是。。的切线，OB是半径,

Λ0B±BE,

ΛZ0BE=90o,

ΛZEBD+Z0BD=90o,

ΛZEDB+Z0DB=90o,

ΛOD±DE,

TOD是半径，

・・・CD是。。的切线；

（2）①设OD=OA=r,

VOD±CD,

・•°D_1

•∙sιπC=Q^∙=ɜ,

•__r__1

••—―,

r+43

Λr=2,

・・・。。的半径为2；

②在RtΔCOD中，CD=√OC2-OD2=√62-22=4√2,

VAB是直径,

ΛZΛDB=90o,

ΛZDBA+ZBAD=90o,

VOD=OA,

ΛZOΛD=ZODΛ,

VZADC+Z0DA=90o,

ΛZADC=ZCBD,

VZC=ZC,

.β.ΔCDΛ^ΔCBD,

.ADAC_4_√2

∙・BD一CD-4√2^2,

设AD=√Σk,BD=2k,

VAD2+BD2=AB2,

Λ(√2k)2+(2k)2=42,

.∙.k=等(负根已经舍去),

【点评】本题考查作切线的判定和性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质等知

识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型.

16.(2021•随州)如图，D是以AB为直径的。0上一点，过点D的切线DE交AB的延长线于

点E,过点B作BC_LDE交AD的延长线于点C,垂足为点F.

(1)求证：AB=BC;

(2)若。O的直径AB为9,SinA=ɪ

①求线段BF的长；

②求线段BE的长.

【分析】(1)连接0D,则ODLDE,利用BCLDE,可得OD〃BC,通过证明得出NA=NC,

结论得证;

⑵①连接BD,在RtAABD中，利用SinA=/求得线段BD的长；在RtABDF中，利用

SinZA=SinZFDB,解直角三角形可得结论；

②利用4EBFSAE0D,列出比例式即可得到结论.

【解答】解：（1）证明：连接OD,如图1,

图1

〈DE是。。的切线，

ΛODlDE.

VBC±DE,

.∖OD√BC.

ΛZODA=ZC.

VOA=OD,

ΛZODA=ZA.

ΛZA=ZC.

ΛAB=BC.

(2)①连接BD,则NADB=90°,如图2,

⅛RtΔABDψ,

・・∙ABD1.

.sιnA=ʌθ=ɜ*ABn=n9,

ΛBD=3.

VOB=OD,

ΛZODB=ZOBD.

VZ0BD+ZA=ZFDB+Z0DB=90o,

ΛZA=ZFDB.

ΛsinZA=sinZFDB.

在RtABDF中,

BF1

VsinZBDF=≡=J,

ΛBF=1.

②由（1）知：OD〃BF,

Λ∆EBF^ΔEOD.

.BEBF

φ*OE=OD>

解得：BE=2

【点评】本题主要考查了圆的切线的性质，垂径定理，圆周角定理，三角形相似的判定

与性质，解直角三角形，勾股定理，等腰三角形的判定，平行线的判定与性质.连接过

切点的半径和直径所对的圆周角是解决此类问题常添加的辅助线.

17.（2021•湖北）如图，AB为。0直径，D为（DO上一点，BCLCD于点C,交Θ0于点E,CD

与BA的延长线交于点F,BD平分NABC.

（1）求证：CD是。0的切线；

（2）若AB=I0,CE=I,求CD和DF的长.

【分析】（1）连接0D,只要证明CDLOD即可，利用角平分线，等腰三角形的性质以及直

角三角形两锐角互余可得结论；

（2）连接AE交OD于H,先证明四边形HECD是矩形，利用矩形的性质、垂径定理勾股定

理得到AOAH的三边长，再利用AOAHS∕^OFD即可求得DF的长.

【解答】（1）证明：连接0D,

A

VBD平分NABC.

ΛZABD=ZDBC,

XVOB=OD,

ΛZOBD=ZODB,

ΛZDBC=ZODB,

又TBC_LCD,

ΛZC=90σ,

ΛZDBC+ZBDC=90o,

ΛZ0DB+ZBDC=90o,

即OD±DC,

，CD是Θ0的切线；

(2)解：连接AE交OD于点H,

:AB为。。直径,

ΛZΛEB=90o,

ΛZHEC=90o,

VBC±CD,OD±DC,

ΛZODC=ZC=90o,

・・・四边形HECD是矩形，

ΛDH=CE=I,HE=CD,ZEHD=90o,HE/7CD,

ΛOD±AE,

ΛAH=HE,

VAB=10,

∙∙0A=0D=5,

.∖0H=0D-DH=5-1=4,

ΛΛII=√OA2-OH2=√52-42=3,

ΛHE=AH=3,

ΛCD=HE=3,

VHE√CD,

ΛΔOAH^ΔOFD,

.AHOH

e*FD-0D,

.34

•∙——,

FD5

15

.∙.DF=*.

【点评】本题考查了切线的判定方法，如何利用垂径定理、勾股定理求线段的长度等知

识点，能够求证四边形IIECD是矩形是解决本题的关键.

18.(2021•鄂州)如图,在RtZiABC中,ZΛBC=90o,O为BC边上一点，以0为圆心，OB

长为半径的。0与AC边相切于点D,交BC于点E.

(1)求证：AB=AD;

(2)连接DE,若tanNEDC=/,DE=2,求线段EC的长.

【分析】(1)根据题意先得出AB切。0于点D,。。与AC边相切于点D,根据切线长定

理即可得出ΛB=ΛD;

(2)根据题意作出辅助线BD,根据角之间的互余关系推出NEBD=NEDC,再根据正切函

数的定义以及相似三角形的性质推出各边之间的关系，列出方程求解即可.

【解答】(1)证明：∙.∙NABC=90°,

ΛΛB±OB,

「AB经过©0半径的外端点B,

.∙.AB切。0于点B,

又。O与AC边相切于点D,

.∖AB=AD.

(2)解：如图,

连接BD,

YBE为。。的直径，

ΛZBDE=90o,

.∖ZCDE+ZADB=90o,

XVAB=AD,

・・・NADB=NABD,

ZCDE+ZABD=90°,

VZABC=90o,

ZABD+ZEBD=90o,

ΛZEBD=ZEDC,

又TtanNEDC=3，

1

ΛtanZEBD=

rDE1

即—=一，

BD2

VDE=2,

ΛBD=4,BE=2√5,

又∙.∙NC=NC,ZEBD=ZEDC,

ΛΔCDE^ΔCBD,

βCEDCDE1

**DC=BC=BD=2,

设CE=x,则DC=2x,

Λ(2x)2=x(x+2√5),

Λx1=0(舍去)，X2=

即线段EC的长为工一.

【点评】本题考查切线的性质、圆周角定理和解直角三角形，解此类型题通常利用相关

的辅助线构造相似三角形求解问题.

19.（2021•荆门）如图，在AABC中，/BAC=90°,点E在BC边上，过A,C,E三点的。

0交AB边于另一点F,且F是前的中点，AD是。0的一条直径，连接DE并延长交AB边

于M点.

（1）求证：四边形CDMF为平行四边形；

（2）当CD=IAB时，求SinZACF的值.

【分析】⑴连接DF、EF,根据圆周角定理得到NADF=NEDF,进而证明NOFD=/EDF,

根据平行线的判定定理得到FC〃W，根据矩形的性质得到AF〃CD,根据平行四边形的判

定定理证明结论；

（2）根据题意得到CD=2BM,证明ABEMS^CED,根据相似三角形的性质得到EC=2BE,

根据勾股定理、正弦的定义计算，得到答案.

【解答】（1）证明：连接DF、EF,

VZBAC=90°,

.∙.FC是。。的直径，

YF是靛的中点，

ΛAF=EF,

.∙.NADF=NEDF,

VOF=OD,

ΛZADF=ZOFD,

ΛZOFD=ZEDF,

ΛFC√DM,

VOA≈0D,0F=0C,∕BAC=90°,

.∙.四边形AFDC为矩形，

ΛAF√CD,

.∙.四边形CDMF为平行四边形；

(2)解：Y四边形AFDC为矩形，四边形CDMF为平行四边形,

.1.CD=AF=FM=EF,

VCD=∣AB,

2

.∙.CD=g(2CD+BM),

.∙.CD=2BM,

VBM√CD,

ΛΔBEM^ΔCED,

.BMBE1

'"CD=EC=2,

ΛEC=2BE,

设BM=a,则CD=2a,BF=3a,EF=2a,

在RtZ∖BEF中，BE=√BF2-EF2=√5a,

ΛEC=2√5a,

在RtZ∖CEF中，FC=√EF2+EC2=2√6a,

在RtaFAC中，sin/ACF=嚣=Il^=

【点评】本题考查的是圆周角定理、矩形的判定定理和平行四边形的判定定理、相似三

角形的判定和性质、正弦的定义，根据相似三角形的性质求出EC=2BE是解题的关键.

20.(2021•恩施州)如图,在RtZ∖A0B中，ZΛ0B=90o,OO与AB相交于点C,与AO相交

于点E,连接CE,已知∕A0C=2∕ACE.

(1)求证：AB为。。的切线；

(2)若A0=20,BO=15,求CE的长.

【分析】(1)证OCLAB即可证AB为。。的切线；

(2)作EHJ_AC于H,利用三角形相似和勾股定理分别求出EH和CH的长度,再利用勾股

定理求出CE即可.

【解答】(1)证明：VOC=OE,

ΛZ0CE=Z0EC,

YZA0C=2ZACE,

1I

ΛZOCA=ZOCE+ZACE=^(ZOCE+ZOEC+ZΔOC)=^×180o=90°,

ΛOC±ΛB,

・・・AB为G)O的切线；

(2)解：作EH_LAC于H,

VAO=20,B0=15,

ΛAB=√OA2+OB2=√202÷152=25,

11

V-OA∙OB=-AB«OC,

22

11

即一X20X15=—X25XOC,

22

Λ0C=12,

ΛAE=0A-0E=20-12=8,

VEH±AC,OC±AC,

ΛEH/7OC,

Λ∆AEH^ΔAOC,

•_AE_E_H_

•∙,—,，

AOOC

8EH

即α一=，

VBC=√0B2-OC2=√152-122=9,

ΛAC=AB-BC=25-9=16,

VAH=√AE2-EH2=J82-（曾产=

ΛCH=AC-AH=16-ɪ=等，

【点评】本题主要考查切线的判定和性质，相似三角形的判定，勾股定理等知识，熟练

利用勾股定理解直角三角形是解题的关键.

21.（2021•宜昌）如图，在菱形ABCD中，0是对角线BD上一点（BO>DO）,OElAB,垂足

为E,以OE为半径的。0分别交DC于点H,交EO的延长线于点F,EF与DC交于点G.

（1）求证：BC是。。的切线；

（2）若G是OF的中点，0C=2,DG=L

①求曲的长；

②求AD的长.

【分析】（1）过点0作OM±BC于点M,证明OM=OE即可;

（2）①先求出/HOE=120°,再求出0H=4,代入弧长公式即可;

②过A作ANLBD,由4D0GSZ∖DAN,对应边成比例求出AD的长.

【解答】解：（1）证明：如图1,过点0作OMLBC于点M,

VBD是菱形ABCD的对角线，

ΛZΛBD=ZCBD,

VOMlBC,0E±AB,

ΛOE=OM,

・・・BC是。。的切线.

图1

(2)①如图2,

图2

TG是OF的中点，OF=OH,

Λ0G=∣0H,

VAB∕/CD,OElAB,

Λ0F±CD,

ΛZ0GH=90o,

AsinZGHO=ɪ,

ΛZGH0=30o,

ΛZG0H=60o,

ΛZHOE=120°,

V0G=2,

Λ011=4,

12∩X4XJIQ

二・由弧长公式得到AE的长：----——=-ɪɪ.

1803

②如图3,过A作AN_LBD于点N,

VDG=I,0G=2,0E=0H=4,

o∕Ξ

Λ0D=√5,0B=2√5,DN=ɪ,

ΛΔDOG^ΔDAN,

CEQ

图3

【点评】本题主要考查了圆的切线的判定、圆中弧长的计算，以及相似三角形的判定与

性质，作高构造出相似三角形是解题的关键.

22.(2020•武汉)如图，在RtZ∖ABC中，∕ABC=90°,以AB为直径的。。交AC于点D,AE

与过点D的切线互相垂直，垂足为E.

(1)求证：AD平分NBAE；

(2)若CD=DE,求SinNBAC的值.

【分析】(1)连接0D,如图，根据切线的性质得到OD_LDE,则可判断0D〃AE,从而得到

/1=ZODA,然后利用N2=/ODA得到/1=/2；

(2)连接BD,如图，利用圆周角定理得到NADB=90°,再证明N2=N3,利用三角函

数的定义得到sin∕l=盖，sin∕3=∣^,则AD=BC,设CD=x,BC=AD=y,证明ACDB

coΔCBA,利用相似比得到X：y=y：(x+y),然后求出x、y的关系可得到sinZBAC的值.

【解答】(1)证明：连接OD,如图，

VDE为切线，

ΛODIDE,

VDE±AE,

Λ0D√ΛE,

ΛZl=ZODA,

VOA=OD,

ΛZ2=ZODA,

.∙.Z1=Z2,

,AD平分NBAE；

(2)解：连接BD,如图，

OAB为直径,

ΛZADB=90°,

VZ2+ZΛBD=90o,Z3+ZABD=90o,

/.Z2=Z3,

・../1DE.DC

・SinZl=而，sιnZzq3=阮，

而DE=DC,

ΛAD=BC,

设CD=x,BC=ΛD=y,

VZDCB=ZBCA,Z3=Z2,

・・・ΔCDB^ΔCBA,

ΛCD：CB=CB：CA,即x：y=y：(x+y),

整理得χ2+xy-y2=0,解得X=匚芳y或X=（舍去）,

ΛsinZ3==